Hallo liebe Freunde der Algebra, mir ist schon vor geraumer Zeit aufgefallen, dass es auf unserem Planeten noch gar keinen Artikel gibt, der sich mit Ringen und Moduln beschäftigt. Man kann zu Recht fragen, wieso es denn überhaupt notwendig ist, Ringe zu studieren. Eine Antwort darauf ist, dass Ringe und Moduln an zahllosen Stellen in der Mathematik vorkommen. So können beispielsweise die gesamte lineare Algebra und Körpertheorie als Teil der Ring- und Modultheorie aufgefasst werden. Weiter kann man versuchen, Gruppen besser mithilfe bestimmter Ringe zu verstehen. Dass dies auch in anderer Richtung funktioniert, sieht man am Beispiel der Galois-Theorie, die eine Verbindung zwischen Körpererweiterungen und Gruppentheorie herstellt. Aber auch außerhalb der Algebra hat man es häufig mit Ringen zu tun, so z.B. in der Zahlentheorie oder der Analysis. Es ist daher wenig verwunderlich, dass Ringe und Moduln neben den Gruppen eine zentrale Stellung innerhalb der Algebra einnehmen. Dabei gilt der Leitgedanke der gesamten Algebra. Durch möglichst allgemeine Untersuchung häufig wiederkommender Strukturen können Theorien einfacher zu durchschauen und schlanker werden.
Dieser Abschnitt dient primär dazu, die wesentlichen Definitionen und Notationen festzuhalten. Darüber hinaus werden einige einfache Folgerungen aus den Definitionen hergeleitet. Wie so häufig in der Algebra ist es hilfreich, ein breites Spektrum an Beispielen zu kennen und parat zu haben. Dem wird durch die Vielzahl an Beispielen am Ende des Abschnitts Rechnung getragen.
\ll(Definition 1.1)
Es sei R!=\0. Es seien zwei Verknüpfungen opimg(+) und opimg(*) auf R gegeben. Dann heißt das Tripel (R, opimg(+), opimg(*)) \stress\ Ring__\normal, wenn folgendes gilt:
\ll(a)\(R, opimg(+)) ist eine abelsche Gruppe.
\ll(b)\forall x,y,z\in R: (x*y)*z=x*(y*z)$ $$ $\big\Assoziativität
\ll(c)\forall x,y,z\in R:
\ll()(x+y)*z=x*z+y*z $ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $\big\1. Distributivgesetz
\ll()x*(y+z)=x*y+x*z $ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $\big\2. Distributivgesetz
Ein Ring heißt \stress\ unitärer__\normal Ring, wenn er noch folgende Eigenschaft erfüllt:
\ll(d)\exists e\in R \forall x\in R: e*x=x*e=x
Das Element e heißt Einselement und wird auch mit 1_R oder einfach nur 1 notiert.
Ein Ring heißt \stress\ kommutativ__\normal, wenn gilt:
\ll(e)\forall x,y\in R: x*y=y*x
Ein Element a\in R nennt man \stress\ Einheit__\normal, falls es ein b\in R gibt, so dass a*b=b*a=e. Die Menge aller Einheiten wird mit R^\*, R^opimg(\cross) oder U(R) bezeichnet. Diese ist zusammen mit der Multiplikation in R eine Gruppe, die so genannte \stress\ Einheitengruppe__\normal.
Ein unitärer Ring heißt \stress\ Schiefkörper__\normal, wenn \0!=R\\{0} und alle Elemente aus R\\{0} Einheiten sind. Hierbei bezeichnet 0 wie üblich das neutrale Element der abelschen Gruppe \(R, opimg(+)).
Ein kommutativer Schiefkörper heißt \stress\ Körper__\normal.
\ll(Einfache Folgerungen)
\ll(1)Es ist 0*x=x*0=0
\ll()Denn 0*x=(0+0)*x=0*x+0*x =>0=0*x.
\ll(2)Es ist (-x)*y=-(x*y)=x*(-y)
\ll()Denn (-x)*y+x*y=(-x+x)*y=0*y=0 =>(-x)*y=-(x*y) und analog mit vertauschten Rollen.
\ll(3)In einem unitären Ring gibt es nur ein Einselement.
\ll()Angenommen es gäbe zwei neutrale Elemente e,e', dann
\ll()e*e'=e und e*e'=e' => e=e'.
\ll(4)Das inverse Element einer Einheit ist eindeutig bestimmt.
\ll()Es sei r eine Einheit und s,t inverse Elemente.
\ll()Betrachte s*(r*t)=s*e=s.
\ll()s*(r*t)=(s*r)*t=e*t=t =>s=t.
\ll(5)Die Forderung, dass die Gruppe \(R, opimg(+)\) abelsch ist, ist redundant. Die Kommutativität der Addition ergibt sich wie folgt:
\ll()Zu zeigen ist: a+b=b+a. Es ist (a+b)+(-1)*(a+b)=0
\ll()Aber (-1)*(a+b)=-a-b und daher a+b=b+a.
Nach diesen ersten Folgerungen wird es Zeit, Beispiele für Ringe zu geben. Es wird dringend empfohlen, sich diese genau anzuschauen, da ein Arsenal an Beispielen häufig unabdingbar ist, um sich in der Theorie richtig einzufinden.
\ll(Beispiele 1.2)
\ll(1)Die triviale Gruppe set(0) zusammen mit der Multiplikation 0*0=0 bildet den sogenannten 0-Ring.
\ll(2)\IQ, \IR, \IC sind mit der üblichen Addition und Multiplikation Körper.
\ll(3)\IZ ist ein kommutativer, unitärer Ring. Es ist \IZ^opimg(\cross)=set(-1,1).
\ll(4)\IN ist mit der üblichen Addition und Multiplikation kein__ Ring, da (\IN, opimg(+)) keine abelsche Gruppe ist.
\ll(5)Die Menge 2\IZ:=set(2\.z\| z\in\IZ) zusammen mit der Einschränkung der Addition und Multiplikation in \IZ auf 2\.\IZ ist ein kommutativer Ring, der nicht unitär ist.
\ll(6)In der linearen Algebra lernt man, dass die Menge der quadratischen Matrizen über einem Körper K, K^(n\cross n), zusammen mit der üblichen Addition und Multiplikation von Matrizen einen unitären Ring bildet, der für n=1 kommutativ und sonst nicht\-kommutativ ist.
\ll(7)In der linearen Algebra lernt man ebenfalls, dass die Menge aller Endomorphismen zu einem K\-Vektorraum V, ebenfalls ein K\-Vektorraum, also insbesondere eine abelsche Gruppe ist. Definiert man als Multiplikation auf dieser Menge die Komposition von Abbildungen, dann wird End_K(V) zu einem unitären Ring. Das Einselement ist durch die Identität gegeben.
\ll(8)Es sei G eine abelsche Gruppe.
\ll()End(G):=set(\phi:G->G \| \phi ist Gruppenhomomorphismus), die Menge aller Endomorphismen, lässt sich wie folgt zu einem Ring machen:
\ll()Die Addition in End(G) wird punktweise definiert, also für \phi_1, \phi_2 \in\End(G) gelte (\phi_1+\phi_2)(g)=\phi_1(g)+\phi_2(g) für alle g\in G.
\ll()Die Multiplikation ist durch Komposition gegeben: \phi_1*\phi_2=\phi_1\kringel\phi_2
\ll()Es wird dem Leser empfohlen, die Details auszuarbeiten, wieso End(G) mit den obigen Verknüpfungen tatsächlich einen Ring bildet und wieso dies bei einer nichtabelschen Gruppe nicht der Fall ist.
