Stern Mathematik: Der Residuensatz - Der Satz des Jahres 2011
Released by matroid on Fr. 18. März 2011 08:07:47 [Statistics]
Written by Gockel - 57440 x read [Outline] Printable version Printer-friendly version -  Choose language   
Matroids Matheplanet

\(\begingroup\)

Der Residuensatz
Der Satz des Jahres 2011

Nachdem fast einen Monat lang der Matheplanet und seine Besucher abstimmen durften, steht das Ergebnis nun fest. Der Gewinner ist mit mehr als hundert Stimmen Vorsprung vor dem zweitplatzierten Satz eindeutig: der Residuensatz.


Für viele Studierende, die in der Funktionentheorie ankommen, beginnt ein langer Weg. Die komplexe Differenzierbarkeit wird genauso definiert wie im Reellen. Gilt sie in einem Gebiet, wird diese Eigenschaft mit dem seltsamen Namen "Holomorphie" belegt. Was soll das bloß? Dass Kurvenintegrale* wegunabhängig sein können, kennt man ja schon aus der mehrdimensionalen Differentialrechnung. Der Cauchy'sche Integralsatz sagt uns dann, dass jedes geschlossene Kurvenintegral Null ist, wenn die zu integrierende Funktion im Innengebiet holomorph ist. Immer Null. Wie langweilig. Aber es gibt eine interessante Folgerung daraus, der Traum eines jeden, der schon mal auf eine Mogelpackung hereingefallen ist. Die Cauchy'sche Integralformel sagt aus: Kennt man eine holomorphe Funktion auf dem Rand einer Kurve, kennt man sie auch im Innengebiet. Man kann also alle Eigenschaften einer holomorphen Funktion an der "Verpackungskurve" ablesen. Schon im ersten Semester lernt man die Taylorentwicklung kennen, die Funktionen durch Potenzreihen darstellt. Und hier stellt sich eine Besonderheit der holomorphen Funktionen ein: man kann jede (zunächst) nur einmal differenzierbare Funktion in eine Potenzreihe entwickeln. Und solche Reihen kann man beliebig oft differenzieren! Die komplexe Differenzierbarkeit ähnelt also einer konservativen Liebesbeziehung: "einmal = für immer". Jetzt guckt man noch mal auf die Cauchy'sche Integralformel: wie der Rand eines Eimers kontrolliert und bestimmt die Randkurve die Werte der Funktion im Inneren. (Man beweist z.B. auch, dass das Maximum der Beträge auf der Randkurve angenommen wird.) Und wenn der Eimer ein Loch hat? Dann gilt das natürlich nicht mehr, aber bei endlich vielen Löchern ist noch nicht alles verloren. Um jedes dieser Löcher herum lässt sich sich die Potenzreihenentwicklung der Funktion zu einer Laurentreihe erweitern, indem man zu den positiven Exponenten auch negative hinzunimmt. Das hängt eng damit zusammen, wie schlimm das Loch ist - im besten Fall ist es eine hebbare Lücke, vielleicht ist es eine Polstelle oder etwas sehr Seltsames wie eine "wesentliche Singularität". Auf alle Fälle aber hängt der Wert des Kurvenintegrals um dieses Loch bei einer Stelle z0 nur von einem einzigen Koeffizienten der Reihe ab: dem Vorfaktor von (z-z0)-1, der den Ehrentitel "Residuum" trägt. Zur Berechnung gibt es glücklicherweise viele nicht allzu knifflige Methoden. Und daraus entsteht dann der Residuensatz: Der Wert des Kurvenintegrals ist gleich der Summe der Residuen mal 2πi. Wenn man diesen Gipfel im Land der Funktionentheorie erst einmal erklommen hat, blickt man auf den sich hinaufwindenden Weg zurück: Der Integralsatz und die Integralformeln von Cauchy sind nun einfache Spezialfälle. Der Blick nach vorn hingegen zeigt völlig unerwartete Möglichkeiten und Anwendungen: reelle Integrale berechnet man, indem man die reelle Achse durch einen großen Bogen durch die komplexe Ebene schließt, bei kniffligen Integralen mit trigonometrischen Funktionen erhält man den Wert ohne die mühselige Berechnung von Stammfunktionen. Dieser einzigartige Aussichtspunkt im Lande der komplexen Funktionen ist sicher ein Höhepunkt jedes Kurses über Funktionentheorie und trägt daher den Titel "Satz des Jahres 2011" zu Recht. * "Kurven" sind in dieser Einleitung stückweise stetig differenzierbar, geschlossene Kurven sind doppelpunktfrei und haben für jeden Punkt im Inneren die Umlaufzahl eins. Für beliebige Umlaufzahlen siehe unten.
by Wally
[Edit]

Inhalt



by Wally
[Edit]

Der Weg zum Residuensatz - ein Funktionentheorie-Crashkurs

Der Residuensatz ist eine Aussage über die Berechnung komplexer Wegintegrale, wie sie in der Funktionentheorie vorkommen. Um zu verstehen, was der Residuensatz aussagt, muss man sich daher mit den Grundlagen der Funktionentheorie auskennen.

Differenzierbare, holomorphe, analytische Funktionen

Der grundlegende Begriff der Funktionentheorie ist der der holomorphen Funktion. Alle Funktionen, die man in der Funktionentheorie betrachtet, sind holomorph. \frameon Sei \emptyset!=U\subseteq\IC offen und f:U\to\IC eine Funktion. f heißt array(komplex differenzierbar in z_0\in\ U)____, falls der Differentialquotient lim(array(z\to\ z_0;z\in\ U),(f(z)-f(z_0))/(z-z_0)) existiert. Gegebenenfalls wird dieser Grenzwert mit f^'(z_0) bezeichnet. Ist f in allen Punkten z_0\in\ U komplex differenzierbar, so sagt man auch kurz, f sei komplex differenzierbar. Ein anderes Wort für komplex differenzierbar ist holomorph____. Man kann relativ schnell einsehen, dass sich komplexe Differenzierbarkeit in den ganz elementaren Eigenschaften völlig analog zur reellen Differenzierbarkeit verhält: \ll(*)Jede in z_0 komplex differenzierbare Funktion ist in z_0 auch stetig. \ll(*)Summen, skalare Vielfache, Produkte, Quotienten und Verkettungen komplex differenzierbarer Funktionen sind komplex differenzierbar \(immer vorausgesetzt, dass diese Operationen auch definiert sind\) und es gelten die üblichen Rechenregeln für die Ableitung. \ll(*)Standardfunktionen sind komplex differenzierbar: Die Identität z\mapsto\ z, konstante Funktionen, alle Polynome mit komplexen Koeffizienten, aber auch alle konvergenten Potenzreihen mit komplexen Koeffizienten. Das schließt \ll()exp(z):=sum(1/k!*z^k,k=0,\infty) \ll()sin(z):=1/2i*(exp(iz)-exp(-iz))=sum((-1)^k/(2k+1)!*z^(2k+1),k=0,\infty) \ll()cos(z):=1/2*(exp(iz)+exp(-iz))=sum((-1)^k/(2k)!*z^2k,k=0,\infty) \ll()tan(z):=sin(z)/cos(z) auf \IC \\ menge((2k+1)/2*\pi | k\in\IZ) \ll()uvm. \ll()mit ein. Nichtsdestotrotz sind komplex differenzierbare Funktion grundlegend von reell differenzierbaren Funktionen verschieden. Die unscheinbare Forderung, dass der Limes des Differenzenquotienten nicht nur über eine eindimensional variierende Größe \(wie bei einer differenzierbaren Funktion \IR\to\IR\), sondern über eine zweidimensional variierende Größe \(z\in\ U und U\subseteq\IC ist offen\) existiert, ist eine so starke Einschränkung, dass sich komplex differenzierbare Funktionen fundamental anders verhalten. Deutlich wird der Unterschied zwischen komplexer und reeller Differenzierbarkeit im folgenden nichttrivialen, aber entscheidenden Resultat der Funktionentheorie: \frameon Sei \emptyset!=U\subseteq\IC offen und f:U\to\IC holomorph. Dann gilt: \ll(a)f ist automatisch unendlich oft komplex differenzierbar. \ll(b)f ist sogar analytisch, d.h. für jedes z_0\in\ U gibt es Koeffizienten a_k\in\IC und einen Radius R\in\(0,\infty\], sodass \ll()f(z)=sum(a_k*(z-z_0)^k,k=0,\infty) \ll()für alle z in der offenen Kreisschreibe U_R(z_0)\subseteq\ U gilt. Es ist a_k=1/k!*f^(k)(z_0). \ll(c)In der Situtation von (b) kann in der Tat R stets maximal möglich gewählt werden: \ll()R=max|menge(r>0 | U_r(z_0)\subseteq\ U)\in\(0,\infty\] \frameoff

