Stern Mathematik: Wie universelle Eigenschaften einem das Leben erleichtern
Released by matroid on Sa. 23. Juli 2011 20:14:50 [Statistics]
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Mathematik

\(\begingroup\) Wie universelle Eigenschaften einem das Leben erleichtern

In diesem Artikel möchte ich zeigen, wie universelle Eigenschaften einem das Leben erleichtern können. Dies habe ich in meinem einführenden Artikel über universelle Eigenschaften bereits angerissen und wird hier nun mit Leben gefüllt. Die meisten Lehrbücher der Algebra arbeiten erst dann ernsthaft mit universellen Eigenschaften (und selbst dann nicht immer konsequent), wenn die expliziten Konstruktionen zu unübersichtlich werden, um Elementbeweise zu führen (z.B. Tensorprodukte). Dabei ist es aber meiner Meinung schon bei einfacheren, konkreten Konstruktionen hilfreich, universelle Eigenschaften zu benutzen, um sich nicht immer wieder mit denselben Rechnungen vom richtigen Verständnis des Zusammenhangs abzuhalten. Das werde ich in diesem Artikel mit einigen einfachen Beispielen belegen, die auch größtenteils schon hier auf dem Matheplaneten aufgetaucht sind. Also: In Bezug auf die Grundlagen der Algebra möchte ich euch ein wenig die funktorielle Sichtweise erklären ...

Die vorherrschende Meinung ...


Klickbare Inhaltsübersicht. Thema A. Tensorprodukte A1. Vertauschen mit direkten Summen A2. Rechtsexaktheit A3. Assoziativität Thema B. Polynomringe B1. R[X]/(X-a)=R B2. R[X][Y]=R[X,Y] B3. Skalarerweiterung von R[X]/(f) Thema C. Lokalisierungen C1. Vertauschen mit Lokalisierungen C2. Vertauschen mit direkten Summen C3. Berechnung von Ap/pAp. C4. Die Sichtweise Af = A[X]/(1-Xf). Thema D. Modultheorie D1. Verträglichkeit zwischen Hom und Lokalisierung D2. Zerlegung in zyklische Moduln D3. Gerichtete Kolimites von flachen Moduln D4. Moduln der Differentiale Aufgaben Schlusswort Vorbemerkung Die einzelnen Abschnitte können prinzipell unabhängig voneinander gelesen werden [insbesondere ist es überhaupt nicht schlimm, wenn man von der einen oder anderen Konstruktion noch nichts kennt], allerdings wird in A1 die generelle Vorgehensweise sehr ausführlich geschildert, auf die überall Bezug genommen wird. Für eine Zusammenfassung dieser Vorgehensweise siehe hier. Durch einen Klick auf gelangt ihr zu dieser Übersicht zurück. Wenn ihr eine große Bildschirmauflösung habt, dann wird der Artikel leserlicher, wenn ihr das Fenster ein wenig verkleinert, oder euch gleich die druckerfreundliche Version anschaut. Eine besondere Rolle im Artikel spielt das folgende, sehr wichtige Lemma: Sind M,N zwei R-Moduln, und gibt es einen Isomorphismus \hom(M,-) \cong \hom(N,-), d.h. für alle R-Moduln T eine Bijektion \hom(M,T) \cong \hom(N,T), die natürlich in T ist, so gibt es (genau) einen Isomorphismus M \cong N, der diese Bijektionen induziert. Wenn dem Leser das jetzt neu vorkommt, soll er unbedingt dieses Lemma jetzt beweisen; es ist ganz einfach, aber für das Folgende sehr wichtig. Die anderen Leser wissen natürlich, dass das nur ein Spezialfall des Yoneda-Lemmas ist und allgemeiner in jeder Kategorie zutrifft (siehe z.B. Zaos' Artikel).
Thema A. Tensorprodukte