\ll(9)Es ist aus der Gruppentheorie bekannt, dass die Mengen
\ll()n*\IZ:=set(n*z \| z\in\IZ) Untergruppen von \IZ sind. Auf den Faktorgruppen \IZ\/n\IZ lässt sich eine Multiplikation definieren, so dass \IZ\/n\IZ Ringe sind, die so genannten \stress\Restklassenringe__\normal:
\ll()[a]*[b]=[a*b]
\ll()Es ist als Erstes zu zeigen, dass die Abbildung wohldefiniert ist:
\ll()Seien also a und a' Vertreter der Restklasse [a] und b,b' Vertreter der Restklasse [b], dann sind a'=a+xn und b'=b+yn für bestimmte x,y\in\IZ.
\ll()Und damit ist a'b'=(a+xn)*(b+yn)=ab+n*(ay+bx+xyn) und daher [ab]=[a'b'] in \IZ\/n\IZ.
\ll()Die restlichen Details, dass \IZ\/n\IZ mit den oben definierten Verknüpfungen Ringe bilden, sind einfach und werden dem Leser zur Übung empfohlen.
\ll(10)Es sei (X, d) ein metrischer Raum. Die Menge der stetigen Abbildungen X->\IR, welche wie üblich mit C(X, \IR) bezeichnet wird, bildet zusammen mit der punktweise definierten Addition und Multiplikation einen Ring:
\ll()(f+g)(x):=f(x)+g(x) für alle x\in X und f,g \in C(X, \IR)
\ll()(f\.g)(x):=f(x)\.g(x) für alle x\in X und f,g \in C(X, \IR)
\ll()Dies ist die ringtheoretische Formulierung, dass Summe und Produkte von stetigen Abbildungen stetig sind.
\ll()Ferner ist der Ring sicherlich kommutativ. Das Einselement ist durch f==1 gegeben. Die Einheiten sind gerade, die Funktionen, welche keine Nullstelle besitzen. Denn ein Satz der Analysis ist ebenfalls, dass mit f auch 1/f an den definierten Stellen stetig ist.
Der interessierte Leser möge sich weitere Beispiele aus der Analysis überlegen, in denen Ringe vorkommen \(eine kleine Auswahl: Reelle Folgen, Funktionenräume, und auch die maßtheoretischen Ringe lassen sich als algebraische Ringe auffassen mit den entsprechenden Operationen\).
Polynomringe sind von besonderer Bedeutung in der Mathematik und treten an zahllosen Stellen auf:
\ll(Beispiel 1.3: Polynomringe)
Es sei R ein unitärer Ring. Betrachte die Menge der Folgen in R, deren Folgenglieder fast alle 0 sind: R[T]:={(r_i)_(i\in\IN) \| r_i\in R und r_i\neq 0 für nur endlich viele i}
Wie üblich bezeichnet man mit T^i die Folge, die an der i\-ten Stelle eine 1 enthält und sonst 0 ist. Mit dieser Festlegung kann man die Elemente von R[T] in der üblichen Form sum(r_i\.T^i,i=0,\inf) schreiben.
Der Grad eines Polynoms f\in R[T], deg(f), ist definiert als größtes n\in\IN, für das das Folgenglied ungleich 0 ist. Im Fall f==0 setzt man deg(f):=-1.
Es ist daher f=sum(r_i\.T^i,i=0,\inf)=sum(r_i\.T^i,i=0,deg(f)). Insbesondere kann man, wie üblich, Polynome als endliche Linearkombination der T^i schreiben.
Auf R[T] lassen sich Verknüpfungen wie folgt definieren: Die Addition erfolgt komponentenweise.
sum(r_i\.T^i,i=0,n)+sum(s_i\.T^j,j=0,m)=sum((r_k+s_k)*T^k,k=0,l),
wobei l:=\max\(n,m\) und, kompatibel zur Definition mit Hilfe von Folgen, r_i=0 für i>n und s_i=0 für j>m.
Die Definition der Multiplikation ist etwas komplizierter:
sum(r_i\.T^i,i=0,n)*sum(s_j\.T^j,j=0,m):=sum((sum(r_i\.s_j,i+j=k))*T^k,k=0,n+m)
Das Einselement in R[T] ist durch das Polynom f=1_R gegeben.
Der Nachweis, dass R[T] mit diesen Verknüpfungen einen unitären Ring bildet, ist nicht schwierig, aber langwierig und rechenintensiv. Er wird dem interessierten Leser als Übung empfohlen.
Ferner sei angemerkt, dass R[T] genau dann kommutativ ist, wenn R kommutativ ist.
Es sei darauf hingewiesen, dass Polynome keine__ Funktionen sind. Man kann zwar Polynomen auf verschiedene Arten Abbildungen zuordnen, aber Polynome an sich sind Objekte eigener Art.
In diesem Abschnitt führen wir Unterringe und Homomorphismen ein. Im Gegensatz zu Körpern spielen Unterringe in der Ringtheorie eine eher untergeordnete Rolle. Die Ideale, welche wir im nächsten Abschnitt einführen, haben sich als deutlich nützlicher bei der Untersuchung von Ringen erwiesen.
Seit Emmy Noether ist bekannt, dass sdie strukturerhaltenden Abbildungen ein sehr leistungsfähiges Werkzeug im Studium von Gruppen, Ringen und Moduln darstellen.
Im zweiten Teil dieses Abschnitts untersuchen wir erste Eigenschaften von Ringhomomorphismen.
\ll(Definition 2.1)
Es sei R ein Ring und \0!=A\subset R, dann heißt A \stress\Unter__\- oder Teilring__\normal, falls A zusammen mit den Einschränkungen der Addition und Multiplikation in R auf A einen Ring bildet.
Falls R unitär ist, gelte zusätzlich, dass R und A dasselbe Einselement besitzen.
\ll(Beispiele 2.2)
\ll(1)\IZ\subset\IQ\subset\IR\subset\IC ist eine aufsteigende Kette von Ringen und für jedes Glied der Folge sind die Vorgänger in der Kette Unterringe.
\ll(2)Es sei R ein unitärer Ring. Dann kann R\cross R zu einem Ring gemacht werden, indem man die Addition und Multiplikation komponentenweise definiert:
\ll()(a, b)+(c, d):=(a+c, b+d)
\ll()(a, b)*(c, d):=(a*c, b*d)
\ll()Es ist leicht zu sehen, dass dadurch R\cross R zu einem unitären Ring mit Einelement (1,1) wird.
\ll()R ist ein Teilring von R\cross R, wenn man R mit {(r,r)\| r\in R} identifiziert.
\ll(Definition 2.3)
Es seien R, S Ringe. Dann heißt eine Abbildung f:R->S \stress\Ringhomomorphismus__\normal, falls für alle x, y\in R gilt:
\ll(a)f(x+y)=f(x)+f(y)
\ll(b)f(x*y)=f(x)*f(y)
Sind zusätzlich R, S unitär, dann gelte zusätzlich:
\ll(c)f(1_R)=1_S
Ein bijektiver Ringhomomorphismus heißt \stress\Ringisomorphismus__\normal.
Die Menge f(R)=set(f(r)\in S\|r\in R)=:im(f) heißt Bild__ von f.
set(r\in R\| f(r)=0)=:ker(f) heißt Kern__ von f.
\ll(Proposition 2.4)
Es seien R, S Ringe und f:R->S ein Ringisomorphismus. Dann ist auch f^(-1): S->R ein Ringisomorphismus.
\blue\stress Beweis:\normal\black
Es ist nur zu zeigen, dass f^(-1) ein Ringhomomorphismus ist. Es seien also s_1, s_2\in S. Da f bijektiv ist, existieren r_1, r_2\in R mit f(r_1)=s_1 und f(r_2)=s_2.
Es gilt:
f^(-1)(s_1+s_2)=f^(-1)(f(r_1)+f(r_2))
| | =f^(-1)(f(r_1+r_2))
| | =r_1+r_2
| | =f^(-1)(s_1)+f^(-1)(s_2).
f^(-1)(s_1*s_2)=f^(-1)(f(r_1)*f(r_2))
| | =f^(-1)(f(r_1*r_2))
| | =r_1*r_2
| | =f^(-1)(s_1)*f^(-1)(s_2).