Komplexe Kurvenintegrale

Das Mittel zum Zweck, Dreh- und Angelpunkt der Funktionentheorie in einer komplexen Variablen ist der Begriff des Kurvenintegrals. \frameon Sei \emptyset!=U\subseteq\IC offen, f:U\to\IC stetig und \gamma:[a,b]\to\ U einmal stetig differenzierbar. Das Kurvenintegral____ von f entlang \gamma ist dann wie folgt definiert: int(f(z),z,\gamma) := int(f(\gamma(t))*\gamma^'(t),t,a,b) wobei rechter Hand ein ganz normales Riemann\-Integral o.Ä. steht. \gamma wird array(geschlossene Kurve)____ genannt, falls \gamma(a)=\gamma(b) ist. \frameoff Man interessiert sich \(nicht zuletzt aufgrund des Residuensatzes\) vor allem für Kurvenintegrale entlang von geschlossenen Kurven. Dazu zwei Beispiele: Wir betrachten zweimal den Weg, der den Einheitskreis einmal in positiver Richtung durchläuft: \gamma:=cases(intervall(0,2\pi)\to\IC;t\mapsto\ exp(it)) und integrieren die zwei Funktionen f_1(z)=z und f_2(z)=1\/z entlang dieses Weges. \align int(f_1(z),z,\gamma)><=int(z,z,\gamma) ><=int(\gamma(t)*\gamma^'(t),t,0,2\pi) ><=int(exp(it)*i*exp(it),t,0,2\pi) ><=int(i*exp(2it),t,0,2\pi) ><=stammf(1/2*exp(2it),t=0,t=2\pi) ><=1/2-1/2 ><=0 \breakalign int(f_2(z),z,\gamma) ><= int(1/z,z,\gamma) ><=int(1/\gamma(t)*\gamma^'(t),t,0,2\pi) ><=int(1/exp(it)*i*exp(it),t,0,2\pi) ><=int(i,t,0,2\pi) ><=2\pi||i!=0 Bereits an diesem Beispiel wird das typische Verhalten von Wegintegralen deutlich, das der gesamten Theorie zugrunde liegt und auch bereits die Idee des Residuensatzes enthält: Komplexe Wegintegrale hängen wesentlichen davon ab, ob die Funktion, die man integriert, Singularitäten hat und ob diese im Inneren des Integrationsweges liegen. Das erste Beispiel lässt sich auch wie folgt verallgemeinern: Wenn der Integrand f eine komplexe Stammfunktion, d.h. eine komplex differenzierbare Funktion F:U\to\IC mit F'=f besitzt, dann ist int(f(z),z,\gamma) = int(f(\gamma(t))*\gamma^'(t),t,a,b) = int(F^'(\gamma(t))*\gamma^'(t),t,a,b) =stammf(F(\gamma(t)),t=a,t=b) =F(\gamma(b))-F(\gamma(a)) für alle Wege \gamma:[a,b]\to\ U. Insbesondere verschwindet das Integral über jede geschlossene Kurve. Dies zeigt uns z.B., dass 1\/z im Komplexen keine Stammfunktion hat. Die reelle Stammfunktion ln|abs(z) lässt sich nicht als holomorphe Funktion nach \IC\\||menge(0) fortsetzen. Ein erster Schritt, um diese zunächst sehr vage (und bisher auch nur mit zwei trivialen Beispielen untermauerte) Intuition präzise zu machen, ist der Cauchy'sche Integralsatz: \frameon Sei \emptyset!=U\subseteq\IC offen, z_0\in\ U und f: U\to\IC stetig und mindestens auf U\\||menge(z_0) auch holomorph. Sei weiter U sternförmig bzgl. z_0. Dann gilt für alle geschlossenen Wege \gamma:[a,b]\to\ U: int(f(z),z,\gamma)=0 Dieser Satz sagt uns also, dass Integrale über geschlossene Kurven (für die man sich vorrangig interessiert in der Funktionentheorie) stets zu Null evaluieren, falls die Geometrie des Definitionsbereiches U gutartig ist (hier: sternförmig, allgemeiner: einfach zusammenhängend) und die holomorphe Funktion f keine Singularitäten in U hat. Gleichzeitig haben wir gesehen, dass Singularitäten des Integranden dazu führen können, dass Kurvenintegrale Werte ungleich Null haben. Indem man die Funktion 1/z von oben geschickt einsetzt, kann man in einem gewissem Sinne sogar steuern, welche Werte angenommen werden. Das macht die Cauchy'sche Integralformel präzise: \frameon Sei \emptyset!=U\subseteq\IC offen, z_0\in\ U und f: U\to\IC holomorph. Sei r>0 ein Radius, sodass U_r(z_0)^-\subseteq\ U ist und sei \gamma(t)=z_0+r*exp(it) die Standardparametrisierung des zugehörigen Kreisrandes. Dann gilt: f(z_0) = 1/2\pi||i*int(f(z)/(z-z_0),z,\gamma) Hier führt man also ganz gezielt eine Singularität des Integranden bei z_0 ein, um den Wert des Integrals zu beeinflußen. Der Residuensatz ist eine Verallgemeinerung dieser Integralformel auf beliebige Integranden, beliebige Kurven und den Fall endlich vieler Singularitäten im Inneren der Kurve.