A1. Tensorprodukte vertauschen mit direkten Summen. Es geht um folgendes: Ist (M_i)_{i \in I} eine Familie von R-Moduln, und N ein weiterer R-Modul, so gibt es einen kanonischen Isomorphismus \displaystyle N \otimes \bigoplus_{i \in I} M_i \cong \bigoplus_{i \in I} N \otimes M_i. Man kann sich das als eine Kategorifizierung des Distributivgesetzes n \cdot (m_1 + m_2 + ...) = n \cdot m_1 + n \cdot m_2 + ... vorstellen und auch merken. Es gibt nun mehrere Wege, dies zu beweisen. a) Wir benutzen die explizite Konstruktion des Tensorproduktes und der direkten Summe. Das ist der umständlichste und dümmste Beweis, den man sich vorstellen kann. b) Wir benutzen die universelle Eigenschaft des Tensorproduktes, um zwei zueinander inverse Homomorphismen anzugeben: Nämlich können wir eine bilineare Abbildung N \times \bigoplus_{i \in I} M_i \to \bigoplus_{i \in I} N \otimes M_i angeben, durch (n, \sum_{i \in I} m_i) \mapsto \sum_{i \in I} n \otimes m_i. Hierbei ist m_i = 0 für fast alle i, also auch n \otimes m_i = 0 für fast alle i und die Summen sind wirklich wohldefiniert. Die universelle Eigenschaft des Tensorproduktes sagt uns nun, dass es genau einen Homomorphismus N \otimes \bigoplus_{i \in I} M_i \to \bigoplus_{i \in I} N \otimes M_i gibt, der n \otimes \sum_{i \in I} m_i \mapsto \sum_{i \in I} n \otimes m_i abbildet. Um den Homomorphismus in die andere Richtung anzugeben, definieren wir zunächst für alle i \in I einen Homomorphismus N \otimes M_i \to N \otimes \bigoplus_{i \in I} M_i auf offensichtliche Weise, nämlich als id_N tensoriert mit der Inklusion von M_i in die direkte Summe. Diese können wir dann zu einem Homomorphismus auf der direkten Summe fortsetzen. Dass die so erhaltenden Homomorphismen zueinander invers sind, prüft man auf den Erzeugern, wo es aber klar ist. Das ist wohl der Beweis, den man am öftesten sieht. Er ist immer noch recht umständlich. Er lässt sich noch ein wenig verbessern, indem man die universelle Eigenschaft der direkten Summe ernst nimmt und gar nicht erst mit Elementen in der direkten Summe argumentiert. So kann man dann auch das Argument am Ende, dass die beiden Homomorphismen zueinander invers sind, vereinfachen: Gleichheit von Morphismen auf einem Tensorprodukt lässt sich nach der universellen Eigenschaft eben auf den reinen Tensoren testen, und Gleichheit von Morphismen auf einer direkten Summe lässt sich nach der universellen Eigenschaft eben auf den einzelnen Summanden testen. So gelangen wir also schon einmal zur verbesserten Beweisvariante b'). Die nächste und womöglich beste Beweisvariante benutzt das Yoneda-Lemma, welches wir bereits oben wiederholt haben. c) Es gibt in R-Moduln T natürliche Bijektionen \displaystyle \hom(N \otimes \bigoplus_{i \in I} M_i,T) \stackrel{(1)}{\cong} \text{Bilin}(N \times \bigoplus_{i \in I} M_i,T) \stackrel{(2)}{\cong} \hom(\bigoplus_{i \in I} M_i,\hom(N,T)) \displaystyle \stackrel{(3)}{\cong} \prod_{i \in I} \hom(M_i,\hom(N,T)) \stackrel{(4)}{\cong} \prod_{i \in I} \hom(N \otimes M_i,T) \stackrel{(5)}{\cong} \hom(\bigoplus_{i \in I} N \otimes M_i,T) Aus dem Yoneda-Lemma folgt nun die Behauptung! Die einzelnen Isomorphismen entstehen wiefolgt: (1) ist die universelle Eigenschaft des Tensorproduktes, sprich die Definition. (2) ist ein Spezialfall der allgemeinen Bijektion \text{Bilin}(N \times M,T) \cong \hom(M,\hom(N,T)), die durch \phi \mapsto (m \mapsto (n \mapsto \phi(n,m))) gegeben ist. (3) ist die universelle Eigenschaft der direkten Summe, also von einem kategoriellen Standpunkt aus ebenfalls einfach die Definition. (4) und (5) sind parallel zu (1) und (2). Die Natürlichkeit in T ist bei (1),(2) und damit (4),(5) trivial, und bei (3) ergibt sie sich daraus, dass die Identifikation nur "vorne" war, also kompatibel mit Abbildungen "hinten" ist. Obwohl der Beweis oben nicht so konkret wie etwa b) ist, können wir in der Tat den konstruierten Isomorphismus "angeben". Das heißt natürlich, dass man diesen kategoriellen Standpunkt, den man hier eingenommen hat, erst einmal wieder verlässt, und mit Elementen in den Moduln hier arbeitet. Jedenfalls kann man T = \bigoplus_{i \in I} N \otimes M_i oben einsetzen, ein Urbild von id_T unter der Bijektion wählen und so den in b) konstruierten Homomorphismus auch konkret gewinnen. Beachte auch, dass der Beweis in b) im Prinzip dasselbe wie c) ist, bloß dass man das Yoneda-Lemma im Spezialfall erneut bewiesen hat und dabei die Bijektionskette aus c) insgesamt 4 mal durchlaufen hat. Welch Redundanz. Man könnte auch noch etwas weiter gehen und sagen, dass tatsächlich eine Gleichheit (und so wird es auch sehr oft geschrieben) N \otimes \bigoplus_{i \in I} M_i = \bigoplus_{i \in I} N \otimes M_i besteht. Die definierenden universellen Eigenschaften der hier vorkommenden Objekte legen nämlich nahe, ein Objekt M mit seinem Hom-Funktor \hom(M,-) zu identifizieren, und unter dieser Identifikation M \oplus N bzw. M \otimes N als den Funktor \hom(M,-) \times \hom(N,-) bzw. \text{Bilin}(M \times N,-) zu definieren. Dann ist die in c) natürlich der allernatürlichste Beweis, den es nur geben kann. Er vergleicht einfach die definierenden Funktoren und zeigt, dass sie identisch sind. d) Dieser Beweis ist im Prinzip von derselben Natur wie c), bloß dass er eine bei c) zentrale benutzte Eigenschaft weiter abstrahiert. Uns geht es ja darum, zu zeigen, dass der Funktor N \otimes - auf natürliche Weise direkte Summen respektiert. Nun gilt aber wie bereits erwähnt \hom(N \otimes M,T) ~= \hom(M,\hom(N,T)), natürlich in allen Variablen. Es handelt sich also um eine Adjunktion zwischen N \otimes - und \hom(N,-): Allgemeiner heißt ein Funktor F : C \to D linksadjungiert zu einem Funktor G : D \to C, wenn es eine in c,d natürliche Bijektion \displaystyle \hom(F(c),d) \cong \hom(c,G(d)) gibt. In einer solchen Situation erhält F immer direkte Summen, allgemeiner sogar und mit demselben Beweis auch Kolimites. Der Beweis dafür ist denkbar einfach: \hom(F(\oplus_i c_i),-) \cong \hom(\oplus_i c_i,G(-)) \cong \prod_i \hom(c_i,G(-)) \cong \prod_i \hom(F(c_i),-) \cong \hom(\oplus_i F(c_i),-) Das Yoneda-Lemma liefert nun wie gewünscht F(\oplus_i c_i) \cong \oplus_i F(c_i). Das waren die vier Beweiswege. Diesem einfachen Distributivgesetz sollte man vielleicht nicht so viel Aufmerksamkeit schenken, wenn die hier gemachten Bemerkunen nicht exemplarisch für viele andere Beispiele und allgemeinere Zusammenhänge stehen würden, die gleich noch besprochen werden. Ich fasse noch einmal zusammen: a) ist der dumme, umständliche und unnatürliche Beweis. b) ist schon besser, wiederholt aber immer unnötigerweise das Yoneda-Argument und ist insofern umständlich. Algebrabücher und -vorlesungen sind voll davon. c) ist der beste und natürlichste Beweis, man vergleicht einfach die Funktoren. d) zeigt auf, dass c) manchmal wieder nur eine Instanz eines allgemeineren Zusammenhangs ist. A2. Tensorprodukte sind rechtsexakt. Damit ist gemeint, dass für eine exakte Sequenz M' \to M \to M'' \to 0 von R-Moduln auch die induzierte Sequenz N \otimes M' \to N \otimes M \to N \otimes M'' \to 0 exakt ist. Wieder gibt es die vier genannten Beweiswege: a) Man benutze die explizite Konstruktion des Tensorproduktes. Das ist nun wahrlich außerordentlich dumm, aber weil ich es noch nirgendwo gesehen habe und damit auch der Kontrast zu den besseren Beweisen schärfer wird, hier der Beweis: Also wir benutzen die Definition N \otimes M = freier Modul auf der Menge M \times N, modulo dem Untermodul, der von den bilinearen Relationen erzeugt wird. Also kurz N \otimes M = F(N \times