Sind R,S unitär, dann gilt wegen f(1_R)=1_S, dass f^(-1)(1_S)=1_R.
\checked
\ll(Proposition 2.5)
Es seien R, S Ringe und f:R->S ein Ringhomomorphismus.
Dann ist f(U) ein Teilring von S für jeden Teilring U von R. Insbesondere ist im(f) ein Teilring von S.
Ist ferner U kommutativ, so auch f(U).
\blue\stress Beweis:\normal\black
f ist als Ringhomomorphismus insbesondere auch Homomorphismus abelscher Gruppen. Daher ist f(U) eine abelsche Gruppe.
Sind R, S unitär, so gilt 1_R\in U und f(1_R)=1_S\in f(U).
Das Assoziativgesetz der Multiplikation folgt daraus, dass S ein Ring ist. Daher gilt es auch für jede Teilmenge von S. Dasselbe gilt für die Distributivgesetze.
Zu zeigen bleibt, dass f(U) multiplikativ abgeschlossen ist, d.h. mit x,y\in f(U) ist auch xy\in f(U). Nach Konstruktion existieren a,b \in U mit f(a)=x und f(b)=y.
Da U ein Ring ist, ist das Produkt ab\in U. Daher also f(ab)\in f(U).
Es ist aber f(ab)=f(a)*f(b)=xy.
Sei nun U kommutativ. Es seien x,y \in f(U) gegeben. Dann existieren a,b\in U mit f(a)=x und f(b)=y. Dann gilt:
xy=f(a)*f(b)=f(ab)=f(ba)=f(b)*f(a)=yx.
Daher ist auch f(U) kommutativ.
\checked
\ll(Korollar 2.6)
Es sei R ein Ring und A\subset R ebenfalls ein Ring. Dann A genau dann ein Teilring von R, wenn die Einbettung i: fdef(A->R;a|->a) ein Ringhomomorphismus ist.
\blue\stress Beweis:\normal\black
Das Korollar ist eine triviale Folgerung aus Proposition 2.5.
\checked
\ll(Proposition 2.7)
Es seien R, S unitäre Ringe und f:R->S ein Homomorphismus. Dann gilt für jede Einheit a\in R, dass f(a) eine Einheit in S ist und (f(a))^(-1)=f(a^(-1)).
Daher ist f(U(R)), das Bild der Einheitengruppe von R, eine Untergruppe von U(S).
\blue\stress Beweis:\normal\black
Wir rechnen sofort nach, dass f(a)*f(a^(-1))=f(a*a^(-1))=f(1)=1=f(a^(-1)*a)=f(a^(-1))*f(a). Daher ist f(a^(-1)) das eindeutig bestimmte inverse Element zu f(a) und daher f(a^(-1))=(f(a))^(-1).
Die Funktion g: fdef(U(R)->U(S); r->f(r)), welche nach dem ersten Teil des Beweises wohldefiniert ist, ist ein Gruppenhomomorphismus, da U(R) und U(S) Gruppen sind und f als Ringhomomorphismus f(x*y)=f(x)*f(y) für alle x,y\in U(R) erfüllt.
Damit ist klar, dass das Bild von U(R) unter f eine Untergruppe von U(S) ist.
\checked
\ll(Proposition 2.8)
Es seien R, S Ringe und f:R->S ein Ringhomomorphismus. Dann ist f genau dann injektiv, wenn ker(f)={0}.
\blue\stress Beweis:\normal\black
"\.opimg(=>)"
Da f Homomorphismus ist, gilt f(0)=0. Ferner ist f injektiv, und somit ist 0 das einzige Element in R, das auf die 0 in S abgebildet wird.
"\.opimg(<==)"
Es sei ker(f)={0}. Es seien r, r'\in R mit f(r)=f(r'). Dann ist 0=f(r)-f(r')=f(r-r'). Daher r-r'\in ker(f)={0}. Daher ist r-r'=0 <=>r=r'.
\checked
\ll(Korollar 2.9).
Es sei R ein unitärer Ring und R[T] der Polynomring über R. Dann lässt sich R in R[T] einbetten via i: R->R[T], r|->r*T^0, wobei man T^0 üblicherweise nicht hinschreibt. Daher kann man R mit i(R) identifizieren und mit dieser Identifikation ist R ein Unterring von R[T] und es gilt U(R)\subseteq U(R[T]).
Ist ferner R nullteilerfrei, d.h. ab=0 => a=0 oder b=0, so ist U(R)=U(R[T]).
\blue\stress Beweis:\normal\black
Die Abbildung i ist offenbar ein Ringhomomorphismus.
Der Kern von i enthält nur die 0, daher ist i nach Proposition 2.8 injektiv. Daraus folgt mit Korollar 2.6, dass R ein Teilring von R[T] ist. Somit folgt unmittelbar die Behauptung U(R)\subseteq U(R[T]).
Ist R sogar nullteilerfrei, so gilt für f,g\in R[T] deg(f*g)=deg(f)+deg(g). Da aber das Einselement in R[T] Grad 0 hat, muss somit deg(f)=deg(g)=0 für alle f,g\in\ U(R[T]) gelten. Die Polynome mit Grad 0 sind aber gerade die Elemente aus R. Daher gilt U(R[T])\subseteq U(R).
\checked.
In diesem Abschnitt dieses Artikels wollen wir endlich den zentralen Begriff des Moduls einführen.
Dabei lassen sich Moduln als gemeinsame Verallgemeinerung abelscher Gruppen und Vektorräumen, welche man als "Vektorräume über Ringen" beschreiben könnte.
Ideale, welche von überragender Bedeutung innerhalb der Ringtheorie sind, sind dabei spezielle Moduln, so dass ein Studium von Moduln gleichzeitig auch ein Studium von Idealen ist.
Von hier an nehmen wir an, dass alle Ringe unitär sind, sofern nichts anderes da steht.
\ll(Definition 3.1)
Es sei R ein Ring. Dann ist ein R\-Linksmodul__ eine abelsche Gruppe (M, opimg(+)) zusammen mit einer Skalarmultiplikation von R auf M, d.h. einer Abbildung R\cross M->M, notiert durch (r,m)|->rm, so dass für alle r, s\in R und m, m_1, m_2\in M gilt:
\ll(i)r*(m_1+m_2)=rm_1+rm_2
\ll(ii)(r+s)*m=rm+sm
\ll(iii)(r*s)*m=r*(s*m)
\ll(iv)1*m=m
N\subseteq M heißt R\-Untermodul__ oder nur Untermodul__ von M, wenn N zusammen mit den Einschränkungen der Addition in M und der Skalarmultiplikation von R auf N einen R\-Linksmodul bildet.
\ll(Bemerkungen)
\ll(1)Wie allgemein in der Algebra üblich werden überflüssige Verknüpfungssymbole weg gelassen, sofern keine Missverständnisse auftreten können. Man mache sich trotzdem klar, dass vier unterschiedliche Verknüpfungen im Spiel sind, nämlich die Addition und Multiplikation im Ring, die Addition im Modul und die Operation des Ringes auf dem Modul.
\ll(2)Analog zu R\-Linksmoduln lassen sich R-Rechtsmoduln definieren. Hierbei hat die Verknüpfung die Form M\cross R->M, so dass
\ll()\stress\(i\)\normal| |(m_1+m_2)*r=m_1\.r+m_2\.r
\ll()\stress\(ii\)\normal| |m*(r+s)=m\.r+m\.s
\ll()\stress\(iii\)\normal| |m(rs)=(mr)s
\ll()\stress\(iv\)\normal| |m*1=m
\ll()Diese Skalare lassen sich auch bei Rechtsmoduln links schreiben. Man erhält in dem Fall die merkwürdige Regel: (rs)m=s(rm).