Laurentreihen und Residuen

Eine Erweiterung des Satzes über die Entwicklung in Potenzreihen ist der Satz über die Laurent-Entwicklung, welche auch die Singularitäten von f mit einbezieht. \frameon Sei \emptyset!=U\subseteq\IC und z_0\in\IC\\U beliebig. Ist f:U\to\IC eine Funktion, so heißt z_0 eine array(isolierte Singularität)____, wenn es einen Radius r>0 gibt, sodass U_r(z_0) \\ menge(z_0) \subseteq\ U ist, d.h. wenn f nicht zwangsläufig in z_0 selbst, jedoch in jedem hinreichend dicht bei z_0 gelegenen Punkt definiert ist. Für isolierte Singularitäten sind Grenzwertbetrachtungen in der Singularität sinnvoll. Man sagt etwa, z_0 ist eine hebbare____ Singularität von f, wenn lim(z\to\ z_0,f(z)) existiert. Der Riemann'sche Hebbarkeitssatz sagt dann, dass f holomorph nach U\union\ menge(z_0) fortsetzbar ist. Man sagt, z_0 ist eine Polstelle____ der Ordnung k von f, wenn k\in\IN die kleinste natürliche Zahl ist, für die lim(z\to\ z_0,(z-z_0)^k*f(z)) existiert. Man sagt, z_0 ist eine wesentliche____ Singularität, falls lim(z\to\ z_0,(z-z_0)^k*f(z)) für kein k\in\IN existiert. \frameoff Es gibt Standardbeispiele. Man macht sich z.B. leicht klar, dass sin(z)/z bei z=0 zwar nicht definiert ist, aber sich dorthin stetig fortsetzen lässt, indem man überprüft, dass der Beweis, den man aus dem Reellen kennt, auch im Komplexen lim(z\to\ 0,sin(z)/z)=1 beweist. Ein weiteres Standardbeispiel ist 1/z^k mit k>=1. Diese Funktionen haben einen Pol der Ordnung k im Nullpunkt. Und schließlich kann man sich ebenfalls davon überzeugen, dass exp(1/z) bei z=0 eine wesentliche Singularität hat. Es gilt nun folgender Entwicklungssatz: \frameon Sei \emptyset!=U\subseteq\IC, f:U\to\IC holomorph und z_0\in\IC eine isolierte Singularität von f. Dann gilt: \ll(a)Es gibt einen Radius R>0 und Koeffizienten a_k\in\IC, sodass \ll()f(z)=sum(a_k*(z-z_0)^k,k=-\infty,+\infty) \ll()für alle z\in\ U_R(z_0) \\ menge(z_0) gilt. Die a_k erfüllen dabei die Gleichungen \ll()a_k = 1/2\pi||i*int(f(z)/(z-z_0)^(k+1),z,\gamma) \ll()wobei \gamma(t)=z_0+r*exp(it) irgendein Kreis mit Radius 00 | U_r(z_0) \\ menge(z_0)\subseteq\ U) \frameoff Holomorphe Funktionen sind also nichts anderes als Funktionen, die sich lokal als Laurentreihen schreiben lassen. Man beachte auch, dass wir den Entwicklungssatz für Potenzreihen hier zurückerhalten, wenn wir einen Punkt z_0 benutzen, in dem f holomorph ist, weil dann die Integrale für die negativen Koeffizienten verschwinden aufgrund des Integralsatzes von Cauchy. Die dem Residuensatz zugrundeliegende Idee ist nun, dass man mit Hilfe solcher Entwicklungen Integrale berechnen kann. Da alle Funktionen z^k mit k!=-1 eine komplexe Stammfunktion, nämlich 1/(k+1)*z^(k+1) besitzen, gilt int(z^k,z,\gamma)=0 für alle geschlossenen Wege \gamma und alle k!=-1. Hingegen haben wir am Anfang bereits ausgerechnet, dass int(z^(-1),z,\gamma)=2\pi||i ist, wenn \gamma ein Kreis um z=0 ist, der einmal in positiver Richtung durchlaufen wird. Wenn wir also naiv annehmen, dass wir die folgende Umformung wirklich durchführen können, dann ergibt sich: int(sum(a_k*(z-z_0)^k,k=-\infty,+\infty),z,\gamma) = sum(a_k*int((z-z_0)^k,z,\gamma),k=-\infty,+\infty) = a_(-1)*2\pi||i falls \gamma ein Kreis um z_0 ist, der einmal in positiver Richtung durchlaufen wird. Man macht sich leicht klar, dass mehrmaliges Durchlaufen desselben Weges und Wechsel des Durchlaufsinns dazuführen, dass das Integral vervielfacht wird bzw. sein Vorzeichen wechselt. Für einen "beliebigen" Weg \gamma erwarten wir also int(sum(a_k*(z-z_0)^k,k=-\infty,+\infty),z,\gamma) = a_(-1)*2\pi||i*w wobei w\in\IZ diejenige ganze Zahl ist, die angibt, wie oft \gamma um z_0 in positiver Richtung um z_0 herumläuft. Der Residuensatz macht diese Intuition handfest. Zunächst definieren wir den Begriff des Residuums nach dem Vorbild der eben erfolgten Überlegung: \frameon Sei \emptyset!=U\subseteq\IC, f:U\to\IC holomorph und z_0\in\IC derart, dass eine Laurententwicklung von f um z_0 existiert \(d.h. z_0\in\ U oder eine isolierte Singularität von f\). Das array(Residuum von f bei z_0)____ ist der Koeffizient Res(f\;z_0):=a_(-1) der Laurententwicklung von f um z_0. \frameoff Zunächst scheint hier nichts gewonnen zu sein, denn der Koeffizient a_(-1) aus der Laurent\-Entwicklung ist gleich 1/2\pi||i*int(f(z),z,\gamma) für jede Kreiskurve um z_0 in positiver Richtung, aber das hilft uns nur bedingt, wenn die Integrale für uns noch unbekannt sind. Gewonnen haben wir nur dann, wenn wir das Integral für eine komplizierte Kurve \gamma_1 suchen und für eine einfache Kurve \gamma_2 kennen, weil das Residuum nicht von der Wahl der Kurve abhängt. Wir sind aber oft in der Lage, Residuen auch direkt zu berechnen, weil wir z.B. an die Reihenentwicklung von f herankommen können. Wenn f bei z_0 einen einfachen Pol hat, dann hat die Laurententwicklung von f um z_0 die Gestalt a_(-1)*(z-z_0)^(-1)+a_0+a_1*(z-z_0)+a_2*(z-z_0)^2+... d.h. a_(-1) kann berechnet werden als Res(f\;z_0)=lim(z\to\ z_0,(z-z_0)*f(z)) Weil lokal jede holomorphe Funktion eine Potenzreihe ist, können wir diese Idee verallgemeinern und erhalten Res(f/g \; z_0) = f(z_0)/g^'(z_0) für alle lokal um z_0 holomorphen Funktionen f und g, für die g(z_0)=0!=g^'(z_0) ist. Die Integraldarstellung und der Cauchy'sche Integralsatz sagen uns außerdem, dass Res(f\;z_0)=0 ist, wenn f in z_0 holomorph ist. Was macht man, wenn man keinen einfachen Pol, sondern einen Pol k\-ter Ordnung hat? Dann überlegt man sich mit Hilfe der Laurent\-Entwicklung um z_0 f(z) = a_(-k)*(z-z_0)^(-k)+...+a_(-1)*(z-z_0)^(-1)+a_0+a_1*(z-z_0)+a_2*(z-z_0)^2+... leicht, dass man das Residuum über die folgende Formel ausrechnen kann: Res(f\;z_0) = 1/(k-1)!*lim(z\to\ z_0,diff((z-z_0)^k*f(z),z,array(k-1))) Für k=1 ergibt sich wieder die erste Formel. Der Nachteil ist hier, dass wir nicht nur den Limes, sondern auch die Ableitung bestimmen können müssen. Für explizite Beispiele ist das aber oft problemlos möglich. Mit diesen Hilfsmitteln ist das Berechnen von Residuen oftmals praktisch machbar.

Umlaufzahlen und der Residuensatz

Alles, was uns jetzt noch fehlt, ist eine handfeste Definition der Umlaufzahlen, um den Residuensatz so zu formulieren, wie wir uns das oben überlegt haben. Die Umlaufzahlen definieren sich ohne viel Aufwand ganz direkt aus der Anschauung: \frameon Sei \gamma:[a,b]\to\IC\\||menge(0) eine stetige Kurve. Dann gibt es eine stetige Argumentfunktion \theta:[a,b]\to\IR, sodass \gamma(t)=abs(\gamma(t))*exp(2\pi||i\theta(t)) gilt. Die Umlaufzahl____ oder der Index____ von \gamma um 0 ind(\gamma\;0) := \theta(b)-\theta(a) ist von der Wahl von \theta unabhängig. Wenn \gamma:[a,b]\to\IC\\||menge(z_0) mit z_0 beliebig ist, dann definiere die Umlaufzahl durch Verschieben von z_0 in den Nullpunkt: ind(\gamma\.\;z_0):=ind(\gamma-z_0\.\;0) \frameoff Diese Definition entspricht ganz genau der Idee, den Winkel jedes Kurvenpunktes zu betrachten und den Winkelunterschied zwischen Anfangs\- und Endpunkt der Kurve als Umlaufzahl zu definieren. Weil exp(it)=exp(it') <=> t=t'+2k\pi für ein k\in\IZ ist, sind Umlaufzahlen geschlossener Kurven immer ganze Zahlen. Man kann sich außerdem direkt mittels der Definition davon überzeugen, dass ind(\gamma\;z_0) = 1/2\pi||i*int(1/(z-z_0),z,\gamma) ist. Das schließt den Bogen zum Residuensatz: Um ein Integral von f(z)=sum(a_k*(z-z_0)^k,k=-\infty,+\infty) entlang der Kurve \gamma zu berechnen, müssen wir erstens a_(-1) = Res(f\;z_0) und zweitens ind(\gamma\;z_0) bestimmen. Der Residuensatz setzt all dies zusammen und behauptet nun: \frameon\stress\ (Residuensatz) Sei \emptyset!=U\subseteq\IC konvex, z_1, ..., z_n\in\ U beliebig und U':=U\\||menge(z_1, ..., z_n). Sei weiter f:U'\to\IC holomorph und \gamma:[a,b]\to\ U' eine geschlossene Kurve. Dann gilt: int(f(z),z,\gamma) = 2\pi||i*sum(ind(\gamma\;z_i)*Res(f\;z_i),i=1,n) \frameoff

Anwendungen des Residuensatzes

Der Grund für die Existenz des Residuensatzes ist seine einzigartige Kraft, um Integrale zu berechnen. Es scheint zunächst, dass die Beschränkung auf geschlossene Kurven uns daran hindert, allzu viele nützliche Beispiele zu finden, tatsächlich kann man den Satz aber in vielerlei verschiedenen Weisen benutzen, um Integrale zu berechnen. Darunter fallen ganz besonders auch reelle Integrale, die man ohne Residuensatz mangels einer Stammfunktion nicht sofort berechnen kann.

