Mathematik: Endliche Körper
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Mathematik

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Endliche Körper

Hallo Algebra-Freunde, schon im ersten Semester begegnet dem Studenten der Begriff des Körpers. Eventuell kommt man auch schon in den Genuss von so genannten \big\ endlichen Körpern. Wir werden in diesem Artikel alle Körper mit endlich vielen Elementen klassifizieren. Wir werden z.B. sehen, dass ein endlicher Körper L einen Körper \IF_p mit p Elementen enthält, den sogenannten Primkörper von L, und dass L als Vektorraum über \IF_p endlichdimensional ist. Bemerkenswert sind die folgenden beiden Tatsachen: 1. Die Anzahl der Elemente von endlichen Körpern ist eine Primzahlpotenz. 2. Für jede Primzahl p und jede natürliche Zahl n, gibt es bis auf Isomorphie genau einen Körper mit p^n Elementen. Ziel dieses Artikels wird es sein, diese beiden Eigenschaften zu zeigen, was uns erlaubt, endliche Körper komplett zu klassifizieren. An Voraussetzung sollte der Leser ein wenig Algebra-Wissen mit bringen, d.h. man sollte wissen, was eine Körpererweiterung oder der Grad einer Körpererweiterung ist. Viel Spaß beim Lesen! :-)

Inhalt

1. Wiederholung muss sein 2. Körper haben Charakter 3. Frobenius mischt sich ein 4. Symbolische Adjunktion von Nullstellen 5. Existenz und Eindeutigkeit endlicher Körper 6. Irreduzibilität in endlichen Körpern 7. Zusammenfassung, Literatur und Tschüss...

1. Wiederholung muss sein

Der kleinste endliche Körper ist \IF_2. Dieser Körper besteht nur aus den Elementen 0 und 1, wobei 1!=0. 1 ist das Einslement und 0 das Nullelement des Körpers, daher gelten die folgenden Aussagen: (Additionstabelle:)__ \squaredot 0+0=0 \squaredot 0+1=1+0=1 \squaredot 1+1=2=0 (denn im Körper \IF_2 ist 2=0) Wir reduzieren also modulo 2. (Multiplikationstabelle:)__ \squaredot 1*1=1 \squaredot 0*1=1*0=0 \squaredot 0*0=0 Fertig. Körper "dieser Art" werden noch große Bedeutung für uns haben. Allgemein bezeichnet man solche Körper mit \IF_p, wobei p die Reduktion modulo p angibt. Die nächsten einfachen Körper sollte man auch kennen: Restklassenringe können durchaus Körper sein. Schauen wir uns dies nochmal an: Sei p\el\ \IN. Dann definiert a == b mod p:<=> p \|a-b eine Äquivalenzrelation auf \IZ. Die Äquivalenzklassen sind die Restklassen a^- der Form a^-=a+p\IZ. Die Menge aller Äquivalenzklassen, also den Quotientenraum, bezeichnen wir mit \IZ\/p\IZ. Er besteht gerade aus allen Restklassen, d.h. \IZ\/p\IZ={0^-, 1^-, ..., (p-1)^-}. Mit der Addition (a+b)^-:=a^-+b^- und der Multiplikation (ab)^-:=a^-*b^- wird (\IZ\/p\IZ, +, *) zu einem kommutativen Ring mit Einselement 1^- und Nullelement 0^-. Ist p eine Primzahl, so ist (\IZ\/p\IZ, +, *) sogar ein Körper. In der Literatur wird er auch meistens mit \IZ_p abgekürzt. Wir fassen dies in dem folgenden Satz zusammen: \big\ Satz 1.1: Für p\el\ \IN sind die folgenden drei Aussagen äquivalent: a) (\IZ\/p\IZ, +, *) ist ein Körper. b) (\IZ\/p\IZ, +, *) ist nullteilerfrei. c) p ist eine Primzahl. \stress\ Beweis: Zunächst zu a)=>b): Sei (\IZ\/p\IZ, +, *) ein Körper. Dann folgt sofort b), denn jeder Körper ist nullteilerfrei. Den Beweis der Richtung b)=>c) führen wir durch Widerspruch. Angenommen, p ist keine Primzahl. Dann besitzt p nichttriviale Teiler a und b, also p=a*b. Es ist nun 0^-=p^-=(ab)^-=a^-*b^-. Da aber 0a): Sei p eine Primzahl und a^-!=0^-. Da p nicht a teilt und p eine Primzahl ist, erhalten wir ggT(a, p)=1 und dann mit Division mit Rest 1=ba+kp und die Reduktion modulo p liefert 1^-=b^-*a^-+p^-*0^-. Also ist b^-=(a^-)^(-1), d.h. (\IZ\/p\IZ, +, *) ist ein Körper, da zu jedem Element ein Inverses existiert. \bigbox Noch etwas zu Körpererweiterungen__ und zur Notation__, die wir verwenden werden. \squaredot \big\ Definition einer Körpererweiterung: Sei K ein Körper. Eine Körpererweiterung__ von K ist ein Körper L, in welchem K enthalten ist. \stress\ Wir schreiben L\/K. In der Literatur ist auch L:K in Gebrauch. Das Beispiel, mit dem man sich solch eine Körpererweiterung am Anfang vorstellen kann, ist \IC\/\IR. Es ist \IR\subset\ \IC und durch "Hinzufügen" der imaginären Einheit i erhält man aus \IR gerade \IC. Am Anfang verwendet noch dieses Beispiel, um ein wenig Vorstellung zu haben. Man sollte aber möglichst bald Abstand von den Körpern \IR und \IC nehmen, denn Körperweiterungen und Adjunktion (so werden wir dieses "Hinzufügen" später nennen) sind ganz allgemein für beliebige Körper definiert. Es ist dann eher hinderlich, wenn man sturr nur dieses Beispiel im Kopf hat. \squaredot Ist L\/K eine beliebige Körpererweiterung, so besitzt L in natürlicherweise die Struktur eines K-Vektorraums. Die Vektoraddition ist hierbei die "normale" Körperaddition in L. Die skalare Multiplikation ist die Einschränkung der Multiplikation in L auf Elemente aus K. Die Vektorraumaxiome prüft man leicht nach und folgen sofort aus den Körpereigenschaften. Der Leser möge sich diese elementaren Eigenschaften klar machen. Wir wissen aus der Linearen Algebra, dass jeder Vektorraum eine Basis besitzt. Zwei Basen eines Vektorraums haben dieselbe Kardinalität. Damit kann jedem Vektorraum eindeutig eine Dimension zugeordnet werden, nämlich die Kardinalität einer Basis. Diesen Begriff können wir nun auf Körpererweiterungen übertragen. \big\ Definition des Grades einer Körpererweiterung: Der Grad__ einer Körpererweiterung L\/K, geschrieben [L:K], ist definiert als Dimension dim_K(L) von L als K-Vektorraum. Im Fall von [L:K]<\inf heißt die Körpererweiterung endlich__.

