Mathematik: Die Kardioide als Hüllkurve
Released by matroid on Do. 03. September 2009 15:33:29 [Statistics]
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Analysis

\(\begingroup\) Die Kardioide als Hüllkurve Bei einer früheren Gelegenheit [1] beschäftigte ich mit den Einhüllenden von Kurvenscharen. Hier folgt ein weiteres Beispiel, das wahrscheinlich schon längst bekannt ist, mir aber bisher noch nicht auffiel. (Ich habe auch nicht danach gesucht, weder in Büchern noch im Internet.)

Wählt man auf einem Kreis, dessen Mittelpunkt auf der x-Achse liegt und der durch den Ursprung geht, beliebige Punkte, Bild 1 und schlägt um sie Kreise, die ebenfalls durch den Ursprung gehen, Bild 2 so ist die Einhüllende der so entstehenden Kreisschar eine Kardioide: Bild 3 Beweis: Bild 4 Für den Kreis K_1 gilt: (x_M-R)^2+y_M^2=R^2 x_M^2+y_M^2-2Rx_M=0 |............... (1) und für den Kreis K_2: (x-x_M)^2+(y-y_M)^2=a^2 mit a^2=x_M^2+y_M^2 (x-x_M)^2+(y-y_M)^2=x_M^2+y_M^2 x^2-2x_M|x+y^2-2y_M|y=0| .......... (2) Aus (1) folgt y_M=sqrt(2Rx_M-x_M^2), was, eingesetzt in (2), ergibt: x^2-2x_M|x+y^2=2|sqrt(2Rx_M-x_M^2)|y| ...(3) Dies ist eine andere Form der Gl. für K_2; sie enthält nicht mehr y_M|. Wird darin x_M frei gewählt, so entstehen lauter verschiedene Kreise K_2 , deren Mittelpunkte auf K_1 liegen und die durch den Ursprung gehen. D. h. (3) beschreibt die in den obigen Abbildungen angedeutete Kreisschar; dabei ist x_M der Scharparameter. Wie in [1] erklärt wird, kürzt man dies mit F(x,y,x_M)=0 ab, und um die Einhüllende der Kreisschar zu finden, muß die partielle Ableitung von F nach x_M gleich 0 gesetzt werden: -2x-(2*(2R-2x_M)y)/(2*sqrt(2Rx_M-x_M^2))=0 oder x+((R-x_M)*y)/sqrt(2Rx_M-x_M^2)=0| ............... (4) Hiermit ist als nächstes x_M aus (3) zu eliminieren. Mit (4) gilt sqrt(2Rx_M-x_M^2)=-(R-x_M)y/x| , so daß sich durch Einsetzen in (3) ergibt: x^2+y^2-2x_M|x+(2(R-x_M)y^2)/x=0|, woraus x_M=(x(x^2+y^2)+2Ry^2)/(2(x^2+y^2))| ..............(5) folgt. - Durch Quadrieren der Seiten von (3) erhält man weiter: (x^2+y^2)^2-2(x^2+y^2)*2x_M|x+4x_M^2|x^2=4(2Rx_M-x_M^2)y^2| . Dies ist eine quadratische Gleichung in x_M| : 4(x^2+y^2)x_M^2-4(2Ry^2+(x^2+y^2)x)x_M+(x^2+y^2)^2=0 mit den Lösungen x_M=(2Ry^2+(x^2+y^2)x+-sqrt((2Ry^2+(x^2+y^2)x)^2-(x^2+y^2)^3))/(2(x^2+y^2))| . Vergleich mit (5) ergibt: x(x^2+y^2)+2Ry^2=2Ry^2+(x^2+y^2)x+-sqrt((2Ry^2+(x^2+y^2)x)^2-(x^2+y^2)^3) 0=sqrt((2Ry^2+(x^2+y^2)x)^2-(x^2+y^2)^3)| . Damit haben wir die parameterfreie Darstellung der Hüllkurve: (2Ry^2+(x^2+y^2)x)^2=(x^2+y^2)^3|. Einfacher zu verstehen ist sie mit Hilfe von Polarkoordinaten x=r*cos\phi|, y=r*sin\phi|: \mixoff Bild 5 Damit erhält man (2Rr^2|sin^2|\phi+r^3|cos\phi)^2=r^6 2Rr^2|sin^2|\phi+r^3|cos\phi=r^3 2R|sin^2|\phi+r|cos\phi=r r=(2R|sin^2|\phi)/(1-cos\phi) =2R*(1-cos^2|\phi)/(1-cos\phi) =2R*((1+cos\phi)*(1-cos\phi))/(1-cos\phi) und somit r=2R(1+cos\phi)|. Dies ist die Gleichung einer Kardioide wie die rote Kurve in dem dritten Bild. \mixoff [1] Über Hüllkurven Hans-Jürgen

 
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Die Kardioide als Hüllkurve [von Hans-Juergen]  
Bei einer früheren Gelegenheit [1] beschäftigte ich mit den Einhüllenden von Kurvenscharen. Hier folgt ein weiteres Beispiel, das wahrscheinlich schon längst bekannt ist, mir aber bisher noch nicht auffiel. (Ich habe auch nicht danach gesucht, weder in Büchern noch im
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"Mathematik: Die Kardioide als Hüllkurve" | 5 Comments
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Re: Die Kardioide als Hüllkurve
von: Diophant am: Do. 03. September 2009 17:56:31
\(\begingroup\)Lieber Hans-Jürgen, manchmal findet man ja auch draußen in der Natur etwas besonders schönes: eine schöne Blume, einen schönen Stein oder dergleichen. Auf dem Matheplaneten gibt es das auch bisweilen. Deine Artikel und ganz besonders dieser gehören dazu! Liebe Grüße, Johannes\(\endgroup\)
 

Re: Die Kardioide als Hüllkurve
von: rambo3 am: Do. 03. September 2009 21:44:02
\(\begingroup\)Schön gesagt, ich find ihn auch sehr interesant\(\endgroup\)
 

Re: Die Kardioide als Hüllkurve
von: Kiddycat am: Fr. 04. September 2009 09:00:38
\(\begingroup\)Hallo, vielleicht kennst du das Buch hier: H.Schmidt: Ausgewählte Höhere Kurven. - Wiesbaden: Kesselringsche Buchhandlung 1949. Damit habe ich mich während meines Proseminars beschäftigt (weil ich als Thema die Trisektrix hatte). Dort stehen sehr viele schöne Kurven mit unterschiedlichen Arten, wie man sie erzeugen kann, drin. Leider gibt es das nur noch in der Bibliothek und im Antiquariat. LG, Kiddycat\(\endgroup\)
 

Re: Die Kardioide als Hüllkurve
von: zimti am: Fr. 05. November 2010 12:32:21
\(\begingroup\)hallo :) der Artikel hat mit sehr geholfen! mir ist nur nicht ganz klar wie man bei der herleitung mit polarkoordinaten vom 1. auf den 2. schritt kommt! Kann mir jemand erklären was da gemacht wurde? Danke :)\(\endgroup\)
 

Re: Die Kardioide als Hüllkurve
von: Hans-Juergen am: Fr. 05. November 2010 20:09:02
\(\begingroup\)Hallo zimti, ich will Dir gerne erklären, was da gemacht wurde, wenn Du mir sagtst, was Du unter dem 1. und dem 2. Schritt verstehst. Wir können uns darüber auch per PN ("Private Nachricht") unterhalten. Klicke dazu oben auf meinen Namen und gehe dann auf die sich öffnende Seite ganz unten. Gruß, Hans-Jürgen \(\endgroup\)
 

 
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