Trigonometrische Integrale

Der Residuensatz eignet sich z.B. hervorragend, um Integrale der Form int(R(sin(x),cos(x)),x,0,2\pi) zu berechnen, wobei R eine rationale Funktion in zwei Unbekannten ist, sodass der Integrand auf \IR keine Polstellen hat. Es ist hier möglich, aber kompliziert, eine Stammfunktion explizit hinzuschreiben. Mit dem Residuensatz kann man sich einen guten Teil dieser Arbeit sparen. Wir benutzen dazu die Definition von Sinus und Cosinus durch die komplexe Exponentialfunktion und erhalten: int(R(sin(x),cos(x)),x,0,2\pi) = int(R(1/2i*(exp(ix)-exp(-ix)),1/2*(exp(ix)+exp(-ix))),x,0,2\pi) \gamma:[0,2\pi]\to\IC, x\mapsto\ exp(ix) ist nun genau die Standardparamterisierung des Einheitskreises. Es bietet sich also an, das Integral so umzuformulieren, dass ein Kurvenintegral herauskommt: \align int(R(sin(x),cos(x)),x,0,2\pi) ><= int(R(1/2i*(exp(ix)-exp(-ix)),1/2*(exp(ix)+exp(-ix)))/(i*exp(ix))*i*exp(ix),x,0,2\pi) ><= int(R(1/2i*(z-z^(-1)),1/2*(z+z^(-1)))/iz,z,\gamma) \breakalign\stopalign Wenn wir diesen Integranden mit f(z)=p(z)\/q(z) bezeichnen und oBdA annehmen, dass p und q teilerfremd sind, dann sind die Singularitäten durch die Nullstellen von q gegeben. Die Umlaufzahl ist 0 für alle Nullstellen, die außerhalb, und +1 für alle, die innerhalb des Einheitskreises liegen \(weil wir voraussetzen, dass das ursprüngliche Integral nicht über Polstellen integriert, befindet sich keine Nullstelle auf dem Einheitskreis\). Wenn wir dieses Polynom also faktorisieren können, etwa q(z) = produkt((z-z_i)^k_i,i=1,n) mit paarweise verschiedenen z_i, und beachten, dass die Umlaufzahl ind(\gamma\;z) gleich 0 ist für abs(z)>1 und gleich 1 für abs(z)<1, so ergibt sich: \align int(R(sin(x),cos(x)),x,0,2\pi) ><= 2\pi||i*sum(ind(\gamma\;z_i)*Res(f\;z_i),i=1,n) ><=2\pi||i*sum(Res(f\;z_i),array(i=1..n;abs(z_i)<1)) \breakalign\stopalign Als Letztes müssen wir uns daher nur überlegen, wie wir an die Residuen kommen. Falls k_i=1 ist, ist das besonders einfach, denn dann ist z_i ein einfacher Pol von f und wir haben dafür die Formeln Res(f\;z_i) = lim(z\to\ z_i,(z-z_i)*f(z)) kennengelernt. Das heißt hier explizit: Kürze z-z_i aus dem Nenner q und setze in das, was übrig bleibt, z=z_i ein. Noch expliziter wird es mit der Formel Res(f\;z_i)=Res(p/q\.\;z_i) = p(z_i)/q^'(z_i) die für einfache Nullstellen des Nenners gilt. Etwas umständlicher, aber für Polynomfunktionen natürlich genauso problemlos möglich, ist die allgemeine Formel für k\-fache Nennernullstellen: Res(f\;z_i) = 1/(k-1)!*lim(z\to\ z_i,diff((z-z_i)^k*f(z),z,array(k-1))) Das heißt im Klartext: Kürze den Faktor (z-z_i)^k_i aus dem Nenner, leite den Rest (k_i-1)\-mal ab, setze dann z=z_i ein und dividiere das Ergebnis durch (k_i-1)!. Beispiel: Wir wollen int(1/(5+3*cos(x)),x,0,2\pi) berechnen. Wir gehen dafür obiges Kochrezept Schritt für Schritt durch: \align int(1/(5+3*cos(x)),x,0,2\pi) ><= int(1/(5+3/2*(exp(ix)+exp(-ix))),x,0,2\pi) ><=int(1/(5+3/2*(z+z^(-1)))*1/iz,z,\gamma) ><=int(-2i/(10z+3z^2+3),z,\gamma) \breakalign\stopalign Der Nenner zerlegt sich als 3z^2+10z+3=3*(z-(-1)/3)*(z-(-3)) Beides sind einfache Nullstellen. Wir brauchen das Residuum von \-1\/3 und können es direkt berechnen: \align Res(f\;-1/3) ><= -2i/(3*(z+3)) \|\.array(\small\ $;z=-1\/3) ><=-2i/(3*8/3) ><=-2i/8 ><=-i/4 \breakalign\stopalign => int(1/(5+3*cos(x)),x,0,2\pi) = 2\pi||i*Res(f\;-1/3) = 2\pi||i*(-i/4) = \pi/2 Dieselbe Methode ist natürlich viel allgemeiner anwendbar. Man ist offenkundig nicht auf rationale Funktionen im Integranden beschränkt. Einzige Bedingung ist, dass der Integrand einfach genug sein muss, um das Residuum bestimmen zu können. Wir können also z.B. auch folgendes Integral berechnen: Beispiel: int(exp(2cos(x)),x,0,2\pi) Wir führen dieselben Schritte durch: \align int(exp(2cos(x)),x,0,2\pi) ><= int(exp(exp(ix)+exp(-ix)),x,0,2\pi) ><=int(exp(z+z^(-1))/iz,z,\gamma) ><=(-i)*int(exp(z)*exp(z^(-1))/z,z,\gamma) \breakalign\stopalign exp(z) ist holomorph auf ganz \IC, aber exp(z^(-1)) hat bei z=0 eine wesentliche Singularität. Um das Residuum an dieser Stelle zu berechnen, benutzen wir die Reihenentwicklung und das Cauchy\-Produkt: \align exp(z)*exp(z^(-1)) ><= (sum(1/k!*z^k,k=0,\infty)*(sum(1/m!*z^(-m),m=0,\infty)) ><=sum(1/k!*1/m!*z^(k-m),k\,m\in\IN) \breakalign\stopalign Der Koeffizient vor z=0 \(also das Residuum von 1/z*exp(z)*exp(z^(-1)) \) ist also: sum(1/k!^2,k\in\IN) Damit ergibt sich int(exp(2cos(x)),x,0,2\pi) = 2\pi*sum(1/k!^2,k\in\IN)

