\(\begingroup\)\(\newcommand{\IX}{\mathbb{X}}
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\newcommand{\politician}[1]{\text{Ich habe die Frage nicht verstanden. #1}}
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\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Die mathematische Sprache bedient sich deutscher Wörter und Grammatik (wenigstens in Deutschland und einigen Nachbarländern, zumindest teilweise). Dieser Umstand führt dazu, daß vielfach Mathematisch mit Deutsch verwechselt wird, was zu immensen Mißverständnissen führen kann.
Allenthalben wird von Mathematikern eingeräumt, daß die Erlernung der mathematischen Sprache eine bedeutende Schwierigkeit für den Anfänger darstellt.
Es wird Zeit für einen Sprachkurs. Zielgruppe sind erstens, die Laien, die einen kleinen Eindruck von der Andersartigkeit der mathematischen Sprache haben möchten, und zweitens, die Schüler und Studenten, die diese Sprache bisher wie Kleinkinder durch jahrelanges Vorsprechen, Nachlallen und die stetige Verbesserung durch Ältere nur haben lernen können und endlich Anspruch auf eine systematische Heranführung haben, auf daß sie nicht dauernd des Novizentums überführt und damit der Glaubwürdigkeit beraubt werden.
Vorausschicken möchten wir folgendes als Motto:
Der Wissenschaftler ist bestrebt, jeweils nur eins zu sagen und es unzweideutig und mit der größtmöglichen Klarheit zu sagen. Um das zu erreichen, vereinfacht und jargonisiert er. Mit anderen Worten, er gebraucht den Wortschatz und die Grammatik gemeinsamer Sprache auf eine solche Weise, daß jeder Ausdruck und jeder Satz nur auf eine einzige Weise auslegbar ist und wenn der Wortschatz und die Grammatik gemeinsamer Sprache zu ungenau für seine Zwecke sind, erfindet er eine neue, eine Fachsprache oder einen solchen Jargon eigens dazu, um die eingeschränkten Bedeutungen auszudrücken, mit welchen er berufsmäßig befaßt ist. In vollkommener Reinheit hört die wissenschaftliche Sprache auf, eine Sache der Wörter zu sein, und verwandelt sich in Mathematik. Aldous Huxley (1894-1963) zitiert aus "Rose und Nachtigall" bei Mauthner Gesellschaft.
Es folgt nun der Versuch einer Anleitung zum Sprechen und Schreiben auf Mathematisch. Um jede Verbesserung oder zusätzliche Anregung wird in Form eines Kommentars zu diesem Versuch gebeten.
Ein Wort hat auf Mathematisch keine Bedeutung per se. Es erhält eine Bedeutung durch eine Definition. Mittels einer Definition ordnet ein Autor einem neuen Begriff eine gewünschte, konkrete Bedeutung zu. Diese Bedeutung ist zunächst nur für diesen Autor verbindlich. Eine Definition kann von anderen Autoren und mit gleicher Bedeutung in Werken eigener Autorenschaft übernommen werden.
Beispiele für Definitionen:
Eine Pfmmh ist eine ganze Zahl, die beim Teilen durch 3 den Rest 1 läßt.
Die Zahlen, die keine Pfmmh sind, bezeichnet man aus Gründen der Zweckmäßigkeit als Antipfmmh.
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer 1, die nur durch sich selbst und 1 teilbar ist.
Eine Zahl heißt nichtnegativ, wenn sie nicht kleiner 0 ist. [Man beachte die Zusammenschreibung bei 'nichtnegativ'! Das ist besonders subtil und geht nicht gegen die Rechtschreibreform, sondern hier ist ein neuer Terminus eingeführt worden. Der Terminus lautet 'nichtnegativ' und bedeutet "nicht negativ". Man muß das zusammenschreiben (oder etwa 'zusammen schreiben'?).]
Die Begriffe in einer Definition, die zur Festlegung der Bedeutung benutzt werden, müssen zuvor ebenfalls definiert worden sein.