2. Körper haben Charakter

Um die folgenden Ausführungen verstehen zu können, müssen wir ein wenig definieren. \big\ Definition eines Primkörpers: Sei K ein Körper. Es sei F_0 der kleinste Teilkörper von K, dann heißt F_0 Primkörper__ von K. Dieser existiert, weil F_0=cut(K^\*, K^\*\subseteq\K), wobei K^\* die Teilkörper von K sind. Wie man sich leicht überzeugt, ist der Schnitt von zwei Körpern wieder ein Körper. Es ist F_0 \neq \0, denn der Schnitt ist deswegen nicht leer, weil z.B. 0 und 1 in jedem Teilkörper enthalten sind. \big\ Definition der Charakteristik: Die Charakteristik eines Körpers K, geschrieben char(K), ist die kleinste natürliche Zahl n, sodass n*1=0 ist, wobei 1 ein Element aus dem Körper ist. Falls es kein solches n gibt, so ist char(K)=0. \big\ Satz 2.1: Die Charakteristik eines Körpers ist entweder Null oder eine Primzahl p. \stress\ Beweis: Sei char(K)=p!=0 und angenommen p sei keine Primzahl, d.h. p hat die Darstellung p=t*s mit 0K injektiv. Da es (für jeden Ring) nur einen Ringhomomorphismus dieser Art gibt, können wir in diesem Fall das Bild von \IZ ganz natürlich wieder mit \IZ identifizieren. \big\ Satz 2.2 (Satz über Primkörper): Sei K ein beliebiger Körper. Dann treten zwei Fälle auf: a) char(K)=0<=>F_0 ~= \IQ und b) char(K)=p!=0 <=> F_0 ~= \IF_p. \stress\ Beweis: a) "=>": Da für n!=0 auch n*1 ein von Null verschiedenes Element von F_0 ist, liegt auch (n*1)^(-1) in F_0, somit ist P':={(m*1)(n*1)^(-1): m, n\el\ \IZ, n!=0}\subset\ F_0. Da aber P' bereits Körper ist, offensichtlich isomorph zu \IQ, folgt F_0=P'~=\IQ. b) "=>": Sei \phi: \IZ->K mit \phi(n):=n*1. Es ist Kern(\phi)=p\IZ mit p=char(K) eine Primzahl. Der Homomorphiesatz zeigt Bild(\phi)=\IZ\/Kern(\phi) ~=\phi(\IZ)={0, 1, 2, ..., (p-1)*1}. Also ist \phi(\IZ), da ja in jedem Unterkörper liegt, bereits selbst ein Körper und somit ist F_0=\phi(\IZ)~=\IF_p. Dass es keinen kleineren Unterkörper geben kann, sieht man nicht zuletzt daran, dass schon die abelsche Gruppe mit p Elemente nur die trivialen Untergruppen kennt. Die Umkehrungen sind als Übungsaufgaben gedacht. \bigbox Dieser Satz ist, wie gesagt, sehr essentiell, denn daraus folgt sofort, dass jeder Körper mit Charakteristik Null einen zu \IQ isomorphen Unterkörper besitzt und insbesondere unendlich viele Elemente besitzen muss. Wenn ein Körper also nur endlich viele Elemente besitzt, kann er unmöglich Charakteristik Null haben. Es ist allerdings wichtig an dieser Stelle anzumerken dass es auch unendliche Körper mit von Null verschiedener Charakteristik gibt. Z.B. hat \IF_p(\tau) unendlich viele Elemente, aber Charakteristik char(\IF_p(\tau))=p. \IF_p(\tau) ist an dieser Stelle wie folgt zu verstehen: Zu jedem Integritätsring (nullteilerfreier kommutativer Ring mit Eins) kann ein Quotientenkörper Q(R) konstruiert werden. Die allgemeine Konstruktion orientiert sich an der Konstruktion von \IQ aus \IZ. So ergeben sich weitere Körper, z.B. K(\tau):=Q(K[\tau]), den Quotientenkörper des Polynomrings K[\tau] über dem Körper K. Aus Satz 2.2 folgt nun leicht ein Korollar, das natürlich schon in Satz 2.2 steht, wir es aber dennoch nochmal festhalten wollen. Danach schauen wir uns ein Lemma an, das für die Klassifikation von endlichen Körpern nicht gerade unwichtig ist. \big\ Korollar 2.3: Sei K ein beliebiger Körper. Dann treten zwei Fälle auf: i) F_0 ~= \IQ ii) F_0 ~= \IF_p \big\ Lemma 2.4: Ist K ein endlicher Körper, so ist abs(K)=p^n mit p=char(K)>0 und n>=1. \stress\ Beweis: Sei F_0\subset\ K eine endliche Menge. Nach dem obigen Satz 2.2 gilt F_0~=\IF_p mit p=char(K)>0 prim. Ein Vektorraum der Dimension n über einem Grundkörper mit p Elementen besitzt genau p^n Elemente. Dies folgt aus der Linearen Algebra. \bigbox \big\ Wir kennen also die Anzahl der Elemente von endlichen Körpern. Sie ist immer eine Primzahlpotenz! (Beispiele:)__ \squaredot Man kann auf einer 6-Elementigen Menge keine Addition und Multiplikation definieren, so dass die Menge mit den Verknüpfungen einen Körper bilden. Wir haben ja gerade gezeigt, dass ein endlicher Körper Primzahlpotenzordnung hat. Wir wissen aber noch nicht, ob es zu jeder natürlichen Zahl und jeder Primzahl einen Körper mit p^n Elementen gibt. \squaredot Wir möchten den Körper \IF_3 konstruieren. Die Verknüpfungstabellen sehen wie folgt aus. Überlegt euch bitte in jedem Schritt, wieso nur diese Möglichkeit für gewisse Additionen bzw. Multiplikationen möglich ist. Der Körper F3

