Mathematik: Summe von Binomialkoeffizienten bestimmen
Released by matroid on Fr. 17. Dezember 2010 09:33:28 [Statistics]
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Mathematik

\(\begingroup\) In diesem Artikel wird eine geschlossene Formel für (n;0) + (n;4) + (n;8) + (n;12) + ... hergeleitet. Es werden Kenntnisse der elementaren Rechenregeln für komplexe Zahlen und der binomische Lehrsatz vorausgesetzt. Im Folgenden seien k, n \el\ \IN_0 (Bemerkung: Wir benutzen 0! = 1 und 0^0 = 1). Nach dem binom. Lehrsatz gilt (1+i)^n = sum((n;k) i^k,k=0,n) und (1-i)^n = sum((n;k) (-i)^k,k=0,n). Daraus folgt ((1+i)^n + (1-i)^n)/2 = (n;0) - (n;2) + (n;4) - (n;6) + ... - ...(\*)

Hilfssatz: Es gilt (n;0) + (n;2) + (n;4) + (n;6) + ... = cases(2^(n-1), n>0; 1, n=0) Beweis des Hilfssatzes: Mit dem binom. Lehrsatz folgt: (1+1)^n = sum((n;k),k=0,n) = (n;0) + (n;1) + (n;2) + ... + (n;n) \ und (-1+1)^n = =sum((n;k) (-1)^k,k=0,n) = (n;0) - (n;1) + (n;2) - (n;3) +...-...+(-1)^n (n;n) =cases(0,n>0;1,n=0) => 2*(n;0) + 2*(n;2) + 2*(n;4) + ... = cases(2^n,n>0; 2^n + 1,n=0)\ => Behauptung. \ Q.e.d. Mit dem Hilfssatz folgt aus (\*) (n;0) + (n;4) + (n;8) + ... = cases((2^(n-1) + ((1+i)^n + (1-i)^n)/2)/2, n>0; 1, n=0) \ \ \ D.h. (\* \*) \ (n;0) + (n;4) + (n;8) + ... = cases(2^(n-2) + [(1+i)^n + (1-i)^n]*2^(-2), n>0; 1, n=0) Es gilt (1+i)^n = cases(1+i,n=1; 2i,n=2;2i-2,n=3;-4,n=4) \ und es ist (1-i)^n = cases(1-i,n=1; -2i,n=2;-2i-2,n=3;-4,n=4) Sei nun immer k \el\ \IN. a) Für n = 8k folgt (1+i)^n + (1-i)^n = (-4)^2k + (-4)^2k = 2*16^k = 2^(4k+1) = 2^(n/2 +1) b) Für n = 8k + 1 folgt (1+i)^n + (1-i)^n = 2^4k * (1+i) +2^4k * (1-i) = 2^(4k+1) = 2^((n+1)/2) c) Für n = 8k - 1 folgt (1+i)^n + (1-i)^n = (2^4k)/(1+i) + (2^4k)/(1-i) =2^4k * ((1-i)/2 + (1+i)/2) = 2^4k = 2^((n+1)/2) d) Für n = 8k + 2 folgt (1+i)^n + (1-i)^n = 2^4k * (1+i)^2 + 2^4k * (1-i)^2 = 2^4k * (2i-2i) = 0 e) Für n = 8k - 2 folgt (1+i)^n + (1-i)^n = (2^4k)/(1-i)^2 + (2^4k)/(1+i)^2 = (2^4k)/(2i) + (2^4k)/(-2i) = 0 f) Für n = 8k + 3 folgt (1+i)^n + (1-i)^n = 2^4k * (2i-2) + 2^4k * (-2i-2) = -2^(4k+2) = -2^((n+1)/2) g) Für n = 8k - 3 folgt (1+i)^n + (1-i)^n = (2^4k)/(2-2i) + (2^4k)/(-2-2i) = 2^4k * (-4)/(4+4) = -2^(4k-1) = -2^((n+1)/2) h) Für n = 8k + 4 folgt (1+i)^n + (1-i)^n = 2^4k * (-4) + 2^4k * (-4) = -2^(4k+3) = -2^((n+2)/2) i) Für n = 8k - 4 folgt (1+i)^n + (1-i)^n = (2^4k)/(-4) + (2^4k)/(-4) = -2^(4k-1) = -2^((n+2)/2) Setzt man a) bis i) in (\* \*) ein, so erhält man für k \el\ \IN: (n;0) + (n;4) + (n;8) + ... = cases(1,n\el\ \{0\,1\,2\,3\}; 2^(n-2) + 2^((n-2)/2),n=8k; 2^(n-2) + 2^((n-3)/2),n=8k+-1; 2^(n-2),n=8k+-2; 2^(n-2) - 2^((n-3)/2),n=8k+-3; 2^(n-2) - 2^((n-2)/2),n=8k+-4)
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Summe von Binomialkoeffizienten bestimmen [von Bernie123]  
Geschlossene Formel für (n;0) + (n;4) + (n;8) + (n;12) + ...
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"Mathematik: Summe von Binomialkoeffizienten bestimmen" | 1 Comment
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Re: Summe von Binomialkoeffizienten bestimmen
von: Martin_Infinite am: Do. 30. Mai 2013 13:30:24
\(\begingroup\)Die Periodizität ist vielleicht unerwartet, lässt sich aber am besten durch komplexe Einheitswurzeln erklären. Allgemeiner kann man $\sum_{k \geq 0} \binom{n}{rk}$ ausrechnen, ein schönes kombinatorisches Argument gibt es hier: Arthur T. Benjamin, Bob Chen, Kimberly Kindred, Sums of Evenly Spaces Binomial Coefficients, online\(\endgroup\)
 

 
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