Rationale Funktionen

Ein anderer Typ von Integralen, die man zwar auch per Stammfunktion berechnen kann, die jedoch durch die Verwendung des Residuensatzes viel einfacher werden, sind Integrale mit einer rationalen Funktion als Integranden: int(P(x)/Q(x),x,-\infty,+\infty) wobei P,Q\in\IC[x] Polynome sind, sodass Q(x) keine Nullstellen auf \IR hat und deg(Q)>=deg(P)+2 \(ansonsten konvergiert das Integral nicht\). Der Trick wird sein, int(P(x)/Q(x),x,-R,R) mit Hilfe eines Kurvenintegrals zu berechnen. Die Kurve \gamma beschreibt dabei einen Halbkreis vom Radius R um z=0 von \+R nach \-R und von dort entlang der reellen Achse zurück nach \+R, sodass unser gesuchtes Integral bereits Teil dieses Kurvenintegrals ist: int(P(x)/Q(x),x,\gamma_R) = int(P(x)/Q(x),x,\-R,\+R)+int(P(x)/Q(x),x,\gamma^~_R) wobei \gamma^~_R die Kurve [0,\pi], t\mapsto\ R*exp(it) ist, die den oberen Halbkreis um z=0 beschreibt. Wir betrachten das Integral über diesen oberen Halbkreis: int(P(x)/Q(x),x,\gamma^~_R) = int(P(R*exp(it))/Q(R*exp(it))*Ri*exp(it),t,0,\pi) P(R*exp(it))*R ist ein Polynom in R vom Grad deg(P)+1. Das ist immer noch echt kleiner als deg(Q), was auch der Grad von Q(R*exp(it)) als Polynom in R ist. Wenn wir also R\to\infty laufen lassen, dann geht der Integrand punktweise gegen 0. Weil der Integrand stetig in R und t ist, ist er beschränkt, und daher folgt aus dem Satz über majorisierte Konvergenz, dass das gesamte Integral gegen 0 geht für R\to\infty. Es bleibt, das Kurvenintegral über \gamma_R zu berechnen. Weil \gamma_R eine geschlossene Kurve ist, können wir den Residuensatz anwenden. Die Singularitäten des Integranden sind die Nullstellen von Q. Für hinreichend großes R liegen alle Nullstellen mit positivem Imaginärteil innerhalb der Kurve und die Umlaufzahl ist stets \+1. Es folgt also: int(P(x)/Q(x),x,\gamma_R) = 2\pi||i*sum(Res(P/Q\.\;z),array(Q(z)=0;\frakI\frakm(z)>0)) Die rechte Seite ist nun unabhängig von R. Also ist das auch die linke Seite. Wenn wir also den Grenzübergang durchführen, dann folgt \align 2\pi||i*sum(Res(P/Q\.\;z),array(Q(z)=0;\frakI\frakm(z)>0)) ><= lim(R\to\infty,int(P(x)/Q(x),x,\gamma_R)) ><=lim(R\to\infty,int(P(x)/Q(x),x,-R,R)+int(P(x)/Q(x),x,\gamma^~_R)) ><=int(P(x)/Q(x),x,-\infty,+\infty)+0 \breakalign\stopalign Wir können das Integral also ausrechnen allein dadurch, dass wir die Residuen bestimmen. Beispiel: int(1/(1+x^2k),x,-\infty,+\infty) für k\in\IN_>0. Für k=1 kennen wir die Stammfunktion arctan(x) und können das Integral direkt zu \pi auswerten. Für k>1 ist das viel umständlicher. Wir sparen eine Menge Arbeit, wenn wir obige Überlegungen benutzen. Die Nullstellen des Nenners sind die Lösungen von x^2k=-1, d.h. x_n=exp((\pi+2n\pi)/2k\.i) für n=0, 1, ..., 2k\-1. Die Imaginärteile davon sind sin((\pi+2n\pi)/2k), d.h. genau für n=0, 1, ..., k\-1 sind die Imaginärteile positiv. Alle Nullstellen sind einfach. Die Residuen ergeben sich also zu: \align Res(1/(1+t^2k)\.\;x_n) ><= 1/diff((1+t^2k),t) \|\.array(\small\ $;t=x_n) ><=1/(2k*t^(2k-1)) \|\.array(\small\ $;t=x_n) ><=1/(2k*exp((2n+1)\pi||i*(2k-1)/2k)) ><=1/2k*exp(-(2n+1)\pi||i*(2k-1)/2k) \breakalign Wir erhalten: int(1/(1+t^2k),x,-\infty,+\infty) ><= 2\pi||i*sum(1/2k*exp(-(2n+1)\pi||i*(2k-1)/2k),n=0,k-1) ><=\pi||i/k*sum(q^(2n+1),n=0,k-1) $ $ $ mit q=exp(i\phi), \phi:=-\pi*(2k-1)/2k ><=\pi||i/k*q*sum((q^2)^n,n=0,k-1) ><=\pi||i/k*q*(q^2k-1)/(q^2-1) ><=\pi||i/k*(q^2k-1)/(q-q^(-1)) ><=\pi/(2k*sin(\phi))*(q^2k-1) \breakalign Weil wir wissen, dass das Endergebnis rein reell sein muss, betrachten wir nur den Realteil von q^2k-1: \frakR\frake(q^2k-1) ><= cos(2k\phi)-1 ><=cos(-\pi*(2k-1))-1 ><=(-1)^(2k-1)-1 ><=-1-1 ><=-2 \breakalign Es ergibt sich also insgesamt: int(1/(1+t^2k),t,-\infty,+\infty) ><=\pi/(2k*sin(\phi))*(-2) ><=\pi/(k*sin(-\phi)) ><=\pi/(k*sin((2k-1)/2k*\pi)) ><=2*(\pi/2k)/sin(\pi/2k)

Integrale mit rationalen und trigonometrischen Funktionen

Ein weiterer Typ sind Integrale von Funktionen der Form f(x)=exp(itx)*P(x)/Q(x) mit Polynomen P und Q. Dabei ist t ein positiver Parameter, der Grad von P ist um mindestens eins kleiner als der Grad von Q, und Q hat keine reellen Nullstellen. Diese Integrale spielen u.a. bei der Herleitung der Umkehrformel der Laplacetransformation einen wichtige Rolle. Für solche Integrale gilt: int(f(x),x,-\infty,\infty)=2\pi||i*sum(Res(f(z)\;z_k),array(Q(z_k)=0;\frakI\frakm(z_k)>0)) Der Beweis funktioniert analog wie zuvor, indem man den Weg von \-R nach \+R entlang der reellen Achse durch einen Halbkreisbogen in der oberen Halbebene zu einer geschlossenen Kurve vervollständigt, den Residuensatz anwendet, und dann R\to\infty laufen lässt. \stress Beispiel \normal int(cos(tx)/(1+x^2),x,-\inf,\inf) Zunächst sei t>0. Im einfachen Pol z=i \(der einzige mit positivem Imaginärteil\) erhält man direkt mit der f/g'\.\-Regel das Residuum und berechnet das Integral daher zu int(exp(itx)/(1+x^2),x,-\infty,\infty)= 2\pi||i*exp(-t)/2i=\pi*exp(-t). Wegen exp(itx)=cos(tx) + i*sin(tx) folgt durch das Bilden des Realteils auf beiden Seiten int(cos(tx)/(1+x^2),x,-\infty,\infty)= \pi*exp(-t). Einerseits ist der Cosinus eine gerade Funktion, andererseits kann man für t=0 direkt nachrechnen, was der Wert des Integrals ist. Insgesamt erhält man so für t\in\IR int(cos(tx)/(1+x^2),x,-\infty,\infty)= \pi*exp(-abs(t)). Eine völlig analoge Rechnung ergibt, dass auch int((x*sin(tx))/(1+x^2),x,-\infty,\infty)= sgn(t)\pi*exp(-abs(t)) gilt, wobei sgn(t):=cases(+1,t>0;0,t=0;-1,t<0) sei.
by Wally
[Edit]