3. Frobenius mischt sich ein

Viele Besonderheiten von Körpern der Charakteristik p!=0 lassen sich durch das Verhalten der so genannten (Frobenius-Abbildung)__ beschreiben. Aber was ist das eigentlich? Definieren wir diese Abbildung nochmal: \big\ Definition der Frobenius-Abbildung: Die Abbildung x |-> x^p wird als (Frobenius-Abbildung)__ bezeichnet. Der folgende Satz zeigt, dass die Frobeniusabbildung ein Körperhomomorphismus ist. \big\ Satz 3.1: Sei K ein Körper der Charakteristik p!=0. Dann gilt für alle x, y\el\ K und n\el\ \IN a) (xy)^p^n=x^p^n*y^p^n und b) (x+y)^p^n=x^p^n+y^p^n. Im Englischen heißt dieser Satz "Freshman's dream", da einige Leute so rechnen, als ob das in jedem Körper gilt (sprich die binomischen Formeln nicht können). \stress\ Beweis: a) Ist klar, da Körper kommutative Ringe sind. b) Wir führen den Beweis mit Induktion nach n oder wir wenden den binomischen Lehrsatz an, indirekt steht dort natürlich auch eine Induktion: Wie in jedem Körper so gilt auch in K, dass (x+y)^p=x^p+sum(p!/((p-k)!*k!) *x^k*y^(p-k)+y^p,k=1,p-1). Für die Binomialkoeffizienten, welche ganze Zahlen sind, gilt definitionsgemäß, dass p! =(p;k)*k!*(p-k)!. Da aber für 1<=k<=p-1 weder k! noch (p-k)! den Faktor p enthält, dieser aber auf der linken Seite vorkommt, muss (p;k) durch p teilbar sein. Wegen char(K)=p sind all diese Terme identisch 0. Es bleibt daher (x+y)^p=x^p+y^p übrig. \bigbox \red Entweder binomischer Lehrsatz oder Induktion :) Beide gleichzeitig ist zu viel. (Ein paar Beispiele:)__ \squaredot Im Körper der Charakteristik 2 läßt sich die binomische Formel vereinfachen. Es ist nämlich (a+b)^2=a^2+2*a*b+b^2=a^2+b^2. \squaredot Für ein Polynom sum(a_i \tau^i,,) aus dem Funktionenkörper \IZ_p (\tau) haben wir wegen a_i^p=a_i entsprechend (sum(a_i \tau^i,,))^p=sum(a_i \tau^(pi),,). \big\ Korollar 3.2: In einem endlichen Körper der Charakteristik p!=0 ist die Frobenius-Abbildung x|->x^p ein Automorphismus. \stress\ Beweis: Es gilt, wie gesehen, (xy)^p=x^p*y^p und (x+y)^p=x^p+y^p. Also ist x|->x^p ein Homomorphismus (siehe Satz 3.1 oben), der nicht die Nullabbildung und somit injektiv ist. Nun ist aber eine injektive Abbildung einer endlichen Menge in sich surjektiv, zusammen also bijektiv, sprich ein Automorphismus. \bigbox Treiben wir das Spielchen noch etwas weiter... \big\ Satz 3.3: Sei K ein Körper der Charakteristik p prim. Dann gilt \sigma \|_(\IF_p)=Id_(\IF_p) für einen Körperautomorphismus \sigma:K -> K. \stress\ Beweis: Jeder Körperautomorphismus \sigma:K -> K ist die Identität auf \IF_0. Für a\el\ \IF_p gilt \sigma(a)=\sigma(1+...+1)=\sigma(1)+...+\sigma(1)=1+...+1=a. Also folgt die Behauptung. \bigbox \big\ Satz 3.4 (Der kleine Satz von Fermat): Sei p eine Primzahl und ggT(a, p)=1, d.h. p teilt nicht a. Dann ist a^(p-1)==1 mod p. \stress\ Beweis: Der kleine Fermat folgt sofort aus dem obigen Satz. Denn a^-^p=a^- liefert a^-^(p-1)=1 in \IF_p. \bigbox