\ll(3)Ist R ein Ring, so bezeichnet man mit R^op den Ring, dem dieselbe abelsche Gruppe wie R zu Grunde liegt und bei dem das Produkt a\otimes b zweier beliebiger Elemente a,b\in R^op durch b*a (das Produkt im Ring R) gegeben ist.
\ll()Die Beobachtung aus (2) lässt sich also so zusammenfassen: R\-Rechtsmoduln sind R^op\.\-Linksmoduln und umgekehrt.
\ll(5)Es sei R ein kommutativer__ Ring. Dann sind die Ringe R und R^op identisch. Insbesondere ist eine Unterscheidung zwischen Links- und Rechtsmoduln im kommutativen Fall unnötig.
\ll(6)In Beispiel 1.2.8 haben wir gesehen, dass End(M), die Menge der Endomorphismen einer abelschen Gruppe M, mit der Komposition von Abbildungen als Multiplikation ein unitärer Ring ist.
\ll()Ein R-Linksmodul M definiert einen Ringhomomorphismus R->End(M) via r|->(fdef(M->M; m|->rm)). Dies folgt unmittelbar aus den Axiomen für R\-Linksmoduln. Analog definiert jeder Ringhomomorphismus R->End(M) eine R\-Linksmodulstruktur auf M.
\ll(7)Es seien R, S Ringe und M eine abelsche Gruppe. M sei R\-Links\- und S\-Rechtsmodul. Dann nennt man M einen R\-S\-Bimodul, falls (rm)s=r(ms) für alle r\in R, s\in S und m\in M.
\ll(Beispiele 3.2)
\ll(1)Es sei K ein Körper. Ein K\-Modul V ist nichts anderes als ein K\-Vektorraum.
\ll(2)Es sei R ein Ring. Dann existiert genau ein Ringhomomorphismus f:\IZ->R. Denn es ist f(1)=1_R und daher f(z)= fdef(sum(f(1),i=1, z) für z>=0;-sum(f(1), i=1, abs(z)) für z<0). Dass dies einen Ringhomomorphismus definiert, sieht man an den Formeln:
\ll()sum(f(1), i=1, a+b)=sum(f(1),i=1,a)+sum(f(1),i=1,b) und sum(f(1),i=1, ab)=sum(f(1), i=1,a)*sum(f(1),i=1,b), wobei sum(f(1),j=1,z)=-sum(f(1),j=1, abs(z)), falls z<0.
\ll()Insbesondere existiert zu jeder abelschen Gruppe M genau ein Ring\- homomorphismus \IZ->End(M). Daher lässt sich jede abelsche Gruppe in eindeutiger Weise als \IZ\-Modul auffassen. Im Folgenden werden wir daher nicht zwischen abelschen Gruppen und \IZ\-Moduln unterscheiden.
\ll()Konkret ist die Operation von \IZ auf M durch z*m=sign(z)*sum(m, i=1,abs(z)) gegeben, wobei z\in\IZ und m\in M.
\ll(3)Es sei R ein Ring. Dann lässt sich R als R\-R\-Bimodul auffassen, wobei die Skalarmultiplikation durch die Ringmultiplikation gegeben ist. Die Forderung, dass es sich um einen Bimodul handelt, ist eine Umformulierung des Assoziativgesetzes. Inbesondere ist R ein R\-Links\- und R\-Rechtsmodul.
\stress\Konvention__:\normal Ab hier schreibe ich nur Modul, statt Linksmodul. Moduln seien also stets Linksmoduln, sofern nicht explizit etwas anderes vermerkt ist.
\ll(Proposition 3.3)
Es sei M ein R\-Modul und \0!=N\subseteq M. Dann ist N genau dann Untermodul von M, wenn r_1*n_1+r_2*n_2\in N für alle r_1, r_2\in R und n_1, n_2\in N.
\blue\stress\Beweis:\normal\black
Wenn N Untermodul von M ist, dann ist es insbesondere selbst Modul. Daher müssen auch alle endlichen Linearkombinationen wiederum in N enthalten sein.
Da N\subseteq M, sind die Forderungen der Definition 3.1 sicherlich erfüllt. Die Bedingung r_1*n_1+r_2*n_2\in N garantiert, dass man bei Moduloperationen innerhalb von N Elemente aus N erhält.
\checked
\ll(Bemerkung)
Die Bedingung ist äquivalent dazu, dass
\ll(1) n_1+n_2\in M für alle n_1, n_2\in N,
\ll(2) r*n\in N für alle r\in R und n\in N.
\ll(Proposition 3.4)
Es seien R, S Ringe und f:R->S ein Ringhomomorphismus. Ferner sei M ein S\-Modul. Dann wird M wie folgt zu einem R\-Modul:
r*m:=f(r)*m
\blue\stress\Beweis:\normal\black
Man rechnet einfach die Eigenschaften \stress\(i\)\-\(iv\)\normal nach und beachtet, dass M ein S\-Modul und f Homomorphismus ist:
r*(m_1+m_2)=f(r)*(m_1+m_2)=f(r)*m_1+f(r)*m_2=r*m_1+r*m_2
(r+s)*m=f(r+s)*m=(f(r)+f(s))*m)=f(r)*m+f(s)*m=r*m+s*m
(r*s)*m=f(r*s)*m=(f(r)*f(s))*m=f(r)*(f(s)*m)=r*(s*m)
1_R*m=f(1_R)*m=1_S*m=m
\checked
\ll(Bemerkung)
\ll(1)Der Satz und Beweis gilt ganz analog auch für Rechtsmoduln.
\ll(2)Die Proposition ist eine Verallgemeinerung der Beobachtung aus Beispiel 3.2.2.
\ll()Da \IZ kommutativ ist, kann man jeden \IZ\-Modul wahlweise als Links\-, Rechts\- oder Bimodul auffassen. Es ergibt sich, dass sich jeder R\-Modul als R\-\IZ\-Bimodul auffassen lässt. Analog lässt sich jeder R\-Rechtsmodul als \IZ\-R\-Bimodul auffassen.
\ll()Was hier ziemlich künstlich erscheint, ist eine wesentliche Beobachtung bei Tensorprodukten und bei der Frage, ob die Menge aller Homomorphismen zwischen zwei Moduln bestimmte Modulstrukturen tragen. Dazu aber an anderer Stelle mehr.
\ll(3)Betrachte die Einbettungshomomorphismen von Ringen \IZ->\IQ->\IR->\IC
\ll()Die Proposition konkretisiert einen Umstand, der in der linearen Algebra häufig verwendet wird. Jeder \IC\-Modul (=\IC\-Vektorraum) lässt sich wahlweise als \IR\-, \IQ\-Vektorraum oder als \IZ\-Modul auffassen.
\ll(4)In der Sprache der Kategorientheorie umgemünzt bedeutet die Proposition, dass jeder Ringhomomorphismus R->S einen (kovarianten!) Funktor von der Kategorie der S\-Moduln in die Kategorie der R\-Moduln definiert.
\ll(Definition 3.5)
Es sei R ein Ring.
Dann nennt man Untermoduln des R\-Linksmoduls R \stress\Linksideal__\normal.
Entsprechend nennt man Untermoduln des R\-Rechtsmoduls R \stress\Rechtsideal__\normal.
Unterbimoduln des R\-R\-Bimoduls R heißen \stress\zweiseitige__ Ideale__\normal.
\ll(Proposition 3.6)
Es sei R ein Ring und I\subseteq R. Dann gelten folgende Aussagen:
\ll(a)I ist genau dann Linksideal, wenn I eine abelsche Gruppe ist und set(r*i\|r\in R und i\in I)=:R*I\subset I.