Irgendwo landet man aber im Nichts. Was ist eine Zahl? Die Frage ist ebenso schwer zu beantworten wie: "Was ist ein Tisch?". Ein Tisch ist ein Tisch. Man kann daran sitzen, Dinge darauflegen. Man erkennt einen Tisch an seiner Funktion, nicht an seinen Eigenschaften. Unter den Tischen gibt es solche aus Holz oder Metall oder Stein oder noch anderen Materialien. Man kann Tische unterscheiden nach der Anzahl der Beine und auch nach der Größe. So verhält es sich auch mit einer Zahl. Eine Zahl ist, womit man Rechnen, Zählen oder Messen kann. Zahlen haben Eigenschaften, sie können ganz sein oder rational oder positiv oder infinitesimal klein.
Eine vernünftige Definition gründet in der Anschauung oder Erfahrung - man kann sagen im mathematischen Nichts. Damit hat sich schon Euklid abgemüht, als er postulierte: "Ein Punkt ist, was kein Teil hat".
Darauf aufbauend werden Gedanken in mathematischer Sprache formalisiert.
Für die Grundsteinlegung mathematischer Theorien kommen neben Definitionen auch die sogenannten Axiome in Betracht.
Das Axiom
Was ist der Unterschied zwischen einem Axiom und einer Definition?
Ein Axiom beschreibt eine Funktionalität ("man kann daran sitzen"). Dagegen vergibt eine Definition einen Namen für eine Eigenschaft ("Ein Tisch aus Holz ist ein Holztisch").
Beispiele für Axiome:
Eine Zahl ist, womit man Rechnen, Zählen oder Messen kann.
Zu jeder Zahl kann man eine andere Zahl finden, die größer ist.
Aus a<b und b<c folgt a<c.
Im Unterschied zu einer Definition wird in einem Axiom keine Bedeutung festgelegt. Es entsteht kein neuer Begriff, sondern es wird eine beobachtbare Eigenschaft irgendwelcher Betrachtungsgegenstände beschrieben. Dieser Sachverhalt wird i.d.R. noch mit einen Namen versehen. Das zuletzt als Beispiel gegebene Axiom heißt "Transitivgesetz". Einige andere Beispiele sind nur für diesen Artikel ausgedacht.
Der Betrachtungsgegenstand eines Axioms liegt in keiner Weise fest. Es ist vielmehr so, daß in der Mathematik nach Betrachtungsgegenständen gesucht wird, die bestimmte Axiome erfüllen.
Durch die Unterscheidung von Funktionalität und Eigenschaft (Daten) ist die Mathematik die erste objektorientierte Wissenschaft.
Den Betrachtungsgegenständen, die bestimmte Axiome erfüllen, oder die eigenen oder üblichen Definitionen entsprechen, gewinnt der Mathematiker durch tiefsinniges Denken dann neue Erkenntnisse ab. Er formuliert diese Erkenntnisse als sog. 'Sätze'. Ein Satz in der Mathematik ist darum etwas völlig anderes, als ein Satz in einer anderen Sprache. Ein Satz beinhaltet eine Voraussetzung und eine Folgerung. Ein Satz erhält häufig einen Namen. Belanglose Sätze werden schlicht numeriert, etwa 'Satz 3', eine solche Bezeichnung ist kein Name und gar nicht verbindlich. Andere Sätze heißen z.B. "Vier-Farben-Satz" oder "Cauchy-Bernstein-Lemma". Der Name nennt z.B. den oder die Entdecker des Satzes oder weist auf die hauptsächliche Aussage des Satzes an. So heißt der Vier-Farben-Satz möglicherweise so, weil er von den Schweizer Mathematikern Johann Vier und Urs Farben bewiesen wurde. Dagegen könnte das Cauchy-Bernstein-Lemma etwas über die Verteilung von Bernstein in Cauchy-Räumen aussagen. [Die Geschichte eines Satzes kann lang sein und möglicherweise gibt es noch andere Deutungen für die Namen.] Unter den Sätzen gibt es eine Hierarchie nach Nützlichkeit und Komplexität des Beweises.