4. Symbolische Adjunktion von Nullstellen

In diesem Abschnitt möchten wir kurz etwas über die Adjunktion von Nullstellen erzählen. Wir werden aber nicht alles bis ins kleinste Detail ausführen, sondern hoffen auf Vorkenntnisse des Lesers. Bei Bedarf kann unter [2] nachgelesen werden. Am Anfang einer Algebra-Vorlesung ist man es meistens gewöhnt immer zunächst Teilkörper der komplexen Zahlen \IC zu betrachten. Um diese Körper zu bilden, sind keine abstrakten Konstruktionen notwendig. Man adjungiert einfach die gewünschte komplexe Zahl und arbeitet mit dem Teilkörper, den sie erzeugen. Endliche Körper sind aber nicht Teilkörper eines vertrauten, allumfassenden Körpers analog zu \IC. Wir müssen uns daher etwas von dieser Vorstellung verabschieden und die uns vertraute Adjunktion von Nullstellen ganz allgemein formulieren. Die grundlegende Technik dabei ist die Adjunktion von Elementen zu einem Ring. Diese werden wir für die Körper benutzen. Zu einem gegebenen Polynom f(x) mit Koeffizienten in K können wir ein Element a zu K adjungieren, dass die Gleichung f(a)=0 erfüllt. Das abstrakte Vorgehen dafür besteht darin, den Polynomring K[x] zu bilden und davon den Restklassenring K[x]\/(f) zu betrachten. So erhält man einen Ring K[x]\/(f) und einen Homomorphismus K->K[x]\/(f), so dass die Restklasse x^- von x die Gleichung f(x^-)=0 erfüllt. Bevor wir diese Konstruktion auf beliebige Körper übertragen, geben wir zwei ausführliche Beispiele. (Motivationsbeispiel 1)__ soll das folgende Beispiel sein: Wir betrachten das Polynom f=x^2+x+1\el\ \IF_2, das in \IF_2 irreduzibel ist. Wir betrachten nun den Körper K=\IF_2 [a] mit a^2+a+1=0. Es folgt, dass [K:\IF_2]=2, also abs(K)=2^2=4. Siehe auch das nächste Beispiel. (Motivationsbeispiel 2:)__ Wir konstruieren einen Körper K mit vier Elementen, d.h. abs(K)=4. Insbesondere ergibt sich, dass [K:\IF_2]=[\IF_(2^2) :\IF_2]=2. Nun sei a\el\ K\\\IF_2 beliebig. Dann ist also K=\IF_2 [a] mit f:=min_(\IF_2) (a)=x^2+\alpha*x+\beta. Das Minimalpolynom existiert, denn a ist algebraisch über \IF_2 mit Grad 2. Es ist also \alpha, \beta\el\ \IF_2={0,1}. Das Polynom f muss aber noch irreduzibel sein. Hierfür haben wir nun insgesamt vier Möglichkeiten: 1.) Möglichkeit: \alpha=\beta=0, d.h. f(x)=x^2. Dieses ist nicht irreduzibel, denn 0 ist eine Nullstelle. 2.) Möglichkeit: \alpha=0, \beta=1, d.h. f(x)=x^2+1. Auch dieses Polynom ist nicht irreduzibel, denn f(1)=2=0. 3.) Möglichkeit: \alpha=1, \beta=0. Dies liefert f(x)=x^2+x=x(x+1) und ist sicherlich nicht irreduzibel. 