M) / \langle \text{bilineare Relationen}\rangle. Wir bezeichnen die Homomorphismen der exakten Sequenz mit i : M' \to M und p : M \to M''. Die bilinearen Relationen auf F(N \otimes M'') enthalten N \times \{0\}, sodass (N \otimes p)(N \otimes i)=0 leicht aus pi=0 folgt. Die Surjektivität von N \otimes p folgt leicht aus der von p. Wir müssen also nur \ker(N \otimes p) \subseteq \text{im}(N \otimes i) nachprüfen. Dazu sei x \in ker(N \otimes p), repräsentiert durch eine endliche Summe \displaystyle x'=\sum_{(n,m) \in N \times M} r_{n,m} \cdot (n,m) \in F(N \times M). Dann wird also \displaystyle \sum_{(n,m) \in N \times M} r_{n,m} \cdot (n,p(m)) \in F(N \times M'') von bilinearen Relationen erzeugt. Weil p : M \to M'' surjektiv ist, lassen sich diese zu bilinearen Relationen von N \times M liften. Ist y' das entsprechende Element in F(N \times M), so liegt also x' - y im Kern von F(N \times M) \to F(N \times M'') und repräsentiert ebenfalls x im Tensorprodukt N \otimes M. Wir können daher annehmen, dass x selbst im Kern liegt. In F(M \times M'') folgt \displaystyle 0 = \sum_{(n,m) \in N \times M} r_{n,m} \cdot (n,p(m)) = \sum_{(n,m') \in N \times M''} \left(\sum_{m \in p^{-1}(m')} r_{n,m} \right) (n,m') Koeffizientenvergleich gibt nun die Gleichung \sum_{m \in p^{-1}(m')} r_{n,m} = 0 (*) für alle (n,m') \in N \times M''. Modulo bilinearer Relationen gilt nun \displaystyle x' \equiv \sum_{n \in N} \left(n, \sum_{m \in M} r_{n,m} \cdot m\right) Wir behaupten nun, dass hierbei jeweils \sum_{m \in M} r_{n,m} \cdot m im Bild von i liegt und daher x im Bild von N \otimes i liegt. Dies folgt aus \text{im}(i)=\ker(p) und der Rechnung \displaystyle p\left(\sum_{m \in M} r_{n,m} \cdot m\right)=\sum_{m \in M} r_{n,m} \cdot p(m) = \sum_{m'\in M''} \left(\sum_{m \in p^{-1}(m')} r_{n,m} \right) m' \stackrel{(*)}{=} 0. b) Wir konstruieren wieder zwei inverse Abbildungen ... aber wozwischen? Nun weil (N \otimes p)(N \otimes i)=N \otimes pi=N \otimes 0 = 0 ohnehin klar ist, setzt sich N \otimes p : N \otimes M \to N \otimes M'' nach dem Homomorphiesatz zu einem Homomorphismus \alpha : \text{coker}(N \otimes i)=(N \otimes M)/ \text{im}(N \otimes i) \to N \otimes M'' fort, nämlich [n \otimes m] \mapsto n \otimes p(m), der genau dann ein Isomorphismus ist, wenn die tensorierte Sequenz exakt ist. Konstruiere dazu einen inversen Homomorphismus \beta : N \otimes M'' \to \text{coker}(N \otimes i) wiefolgt: Betrachte die Abbildung N \times M'' \to \text{coker}(N \otimes i), (n,m') \mapsto [n \otimes m], wobei m \in M mit p(m)=m'' gewählt ist. Diese ist wohldefiniert: Ist nämlich \tilde{m} ein weiteres Urbild, so ist m - \tilde{m} \in \ker(p)=\text{im}(i) und damit [n \otimes m]=[n \otimes \tilde{m}], weil die Differenz n \otimes (m - \tilde{m}) im Bild von N \otimes i liegt, also im Kokern verschwindet. Jetzt rechne man nach, dass die Abbildung tatsächlich bilinear ist, also zu einem Homomorphismus \beta Anlass gibt. Schließlich rechne man nach, dass \alpha und \beta zueinander invers sind, indem man dies auf Erzeugern testet. Ist das nicht umständlich? Und würde man jemals im Leben ohne weiteren Hintergrund auf diesen Beweis kommen? Und selbst wenn man ihn verstanden hat, kann man ihn sich merken? Ist das hier ein spezieller Trick? Also für mich war dieser Beweis immer nur ein großes Rätsel ... Das Yoneda-Lemma bringt zum Glück die Klarheit zurück: c) Die Exaktheit der gegebenen Sequenz bedeutet nach dem Homomorphiesatz und dem Yoneda-Lemma gerade, dass sich \hom(M'',T) mit dem Kern von \hom(i,T) : \hom(M,T) \to \hom(M',T) identifiziert. Benutzt man nun die (triviale) Linksexaktheit von \hom(N,-), so folgt \hom(N \otimes M'',T) = \hom(N,\hom(M'',T))= \hom(N,\ker(\hom(i,T))) = \ker(\hom(N,\hom(i,T))) = \ker(\hom(N \otimes i,T)) und damit die Exaktheit der tensorierten Sequenz. d) Wir haben bereits in 1d erwähnt, dass N \otimes - linksadjungiert ist und folglich Kolimites erhält. Spezialfälle davon sind Kokerne. Das ist gerade die Rechtsexaktheit. A3. Tensorprodukte sind assoziativ. Gemeint ist ein kanonischer Isomorphismus M \otimes (M' \otimes M'') \cong (M \otimes M') \otimes M'' für R-Moduln M,M',M''. a) Auch hier kann man sich ggf. mit Elementen totrechnen. b) Um zunächst einen Homomorphismus M \otimes (M' \otimes M'') \to (M \otimes M') \otimes M'' zu konstruieren, müssen wir eine bilineare Abbildung b auf M \times (M' \otimes M'') angeben. Dazu fixiere zunächst m \in M und gebe eine lineare Abbildung b_m : M' \otimes M'' \to (M \otimes M') \otimes M'' an. Dies geschieht wiederum durch eine bilineare Abbildung auf M' \times M'', nämlich (m',m'') \mapsto (m \otimes m') \otimes m''. Man muss natürlich nachrechnen, dass dies tatsächlich bilinear ist. Ebenso muss man nun nachrechnen, dass die Abbildung b : (m,t) \mapsto b_m(t) tatsächlich bilinear ist. Dabei muss man t als Summe von reinen Tensoren m'_i \otimes m''_i darstellen, und so weiter. Es ist dann \alpha charakterisiert durch m \otimes (m' \otimes m'') \mapsto (m \otimes m') \otimes m''. Den zu \alpha inversen Homomorphismus konstruiert man genauso. Dass sie tatsächlich invers sind, testet man auf den Erzeugern. Dieser Beweis hat also wieder so einen Trick in sich, auf den man vielleicht erst gar nicht kommen würde. c) Wir benutzen das Yoneda-Lemma und \hom(M \otimes (M' \otimes M''),-) \cong \hom(M,\hom(M' \otimes M'',-)) \cong \hom(M,\hom(M',\hom(M'',-))) \cong \hom(M \otimes M',\hom(M'',-)) \cong \hom((M \otimes M') \otimes M'',-). Der aufmerksame Leser wird bemerkt haben, dass wir hier wie zuvor in der Notation zwischen den Hom-Mengen, die man in jeder Kategorie hat, und den internen Hom-Moduln, die man hier hat, nicht unterschieden haben, und dass die Bijektion \hom(M \otimes N,T) \cong \hom(M,\hom(N,T)) auch als Isomorphismus von Moduln gelesen werden kann. Wieder kann man ohne Probleme auch die Bijektionskette nutzen, um einen "konkreten" Isomorphismus mit Elementen hinzuschreiben. d) Das Konzept der bilinearen Abbildung, das dem Tensorprodukt zugrunde liegt, lässt sich auch direkt auf beliebige Faktoren verallgemeinern. Ist (M_i)_{i \in I} eine Familie von R-Moduln und N ein weiterer R-Modul, so heißt eine Abbildung b : \prod_{i \in I} M_i \to N multilinear, wenn sie in jeder Komponente linear ist, d.h. für alle i_0 \in I und alle m \in \prod_{i \neq i_0} M_i ist die von b und m induzierte Abbildung M_{i_0} \to N linear. Genau wie im Falle I = \{1,2\} kann man zeigen, dass der Funktor der multilinearen Abbildungen auf \prod_{i \in I} M_i durch ein Objekt, dem Tensorprodukt \otimes_{i \in I} M_i darstellbar ist. Der Leser überlege sich mit der funktoriellen Methode allgemein für disjunkte Indexmengen I_1, I_2 \displaystyle \bigotimes_{i \in I_1} M_i \otimes \bigotimes_{i \in I_2} M_i = \bigotimes_{i \in I_1 \cup I_2} M_i und folgere daraus insbesondere M \otimes (M' \otimes M'') \cong M \otimes M' \otimes M'' \cong (M \otimes M') \otimes M''. Anschaulich gesagt können wir also Ausmultiplizieren, weil wir einfach eine natürliche Variante des Tensorproduktes für mehrere Faktoren haben. Sowohl M \otimes (M' \otimes M'') als auch (M \otimes M') \otimes M'' stellen den Funktor der trilinearen Abbildungen auf M \times M' \times M'' dar, sind also gleich. Man beachte, dass auch hier wieder die Beweiswege von a) bis d) bezüglich der Rechenlastigkeit abnehmen (bis man irgendwann nichts mehr rechnen muss!), wogegen die konzeptionellen Ideen zunehmen. Noch eine Aufgabe für den Leser: Für ganze Zahlen a,b,c zeige man möglichst elegant \text{ggT}(a,\text{ggT}(b,c))=\text{ggT}(\text{ggT}(a,b),c).