Diese aufsteigende Hierarchie wird durch die Bezeichnungen wie
Das Produkt zweier nichtnegativer Zahlen ist nichtnegativ.
Die Seitenmitten eines Vierecks bilden ein Parallelogramm.
Nicht als Sätze, sondern als Beispiele zur Verdeutlichung muß man folgende Aussagen ansehen:
Die Summe zweier Antipfmmh ist im allgemeinen kein Antipfmmh.
Insbesondere ist 0 nichtnegativ.
Der Satz über die Seitenmitten bei Vierecken gilt auch für räumliche Vierecke.
Wir möchten - weil wir wissen, daß es notwendig ist - den Anfänger darauf hinweisen, daß ein Mathematiker erst glaubt in den Himmel kommen zu können, wenn ein Lemma nach ihm benannt ist. [In den Himmel der Mathematiker!] Darum sind die Lemmata auch häufig Streitpunkte unter Mathematikern. Sie werden geraubt oder falsch zugeordnet, und es entbrennt teilweise jahrelanger Streit in der Fachwelt über die korrekte Benennung (auch und gerade nach dem Ableben der direkt Beteiligten).
Konventionen
Nicht zu verwechseln mit Definitionen und Axiomen sind Konventionen.
Dazu ein wirklich gelungenes Beispiel
Nach einer üblichen Konvention soll die Multiplikation stärker als die Addition binden.
Da hätte der Laie einfach gesagt: "Punktrechnung geht vor Strichrechnung", aber was ist denn bitteschön "Punktrechnung"?
Ein weiteres Beispiel:
So nennt man eine kreisförmige Bewegung "positiv orientiert", wenn sie gegen den Uhrzeigersinn erfolgt.
Und der Laie dachte, das bedeute 'dem Leben freundlich zugewandt'. Nun ja, der Laie ...
Nun hängen an Axiomen ganze mathematische Theorien. Und auf sinnvollen Definitionen erheben sich bedeutende Wissenschaftszweige. Aber an einer Konvention hängt nichts. Die Welt der Mathematiker sähe nicht anders aus, wenn man eine Bewegung im Uhrzeigersinn als "positiv orientiert" bezeichnete.
So, das war Lektion 1. Bevor wir mit Lektion 2 fortfahren, möchten wir einen kleinen Ausflug machen. Er betrifft
Das Bild des Mathematiker in der Öffentlichkeit
Man erkennt ihn zweifelsohne. Auf die Frage "Hast Du Deine Hausaufgaben noch nicht gemacht?", antwortet er "Ja!". Auf die Frage: "Können Vögel fliegen?" antwortet er: "Im allgemeinen nicht." und auf die Frage "Was ist das Gegenteil von 'reich'?" sagt er: "Nicht reich". Schlimmer noch, wenn ihm jemand erzählt: "Steffi Graf heiratet", dann stellt er eine Gegenfrage: "Wer ist Steffi Graf?".
Richtiges Formulieren und richtiges Denken gehören für den Mathematiker zueinander. Die mittelalterliche Kirchenlogik geht so: "Wenn Gott den Geringsten unter euch liebt, um wieviel mehr muß er dann den König lieben!" Doch die mathematische Logik sagt: "Wenn Gott den Geringsten unter euch liebt, dann sagt das nicht, daß er den König liebt, denn der König ist ja nicht der Geringste". Außerdem, da wird gesagt: "Wenn Gott den Geringsten liebt", was vom mathematischen Standpunkt schon die Frage, OB Gott den Geringsten liebt, völlig unbeantwortet läßt.
Mathematiker erkennt man m.E. auch daran, daß sie auf Fragestellungen des realen Lebens stets nur unsichere (um nicht zu sagen: ausweichende) Antworten geben - oder sie stellen Gegenfragen (Steffi Graf?). Ist das ein Axiom?
Das hört sich aus dem Munde eines Mathematikers dann so an:
"In der wirklichen Praxis sind die Probleme natürlich nicht ganz so einfach."