4.) Möglichkeit: \alpha=\beta=1, d.h. f(x)=x^2+x+1. Dieses Polynom ist tatsächlich irreduzibel über \IF_2. Es ist das einzige irreduzible Polynom vom Grad 2 über \IF_2. Also ist K=\IF_2 [a]={0, 1, a, 1+a} mit a^2+a+1=0. Wir sind nun in der Lage die Verknüpfungstabellen aufzustellen: Schreiben wir dies nacheinander auf: (Additionstabelle:)__ \squaredot 0+0=0, 0+1=1, 0+a=a, 0+(1+a)=1+a, 1+0=1, a+0=a, 1+a+0=1+a, denn 0 ist das neutrale Element. \squaredot 1+1=2=0, 1+a=1+a, 1+a+1=2+a=0+a=a, a+1=a+1, a+a=2a=0*a=0, 1+a+a=1+2a=1 \squaredot 1+a+1=2+a=0+a=a, 1+a+a=1, 1+a+1+a=2+2a=0 Die Multiplikationstabelle__ sieht so aus: \squaredot 0*0=1*0=a*0=(1+a)*0=0 usw, denn Null annuliert alles. \squaredot 1*1=1, a*1=1*a=a, (1+a)*1=1*(1+a)=1+a \squaredot a*(1+a)=a+a^2=-1=1, denn es gilt a^2+a+1=0 und 2=0. \squaredot (1+a)(1+a)=1+2a+a^2=1+0+a^2=1+a+1=a+2=a. Auch hier ging ein, dass a^2+a+1=0. Fertig. \bigbox Das Prinzip, das wir eben durchgeführt haben, beruhte auf der symbolischen Adjunktion von Nullstellen. Begegnet man das erste Mal endlichen Körpern, so wird man dies noch nicht so machen, sondern eher anders mit Hilfe des Ausschlussverfahrens argumentieren. Siehe auch das letzte Beispiel in Abschnitt 2. Anzumerken bleibt noch, dass der Körper \IF_4 nicht mit dem Ring \IR\/(4) verwechselt werden darf! Die Konstruktionen in Beispiel 1 und 2 können wir ganz analog zur abstrakten Konstruktion von \IC durchführen. Denn wie erhalten wir aus \IR den Körper der komplexen Zahlen \IC? Wir adjungieren die komplexe Zahl i mit i^2+1=0. Mit Worten der Algebra bedeutet das gerade \IC:=\IR[x]\/(x^2+1). Für unser Motivationsbeispiel 1 heißt das also K:=\IF_2 [x]\/(x^2+x+1). Diese allgemeine Konstruktion fassen wir nun in dem folgenden Satz zusammen. Bedenken aber, dass uns die Konstruktion schon beim Restklassenring \IZ\/p\IZ begegnet ist. Beim Lesen des folgenden Satzes solltet ihr also immer daran denken und schnell Gemeinsamkeiten aufspüren. \big\ Satz 4.1: Sei K ein Körper und f\el\ K[x] ein nichtkonstantes Polynom. Dann gelten die folgenden Aussagen: a) Durch die Vorschrift g == h mod f:<=> f \|g-h mit g, h\el\ K[x] wird eine Äquivalenzrelation auf K[x] definiert. Wir notieren K[x]\/(f) \in\ g^-=g+(f)\subset\ K[x]. b) Auf der Menge aller Äquivalenzklassen K[x]\/(f) wird durch g^-+h^-=(g+h)^- und g^-*h^-=(gh)^- die Struktur eines kommutativen Rings definiert. c) K \textrightarrow K[x]\/(f) mit a\textrightarrow a^- ist ein injektiver Ringhomomorphismus. Also ist K\subset\ K[x]\/(f) ein Teilkörper. d) Jedes Element g^-\el\ K[x]\/(f) besitzt eine eindeutige Darstellung g^-=a_0+a_1*x^-+...+a_(n-1)*x^-^(n-1) mit a_i \el\ K und n:=deg(f). e) Es sind äquivalent: i) K[x]\/(f) ist ein Körper, ii) K[x]\/(f) ist nullteilerfrei und iii) f ist irreduzibel über K. \stress\ Beweis: Geschenkt! Er verläuft analog wie wir dies für \IZ\/p\IZ beweisen würden.\bigbox