Andere Integrale

Der Residuensatz ist aber noch deutlich vielseitiger als das. In den beiden ersten Beispielen hat er vor allem eine Arbeitsersparnis gebracht. Zur Not hätten wir auch Stammfunktionen bestimmen können. Aber auch und gerade dort, wo keine elementaren Stammfunktionen gefunden werden können, ist der Residuensatz anwendbar. Wir wollen das demonstrieren, indem wir die Fresnel-Integrale ausrechnen: Unser Ziel ist also, die uneigentlichen Integrale int(sin(x^2),x,0,\infty) und int(cos(x^2),x,0,\infty) auszurechnen. Beide Integranden haben keine elementare Stammfunktion, daher fallen alle direkten Ansätze weg. Wir werden mit Hilfe des Residuensatzes lim(R\to\infty,int(exp(ix^2),x,0,R)) bestimmen und davon dann Real\- und Imaginärteil extrahieren. Der entscheidende Trick ist, den richtigen Integrationsweg zu wählen. Wir entscheiden uns für die Kurve \gamma, die sich aus den drei Teilwegen \gamma_1: [0,R]\to\IC, t\mapsto\ t \gamma_2: intervall(0,\pi/4)\to\IC, t\mapsto\ R*exp(it) und \gamma_3: intervall(0,R)\to\IC, t\mapsto\ (R-t)*exp(\pi||i/4) zusammensetzt. Diese drei Wege beschreiben den Rand eines Kreissektors mit Zentrum z=0, Radius R und den Eckpunkten R und R*exp(\pi||i/4). Das ist eine geschlossene Kurve und exp(iz^2) ist eine auf ganz \IC holomorphe Funktion. Der Residuensatz ergibt also \(alle Residuen sind Null\) 0=int(exp(iz^2),z,\gamma)=int(exp(iz^2),z,\gamma_1)+int(exp(iz^2),z,\gamma_2)+int(exp(iz^2),z,\gamma_3) Offenbar ist int(exp(iz^2),z,\gamma_1) unser gesuchtes Integral. Wir müssen also untersuchen, was mit den anderen beiden Integralen passiert: \align int(exp(iz^2),z,\gamma_3) ><=int(exp(i\gamma_3(t)^2)*\gamma_3^'(t),t,0,R) ><= int(exp(i*(R-t)^2*exp(\pi||i/2))*(-exp(\pi||i/4)),t,0,R) ><=-exp(\pi||i/4)*int(exp((R-t)^2*i^2),t,0,R) ><=-exp(\pi||i/4)*int(exp(-x^2),x,0,R) \breakalign Von diesem Integral wissen wir, dass es für R\to\infty gegen sqrt(\pi)/2 konvergiert. abs(int(exp(iz^2),z,\gamma_2)) ><= abs(int(exp(i\gamma_2(t)^2)*\gamma_2^'(t),t,0,\pi/4)) ><=abs(int(exp(i*R^2*exp(2it))*Ri*exp(it),t,0,\pi/4)) ><<=int(abs(exp(i*R^2*exp(2it))*R*i*exp(it)),t,0,\pi/4) ><=int(R*exp(\frakR\frake(i*R^2*exp(2it))),t,0,\pi/4) ><=int(R*exp(-R^2*sin(2t)),t,0,\pi/4) \stopalign Für t\in\ intervall(0,\pi/4) ist 2t/\pi<=sin(2t), d.h. wir können exp(-R^2*sin(2t))<=exp(-R^2*2t/\pi) abschätzen und erhalten: \align ><<=int(R*exp(-R^2*2t/\pi),t,0,\pi/4) ><=stammf(-\pi/2R*exp(-R^2*2t/\pi),t=0,t=\pi/4) ><=\pi/2R*(1-exp(-R^2/2)) \breakalign Für R\to\infty geht das gegen 0. Wir erhalten also: lim(R\to\infty,int(exp(ix^2),x,0,R)) ><= lim(R\to\infty,int(exp(iz^2),z,\gamma_1)) ><=lim(R\to\infty,(-int(exp(iz^2),z,\gamma_2)-int(exp(iz^2),z,\gamma_3))) ><=exp(\pi||i/4)*sqrt(\pi)/2+0 \stopalign Damit erhalten wir: int(cos(x^2),x,0,\infty) = \frakR\frake(exp(\pi||i/4)*sqrt(\pi)/2) = sqrt(\pi/8) int(sin(x^2),x,0,\infty) = \frakI\frakm(exp(\pi||i/4)*sqrt(\pi)/2) = sqrt(\pi/8)

Inverse Laplacetransformation

Der Residuensatz lässt sich auch bei der inversen Laplacetransformation verwenden: \frameon Sei f:\[0,\infty\)\to\IC laplacetransformierbar und in Unstetigkeitspunkten gelte f(t)= 1/2 \(f(t+0)+f(t-0)\). Sei weiter F(s)=\IL[f(t)](s):=int(f(t)*exp(-st),t,0,\infty) die Laplacetransformierte____ der Funktion f und es gebe Zahlen s_0, R, M>0 mit \ll(i)F lässt sich bis auf endlich viele Singularitäten s_k zu einer holomorphen Funktion auf \IC fortsetzen. \ll(ii)Auf menge(s\in\IC | \frakR\frake(s) > s_0) ist F(s) holomorph. \ll(iii)Für \frakR\frake(s) < s_0 und abs(s)>R_0 ist abs(s*F(s))<=M. Dann gilt f(t)= sum(Res(F(s)*exp(ts) \; s_k),k). Laplacetransformierte treten z.B. bei der Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten und rechter Seite aus Polynomen, Exponential- und trigonometrischen Funktionen auf. Die Voraussetzungen sind dann stets erfüllt. Beispiel: F(s)=1/s(s-2)^2 Standardmethode ist eigentlich die Partialbruchzerlegung und die Rücktransformation der einzelnen Teile. Der Residuensatz nimmt uns die Arbeit der Partialbruchzerlegung ab: Es gibt die beiden Singularitäten s_1=0 und s_2=2. Berechnung der Residuen: s_1=0: Res(exp(ts)/s(s-2)^2 \; 0)= lim(s->0,exp(ts)/(s-2)^2)= 1/4 s_2=2: Res(exp(ts)/s(s-2)^2 \; 2)= lim(s->2,diff(exp(ts)/s,s))=lim(s->2,(st*exp(ts)-exp(ts))/s^2) =-1/4*exp(2t)+1/2*t*exp(2t) Damit ist die inverse Laplacetransformierte zu F(s)= 1/s(s-2)^2 gegeben durch f(t)=1/4*(1-exp(2t)+2t*exp(2t))
by Wally
[Edit]

Und? War das schon alles?

Nein, beileibe nicht. Der Residuensatz hat viele weitere Anwendungen in der Funktionentheorie wie den Satz von Rouché oder das Argumentprinzip und, und, und... Eigentlich geht die Funktionentheorie jetzt erst richtig los. Auch darüber hinaus gibt es noch eine Menge weiterer Anwendungen. Vielleicht hast du, liebe Leserin oder lieber Leser (der du immerhin bis hier durchgehalten hast) ja Lust, selbst noch etwas über den Residuensatz, seine Anwendungen oder das nähere Themenfeld zu schreiben. Jeder Artikel zum Thema, der im Laufe dieses Jahres veröffentlicht wird, wird mit einem Stäbchen belohnt: Satz des Jahres Stäbchen 2011 Wir würden uns freuen, noch ein wenig mehr dazu zu lesen - der Matheplanet ist ja ein Gemeinschaftsprojekt, und alle sind herzlich eingeladen, dazu noch etwas beizusteuern. Und falls das gerade nicht dein Fachgebiet ist, denke dir doch schon einmal Schönes zu anderen Themen aus, denn im nächsten Jahr gibt es den Satz des Jahres 2012 - versprochen! Für die rege Beteiligung bedanken sich Die Jury - Gockel, Kay_S, mathema, PhysikRabe, Wally, wasseralm und Wauzi sowie Der Chef - matroid
by Wally
[Edit]

Querverweis

Zum Satz des Jahres 2012 (Gödels Unvollständigkeitssatz).
\(\endgroup\)
Get link to this article Get link to this article  Printable version Printer-friendly version -  Choose language     Kommentare zeigen Comments  
pdfFür diesen Artikel gibt es keine pdf-Datei


Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen:
: Matroids Matheplanet :: Satz des Jahres :: Analysis :: Funktionentheorie :: Laplacetransformation :: Residuensatz :: Integralrechnung :: Komplexe Zahlen :: Grundstudium Mathematik :
Der Residuensatz - Der Satz des Jahres 2011 [von Gockel]  
Dieser Artikel gibt eine Schnelleinführung in die Grundlagen der Funktionentheorie und die Ideen hinter dem Residuensatz. Es werden außerdem typische Anwendungsbeispiele für den Residuensatz vorgeführt. Der Residuensatz ist der Satz des Jahres 2011
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
 