Die Mathematiker sind eine Art Franzosen; redet man zu ihnen, so übersetzen sie es in ihre Sprache, und dann ist es alsbald etwas ganz anderes. Goethe
Wir setzen nun den Sprachkurs fort und werden praktisch.
Lektion 2. Universelles Vokabular
Bitte sprechen Sie nach, und prägen Sie sich die Formulierungen gut ein.
Mathematisch
Deutsch
nicht schwarz
rot oder blau oder irgendetwas, nur nicht schwarz
nichtleer
mit Inhalt
nichtnegativ
positiv oder null
notwendig
unverzichtbar, aber nicht immer ausreichend
hinreichend
ausreichend, aber meist mehr als nötig
und
beides (sowohl ... als auch ...)
oder
eines oder beides
entweder ... oder ...
eines aber nicht beides
... bezeichnet man ...
nennt man
Nach Axiom (3) folgt ...
Durch Verwendung von Axiom (3) ergibt sich [nicht etwa: Hinter Axiom (3) steht!]
Die Darstellung ist eindeutig.
Es gibt nicht 2 (oder mehr) Darstellungen [nicht etwa: Es gibt eine Darstellung]
im allgemeinen
immer [nicht etwa: meistens] abgekürzt: i.a. Beispiel: Im rechtwinkligen Dreieck ist die Hypothenuse i.a. die längste Seite.
im allgemeinen nicht
nicht immer [nicht etwa: selten] Beispiel: Ein Viereck ist im allgemeinen nicht quadratisch.
o.B.d.A.
"ohne Beschränkung der Allgemeinheit". Verwendung immer dann wenn Mathematiker irgendwelche Symmetrieeigenschaften ausnutzen, um die Anzahl der zu betrachtenden Fälle auf die Hälfte zu reduzieren. Beispiel: Seien a und b reelle Zahlen. Sei o.B.d.A. a<b. Ansonstens wird der erprobte Mathematiker eben alle a's in b's und alle b's in a's umbenennen. Dann stimmt es wieder.
trivial
ein sehr einfacher Sachverhalt oder Beispiel, eigentlich nicht der Betrachtung wert, unter Niveau Beispiel: Die Gleichung x3 + y3 = z3 hat die triviale Lösung x = y = z = 0
nicht trivial
Unter Ausschluß von trivialen Beispielen. Beispiel: Gesucht sind nicht triviale Lösungen der Gleichung x3 + y3 = z3.
in kanonischer Weise ...
auf eine dem Autor selbstverständlich erscheinende Art und Weise. [Wann diese Sprechweise benutzt werden darf, kann dieser einfache Sprachkurs noch nicht erklären.]
Vermöge ...
Hmm, tja, ... dito Beispiel: Vermöge der natürlichen Inklusionsabbildung wird das Diagramm kommutativ.
Lektionen zur Sprache der Mathematik in Teilen I-III
"Die mathematische Sprache bedient sich deutscher Wörter und Grammatik (wenigstens in Deutschland und einigen Nachbarländern, zumindest teilweise). Dieser Umstand führt dazu, daß vielfach Mathematisch mit Deutsch verwechselt wird, was zu immensen Mißverständnissen führen kann. "
\(\begingroup\)Spitzenidee, der Beitrag!!!!
(Ich hätte natürlich wieder alle unpassenden Sachen reingeschrieben,wie o.B.d.A.: ohne Bedenken des Autors)
Wenn das noch (mehr oder weniger) weitergeht, muss ich den Artikel zur Pflichtlektüre im Unterricht machen.
Mindestens ein Hinweis sie aber gestattet: Vermöge meiner fast nur trivialen Kenntnise muss ich feststellen, dass ich jetz nicht weiter weiß:
notwendig: muß sein, reicht aber nicht
hinreichend: reicht, aber muß nicht sein
Wenn nun aber der Vorzeichenwechselsatz (Dieter Vorzei und Li Huang Chen oder umgekehrt)für lokale Extrema an diffbaren Funktionen notwendig und hinreichend ist, wie dieses??