Thema B. Polynomringe

B1. R[X_1,....,X_n]/(X_1-a_1,\dotsc,X_n-a_n) \cong R. Hierbei ist R ein kommutativer Ring und a \in R^n ist ein Tupel von Elementen aus R. Beachte als Spezialfall R[X]/(X)=R. a) Betrachte die Abbildung \alpha : R[X_1,\dotsc,X_n] \to R,~ \sum_{\mu} r_{\mu} X_1^{\mu_1} \cdots X_n^{\mu_n} \mapsto \sum_{\mu} r_{\mu} a_1^{\mu_1} \cdots a_n^{\mu_n}. Man rechnet nach, dass dies ein surjektiver Ringhomomorphismus ist. Nach dem Homomorphiesatz muss also nur noch gezeigt werden, dass der Kern genau (X_1-a_1,\dotsc,X_n-a_n) ist. Haben wir aber ein Polynom f \in R[X_1,\dotsc,X_n], so hat dieses eine endliche Taylorentwicklung im Punkte (a_1,\dotsc,a_n), insbesondere kann man f = p_1 (X_1 - a_1) + \dotsc + p_n (X_n - a_n) + r schreiben, wobei r \in R und p_1,\dotsc,p_n Polynome sind. Das Bild unter \alpha ist gerade r. Daraus folgt die Behauptung. b) In der einen Richtung haben wir den kanonischen Ringhomomorphismus R \to R[X_1,\dotsc,X_n]/(X_1-a_1,\dotsc,X_n-a_n), und in der anderen Richtung betrachten wir zunächst die n Elemente a_1,\dotsc,a_n \in R: Nach der universellen Eigenschaft des Polynomringes gibt es genau einen Homomorphismus von R-Algebren R[X_1,\dotsc,X_n] \to R, der X_i \mapsto a_i abbildet. Insbesondere schickt er X_i - a_i \mapsto 0. Das Ideal (X_1-a_1,\dotsc,X_n-a_n) liegt also im Kern. Nach dem Homomorphiesatz erhalten wir also einen Homomorphismus von R-Algebren R[X_1,\dotsc,X_n]/(X_1-a_1,\dotsc,X_n-a_n) \to R, der die Restklasse [X_i] auf a_i abbildet. Überlegen wir uns, dass die so konstruierten Homomorphismen zueinander invers sind: In der einen Richtung kommt offensichtlich die Identität von R heraus. In der anderen Richtung müssen wir zeigen, dass die Komposition R[X_1,\dotsc,X_n]/(...) \to R \to R[X_1,\dotsc,X_n]/(...) die Identität ist. Weil die linke Seite als R-Algebra von den Restklassen [X_i] erzeugt wird, reicht es, dies auf diesen Erzeugern nachzuprüfen. Aber [X_i] geht nach [a_i]=[X_i]. c) Wir benutzen das Yoneda-Lemma in der Kategorie der R-Algebren: Für alle A gilt \hom(R[X_1,\dotsc,X_n]/(X_1-a_1,\dotsc,X_n-a_n),A) \cong \{\phi \in \hom(R[X_1,\dotsc,X_n],A) : \forall i : \phi(X_i-a_i)=0\} \cong \{b \in A^n : \forall i : b_i - a_i = 0\} = \{a\} \cong \hom(R,A) Benutzt wurde dabei also die universelle Eigenschaft des Quotienten (d.h. der Homomorphiesatz) und die universelle Eigenschaft der Polynomalgebra. Die Isomorphie ist nun glasklar: Wenn man zu R zwar ein neues Element hinzufügt, aber danach wiederum als Relation herausteilt, dass es mit einem Element aus R übereinstimmen soll, dann ist natürlich nichts passiert und man erhält R zurück. B2. Iteration: R[X,Y] \cong R[X][Y] a) Man rechne nach, dass R[X,Y] \to R[X][Y],~ \sum_{i,j} r_{i,j} X^i Y^j \mapsto \sum_j (\sum_i r_{i,j} X^i) Y^j ein bijektiver Ringhomomorphismus ist. b) Das Element X \in R[X,Y] liefert nach der universellen Eigenschaft der Polynomalgebra einen Homomorphismus von R-Algebren R[X] \to R[X,Y]. Das Element Y \in R[X,Y] liefert nun eine Fortsetzung zu R[X][Y] \to R[X,Y]. Umgekehrt liefern die Elemente X,Y \in R[X][Y] einen Homomorphismus R[X,Y] \to R[X][Y]. Man rechnet nun nach, dass die zwei so konstruierten Homomorphismen zueinander invers sind; am besten b') indem man dies unter erneuter Anwendung der universellen Eigenschaften auf die Testelemente X,Y jeweils reduziert. c) Beide R-Algebren stellen denselben Funktor dar: \hom(R[X][Y],A) \cong \hom(R[X],A) \times |A| \cong |A| \times |A| \cong \hom(R[X,Y],A) Wenn wir die Aussage also wieder geschickt formulieren, ist das nichts anderes als ein Beweis: Anstatt zwei Elemente aufeinmal zu adjungieren, kann man das natürlich auch nacheinander tun. d) Mit demselben Beweis gilt auch R[X_1,\dotsc,X_n][Y_1,\dotsc,Y_m] \cong R[X_1,\dotsc,X_n,Y_1,\dotsc,Y_m]. Eine weitreichende Verallgemeinerung lautet wiefolgt: Es sei C eine Kategorie mit einem Objekt R. Ferner sei ein Funktor U : C \to D gegeben, sodass die Komposition R/C \to C \to D einen linksadjungierten Funktor X \mapsto R[X] besitzt. Dann besteht für alle X,Y \in D, deren Koprodukt X+Y existiert, eine kanonische Isomorphie R[X][Y] \cong R[X+Y]. Im obigen Beispiel ist U der Vergissfunktor von der Kategorie der Ringe in die Kategorie der Mengen. B3. Verträglichkeit mit Skalarerweiterung: R[X]/I \otimes_R S \cong S[X]/(I) Hierbei ist S eine R-Algebra, I ein Ideal von Polynomen über R, das also auch ein Ideal von Polynomen über S erzeugt. a) Man rechne nach, dass die beiden Abbildungen R[X]/I \otimes_R S \to S[X]/(I), [\sum_i r_i X^i] \otimes s \mapsto [\sum_i r_i s X^i] S[X]/(I) \to R[X]/I \otimes_R S, [\sum_i s_i X^i] \mapsto \sum_i [X^i] \otimes s_i wohldefinierte Ringhomomorphismen sind, die zueinander invers sind. b) Der Homomorphismus R \to S induziert einen Homomorphismus R[X] \to S[X]. Die Komposition R[X] \to S[X] \to S[X]/(I) schickt I auf 0, setzt sich also nach dem Homomorphiesatz zu einem Homomorphismus von R-Algebren R[X]/I \to S[X]/(I) fort. Die universelle Eigenschaft der Skalarerweiterung zeigt, dass dies zu einem Homomorphismen von S-Algebren R[X]/I \otimes_R S \to S[X]/(I) korrespondiert. In der umgekehren Richtung haben wir das Element [X] \otimes 1 in der S-Algebra R[X]/I \otimes_R S. Nach der universellen Eigenschaft der Polynomalgebra gibt es dann einen Homomorphismus von S-Algebren S[X] \to R[X]/I \otimes_R S, der X \mapsto [X] \otimes 1 abbildet. Die Polynome aus I liegen im Kern: Ist etwa f = \sum_i r_i X^i \in I, so geht es auf \sum_i r_i ([X] \otimes 1)^i = \sum_i [X^i] \otimes r_i = [\sum_i r_i X^i] \otimes 1 = 0 \otimes 1 = 0. Der Homomorphiesatz liefert uns also eine Fortsetzung zu S[X]/(I) \to R[X]/I \otimes_R S. Schließlich muss man zeigen, dass die beiden so konstruierten Homomorphismen zueinander invers sind, indem man dies auf Elementen testet oder b') oder erneuter Anwendung der universellen Eigenschaft (Eindeutigkeit) dies auf das Element X reduziert, wo es nach Konstruktion gegeben ist. c) Wir benutzen das Yoneda-Lemma in der Kategorie der S-Algebren: Ist A eine solche und bezeichnet A|_R die unterliegende R-Algebra (Restriktion der Skalare), so gibt es kanonische Bijektionen: \hom_S(R[X]/I \otimes_R S,A) \cong \hom_R(R[X]/I,A|_R) \cong \{f \in \hom_R(R[X],A|_R) : f(I) = 0\} \cong \{a \in A : \forall f \in I : f(a)=0\} \cong \hom(S[X]/(I),A). Benutzt wurden die universelle Eigenschaft der Skalarerweiterung (nämlich dass sie linksadjungiert zur Restriktion der Skalare ist), die universelle Eigenschaft der Polynomalgebra sowie die universelle Eigenschaft der Quotientenalgebra (=Homomorphiesatz). Ob man erst ein Element zu R hinzufügt und dann die Skalare ausdehnt, oder erst die Skalare ausdehnt und dann ein Element zu S hinzufügt, ist eben egal: R[X] \otimes_R S \cong S[X]. Dasselbe gilt auch, wenn das Element noch Relationen über R erfüllen soll.