5. Existenz und Eindeutigkeit endlicher Körper

\big\ Satz 5.1: \big\ Die multiplikative Gruppe eines endlichen Körpers mit p Elementen ist zyklisch \big\ der Ordnung p-1. Wir werden den Satz hier nicht beweisen, aber ein Beweis findet sich in [3]. Wir wissen jetzt also: Sei q=p^n eine Primzahlpotenz und K ein Körper mit q Elementen. Dann ist die multiplikative Gruppe K^x von K eine zyklische und damit abelsche Gruppe (zyklische Gruppen sind abelsch) mit q-1 Elementen. Nun zu dem \big\ sehr wichtigen Satz 5.2: Sei q=p^n eine Primzahlpotenz. Dann gelten die folgenden Aussagen: a) Es gibt einen Körper mit q Elementen (Existenz). b) Ist K' ein weiterer Körper mit q Elementen, so sind K und K' isomorph, d.h. K~=K'. Man spricht daher häufig von dem__ Körper mit q Elementen und wir bezeichnen diesen, wie wir dies schon durchgängig getan haben, mit \IF_q. Bevor wir zum Beweis kommen noch ein \big\ Lemma 5.3: Sei K ein Körper, \sigma:K->K ein Körperautomorphismus. Dann ist die Fixpunktmenge K':={a\el\ K: \sigma(a)=a} ein Körper. Damit ist dann also insbesondere K ein Körper. \stress\ Beweis von Lemma 5.3: Wir wollen den Beweis nur in Ansätzen ausführen. Die Details möge sich der Leser überlegen. Es gilt natürlich \sigma(a+b)=\sigma(a)+\sigma(b) und \sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b) und \sigma(a^(-1))=\sigma(a)^(-1). Also ist K' abgeschlossen unter den vier Grundrechenarten. Also ist K' insbesondere ein Körper und damit ist K ein Körper. Damit folgt Lemma 5.3. \stress\ Beweis von Satz 5.2: Zu a), also zur Existenz: Sei M\/\IF_p eine Körpererweiterung, über der x^q-x in Linearfaktoren zerfällt. Sei weiter K:={a\el\ M: a^q=a} die Menge der Nullstellen des Polynoms x^q-x. Wir müssen nun zwei Dinge zeigen: A) K ist ein Körper und B) abs(K)=q, d.h. das Polynom x^q-x besitzt keine mehrfachen Nullstellen. Daraus folgt dann die Existenzaussage. Also tun wir dies: Zu A): Wir betrachten den etwas weiter oben angesprochenen Frobenius-Homomorphismus \sigma:K->K mit a|->a^p. Dieser ist, wie wir gesehen hatten, ein Körperautomorphismus. K^n ist dann nach Definition und dem oben Gesagtem die Meneg K^n={a \el\ M: \sigma^n (a)=a}. Die Behauptung unter A) folgt jetzt aus dem Lemma 5.3. Bleibt noch B) zu zeigen: Hier verwenden wir folgendes \big\ Lemma 5.4: i) Die Abbildung D:K[x]->K[x] mit f|->f' ist eine K-Deritation, d.h. D(f+g)=D(f)+D(g) und D(fg)=D(f)*g+D(g)*f und D(a)=0 \forall\ a\el\ K. ii) Ein Element a\el\ K ist genau dann eine mehrfache Nullstelle, wenn f(a)=0 und f'(a)=0. Hier meinen wir mit der Ableitung die "algebraische Ableitung", deren Regeln aber aus der Analysis bekannt sind und sich formal übertragen. \stress\ Beweis von Lemma 5.4: Einfaches Nachrechnen. \bigbox Zeigen wir also mit Hilfe von Lemma 5.4 abschließend noch B): Wir hatten angenommen, dass x^q-x über M in Linearfaktoren zerfällt, d.h. f=x^q-x=produkt((x-a_i),i=1,q) und K:={a_1 , ..., a_q }\subset\ M. Wegen f'=qx^(q-1)-1=-1 (char=q) gilt f'(a_i)!=0 für alle i. Nach Lemma 5.4 hat f also keine mehrfachen Nullstellen, also ist abs(K)=q und wir haben die Existenz__ bewiesen. Es fehlt noch die Eindeutigkeit__: Seien dazu K und K' zwei Körper mit q=p^n Elemente. Wir haben also zu zeigen, dass diese isomorph sind, also K~=K'. Wir wissen, dass die multiplikative Gruppe K^x zyklisch mit zyklischem Erzeuger a ist, also K^x=. Also ist K=\IF_p [a]. Sei f\el\ \IF_p [x] das zugehörige Minimalpolynom von a. Dann gilt gerade deg(f)=[K:\IF_p]=n, also deg(f)=[\IF_(p^n) :\IF_p] und K~=K[x]\/(f). Da a als Element von K auch Nullstelle von x^q-x ist, muss f das Polynom x^q-x in \IF_q [x] teilen (\*). Wir betrachten nun den zweiten Körper K'. Wir hatten gesehen, dass x^q-x über K' in Linerafaktoren zerfällt, also x^q-x=produkt((x-b),b \el\ K',). Mit (\*) folgt, dass f über K' in Linearfaktoren zerfällt. Sei b eine Nullstelle von f in K'. Dann ist \IF_p [b]\subset\ K' und f=min_(\IF_p) (b) mit deg(f)=n. Wegen [\IF_p (b):\IF_p]=deg(f)=n gilt abs(\IF_p (b))=p^n=q und daraus folgt K'=\IF_p [b]=\IF_p [x]\/(f) ~=K. Also haben wir auch die Eindeutigkeit gezeigt und können diesen Monsterbeweis abschließen. \bigbox Zum Abschluss kommen wir nun noch einmal auf einen \big\ weiteren wichtigen Satz 5.5: Ein Körper mit q=p^n Elementen enthält genau einen Teilkörper mit p^d Elementen, wenn d\|n. \stress\ Beweis: Zunächst zu =>: Angenommen, d\|n, d.h. es existiert ein r mit n=d*r. Weiterhin sei q=p^n und q'=p^d. Dann folgt q=(q')^r, also q'-1 \|q-1=(q'-1)*((q')^(r-1)+(q')^(r-2)+...+1). K ist ein Körper mit q Elementen. Also ist wiederum die multiplikative Gruppe K^x zyklisch der Ordnung q-1. Wir betrachten nun die Menge G_d:={a\el\ K^x: a^(q'-1)=a}\subset\ K^x. Dies ist offensichtlich eine zyklische Untergruppe von K^x, denn Untergruppen zyklischer Gruppen sind wieder zyklisch, der Ordnung q'-1. Es ist nun K'={0}\union\ G_d ={Nullstellen von x(x^(q'-1)-1)}\subset\ K. Aus abs(K')=q'-1+1=q' folgt x^(q')-x=produkt((x-a),a\el\ K',). Demnach ist K' ein Teilkörper von K mit q' Elementen. <== überlassen wir als Übungsaufgabe.\bigbox (Beispiel:)__ \squaredot Der Körper \IF_4=\IF_(2^2) ist ein Teilkörper von \IF_16=\IF_(2^4). \squaredot Aber \IF_8=\IF_(2^3) ist nach dem obigen Satz kein__ Teilkörper von \IF_16, denn 3 teilt nicht 4.