Muss sein, muss aber nicht sein? Oder reicht und reicht doch nicht?
Wenn man notwendig als:unverzichtbar, aber nicht immer ausreichend
und hinreichend als: ausreichend, aber meist mehr als nötig
definiert, kämen wir vielleicht besser hin.
Symbole, Abstraktionen ... , sind nützlich, machen Texte prägnanter, übersichtlicher, schneller lesbar -
NUR wenn man sie dann sprechen wollte müste man oft ersteinmal die Reihenfolge ändern und kommt ins Stottern - nun ja, sollte der Mensch ja gewohnt sein, schließlich wird ja 1 234 567 auch kaum so gesprochen wie geschrieben .
Aber wenn z.B. gesagt werden soll, daß ein Satz für/nur für Natürliche Zahlen gelten soll dann dann wirkt die Aussprache der mathematischen Notation holprig.
Vorschlag: z.B. man verwende, in Fließtext, doch die Mengensymbole, also Buchstaben mit Schatten- und Haarstrichen, auch als Adjektive ( die richtige flexion findet der Sprecher schon, und zur Unterscheidung von Mengen selbst könnten es ja Kleibuchstaben sein, auch wenn so ein Zeichensatz noch nicht zur Verfügung steht) \(\endgroup\)
\(\begingroup\)Ich habe diesen hervorragenden Artikel
erst jetzt gefunden - Er ist einfach Spitze!
Das müsste, wenn es auch unter Umständen hart
werden wird, jeder Schüler, bevor er 1+1
berechnet durchlesen, naja sagen wir mal 12*36.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Ich finde die Einführung in das Jargon des Mathematikers gut gelungen, nur ist eine Kleinigkeit zu bemängeln, die mir womöglich gar nicht so aufgefallen wäre, hätte ich nicht eben gelesesn, das Mathematiker alles so richtig und präzise wie möglich machen wollen.
Also: In 2 Fällen, kommt in der Erklärung, das zu erklärende Wort vor.
Dies dürfte genaugenommen nicht sein, da es sonst zu folgendem kommt:
Man liest die Erklärung, fragt sich nur was "oder" heißt, guckt nach und findet "eines oder beides". Dann fragt man sich was "oder" heißt......
Wahrschinlich war diese kleine Beispiel zum Verständnis nicht nötig.
Aber wie gesagt, sonst klasse. Gibt es schon einen 2. Teil...?\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Ich habe über den Einwand zur Erklärung des 'oder' nachgedacht.
Nun glaube ich, daß die Definition korrekt ist. Es wird das mathematische Oder erklärt mit Hilfe des umgangssprachlichen Oders.
\(\begingroup\)Der Ausdruck "kanonisch" wird in grundlagennahen Bereichen zum Teil auch für "ohne Verwendung des Auswahlaxioms" verwendet: "Sei M eine Menge von nichtleeren, kompakten Mengen von reellen Zahlen und f eine Auswahlfunktion für M. Es ist möglich f kanonisch zu wählen."
lg. Michael\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hier ein Fehlerchen:
"Eine Pfmmh ist eine ganze Zahl, die beim Teilen durch 3 den Rest 1 läßt."
Bsp: 4; 7 sind Pfmmh.
"Die Summe von zwei Pfmmh ist ein Pfmmh."
Bsp: 4+7=11
11/3 ist aber 3 mit Rest 2, was kein Pfmmh ist => Der Satz "Die Summe von zwei Pfmmh ist ein Pfmmh." ist falsch.
i.a. wäre richtig, wenn vor das Wort "ein" ein k gestellt würde... 😉
Ansonsten: Ich finde diesen Teil des Matheplaneten einfach sehr gelungen, ganz u. gar nicht trivial, total reizend und sehr zutreffend geschrieben. Großes Lob!!!
MfG, Anne-So\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo, Anne-So !
Statt vor das Wort "ein" ein k zu stellen,
könnte man auch "Summe" durch "Produkt" ersetzen.
Ich würde wetten, daß das gemeint war.
Liebe Grüße, Franz\(\endgroup\)
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