Thema C. Lokalisierungen

C1. Lokalisierungen vertauschen mit Lokalisierungen Damit ist folgendes gemeint: Sei R ein Ring und S \subseteq T \subseteq R multiplikative Teilmengen. Dann gibt es einen kanonischen Isomorphismus T^{-1}(S^{-1} R) = T^{-1} R. Hierbei ist S^{-1} R = \{\frac{r}{s} : r \in R, s \in T\} die Lokalisierung von R nach S mit der universellen Eigenschaft \hom(S^{-1} R,A) \cong \{\phi \in \hom(R,A) : \phi(S) \subseteq A^*\}. Man kann also \hom(S^{-1} R,-) als Unterfunktor von \hom(R,-) sehen. Insbesondere gibt es also für S,T \subseteq R beliebig einen Isomorphismus T^{-1}(S^{-1} R) \cong (T \cup S)^{-1} R = (S \cup T)^{-1} R \cong S^{-1}(T^{-1} R). Fazit: Die Reihenfolge, in der man lokalisiert, ist egal. Das wird in der kommutativen Algebra ständig benutzt. a) Lust auf eine Schlacht mit Doppelbrüchen? Wir definieren eine Abbildung \alpha : T^{-1} R \to T^{-1} (S^{-1} R) \to T^{-1}(S^{-1} R) durch \frac{r}{t} \mapsto \dfrac{\frac{r}{1}}{t} und umgekehrt eine Abbildung \beta : T^{-1}(S^{-1} R) \to T^{-1} R durch \dfrac{\frac{r}{s}}{t} \mapsto \frac{r}{st}. Hierbei muss natürlich jeweils die Wohldefiniertheit gezeigt werden: Für \alpha gelte \frac{r}{t}=\frac{r'}{t'} in T^{-1} R, so gibt es ein t'' \in T mit t''t'r=t''tr' in R. Dann gilt auch t'' t' \frac{r}{1} = t'' t \frac{r'}{1} in S^{-1} R und damit \dfrac{\frac{r}{1}}{t}=\dfrac{\frac{r'}{1}}{t'} in T^{-1}(S^{-1} R). Für \beta muss man erst einmal die Unabhängigkeit von r,s zeigen. Sei also \frac{r}{s}=\frac{r'}{s'}, d.h. es gibt ein s'' \in S mit s''s'r=s''sr'. Multiplikation mit t liefert s''s'tr=s''str' und damit \frac{r}{st}=\frac{r'}{s't'} in T^{-1} R. Aber es muss natürlich auch die Unabhängigkeit von t getestet werden, was ich jetzt nicht vorrechne, ebenso wenig wie dass \alpha und \beta zueinander invers sind. Schrecklich ... b) Wir benutzen die universelle Eigenschaft der Lokalisierung R \to S^{-1} R, um zwei inverse Homomorphismen anzugeben. Der Homomorphismus R \to S^{-1} R \to T^{-1} (S^{-1} R) schickt die Elemente von T auf Einheiten, weil das im zweiten Schritt passiert, also setzt er sich eindeutig zu einem Homomorphismus \alpha : T^{-1} R \to T^{-1} (S^{-1} R) fort. Umgekehrt: Wegen S \subseteq T setzt sich R \to T^{-1} R zu einem Homomorphismus S^{-1} R \to T^{-1} R fort. Dieser bildet T natürlich auf Einheiten ab, setzt sich also zu einem Homomorphismus \beta : T^{-1} (S^{-1} R) \to T^{-1} R fort. Auf den Elementen prüft man nun nach, dass \alpha und \beta zueinder invers sind. Oder besser b'\) man zeigt, dass \beta \circ \alpha = id aufgrund der universellen Eigenschaft von T^{-1} R nur auf R getestet werden muss, wo es nach Konstruktion so ist, und ebenso reduziert man \alpha \circ \beta = id durch zweimalige Anwendung der universelle Eigenschaft auf R, wo es ebenfalls klar ist. c) Wenn T irgendwo invertierbar gemacht wird, dann erst Recht S \subseteq T. Das ist eigentlich schon der gesamte Beweis, obwohl es fast nur eine syntaktische Umformulierung der Behauptung ist! Nämlich gilt: \hom(T^{-1}(S^{-1} R),A) \cong \{\phi \in \hom(S^{-1} R,A) : \phi(T) \subseteq A^*\} \cong \{\psi \in \hom(R,A) : \psi(S) \subseteq A^*, \psi(T) \subseteq A^*\} = \{\psi \in \hom(R,A) : \psi(T) \subseteq A^*\} \cong \hom(T^{-1} R,A) Mit dem Yoneda-Lemma folgt also die Behauptung. C2. Lokalisierung vertauscht mit direkten Summen. Wir betrachten hier also eine multiplikative Teilmenge S \subseteq R und eine Familie von R-Moduln M_i. Dann ist die Aussage, dass es einen kanonischen Isomorphismus \displaystyle S^{-1} \bigoplus_i M_i \cong \bigoplus_i S^{-1} M_i gibt. Hierbei steht links die direkte Summe von R-Moduln, und rechts die direkte Summe von S^{-1} R-Moduln. a) Man rechne mit Ausdrücken der Form \dfrac{m_1+m_2+\cdots}{s}=\dfrac{m_1}{s}+\dfrac{m_2}{s}+\cdots herum. b) Man konstruiere mit universellen Eigenschaften zwei inverse Homomorphismen: Die M_i \to S^{-1} M_i induzieren \oplus_i M_i \to \oplus_i S^{-1} M_i. Der R-Modul rechts ist sogar ein S^{-1} R-Modul, sodass sich der Homomorphismus auf S^{-1} \oplus_i M_i fortsetzt. Umgekehrt induzieren die Inklusionen M_i \to \oplus_i M_i jeweils S^{-1} M_i \to S^{-1} \oplus_i M_i, zusammen also \oplus_i S^{-1} M_i \to S^{-1} \oplus_i M_i. Man rechne nun mit Elementen nach, dass die so konstruierten \homomorphismen zueinander invers sind, oder b') argumentiere wieder mit universellen Eigenschaften, dass man dies auf die M_i reduzieren kann, wo es trivial nach Konstruktion ist. c) Für einen S^{-1} R-Modul N bezeichne N|_R den unterliegenden R-Modul. Dann ist \hom(S^{-1} \oplus_i M_i,N) \cong \hom(\oplus_i M_i,N|_R) \cong \prod_i \hom(M_i,N|_R) \cong \prod_i \hom(S^{-1} M_i,N) \cong \hom(\oplus_i S^{-1} M_i,N) und mit dem Yoneda-Lemma sind wir fertig. d) Der Funktor \text{Mod}(R) \to \text{Mod}(S^{-1} R),~ M \mapsto S^{-1} M ist linksadjungiert zum Vergissfunktor und erhält daher direkte Summen, allgemeiner sogar Kolimites (vgl. A1d). C3. Für ein Primideal \mathfrak{p} \subseteq A ist \text{Quot}(A/\mathfrak{p}) \cong A_\mathfrak{p} / \mathfrak{p} A_\mathfrak{p}. Hierbei ist A ein (wie immer kommutativer) Ring und A_\mathfrak{p} bezeichnet die Lokalisierung von A bei \mathfrak{p}, d.h. nach der multiplikativen Teilmenge A \setminus \mathfrak{p}. Die Bedeutung dieses Isomorphismus kommt aus der algebraischen Geometrie: Die rechte Seite ist der Restklassenkörper des affinen Schemas \text{Spec}(A) im Punkte \mathfrak{p}; das nur als Randbemerkung. a) Man rechne nach, dass \alpha : A_\mathfrak{p} / \mathfrak{p} A_\mathfrak{p} \to \text{Quot}(A/\mathfrak{p}),~ [ \frac{a}{s} ] \mapsto \frac{[a]}{[s]} ein wohldefinierter, injektiver und surjektiver Homomorphismus ist. Das ist wieder einmal recht aufwändig. b) Der Homomorphismus A \to A/\mathfrak{p} \to \text{Quot}(A/\mathfrak{p}) schickt A \setminus \mathfrak{p} offenbar auf Einheiten (weil diese Elemente in A/\mathfrak{p} nicht Null sind, also in \text{Quot}(A/\mathfrak{p}) invertiert werden), wogegen die Elemente von \mathfrak{p} auf 0 geschickt werden. Nach der universellen Eigenschaft der Lokalisierung erhalten wir also einen Homomorphismus A_\mathfrak{p} \to \text{Quot}(A/\mathfrak{p}), der \mathfrak{p} A_\mathfrak{p} auf 0 schickt. Nach dem Homomorphiesatz setzt sich dieser fort zu einem Homomorphismus \alpha : A_\mathfrak{p} / \mathfrak{p} A_\mathfrak{p} \to \text{Quot}(A/\mathfrak{p}). In der umgekehrten Richtung konstruiere \beta wiefolgt: Die Komposition A \to A_\mathfrak{p} \to A_\mathfrak{p} / \mathfrak{p} A_\mathfrak{p} schickt \mathfrak{p} offenbar auf 0 und die Elemente von A \setminus \mathfrak{p} auf Einheiten, liefert also nach dem Homomorphiesatz einen Homomorphismus A \setminus \mathfrak{p} \to A_\mathfrak{p} / \mathfrak{p} A_\mathfrak{p}, welcher alle Elemente \neq 0 auf Einheiten schickt. Die universelle Eigenschaft des Quotientenkörpers (=Lokalisierung nach allen Elementen \neq 0) liefert uns nun \beta : \text{Quot}(A/\mathfrak{p}) \to A_\mathfrak{p} / \mathfrak{p} A_\mathfrak{p}. Zeige nun, dass \alpha und \beta invers sind, entweder durch direktes Nachrechnen mit Elementen, oder b') durch erneute Anwendung der universellen Eigenschaften durch Reduktion auf A, wo \alpha,\beta offensichtlich nach Konstruktion zueinander invers sind. c) Wir vergleichen die Hom-Funktoren: \hom(\text{Quot}(A/\mathfrak{p}),-) \cong \{\phi \in \hom(A/\mathfrak{p},-) : \phi \text{ schickt alles }\neq 0 \text{ auf Einheiten}\} \cong \{\phi \in \hom(A,-) : \mathfrak{p} \subseteq \ker(\phi), \phi \text{ schickt alles in } A \setminus \mathfrak{p} \text{ auf Einheiten}\} \cong \{\phi \in \hom(A_\mathfrak{p},-) : \mathfrak{p} A_\mathfrak{p} \subseteq \ker(\phi)\} = \hom(A_\mathfrak{p} / \mathfrak{p} A_\mathfrak{p},-). d) Der allgemeinere Zusammenhang ist (S^{-1} A) / I \cdot (S^{-1} A) \cong S^{-1} (A/I) für eine multiplikative Teilmenge S \subseteq A und einem Ideal I \subseteq A. Das ist so glasklar: Ob man erst auf universelle Weise S invertiert und dann I annulliert, oder erst I annuliert und dann S invertiert, ist natürlich egal. Der funktorielle Beweis, der sich wie bei c) führen lässt, besteht genau aus diesem Argument. C4. Die Sichtweise A_f \cong A[X]/(1-Xf). Hier ist A ein (wie immer kommutativer) Ring und f ein Element, nach dem lokalisiert wird. a) Definiere \alpha : A_f \to A[X]/(1-Xf), ~ \frac{a}{f^k} \mapsto [a \cdot X^k], und rechne nach, dass \alpha ein wohldefinierter bijektiver Homomorphismus ist. Ausnahmsweise führen wir die Bijektivität einmal aus: Die Surjektivität ist klar, weil [X] im Bild liegt und der Quotient als A-Algebra davon erzeugt wird. Nun sei \frac{a}{f^k} im Kern. Dann liegt auch a im Kern (weil es sich nur bis auf eine Einheit unterscheidet) d.h. a = p \cdot (1-Xf) für ein Polynom p \in A[X]. Schreibt man nun p = p_0 + p_1 X + \cdot + p_n X^n und macht einen Koeffizientenvergleich, so folgt a = p_0, p_1 = p_0 f, \cdots , p_n = p_{n-1} f, p_n = 0. Induktiv folgt p_i = a f^i und damit a f^n = 0, also \frac{a}{f^k} = 0 in A_f. b) In A[X]/(1-Xf) ist offenbar [f] eine Einheit mit Inversem [X]. Nach der universellen Eigenschaft der Lokalisierung setzt sich also A \to A[X] \to A[X]/(1-Xf) fort zu einem \homomorphismus A_f \to A[X]/(1-Xf). Umgekehrt definiert a \mapsto a, X \mapsto f^{-1} nach der universellen Eigenschaft des Polynomsrings einen Homomorphismus von A-Algebren A[X] \to A_f mit X \mapsto f^{-1}. Insbesondere geht 1-Xf auf 1-f^{-1} f = 0 und damit auch das gesamte Ideal (1-Xf). Der Homomorphiesatz liefert uns eine Fortsetzung A[X]/(1-Xf) \to A_f. Nun kann man wieder auf den Erzeugern nachrechnen, dass die so konstruierten Homomorphismen zueinander invers sind. c) Der funktorielle Beweis ist an Klarheit wieder nicht zu überbieten. Er benutzt die universellen Eigenschaften von Lokalisierung, Quotient und Polynomring: \hom(A[X]/(1-Xf),R) \cong \{\phi \in \hom(A[X],R) : (1-Xf) \subseteq ker(\phi)\} \cong \{\phi \in \hom(A[X],R) : 1=\phi(X)f\} \cong \{(\psi,a) : \psi \in \hom(A,R) : a \in R, 1=af\} \cong \{\psi \in \hom(A,R) : \psi(f) \in R^*\} \cong \hom(A_f,R) Die Idee ist also einfach wiefolgt: Die Lokalisierung A_f entsteht aus A, indem man f invertierbar macht, also ein inverses Element hinzufügt. Nun, das Hinzufügen eines Elementes X wird durch A[X] realisiert, und die gewünschte Relation 1=Xf wird durch den entsprechenden Quotienten herbeigeführt. Der Isomorphismus A_f \cong A[X]/(1-Xf) erklärt sich also einfach von selbst: Beiden Seiten steckt dieselbe Idee inne. Rechnen ist hier überflüssig! d) Genauso lässt sich allgemein für eine Teilmenge S \subseteq A zeigen, dass S^{-1} A \cong A[ \{X_s\}_{s \in S} ]/(1-X_s s)_{s \in S} und entsprechend interpretieren. Eigentlich liefert das sogar einen alternativen und viel schöneren Existenzbeweis der Lokalisierung S^{-1} A: Man muss keine Brüche mit irgendwelchen komischen Äquivalenzrelationen betrachten!