6. Irreduzibilität in endlichen Körpern

Irreduzibilitätsuntersuchungen in endlichen Körpern kann durchaus einfacher sein als über beliebige Körpern. Denn beispielsweise besitzt \IF_2 ja nur zwei Elemente. Dort ist die Untersuchung eines Polynoms auf Irreduzibilität sehr leicht. Wir brauchen hier kein Gauß oder Eisenstein, sondern wir schauen uns zunächst einfach mal ein Beispiel und danach einen schönen Satz an. :) (Beispiel:)__ \squaredot f=x^2+x+1 ist über \IF_2 das einzige irreduzible Polynom vom Grad 2. Wie sieht man das? Na, setzt doch mal die beiden möglichen Werte 0 und 1 ein. ;) Dies haben wir übrigens schon weiter oben getan. Im Folgenden sei p immer eine Primzahl und wir betrachten Polynome über dem endlichen Körper \IF_p. \big\ Satz: Sei f\el\ \IF_p [x] normiert und irreduzibel mit Grad d:=deg(f). Sei K\/\IF_p eine Körpererweiterung von Grad n, also K:=\IF_q=\IF_(p^n). Die folgenden Bedingungen sind dann äquivalent: a) f besitzt die Nullstelle a\el\ K b) f\|x^q-x in \IF_p [x] c) f zerfällt über K in Linearfaktoren d) d\|n \stress\ Beweis: a)=>b): Sei x^q-x=produkt((x-b),b\el\ K,)\el\ K[x]. Insbesondere ist a\el\ K eine Nullstelle von x^q-x. Da f das Minimalpolynom von a über \IF_p ist, folgt, dass f\|x^q-x in \IF_p [x], also b). b)=>c): Sei f ein Teiler von x^q-x in \IF_p [x]. Weiterhin wissen wir, dass x^q-x über K vollständig in Linearfaktoren zerfällt. Das gilt dann aber auch für jeden Teiler von x^q-x, also insbesondere für f. Mit der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung folgt c). c)=>d): Ist a\el\ K eine Nullstelle von f, so gilt K':=\IF_p [a]\subset\ K ein Teilkörper von K und [K':\IF_p ]=deg(f)=d, folgt mit dem Gradsatz die Behauptung d\|n, denn: n=[K:\IF_p ]=[K:K']*[K':\IF_p ]=[K:K']*d. d)=>a): Übung! :-) \bigbox \big\ Einfaches Korollar aus dem Satz: Sei q=p^n. Die normierten irreduziblen Faktoren von x^q-x sind genau die normierten irreduziblen Polynome, deren Grad ein Teiler von n ist. \stress\ Beweis: Folgt aus obiger Äquivalenz d)<=>c). \bigbox