\ll(b)I ist genau dann Rechtsideal, wenn I eine abelsche Gruppe ist und set(i*r\|r\in R und i\in I)=:I*R\subset I.
\ll(c)I ist genau dann zweiseitiges Ideal, wenn I Links- und Rechtsideal ist. Das ist äquivalent zur Forderung, dass I eine abelsche Gruppe ist und R*I*R:=set(r_1*i*r_2\.\| r_1, r_2\in R und i\in I)\subset I.
\ll(d)Ist R kommutativ, dann ist I genau dann Linksideal, wenn es Rechtsideal ist. Daher sind die Mengen der Links\-, Rechts\- und zweiseitigen Ideale identisch.
\blue\stress\Beweis:\normal\black
Die Proposition folgt unmittelbar aus Proposition 3.3.
\checked
\Wie wir später sehen werden, ist es eine wichtige Tatsache, dass Kerne von Ringhomomorphismen zweiseitige Ideale sind.
\ll(Proposition 3.7)
Es seien R, S Ringe und f:R->S ein Ringhomomorphismus. Dann ist ker(f) ein zweiseitiges Ideal in R.
\blue\stress\Beweis:\normal\black
Es gilt f(0)=0. Daher ist ker(f)!=\0.
Es seien a,b\in ker(f) gegeben. Dann ist auch a+b\in ker(f), denn f(a+b)=f(a)+f(b)=0+0=0. Daher ist ker(f) eine abelsche Untergruppe von (R, opimg(+)).
Es seien ferner r_1, r_2\in R, dann ist f(r_1*a*r_2)=f(r_1)*f(a)*f(r_2)=f(r_1)*0*f(r_2)=0 und daher r_1*a*r_2\in R. Das zeigt, dass ker(f) ein zweiseitiges Ideal ist.
\checked
Das Herausfaktorisieren von Untermoduln und zweiseitigen Idealen ist eine der wichtigsten Methoden, um aus vorhandenen Ringen und Moduln neue zu generieren.
Diese neuen Ringe beinhalten häufig genug Informationen über die ursprünglichen Ringe und Moduln, dass man zu leistungsfähigen Aussagen gelangt.
Betrachten wir zunächst folgende Situation:
Es sei R ein Ring, M ein R-Modul und N\subseteq M ein Untermodul von M.
Definiere eine Äquivalenzrelation wie folgt:
m_1~m_2 <=> m_1-m_2\in N.
Dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt, sieht man wie folgt:
\stress\1. Reflexivität\normal: Es gilt m~m für alle m\in M, denn m-m=0\in N, da N Untermodul von M.
\stress\2. Symmetrie\normal: Es gelte m_1~m_2, dann ist m_1-m_2\in N. Da N Untermodul von M, ist auch \-(m_1-m_2)=m_2-m_1 in N enthalten. Daher m_2~m_1.
\stress\3. Transitivität\normal: Es gelte m_1~m_2 und m_2~m_3, dann ist m_1-m_2\in N und m_2-m_3 \in N. Damit ist auch (m_1-m_2)+(m_2-m_3)=m_1-m_3 \in N und daher m_1~m_3.
Damit haben wir verifiziert, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt. Die Menge aller Äquivalenzklassen bezeichnet man mit M\/N. Die Äquivalenzklassen werden üblicherweise in diesem Kontext Nebenklassen genannt. Sie haben die Form m+N:=set(m+n\| n\in N). m heißt Repräsentant der Äquivalenzklasse. Daher schreibt man häufig [m] für die Nebenklasse m+N. Die Wahl von m ist natürlich willkürlich. Jedes Element aus m+N kann gleichberechtigt als Repräsentant gewählt werden.
Es ist nun eine wesentliche Beobachtung, dass M\/N in natürlicher Weise eine R\-Modulstruktur von M erbt.
Definiere folgende Verknüpfungen. Für alle [m_1], [m_2] \in M\/N und r\in R gelte:
\ll(1)[m_1]+[m_2]:=[m_1+m_2]
\ll(2)r*[m_1]:=[r*m_1]
Wie immer, wenn man Operationen mithilfe von Repräsentanten von Äquivalenzklassen definiert, muss man sich davon überzeugen, dass diese wohldefiniert sind. Das bedeutet, dass sie unabhängig von der Wahl der Repräsentanten sind.
Es seien daher x_1, x_2, y_1, y_2\in M mit [x_1]=[x_2] und [y_1]=[y_2]. Ferner sei r\in R.
Es ist x_2=x_1+n_1 und y_2=y_1+n_2 für gewisse n_1, n_2\in N. Zu zeigen ist [x_1+y_1]=[x_2+y_2].
Es ist aber x_2+y_2=(x_1+n_1)+(y_1+n_2)=(x_1+y_1)+(n_1+n_2) und daher (x_1+y_1)~(x_2+y_2)<=>[x_1+y_1]=[x_2+y_2].
Ferner ist zu zeigen, dass [r*x_1]=[r*x_2]. Aber r*x_2=r*(x_1+n_1)=r*x_1+r*n_1. Nun ist r*n_1\in N, da N Untermodul ist. Daher ist r*x_1~r*x_2 <=>[r*x_1]=[r*x_2].
Wir haben damit folgenden Satz bewiesen:
\ll(Proposition 4.1)
Es sei R ein Ring und M, N R\-Moduln mit N\subseteq M. Dann ist M\/N ein R\-Modul. Diesen nennt man Quotienten\- bzw. Faktormodul von M nach N.
\checked
\ll(Definition 4.2)
Es sei R ein Ring und M, N R\-Moduln. Eine Abbildung f:M->N heißt Modulhomomorphismus__, falls
\ll(a) f(m_1+m_2)=f(m_1)+f(m_2) für alle m_1, m_2\in M
\ll(b) f(r*m)=r*f(m) für alle r\in R und m\in M
Die Menge f(M)=set(f(m)\in N\|m\in M)=:im(f) bezeichnet man als Bild von f.
Die Menge set(m\in M\| f(m)=0)=:ker(f) bezeichnet man als Kern von f.
\ll(Bemerkungen)
\ll(1)Für Rechtsmoduln fordert man statt \stress\(b)\normal f(m*r)=f(m)*r
\ll(2)Analog fordert man für Homomorphismen von R\-S\-Bimoduln, dass f(r*m*s)=r*f(m*s)=r*f(m)*s=f(r*m)*s für alle r\in R, s\in S und m\in M.
\ll()Eine Abbildung f zwischen R\-S\-Bimoduln ist also genau dann Bimodulhomomorphismus, wenn f R\-Linksmodul und S\-Rechtsmodulhomomorphismus ist.
\ll(3)Es sei f:M->N ein Modulhomomomorphismus. Dann ist im(f) ein Untermodul von N und ker(f) ein Untermodul von M.
\ll()Beide Aussagen folgen leicht mit dem Kriterium aus Proposition 3.3.
\ll(4)Es sei f:M->N ein Modulhomomorphismus. Ganz analog zu Proposition 2.8 zeigt man, dass f genau dann injektiv ist, wenn ker(f)=0.
\ll(Proposition 4.3)
Es sei R ein Ring und M, N R\-Moduln mit N\subseteq M. Dann ist die Abbildung p: fdef(M->M\/N; m|-> m+N)| | ein surjektiver Modulhomomorphismus.
\blue\stress\Beweis:\black\normal
Es sei eine Nebenklasse in M\/N gegeben. Dann gibt es ein m \in M, das diese Nebenklasse repräsentiert. p(m) ist also unsere gewählte Nebenklasse.
Weiter ist p(m_1+m_2)=(m_1+m_2)+N=(m_1+N)+(m_2+N)=p(m_1)+f(m_2) und p(r*m)=r*m+N=r*(m+N)=r*f(m) für alle m, m_1, m_2\in M und r\in R.