Thema D. Modultheorie

In diesem Abschnitt werde ich keine der vorher zur Abschreckung dargestellten umständlichen Beweise mehr angeben. Jetzt geht es nur noch um die knackigen Beweise. D1. Verträglichkeit zwischen Hom und Lokalisierung. Seien M,N zwei R-Moduln und S \subseteq R eine multiplikative Teilmenge von R. Dann gibt es einen kanonischen Homomorphismus \sigma : S^{-1} \hom_R(M,N) \to \hom_{S^{-1} R}(S^{-1} M, S^{-1} N) von S^{-1} R-Moduln: Die Funktorialität der Lokalisierung liefert nämlich einen Homomorphismus auf \hom_R(M,N), und weil die Rechte Seite sogar ein S^{-1} R-Modul ist, bekommen wir eine Fortsetzung auf S^{-1} \hom_R(M,N); dies ist die universelle Eigenschaft der Lokalisierung für Moduln (vgl. C2d). Es stellt sich nun heraus, dass \sigma nicht immer ein Isomorphismus ist; ein Gegenbeispiel hat owk hier angegeben; dort findet ihr auch den in der Literatur üblichen Beweis mit dem Schlangenlemma, dass \sigma ein Isomorphismus ist, wenn M endlich-präsentiert ist. Eleganter ist folgendes Argument: Fixiere N und lasse M laufen. Dann ist \sigma eine natürliche Transformation von Funktoren \text{Mod}(R) \to \text{Mod}(S^{-1} R)^{op}, nämlich von S^{-1} \hom_R(-,N) nach \hom_{S^{-1} R}(S^{-1} -,S^{-1} N). Beide Funktoren sind endlich kostetig, d.h. sie erhalten endliche Kolimites: Diese setzen sich aus endlichen direkten Summen sowie Kokernen zusammen. Endliche direkte Summen werden von kontravarianten Hom-Funktoren in endliche Produkte umgewandelt, die bei Modulkategorien mit endlichen direkten Summen übereinstimmen. Nun benutze man C2d. Nun überlegt man sich ganz leicht, dass der Ort, wo eine natürliche Transformation \sigma zwischen endlich kostetigen Funktoren ein Isomorphismus ist, unter endlichen Kolimites abgeschlossen ist. Ferner rechnet man leicht nach, dass unser \sigma für M=R ein Isomorphismus ist; beide Seiten identifizieren sich hier mit der unterliegenden Menge von N. Folglich ist \sigma bereits für alle M ein Isomorphismus, die sich aus endlichen Kolimites aus R gewinnen lassen, d.h. die endlich-präsentierten R-Moduln. D2. Zerlegung in zyklische Moduln Jeder Quotient von \mathbb{Z}^k ist ein endlich-erzeugter \mathbb{Z}-Modul, kann also nach dem Struktursatz als direkte Summe von zyklischen Moduln geschrieben werden. Die sich aus der Elementarteilertheorie ergebene Smith-Normalform liefert einen konkreten Algorithmus, wie man diese zyklische Moduln bestimmen kann. Doch bei einfachen Beispielen lohnt es sich, einfach den Hom-Funktor zu vereinfachen: Betrachte zum Beispiel M := \mathbb{Z}^2 / N, wobei N = \{(a,b) \in \mathbb{Z}^2 : 6 | 4a - b\}. An der Umformung 6k=4a-b \Leftrightarrow (a,b) = a(1,4) + (-k) (0,6) erkennt man N = \langle (1,4),(0,6) \rangle und aus dem Homomorphiesatz, der universellen Eigenschaft von direkten Summen sowie \hom(\mathbb{Z},T) \cong T erhalten wir \hom(M,T) \cong \{(x,y) \in T^2 : x + 4y = 0, 6y = 0\}. Das x ist via x=-4y schon völlig durch y festgelegt, kann also einfach weggelassen werden, und es bleibt \{y \in T : 6y = 0\} \cong \hom(\mathbb{Z}/6,T). Das Yoneda-Lemma liefert also M \cong \mathbb{Z}/6. D3. Gerichtete Kolimites von flachen Moduln. Ein gerichteter Kolimes von flachen Moduln ist wieder flach. Wenn man dies ohne Elemente im Tensorprodukt nachrechnen will, geht das so: Fixiere einen Monomorphismus N \to N'. Es reicht zu zeigen, dass die Moduln M, für die M \otimes N \to M \otimes N' ein Monomorphismus bleibt, unter gerichteten Kolimites abgeschlossen ist. Aber Tensorprodukte vertauschen mit Kolimites (A1d) und gerichtete Kolimites von Monomorphismen sind Monomorphismen, jeweils in der Kategorie der Moduln: Das ist keine kategorielle Trivialität, kann aber auf die Kategorie der Mengen reduziert werden und muss dort anhand der konkreten Konstruktion von gerichteten Vereinigungen nachgewiesen werden. Es ist übrigens nicht so, dass jeder Kolimes von flachen Moduln wieder flach ist. Ganz im Gegenteil, denn jeder Modul kann als Kolimes von freien Moduln geschrieben werden. D4. Moduln der Differentiale Sei B eine A-Algebra. Der zugehörige B-Modul der Differentiale \Omega^1_{B/A} spielt bei infinitesemalen algebraischen Untersuchungen eine zentrale Rolle. Per Definition stellt er den Funktor der A-Derivationen auf B dar: \hom(\Omega^1_{B/A},M) \cong \text{Der}_A(B,M) Ist nun C eine B-Algebra, so gibt es die folgende wichtige exakte Sequenz, die die auftretenden Moduln der Differentiale miteinander verbindet: \Omega^1_{B/A} \otimes_B C \to \Omega^1_{C/A} \to \Omega^1_{C/B} \to 0 In der Literatur ist die Konstruktion der Morphismen in dieser Sequenz sowie die Exaktheit üblicherweise getrennt und recht umständlich. Die funktorielle Sichtweise macht es viel transparenter: Sei M ein C-Modul. Fasse ihn wahlweise auch als A- oder auch als B-Modul auf. Dann hat man eine exakte Sequenz: 0 \to \text{Der}_B(C,M) \to \text{Der}_A(C,M) \to \text{Der}_A(B,M) Die Abbildung links ist eine Inklusion und die Abbildung rechts entsteht durch Vorschalten des Homomorphismus von A-Algebren B \to C. Die Wohldefiniertheit ist offensichtlich, ebenso die Exaktheit: Eine A-Derivation ist genau dann dann eine B-Derivation, wenn sie auf B verschwindet. Alles ist natürlich in M. Das Yoneda-Lemma liefert daher Homomorphismen wie in der Sequenz oben, und die Exaktheit folgt ebenso nach Definition eines Kokernes. Als Übung mache sich der Leser mit der funktoriellen Methode die elementaren Zusammenhänge \Omega^1_{B \otimes_A B' / A} \cong \Omega^1_{B/A} \otimes_A \Omega^1_{B'/A} S^{-1} \Omega^1_{B/A} \cong \Omega^1_{S^{-1} B / A} klar; hierbei sind B,B' zwei A-Algebren und S \subseteq B. Bei dem zweiten Isomorphismus kann man an sich an die Quotientenregel für Ableitungen zurückbesinnen.