7. Zusammenfassung, Literatur und Tschüss...

Das war jetzt eine Menge neuer Stoff. Ich denke, es ist ganz gut, wenn wir die wichtigsten Dinge, also das, was man auf jeden Fall wissen sollte, zusammenfassen. :) Sei K ein beliebiger endlicher Körper. Dann haben alle Elemente der Gruppe (K, +) endliche Ordnungen. Insbesondere hat das Einselement des Körpers eine endliche Ordnung. Jeder endliche Körper besitzt Primzahlcharakteristik. Da K ein Vektorraum über \IF_p ist, dessen Dimension n endlich sein muss, wissen wir aus der Linearen Algebra, dass K als Vektorraum isomorph zu \IF_p^n ist. Inbesondere hat K genau p^n Elemente. K^x, die multiplikative Gruppe von K, ist zyklisch mit Ordnung p^n-1. Für jedes a!=0 ist daher die Ordnung von a in dieser Gruppe ein Teiler von p^n-1. Das ist der Satz von Lagrange. Insbesondere gilt der kleine Fermat a^(p^n-1)=1 für alle a\el\ K^x, und a ist Nullstelle des Polynoms x^(p^n-1)-1\notel\ \IF_p [x]. Damit ist jedes Element von K Nullstelle von f:=x^(p^n)-x. Dieses Polynom hat nach dem Fundamentalsazu der Algebra höchstens p^n Nullstellen in K. Damit ist gezeigt, dass K die Nullstellenmenge von x^(p^n)-x\el\ \IF_p [x] ist. Folglich ist K der Zerfällungskörper von x^(p^n)-x über \IF_p. f hat über \IF_p die Ableitung -1, denn p^n*x^(p^n-1)=0 in char(K)=p. Daher hat f nur einfache und keine mehrfachen Nullstellen. \big\ Die Struktur endlicher Körper: \squaredot Jeder endliche Körper K hat die Elementenanzahl p^n für eine Primzahl p. Dann ist \IF_p der Primkörper von K und n die Dimension von K als Vektorraum über \IF_p. \squaredot Für alle p prim und n\el\ \IN gibt es, bis auf Isomorphie, genau einen Körper der Ordnung p^n, nämlich den Zerfällungkörper von x^(p^n)-x über \IF_p. \squaredot Ist K ein endlicher Körper der Ordnung p^n, so ist die additive Gruppe (K,+) isomorph zu (\IF_p^n,+), die multiplikative Gruppe K^x ist isomorph zu \IF_(p^n-1), also zyklisch der Ordnung p^n-1. \squaredot Die Frobenius-Abbildung a|->a^p ist ein Körperautomorphismus von K. Endliche Körper haben vor allem Anwendungen in der Kryptographie. Das ist sehr interessant. Dazu möchte ich aber nun nichts mehr schreiben, da der Artikel schon sehr lang geworden ist, und ich euch nicht länger belästigen möchte. :P Vielleicht tut es jemand anderes, oder ich hole das irgendwann nach. Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit! Aber geht nicht vom PC ohne die Literaturhinweise gelesen zu haben. [1] Algebra von Siegfried Bosch [2] Algebra von Michael Artin [3] Die multiplikative Gruppe eines Körpers ist zyklisch Euer Florian Modler

 
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Endliche Körper [von FlorianM]  
Hallo Algebra-Freunde, schon im ersten Semester begegnet dem Studenten der Begriff des Körpers. Eventuell kommt man auch schon in den Genuss von so genannten big endlichen Körpern. Wir werden in diesem Artikel alle Körper mit endlich vielen Elementen klassifizieren.
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
 
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