\checked
Betrachtet man einen Ring R als R\-Linksmodul, so besagt Proposition 4.3, dass das Faktorisieren nach einem Linksideal (=R\-Linksuntermodul) einen R\-Linksmodul liefert.
Faktorisiert man hingegen nach einem zweiseitigen Ideal (=R\-R\-Untermodul), dann erhält man nicht nur einen R\-R\-Bimodul, sondern einen Ring. Dies wird in folgender Proposition konkretisiert:
\ll(Satz 4.4)
Es sei R ein Ring und I ein zweiseitiges Ideal in R. Dann lässt sich der Bimodul R\/I wie folgt zu einem Ring machen.
Für alle [r_1], [r_2] \in R\/I gelte:
\ll(a)[r_1]+[r_2]:=[r_1+r_2]
\ll(b)[r_1]*[r_2]:=[r_1\.r_2]
\stress\blue\Beweis:\black\normal
Da R\/I ein R\-Modul ist, ist die Addition wohldefiniert.
Es bleibt zu zeigen, dass die Multiplikation ebenfalls wohldefiniert ist:
Es sei also [s_1]=[r_1] und [s_2]=[r_2] in R\/I gegeben, dann ist s_1=r_1+i_1 und s_2=r_2+i_2 für gewisse i_1, i_2\in I.
s_1*s_2=(r_1+i_1)*(r_2+i_2)=r_1*r_2+r_1*i_2+i_1*r_2+i_1*i_2. Da I zweiseitiges Ideal ist, sind aber die Summanden r_1*i_2, i_1*r_2, i_1*i_2 und damit auch deren Summe alle in I enthalten.
Daher gilt [r_1*r_2]=[s_1*s_2].
\checked
\ll(Beispiel 4.5)
Um mit dem Begriff des Ideals vertrauter zu werden, wollen wir die Ideale in \IZ vollständig klassifizieren. In beliebigen Ringen ist dies eine sehr schwere Aufgabe. Die wesentliche Beobachtung für die Klassifikation der Ideale liegt in folgendem Satz:
Es seien n, m\in\IN. Dann existieren a,b\in\IZ, so dass a\.n + b\.m = ggT(n,m)
Ich möchte diesen Satz der Übersicht wegen nicht beweisen, da er zu weit entfernt ist vom eigentlichen Thema des Artikels, sondern nur darauf hinweisen, dass er eine Anwendung des (erweiterten) euklidischen Algorithmus ist.
Es sei nun I ein Ideal in \IZ. Da \IZ ein kommutativer Ring ist, sind alle Ideale zweiseitig. Es ist keine Beschränkung der Allgemeinheit, nur postive Elemente aus I zu betrachten, da mit x\in I auch \-x\in I gilt.
Es seien n, m\in I und n,m>0. Dann existieren nach obigem Satz a, b\in\IZ, so dass a\.n + b\.m = ggT(n,m) und daher ggT(n,m)\in I.
Mit diesen Beobachtungen beweist man, dass es ein n\in\IN gibt, so dass I=n\IZ.
Ist I=0, so ist nichts zu beweisen. Andernfalls existiert ein minimales positives x\in I. Da I ein Ideal ist, gilt sicherlich x*\IZ\subseteq I.
Wäre nun x*\IZ!=I, so gäbe es ein y\in I mit y>0, so dass y\notin x*\IZ. Damit wäre ggT(x,y)\in I. Es ist jedoch ggT(x,y)<=min\(x,y\). Da x minimal ist, gilt ggT(x,y)=x und daher y=m*x für ein m\in\IZ. Dieser Widerspruch liefert x=n und I=n\IZ.
Die Isomorphiesätze beschreiben wichtige Isomorphismen bestimmter Quotienten. Gerade der erste Isomorphiesatz gehört zu den am häufigsten verwendeten Sätzen innerhalb der Ring- und Modultheorie.
Hinter den Isomorphiesätzen steckt die so genannte universelle Eigenschaft der Faktormoduln. Es ist für das Verständnis der Algebra unabdingbar universelle Eigenschaften gut verstanden zu haben, da diese eine sehr effiziente (aber auch abstrakte) Charakterisierung bestimmter Objekte (hier Faktormoduln bzw. Faktorringen) zulassen.
\ll(Satz 5.1: Universelle Eigenschaft der Faktormoduln)
Es sei M ein Modul und N\subseteq M ein Untermodul. Ferner sei ein Modul X und eine R\-lineare Abbildung f:M->X gegeben.
Falls N\subseteq ker(f), dann existiert genau eine R\-lineare Abbildung f_\*: M\/N->X, so dass das folgende Diagramm kommutiert:
\geo
konst(d,0.1)
makro(node,\
konst(%3.x,%1) konst(%3.y,%2) punkt(%3.x,%3.y,%3) \
konst(%3.east.x,%1+d) konst(%3.east.y,%2) punkt(%3.east.x,%3.east.y,%3.east) \
konst(%3.west.x,%1-d) konst(%3.west.y,%2) punkt(%3.west.x,%3.west.y,%3.west) \
konst(%3.north.x,%1) konst(%3.north.y,%2+d) punkt(%3.north.x,%3.north.y,%3.north) \
konst(%3.south.x,%1) konst(%3.south.y,%2-d) punkt(%3.south.x,%3.south.y,%3.south) \
)
x(-0.4,2.2)
y(-0.4,1.8)
ebene(260,220)
noaxis()
nolabel()
punktform(.)
node(0.0,1.5,A) node(1.5,1.5,B)
node(0.0,0.0,U) node(1.5,0.0,V)
print(M, 0 ,1.57)
print(M\/N,1.5,1.57)
print(X, 0,0.07)
print(p,0.7, 1.7)
print(f, -0.2, 0.8)
print(f_\*, .95, 0.8)
punkt(d, d, Z)
punktform(of)
pfeil(A.east,B.west)
pfeil(A.south,U.north)
pfeil(B.south, Z)
\geooff
| |\geoprint()
Hierbei bezeichnet p:M->M\/N, m|->[m] die natürliche Projektion.
Ist sogar N=ker(f), so ist f_\* sogar injektiv.
\stress\blue\Beweis:\black\normal
Es gibt nur eine Art f_\* zu definieren. Es muss f_\*([m])=f(m) gelten, damit das Diagramm kommutiert. Daraus folgt, dass f_\* eindeutig ist.
Natürlich muss man sich davon überzeugen, dass f_\* wohldefiniert ist.
Es seien also m, m'\in M gegeben, so dass [m]=[m']. Dann existiert ein n\in N, so dass m'=m+n. Insbesondere ist nach Voraussetzung N in ker(f) enthalten. Es ist daher f(m')=f(m+n)=f(m)+f(n)=f(m)+0=f(m). Daher ist f_\* wohldefiniert.
Es sei schließlich zusätzlich N=ker(f). Es sei [m]\in M\/N gegeben mit f_\*([m])=0. Es ist dann aber f_\*([m])=f(m)=0
=> m\in\ker(f)=N <=>[m]=0.
Damit ist gezeigt, dass ker(f_\*)=0, womit die Injektivität von f_\* bewiesen ist.
\checked
Die folgenden wichtigen Sätze sind Folgerungen des Satzes.
\ll(Korollar 5.2: Erster Isomorphiesatz)
Es seien M, N R\-Moduln und h:M->M' ein Homomorphismus. Dann gilt
| |\big M\/ker(h)~=im(h)
\blue\stress\Beweis:\black\normal
Mit den Bezeichnungen aus Satz 5.1 ist N=ker(h), X=im(h) und f:M->X ist einfach die Einschränkung f=h\|_X. Es folgt unmittelbar aus dem Satz, dass f_\*: M\/ker(f)->im(f)injektiv ist. Da f surjektiv ist, folgt aus der Kommutativität des Diagramms, dass f_\* ebenfalls surjektiv ist. Das liefert den gewünschten Isomorphismus
\checked
Für den zweiten Isomorphiesatz brauchen wir folgende Definition:
\ll(Definition 5.3)
Es sei M ein R\-Modul und N, K\subset M Untermoduln von M.