Aufrufzähler 57440
 
Aufrufstatistik des Artikels
Insgesamt 8494 externe Seitenaufrufe zwischen 2012.01 und 2021.10 [Anzeigen]
DomainAnzahlProz
https://google.com450.5%0.5 %
https://metager.de10%0 %
https://google.de2813.3%3.3 %
https://matheplanet.com20%0 %
http://google.de556165.5%65.5 %
http://google.pl3073.6%3.6 %
http://google.it4405.2%5.2 %
http://google.ru3634.3%4.3 %
http://google.isearchinfo.com2673.1%3.1 %
http://google.fr2482.9%2.9 %
http://google.ie1662%2 %
http://google.nl1171.4%1.4 %
http://google.si891%1 %
http://google.no610.7%0.7 %
http://ecosia.org610.7%0.7 %
https://google.ru520.6%0.6 %
http://www.mathematik.de390.5%0.5 %
http://www.facebook.com360.4%0.4 %
https://google.tn250.3%0.3 %
https://duckduckgo.com230.3%0.3 %
http://r.duckduckgo.com280.3%0.3 %
http://www.ecosia.org220.3%0.3 %
https://www.ecosia.org170.2%0.2 %
http://techmath.czechnology.cz170.2%0.2 %
https://www.bing.com140.2%0.2 %
http://www.metacrawler.com80.1%0.1 %
http://isearch.avg.com80.1%0.1 %
http://www.bing.com981.2%1.2 %
http://google.com60.1%0.1 %
http://mathematik.de60.1%0.1 %
http://google.dk60.1%0.1 %
https://www.startpage.com40%0 %
http://suche.t-online.de40%0 %
http://www.sm.de40%0 %
http://yandex.ru50.1%0.1 %
http://suche.gmx.net20%0 %
http://search.snapdo.com20%0 %
http://isearch.babylon.com10%0 %
http://www2.delta-search.com10%0 %
http://us.yhs4.search.yahoo.com10%0 %
http://search.icq.com10%0 %
http://speedial.com10%0 %
http://search.chatzum.com10%0 %
http://search.smilebox.com20%0 %
http://suche.aol.de30%0 %
http://at.search.yahoo.com10%0 %
http://suche.web.de20%0 %
https://www.qwant.com10%0 %
http://search.conduit.com60.1%0.1 %
http://65.60.5.22010%0 %
http://de.search.yahoo.com50.1%0.1 %
http://www.bibsonomy.org30%0 %
http://search.yahoo.com30%0 %
http://t.co10%0 %
http://search.babylon.com20%0 %
http://ch.search.yahoo.com10%0 %
http://m.facebook.com10%0 %
http://www3.mathematik.de10%0 %
http://www.physik09.de10%0 %
http://www.plusnetwork.com10%0 %
http://de.yhs4.search.yahoo.com20%0 %
https://de.m.wikipedia.org10%0 %
http://www.benefind.de10%0 %
https://www.youtube.com10%0 %
http://internet-start.net10%0 %
http://search.v9.com10%0 %
http://www.lostcon.de10%0 %
http://navigationshilfe.t-online.de10%0 %
http://meta.rrzn.uni-hannover.de10%0 %
http://int.search.myway.com10%0 %
http://webstats.motigo.com10%0 %
http://de.luna.tv10%0 %
http://duckduckgo.com10%0 %
http://www.amazon.de10%0 %
http://search.sweetim.com20%0 %
http://www.backlinktest.com10%0 %
http://www.malediven-resort.de00%0 %

Aufrufer der letzten 5 Tage im Einzelnen
Insgesamt 12 Aufrufe in den letzten 5 Tagen. [Anzeigen]
DatumAufrufer-URL
2021.10.12-2021.10.22 (7x)https://google.com/
2021.10.21 20:17https://metager.de/
2021.10.19-2021.10.20 (4x)https://google.de/

Häufige Aufrufer in früheren Monaten
Insgesamt 8291 häufige Aufrufer [Anzeigen]
DatumAufrufer-URL
201206-06 (457x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=2&ved=0CGkQFjAB
201207-07 (440x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=2&ved=0CFgQFjAB
201301-01 (411x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=verwende den satz über die berechnung tr...
2015-2019 (400x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=
201202-02 (334x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=3&ved=0CDYQFjAC
201205-05 (307x)http://google.pl/url?sa=t&rct=j&q=bestimmen sie die potenzreihenentwicklung u...
201401-12 (306x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=residuensatz
2012-2013 (274x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=wesentliche singularität residuum
201203-03 (270x)http://google.it/url?sa=t&rct=j&q=inverse laplacetransformation residuen
2013-2014 (268x)http://google.ru/url?sa=t&rct=j&q=
201211-11 (267x)http://google.isearchinfo.com/search?site=&source=hp&q=residuensatz
201307-07 (267x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=was ist ein residuum
201302-02 (265x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zrücktransformation durch residuensatz
2013-2017 (248x)http://google.fr/url?sa=t&rct=j&q=
201201-01 (245x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=werte des integrals für geschlossene kur...
2020-2021 (229x)https://google.de/
201306-06 (213x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zeigen sie die identität integral cos re...
201212-12 (199x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=trigonometrisch inegrale residuumsatz
201204-04 (185x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=z-rücktransformation residuensatz beispi...
201210-10 (174x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=uneigentliche integrale residuensatz
201402-02 (174x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=residuum differenz zweier funktionen
2015-2017 (170x)http://google.it/url?sa=t&rct=j&q=
201407-07 (166x)http://google.ie/search?source=android-browser&q=residuensatz beispiel
201403-03 (164x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=residuum für dummis
201502-02 (146x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=3&ved=0CCQQFjAC
201208-08 (143x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zz mathematik im englischen
201312-12 (127x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=residuensatz sinus cosinus
201409-09 (117x)http://google.nl/url?sa=t&rct=j&q=
201405-05 (105x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=8&ved=0CE4QFjAH
201309-09 (95x)http://google.ru/url?sa=t&rct=j&q=residuensatz erklärung
201304-04 (95x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=warum gibt es bei den residuen keine stammf...
201410-10 (89x)http://google.si/search?source=android-browser-type&v=133247963&q=residuensat...
201503-03 (87x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=cauchy integralformel residuensatz
201408-08 (87x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=7&ved=0CC0QFjAG
201310-10 (78x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=residuensatz beispiel
201308-08 (70x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=war residuensatz spezialfall von cauchy int...
201404-04 (61x)http://google.no/url?sa=t&rct=j&q=
201202-02 (55x)http://ecosia.org/search.php?q=doppelpunktfrei funktionentheorie
202101-01 (52x)https://google.ru/
202102-05 (48x)https://google.de
2015-2016 (40x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=8&rct=j&q=residuensatz
2012-2016 (39x)http://www.mathematik.de/ger/diverses/aktuelles/satz-des-jahres-2012.html
201203-10 (32x)http://www.facebook.com/
202106-06 (25x)https://google.tn/
202104-09 (24x)https://google.com/
2020-2021 (22x)https://duckduckgo.com/
2015-2018 (17x)http://r.duckduckgo.com/
2013-2014 (17x)http://www.ecosia.org/search?q=residuensatz integral über rand&addon=chrom...
201603-03 (16x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=6&rct=j&q=wann residuum cauchy
2020-2021 (16x)https://www.ecosia.org/
201602-02 (15x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=5&rct=j&q=residuensatz
202009-09 (14x)https://google.com/search?q=residuensatz
201706-12 (14x)http://google.de/
2012-2016 (14x)http://techmath.czechnology.cz/viewtopic.php?f=206&t=3107
2013-2015 (11x)http://r.duckduckgo.com/l/?kh=-1
2020-2021 (11x)https://www.bing.com/
2012-2013 (8x)http://www.metacrawler.com/info.metac.t1.2/search/web?fcoid=417&fcop=topnav&f...
201703-03 (7x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=12&rct=j&q=residuum beispiel
201207-09 (7x)http://isearch.avg.com/search?cid={786CB5C2-8E5A-4A23-BF12-12081441C9BE}&mid=...
2014-2018 (7x)http://www.bing.com/search?q=residuensatz&src=IE-TopResult&FORM=IETR02&conver...
201605-05 (6x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=1/(x^2-i) integral residuen
2018-2019 (6x)http://google.com/
201702-02 (6x)http://google.de/search?site=&source=hp&ei=59anWKGGBsnzUrGmq8AM&q=residuensat...
201203-03 (6x)http://mathematik.de/ger/diverses/aktuelles/satz-des-jahres-2012.html
201608-08 (6x)http://google.dk/url?sa=t&rct=j&q=
201609-09 (5x)http://google.de/search?source=android-home&site=webhp&oq=&aqs=&q=residuensat...
2013-2014 (4x)http://www.ecosia.org/search?q=residuensatz&addon=opensearch
201206-06 (4x)http://www.bing.com/search?q=Residuensatz beispiel&go=&form=QBLH&filt=all
2020-2021 (4x)https://www.startpage.com/

[Top of page]

"Stern Mathematik: Der Residuensatz - Der Satz des Jahres 2011" | 16 Comments
The authors of the comments are responsible for the content.