E. Aufgaben

E1. Stelle \mathbb{Q}^* als direkte Summe von zyklischen Gruppen dar. Beschreibe damit \hom(\mathbb{Q}^*,\mathbb{Z}). E2. Sei B eine A-Algebra und M,N zwei B-Moduln. Leite eine exakte Sequenz der Form M|_A \otimes_A N|_A \otimes_A B \to M|_A \otimes_A N|_A \to M \otimes_B N \to 0 her. Was ergibt sich speziell für N=B? Für eine Anwendung siehe hier. E3. Sei X eine Menge. Zeige, dass die Abelisierung der freien Gruppe auf X die freie abelsche Gruppe auf X ist. Welcher allgemeinere Zusammenhang steckt dahinter? Welche Beispiele hat dieser Zusammenhang noch und welcher Aussage aus der linearen Algebra ähnelt das ganze? E4. Sei L/K eine einfache algebraische Körpererweiterung. Wie lassen sich die Primideale des Tensorproduktes L \otimes_K L beschreiben? Tipp: B3. Übrigens könnt ihr euch in diesem steinalten Thread über meine Versuche amüsieren ;). E5. Für R-Moduln M,N zeige man \wedge(M) \otimes \wedge(N) \cong \wedge(M \oplus N) als graduiert-kommutative Algebren. Hierbei ist \wedge die äußere Algebra. Folgere daraus \wedge^n(M \oplus N) \cong \oplus_{p+q=n} \wedge^p(M) \otimes \wedge^q(N). E6. Seien A \subseteq B \subseteq C abelsche Gruppen. Zeige die Kürzungsregel (C/A)/(B/A) \cong C/B. Was ist der allgemeine Zusammenhang? Nenne ein Beispiel in der Kategorie der topologischen Räume.


Schlusswort

Hinter vielen Isomorphismen in der Algebra (aber auch anderen Gebieten, die hier nicht erwähnt wurden) stecken in Wahrheit glasklare Gleichungen von Funktoren, die durch die auftretenden Objekte dargestellt werden. Es lohnt sich in jedem Fall, ein Objekt (das einer universellen Eigenschaft genügt) mit dem zugehörigen Hom-Funktor zu identifizieren. In dem Funktor steckt die eigentlich relevante Information, nicht etwa in den Elementen des Objektes in Bezug eines Vergissfunktors. Es ist zwar gut zu wissen, dass ein gewisses Klassifikationsproblem (z.B. bilineare Abbildung) eine universelle Lösung hat (z.B. Tensorprodukt), aber man sollte dabei nicht den gesamten Lösungsraum vergessen, der typischerweise durch ein Funktor gegeben ist. Diese Sichtweise kommt vor allem in der algebraischen Geometrie im Kontext von Modulräumen zum Tragen. Aber ich wollte in diesem Artikel erläutern, warum die funktorielle Sichtweise schon bei grundlegenden Beispielen aus der Algebra nützlich ist und letzlich unentbehrlich ist für ein Verständnis der Zusammenhänge ist, welches über Beispielrechnungen hinausgeht. Die meisten der hier genannten Beispiele kann man in jeder einführenden Vorlesung zur (linearen) Algebra behandeln, ohne auch nur einmal über Kategorien oder Funktoren zu reden. Ich habe aufgezeigt, wie die üblichen Beweise dann aussehen und wie umständlich sie sind. Die Studenten bekommen dann den Eindruck, dass gewisse Dinge schwierig und isoliert sind, wo eben genau das Gegenteil der Fall ist. Ich würde es mir wünschen, dass Dozenten mehr über den Abstraktionsgrad ihrer Vorlesung reflektieren; dasselbe betrifft natürlich Lehrbuchautoren. Kategorientheorie ist ja nicht nur abstrakter Unsinn, wie man so schön sagt, sondern schon so eine einfache Feststellung wie das Yoneda-Lemma macht seitenlange Rechnungen überflüssig! Vor allem sind es immer wieder dieselben Rechnungen. Natürlich lassen sich nicht alle Isomorphismen mit der funktoriellen Methode sofort und einfach einsehen. Man sollte aber vielleicht lernen, zu sehen, wann es sich um eine solche Trivialität handelt. Eine recht allgemein gültige Merkregel ist wohl, dass zwei universelle Konstruktionen miteinander vertauschen, sobald die Pfeile in der richtigen Richtung laufen. Zum Beispiel vertauschen Lokalisierungen mit direkten Summen, aber nicht notwendigerweise mit direkten Produkten. Interessante Mathematik fängt bereits dann an, wenn eine Vertauschung auch mit unterschiedlichen Pfeilrichtungen vorliegt. Zum Beispiel kann man sich fragen, wann der Funktor \hom(M,-) mit gerichteten Kolimites kommutiert: Bei algebraischen Strukturen ist dies genau dann der Fall, wenn M endlich-präsentiert ist. Oder man kann sich fragen, wann der Funktor Y \times - : \text{Top} \to \text{Top} Quotientenabbildungen erhält; dies ist zumindest der Fall, wenn Y lokalkompakt ist. Oder man kann sich fragen, wann Garbenkohomologie mit direkten Summen vertauscht; auf noetherschen Schemata ist das der Fall. Diese Beispiele belegen ein wenig, dass nichttriviale Zusammenhänge mit einem kategoriellen Geschmack eng mit Endlichkeitsbedingungen aus verschiedensten Gebieten zusammenhängen, und dass hier die interessante Mathematik erst so richtig anfangen kann. Vielleicht werden eines Tages die Vorlesungen und Bücher nicht mehr 2 Meter Abstand vom Funktor halten müssen ...