Setze N+K:={n+k\|n\in N und k\in K}
Eine einfache Übung zeigt, dass N+K ein Untermodul von M ist mit N\subseteq N+K und K\subseteq N+K.
Man beachte ferner, dass mit den Voraussetzungen der Definition N\cut K ebenfalls ein Teilmodul von M ist, der sowohl in N als auch in K enthalten ist.
Die Beweise zu folgenden Sätzen beruhen darauf geeignete Moduln und Abbildungen zwischen ihnen zu finden und dann Korollar 5.2 anzuwenden.f
\ll(Korrolar 5.4: Zweiter Isomorphiesatz)
Es sei M ein R\-Modul und N, K Teilmoduln von M. Dann gilt
| |\big (N+K)//K~=N//(N\cut K)
\blue\stress\Beweis:\black\normal
Es sei \pi: M->M//K die natürliche Projektion. Es sei f:=\pi\|_N die Einschränkung von von \pi auf N.
Es ist ker(f)=N\cut K und im(f)=(N+K)//K, denn (N+K)//K besteht genau aus den Nebenklassen, die einen Verteter aus N besitzen.
Aus dem ersten Isomorphiesatz folgt: N//ker(f)~=im(f)<=>N//(N\cut K)~=(N+K)//K.
\checked
\ll(Korollar 5.5: Dritter Isomorphiesatz).
Es seien K\subseteq N\subseteq M R\-Moduln. Dann gilt:
| |\big M//K//(N//K)~=M//N
\blue\stress\Beweis:\black\normal
Als erstes definieren wir eine Abbildung f:M//K->M//N via m+K->m+N \(ich verwende hier aus offensichtlichen Gründen die Schreibweise m+K für die Nebenklasse von m in M//K. Analog für M//N\). Dass die Abbildung wohldefiniert ist, sieht man direkt an der Definition der Faktormoduln. Denn für zwei Vertreter m, m' der Nebenklasse m+K gilt m-m'\in K und daher m-m'\in N, da K\subseteq N. Daher ist f wohldefiniert.
Ferner ist klar, dass f surjektiv ist. Daher ist im(f)=M//N.
Wir bestimmen nun den Kern von f. Es sei m+K\in ker(f).
Dann ist 0=f(m+K)=m+N. Daher ist m\in N. Daher ist m+K\in N//K und somit ker(f)\subseteq N//K.
Sei umgekehrt m+K\in N//K. Dann ist m\in N und daher f(m+K)=m+N=0 und daher N//K\subseteq ker(f).
Aus Korollar 5.2 folgt nun (M//K)//ker(f)~=im(f) <=> (M//K)//(N//K)~=M//N.
\checked
\ll(Bemerkung 5.6)
Die Sätze und Beweise lassen sich fast wörtlich auf Ringe und Ideale anwenden. Es ist dem interessierten Leser empfohlen die Details auszuarbeiten.
Ich hoffe der Artikel hat eine gute Einführung in die Theorie der Moduln und Ringe gegeben. Die Länge des Artikels ist schon relativ groß, so dass interessante Anwendungen, die man, nachdem eine gewisse Maschinerie aufgebaut wurde, durchnehmen könnte, leider auf spätere Artikel verschoben werden müssen.
An dieser Stelle möchte ich mich an der Mitarbeit von Gockel, Haselnuss, Kenran, owk und Testa bedanken.
Viele Grüße
Curufin
\(\begingroup\)Hi!
Sehr schön und übersichtlich. Meine Lineare Algebra Vorlesung beschäftigt sich auch gerade mit Ringen und Gruppen, da kommt mir der Artikel gelegen. Hab den Artikel nicht ganz gelesen, aber mir gefällt er bisher sehr gut.
Was hat es eigentlich damit auf sich, dass manchmal für Ringe per Definition schon gefordert wird, dass ein Einselement existiert und manchmal nicht?
Grüße vom Haufen!
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo,
ich habe den Artikel bisher nur überflogen (das Thema gehört ja leider nicht gerade zu meinen Spezialgebieten). Aber ich plädiere eindringlich dafür, dass, sollte es ein weiteres MP-Buch geben, dieser Artikel da hereingehört, schon allein wegen der professionellen Gestaltung und der übersichtlichen Struktur.
Vielen Dank dafür!
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Haufen,
ja, das ist ein sehr leidiges Thema innerhalb der Ringtheorie. Ich möchte erst einmal mit ein paar Zitaten beginnen:
\quoteon(Frank W. Anderson, Kent R. Fuller, Rings and Categories of Modules)
Often in practice, particularly in some areas of analysis, one encounters "rings without identity". Nevertheless the severity of our requirement of an identity is more imaginary than real. Indeed a ring without identity can be embedded naturally in a ring with identity . Thus our requirement involves no substantive restrictions, but it does allow considerable streamlining of the theory.
\quoteoff
Die Aussage ist dabei (vgl. wieder Anderson-Fuller Exercise 1.1):
Es sei R ein Ring (ohne Eins).
Dann kann man R in R^-=R\cross\IZ so einbetten, dass R ein Ideal in R^- ist.
Die Operationen in R^- sind wie folgt gegeben:
(r,n)+(s,m)=(r+s,n+m)
(r,n)*(s,m)=(rs+mr+ns,nm)
Passend dazu ist auch owks Kommentar:
\quoteon(owk)
Ringe mit oder ohne Eins ist immer so ein Thema. [...] Sobald man Moduln ueber einem Ring betrachtet, ist paradoxerweise der Ring mit Eins der allgemeinere Begriff: Ist A Ring ohne Eins, dann kann man auf A+ := Z × A eine funktorielle Ringstruktur definieren, so dass A+ linksadjungiert zum Vergissfunktor mit-Eins -> ohne-Eins ist, insbesondere sind die Kategorien der A-Moduln und A+-Moduln (letztere die Eins respektierend) isomorph, aber nicht jeder Ring mit Eins hat die Form A+. Siehe auch weiter unten bei den Homomorphismen.
\quoteoff
Das belegt erst einmal, dass es keine echte Einschränkung ist, unitäre Ringe zu betrachten.
Konkrete Gründe, wieso man diese dann auch tatsächlich in den Mittelpunkt stellt, sind z.B.:
Das ganze Konzept der Einheiten fällt in Ringen ohne Eins komplett falch.
R lässt sich nicht in so natürlicher Weise in R[T] einbetten. Die Interpretation von Ti ist nicht mehr als Folge (0,...,0,1,0,...) möglich.
In Ringen ohne Eins ist jedes Ideal auch Teilring, was in unitären Ringen (bis auf pathologische Fälle) nie der Fall ist.
Mehr fällt mir spontan nicht ein, aber ich vermute, dass die Liste sehr lang ist und viele Aussagen unnötig kompliziert in ihrer Formulierung oder im Beweis würden, wenn man auf die Eins verzichten würde.