Re: Der Residuensatz - Der Satz des Jahres 2011
von: gaussmath am: Fr. 18. März 2011 14:26:55
\(\begingroup\)Sehr interessant geschrieben!\(\endgroup\)
 

Re: Der Residuensatz - Der Satz des Jahres 2011
von: briefkasten am: Sa. 19. März 2011 16:27:06
\(\begingroup\)Kann mich gaussmath nur anschließen 😄 Danke für den Artikel...\(\endgroup\)
 

Re: Der Residuensatz - Der Satz des Jahres 2011
von: matroid am: Mo. 21. März 2011 08:47:47
\(\begingroup\)Hallo ihr 7 von der Jury! Ich danke euch, dass ihr die Wahl zum Satz des Jahres so hervorragend organisiert und gestaltet habt. Und mein besonderer Dank für diese gelungene Laudatio. Ich finde die Darstellung richtig gut. Ihr habt da unheimlich viel zusammengetragen, und es ist euch ein Beitrag gelungen, der wirklich ohne wesentliche Vorkenntnisse gelesen werden kann und der wunderbar zeigt, wie brilliant Mathematik ist und wie weit man damit in (zunächst) unbekannte Welten vorstoßen kann. Natürlich sind das alles klassische Ergebnisse. Aber diese Art Klassik ist einfach nur schön und reichhaltig und elegant. Ich glaube, dieser Artikel wird viele begeisterte Leser finden und leistet in hervorragender Weise das, was beabsichtigt ist: für die Mathematik werben. Gruß Matroid\(\endgroup\)
 

Re: Der Residuensatz - Der Satz des Jahres 2011
von: Martin_Infinite am: Mo. 21. März 2011 10:59:10
\(\begingroup\)Wunderschöner Artikel! Die Funktionentheorie steckt voller genialer Ergebnisse, die nicht mit allzu großem Aufwand bewiesen werden, und noch dazu unheimlich nützlich und schön sind. Das habt ihr mit dem Residuensatz hier eindrucksvoll bewiesen, und zwar mit einer lebhaften, bildlichen und präzisen Sprache. Wie man die rationalen Integrale ohne den Weg ins Komplexe berechnet, findet man in dem Artikel Ein paar Integrale .... Noch ein paar Anmerkungen zum Artikel: a) Die Bemerkung am Anfang "Nichtsdestotrotz sind komplex differenzierbare Funktion grundlegend von reell differenzierbaren Funktionen verschieden." könnte man noch etwas positiver formulieren: Sie sind besser! Holomorphe Funktionen sind im Vergleich zu glatten Funktionen wesentlicher rigider, womit sich deren Berechnung erheblich vereinfacht und die Theorie potentiell reichhaltiger ist. Unterstützt wird das auch durch Serres GAGA-Korrespondenz, bei der komplexe Analysis mit komplex-algebraischer Geometrie verbunden wird. Grundlegende und anschauliche Bemerkungen zu komplexer Differenzierbarkeit finden sich bei stackexchange. b) Die Voraussetzung U != \emptyset kann überall weggelassen werden. c) Es wäre schön, wenn bei den verwendeten Sätzen gute Quellen (d.h. eine Einführung in die Funktionentheorie) angegeben werden, in denen man die Beweise und die ganzen Grundlagen sich genauer ansehen kann. d) Ihr schreibt zur Anwendung des Residuensatzes "In den beiden ersten Beispielen hat er vor allem eine Arbeitsersparnis gebracht. Zur Not hätten wir auch Stammfunktionen bestimmen können. " Aber war das auch bei exp(2 cos(x)) der Fall?\(\endgroup\)
 

Re: Der Residuensatz - Der Satz des Jahres 2011
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 13. April 2011 12:05:36
\(\begingroup\)Hallo, sehr schöner Artikel. Gibt es irgendwo Informationen über die Geschichte des Residuensatzes, also zB wo er herkommt, woraus er entwickelt wurde und wer dafür verantwortlich war? Fände ich super interessant. lg Andreas \(\endgroup\)
 

Re: Der Residuensatz - Der Satz des Jahres 2011
von: mire2 am: Mi. 13. April 2011 20:22:43
\(\begingroup\)Ein ganz kurzer Anfang: books.google.de/books?id=-I7C9a4ZQM0C&lpg=PP1&dq=remmert%20funktionentheorie&num=50&pg=PA347#v=onepage&q&f=false Gruß mire2\(\endgroup\)
 

Re: Der Residuensatz - Der Satz des Jahres 2011
von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 16. April 2011 15:49:21
\(\begingroup\)Vielen Dank schon mal. Ist manchmal gar nicht einfach, auch was zu den Hintergründen zu finden... vg Andreas \(\endgroup\)
 

Re: Der Residuensatz - Der Satz des Jahres 2011
von: dhochn am: Di. 17. Mai 2011 00:09:32
\(\begingroup\)Gute Wahl, hab meine Facharbeit darüber geschrieben ;)\(\endgroup\)
 

Re: Der Residuensatz - Der Satz des Jahres 2011
von: PhilippWehrli am: Do. 12. Januar 2012 00:02:30
\(\begingroup\)Ich habe den Text nur überflogen. Da sticht mir der Satz ins Auge: "Die Cauchy'sche Integralformel sagt aus: Kennt man eine holomorphe Funktion auf dem Rand einer Kurve, kennt man sie auch im Innengebiet." Das erinnert mich stark an die Situation bei schwarzen Löchern: Dort ist die Information, die in einem schwarzen Loch ist, proportional zur Oberfläche.\(\endgroup\)
 

Re: Der Residuensatz - Der Satz des Jahres 2011
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 23. Juli 2012 00:41:00
\(\begingroup\)Ein paar Klitzekleine Ungenauigkeiten sind drin aber tip top Artikel, hat mir sehr geholfen das letzte Semester zu reflektieren. \(\endgroup\)
 

Re: Der Residuensatz - Der Satz des Jahres 2011
von: Martin_Infinite am: So. 26. Mai 2013 00:52:07
\(\begingroup\)Könnte man nicht etwas überspitzt sagen, dass die Integralformel und der Integralsatz von Cauchy, sowie der Residuensatz, direkte Folgerungen aus der Berechnung $\oint_{K} z^k = \left\{\begin{array}{cc} 0 & k \neq -1 \\ 2 \pi i & k = -1 \end{array}\right.$ sind? Der Rest scheint nur sowas wie Vertauschung von Reihen und Integration zu sein. Ich mag mich aber irren ...\(\endgroup\)
 

Re: Der Residuensatz - Der Satz des Jahres 2011
von: Gockel am: So. 26. Mai 2013 01:47:04
\(\begingroup\)Hi Martin. Ja, etwas überspitzt kann man sagen, dass die Funktionentheorie-1-Vorlesung im Wesentlichen aus dieser Formel besteht. So falsch ist das nicht, wenn man ein wenig mit den Händen wedelt und die Details ignoriert. Genau daher kommt ja meine informelle "Herleitung" des Residuensatzes. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Der Residuensatz - Der Satz des Jahres 2011
von: muartiez am: Mi. 24. Juli 2013 20:04:32
\(\begingroup\)Ganz ganz starker Artikel! Hat Spaß gemacht zu lesen und mitzudenken, sehr gut strukturiert und erklärt. Danke :)\(\endgroup\)
 

Re: Der Residuensatz - Der Satz des Jahres 2011
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 21. Januar 2014 20:46:32
\(\begingroup\)Super Beitrag, es hat aber einen kleinen Tippfehler, dort wo der Entwicklungssatz erwähnt wird. Es wird unter (b) auf (b) verwiesen, statt auf (a). \(\endgroup\)
 

Re: Der Residuensatz - Der Satz des Jahres 2011
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 07. Oktober 2014 13:07:01
\(\begingroup\)Leider stimmen die Reihen für cos(z) und sin(z) nicht! Das ist vielleicht "nur" ein "Tippfehler", aber ein verheerender: Die Reihenkoeffizenten alternieren, es fehlt also jeweils (-1)^n ! Danke für die schöne Zusammenstellung! Wenn allerdings schon bei diesen Standardreihen wesentliche Fehler zu finden sind, leidet der Gesamteindruck erheblich und macht es mir schwer den Rest als Lerngrundlage einzubeziehen, weil diese "kleinen" Fehler zu falschem Grundlagenwissen führen. Aber nochmal: Danke für die Mühe! \(\endgroup\)
 

Re: Der Residuensatz - Der Satz des Jahres 2011
von: fru am: Di. 07. Oktober 2014 15:54:59
\(\begingroup\)Danke für den Hinweis, es handelt sich vermutlich um einen copy&paste-Fehler. Die Änderung habe ich schon in die Wege geleitet ist schon durchgeführt worden. \(\endgroup\)
 

 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]