Viele Grüße
Curufin\(\endgroup\)
\(\begingroup\)ein ganz natürliches beispiel eines ringes ohne 1 ist C0(X), wobei X ein lokalkompakter, aber nicht kompakter topologischer raum ist. für X = IN ist das der ring der nullfolgen. anhand der gelfand-dualität und der stone-dualität sieht man, dass die existenz einer 1 auf der topologischen seite der kompaktheit entspricht. die unitalisierung entspricht der alexandrov-kompaktifizierung. das gibt einem schon einmal ein gutes gespür dafür, was der unterschied ist.
ich möchte curufins bemerkungen ein wenig korrigieren. auch für ringe ohne 1 gibt es eine natürliche einbettung von R in R[T]. es ist keineswegs so, dass die theorie der ringe mit 1 sich wenig von der theorie der ringe (nicht notwendig mit 1) unterscheidet, und dass ringe ohne 1 weniger interessant sind. wenn man zum beispiel die ideale in einem ring bestimmen will, kann man das nicht ohne weiteres mit hilfe der ideale in der unitalisierung mache. es ist nur so, dass heutzutage die theorie der ringe mit 1 viel reichhaltiger ist. insbesondere sind in den meisten mathematischen abhandlungen ringe immer als unital vorausgesetzt. siehe auch pseudo-ring.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Die Unitalisierung kommt mit einem Homomorphismus A+ → Z, deren Kern wieder genau A ist. Ideale von A sind genau die in A enthaltenen Ideale von A+. Die Kategorie der Ringe ohne Eins ist aequivalent zur Kategorie der Ring-mit-Eins-Homomorphismen B → Z. In diesem Sinn verliert man nichts, wenn man Ringe mit Eins betrachtet. owk\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo,
ich habe eine Frage zum Beweis von Korollar (2.9).
Müssten die beiden Polynome f und g nicht aus der Einheitengruppe von R[T] gewählt werden und zwar so dass zum Beispil g das inverse von f ist?
Zudem habe ich eine weitere Frage zur Definition von Unterringen.
Wie hier geschrieben steht, hat ein unitärer Unterring A eines unitären Ringes R dasselbe Einselement. Aber so wie die Definition aufgeschrieben ist klingt das so, als ob in jedem unitären Ring, jeder Unterring automatisch auch unitär ist. Ist das denn so?
Ist nicht zum Beispiel 2\IZ \subsetequal\ \IZ ein Beispiel für einen Unterring eines unitären Ringes, der aber selbst als Unterring nicht unitär ist?
Viele Grüße
mohko\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi mohko.
Die Gleichheit deg(fg)=deg(f)+deg(g) gilt für alle Polynome f und g, aber die Schlussfolgerung deg(f)=deg(g)=0 gilt natürlich nur für Einheiten.
Ebenfalls korrekt ist, dass die Gleichheit der Einsen von Oberring und Unterring Teil der Definition zu sein hat und keine Folgerung aus den übrigen Axiomen ist. Dies wird aber explizit gefordert in der Definition. Da steht "Es gelte" (Forderung) und nicht "Es gilt" (Folgerung).
Dein Beispiel stimmt jedoch nicht. Der "Ring" 2Z hat gar keine Eins. Ein Beispiel, das funktioniert wäre 3Z/6Z als Unter"ring" von Z/6Z. Das ist additiv und multiplikativ abgeschlossen und 3 erfüllt die Funktion des Einselements für 3Z/6Z. Wenn man also nicht explizit fordert, dass Unterringe dieselbe Eins haben müssen wie der Oberring, dann ist 3Z/6Z ein Unterring von Z/6Z.
mfg Gockel.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Zu 2.9: Ja so ist es natürlich gemeint. Dort wird ja die Einheitengruppe von R[X] bestimmt. Wenn R ein Integritätsring ist (allgemeiner: reduziert), dann stimmt sie mit der von R überein.
Zu den unitalen ("unitär" ist schlecht) Unterringen: Im Artikel steht "es gelte". Dies bedeutet, dass man das fordern muss. Es ergibt sich nicht automatisch (betrachte Z x 0 in Z x Z). Indessen ist es aber auch in einem gewissen Sinne nicht wohldefiniert, von Unterringen eines unitalen Ringes zu sprechen, ohne damit unitale Unterringe zu meinen. Mehr dazu hier: viewtopic.php?topic=161169
PS: Oh, Gockel war schneller.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Gockel, hallo Martin_Infinite,
vielen Dank für eure Antworten. Das mit dem "gelte" statt "gilt" habe ich in der Tat überlesen. Ich habe mir eure Beispiele und den anderen Beitrag mit deiner ausführlichen Antwort durchgelesen und denke, dass ich verstehe warum man bei unitalen Unterringen per Definition die Gleichheit der Einsen festlegen muss.
@ Gockel, ich meinte mein Beispiel anders, ich wollte 2\IZ als Unterring von \IZ auffassen. Ich wollte es also als Beispiel dafür verwenden, dass ein Unterring eines unitalen Ringes keine Eins haben muss, da ich fälschlicherweise die Unterring Definition in dem Artikel so gelesen hatte, dass jeder Unterring eines unitalen Unterringes auch unital sein muss.
Aber da hat der Beitrag von Martin_Infinite ja einiges dazu gesagt. Wenn ich das richtig verstanden habe, macht es also nur Sinn 2\IZ als Unterring des Ringes \IZ aufzufassen und nicht als Unterring des unitalen Ringes \IZ . Wenn ich also die Menge \IZ mit der algebraischen Struktur eines unitalen Ringes ausstatte ist es folglich nur sinnvoll auch von unitalen Unterrigen zu sprechen, die dann per Definition diesselbe Eins haben.
@Matrin_Infinite
wenn ich dein Beispiel richtig verstehe und man \IZ\cross\ 0 als Unterring des Ringes \IZ\cross\ \IZ auffasst, dann ist zum Beispiel (1,0) ein Element, dass die Rolle der Eins in \IZ\cross\ 0 übernehmen kann und (1,1) ist ein Element das die Rolle der Eins in \IZ\cross\ \IZ übernehmen kann, und sie sind nicht gleich. Dies funktioniert hier, da ich nur von Ringen und nicht von unitalen Ringen spreche. Würde man beide Mengen mit der algebarischen Struktur eines unitalen Ringes versehen, so wäre per Definition das Element (1,1) die Eins, bzw. hier wäre \IZ\cross\ 0
dann gar kein unitaler Unterring, da er die Eins nicht enthielte.
Vielen Dank nochmal und auch nochmal Danke für den gesamten Artikel überhaupt, ich lese gerade noch den Teil zu Moduln.
viele Grüße
mohko\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@mohko: Du hast das alles sehr genau und richtig verstanden.
Wenn Leute sagen, dass ein Unterring eines unitalen Ringes keine Eins haben muss, dann ergibt das erst einmal keinen Sinn, weil sie vergessen haben, dass sie einen Vergissfunktor auf den unitalen Ring draufgeschmissen haben ;-). Also konkret darf man nicht einfach zwischen $(R,+,*,0,1)$ und $(R,+,*,0)$ hin- und herspringen, ohne zu sagen, was nun gemeint ist.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Zu Definiton (1.1), Folgerung 5 (additive Gruppe kann nur abelsch sein):
Hier wird die Existenz eines 1-Elementes in der Herleitung verwendet. Allgemeiner kann man schreiben:
(c + c)(a + b) = c(a + b) + c(a + b) = ca + cb + ca + cb
(c + c)(a + b) = (c + c)a + (c + c)b = ca + ca + cb + cb
also: c(b + a) = c(a + b)
so dass die Existenz eines links-, genauso gut rechts-kürzbaren c genügt.
Die spannende Frage ist: Gibt es einen "pathologischen" Ring mit nicht-abelscher additiver Gruppe, vom Fall ab = 0 mal abgesehen?
Zu Beispiel 1.2.8: Hier kann man den folgenden, nicht sehr tiefschürfenden Satz formulieren:
Sei G eine Gruppe. Dann sind äquivalent:
(i) G ist kommutativ.
(ii) Sind f,g Gruppen-Endomorphismen von G, so auch
fg : x |-> f(x)g(x)
(iii)
x |-> x^2
definiert einen Gruppen-Endomorphismus von G.
\(\endgroup\)
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
Printer-friendly version
Get link to this article
Comments
Für diesen Artikel gibt es keine pdf-Datei
Dieser Artikel ist im Verzeichnis der 