Artikel zur Kategorientheorie Teil 1 (von Zaos): Kategorientheorie Teil 2 (von Zaos): Kategorien und Diagrammjagd Teil 3: Ja Mono Epi Iso Teil 4: Universelle Eigenschaften Teil 5: Limites und Kolimites Teil 6: Wie universelle Eigenschaften einem das Leben erleichtern Teil 7: Fixpunkte in der Kategorientheorie Teil 8: Adjunktionen: Wie man zwischen zwei Kategorien eine Brücke baut Teil 9: Koenden ohne Ende - Integrale in der Kategorientheorie Teil 10: 2-Kategorien - Einstieg in die höhere Kategorientheorie
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Wie universelle Eigenschaften einem das Leben erleichtern [von Martin_Infinite]  
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"Stern Mathematik: Wie universelle Eigenschaften einem das Leben erleichtern" | 18 Comments
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Re: Wie universelle Eigenschaften einem das Leben erleichtern
von: Hanno am: So. 24. Juli 2011 11:20:25
\(\begingroup\) Ein weiteres Beispiel: Das Tensorprodukt \IZ\/n\IZ\otimes\IZ\/m\IZ lässt sich schön bestimmen, wenn man den assoziierten Hom-Funktor anschaut und die Adjunktion von Hom und Tensor verwendet: Hom(\IZ\/n\IZ\otimes\IZ\/m\IZ,T) = Hom(\IZ\/n\IZ,Hom(\IZ\/m\IZ,T)) = Hom(\IZ\/n\IZ,menge(t\el T, mt = 0)) = menge(t\el T, mt = nt = 0) = menge(t\el T, ggT(m,n)t=0) = Hom(\IZ\/ggT(m,n)\IZ,T) \(\endgroup\)
 

Re: Wie universelle Eigenschaften einem das Leben erleichtern
von: Martin_Infinite am: So. 24. Juli 2011 11:38:29
\(\begingroup\)Gutes Beispiel. Allgemeiner gilt $R/I \otimes_R R/J = R/(I+J)$ als $R$-Algebren; der funktorielle Beweis ist ein Einzeiler und die Idee ist einfach: I und J zu annullieren ist dasselbe wie I + J zu annulieren. Alternativ kann man es aus bereits Bekanntem herleiten, $R/I \otimes_R R/J = (R/I)/(J(R/I)) = (R/I)/(I+J/I) = R/(I+J)$.\(\endgroup\)
 

Re: Wie universelle Eigenschaften einem das Leben erleichtern
von: Mentat am: So. 24. Juli 2011 15:40:28
\(\begingroup\)Hallo Martin, ein wirklich gelungener Artikel, den ich wohl ausführlich lesen werde. Kleine Anmerkung: In A1 c) hast du an einigen Stellen jeweils M statt N getippt. EDIT: Erledigt. Viele Grüße, Mirko\(\endgroup\)
 

Re: Wie universelle Eigenschaften einem das Leben erleichtern
von: gaussmath am: Mo. 25. Juli 2011 09:50:39
\(\begingroup\)Ich kann nur schwer nachvollziehen, wie man sich für sowas begeistern kann. Das ist doch Mathematik zum reinen Selbstzweck, befindet sich also auf demselben Niveau wie Kunst. \(\endgroup\)
 

Re: Wie universelle Eigenschaften einem das Leben erleichtern
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 25. Juli 2011 10:01:17
\(\begingroup\)@gm: Kannst du auch schwer nachvollziehen, wieso manche Leute gerne Sport treiben oder ins Kino gehen? \(\endgroup\)
 

Re: Wie universelle Eigenschaften einem das Leben erleichtern
von: Martin_Infinite am: Mo. 25. Juli 2011 10:26:31
\(\begingroup\)Danke für das Feedback, auch in den PMs ;) @Gaussmath: Ich akzeptiere deine Meinung, aber glaube nicht, dass du das richtig beurteilt hast. Der Artikel handelt nicht von großen Sätzen, sondern vom "Klebestoff" der reinen Mathematik. Die Beispiele habe ich mir ja nicht einfach so ausgedacht, sondern sie sind bekannt, werden an vielen Stellen benötigt und haben jeweils eine eigene Bedeutung. Ist für dich die reine Mathematik Selbstzweck? Klar kann man etwas konkret nachrechnen, wenn man etwas braucht, aber wenn man immer wieder dasselbe nachrechnet, dann sollten wir uns als Mathematiker doch einmal die Frage stellen, ob man das nicht vermeiden kann. Ein schon aus der Schule bekanntes Beispiel ist die Lösungsformel für quadratische Gleichungen; wozu immer wieder dieselbe quadratische Ergänzung machen? Es geht hier eher um die Optimierung des Rechenaufwandes (aber eigentlich um viel mehr, vgl. das Schlusswort). Kunst ist etwas ganz anderes, aber ich muss zugeben, dass für mich Mathematik auch schön sein muss.\(\endgroup\)
 

Re: Wie universelle Eigenschaften einem das Leben erleichtern
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 25. Juli 2011 10:38:26
\(\begingroup\)@MI: Es gab ja auch Zeiten, da war Mathematik Kunst. 😄\(\endgroup\)
 

Re: Wie universelle Eigenschaften einem das Leben erleichtern
von: gaussmath am: Mo. 25. Juli 2011 12:56:32
\(\begingroup\)Man nehme meine Aussage bitte nicht persönlich. Grüße, Marc\(\endgroup\)
 

Re: Wie universelle Eigenschaften einem das Leben erleichtern
von: scorp am: Di. 26. Juli 2011 09:47:31
\(\begingroup\)Martin, ein super Artikel. Auch wenn man vieles schon einmal gesehen hat, so hat dieser gut gegliederte Zusammenschrieb dennoch seine Berechtigung und erinnert uns an die großen (und schönen) Zusammenhänge. Danke für deine Zeitinvestition. Daß das keine Kost für Jedermann ist liegt in der Natur der Sache. Ich fände es als Fachfremder aber sehr gewagt zu behaupten diese Theorie wäre reiner Selbstzweck. Denn wie es schon im Artikel angedeutet ist, kommt man an Funktoren und universellen Eigenschaften eigentlich nicht vorbei, wenn man ernsthaft Mathematik betreibt, in der algebraische Strukturen eine Rolle spielen.\(\endgroup\)
 

Re: Wie universelle Eigenschaften einem das Leben erleichtern
von: Wally am: So. 31. Juli 2011 22:38:55
\(\begingroup\)Nachdem ich diesen Artikel ungefähr 20 mal gesehen habe, habe ich endlich den Witz mit dem Funktor auf dem Bild verstanden. Besser spät als nie. Wally\(\endgroup\)
 

Re: Wie universelle Eigenschaften einem das Leben erleichtern
von: Hanno am: So. 31. Juli 2011 23:01:16
\(\begingroup\)@Wally: ging mir auch so 😄\(\endgroup\)
 

Re: Wie universelle Eigenschaften einem das Leben erleichtern
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 01. August 2011 19:53:54
\(\begingroup\)Ich kapiere ihn nicht, kann ihn einer erklären?\(\endgroup\)
 

Re: Wie universelle Eigenschaften einem das Leben erleichtern
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 02. August 2011 13:17:37
\(\begingroup\)Funk-Tor.\(\endgroup\)
 

Re: Wie universelle Eigenschaften einem das Leben erleichtern
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 02. August 2011 13:35:07
\(\begingroup\)Gut, dann habe ich ihn doch kapiert. \(\endgroup\)
 

Re: Wie universelle Eigenschaften einem das Leben erleichtern
von: Martin_Infinite am: Fr. 05. August 2011 14:55:31
\(\begingroup\)Für ein weiteres gerade bei MO aufgekommenes Beispiel, wo die funktorielle Methode Rechnungen erspart, siehe hier. @Alex: Danke für das Lob. Klar hast du schon alles gesehen, was hier steht, aber ich hoffe, dass für die meisten Leser noch etwas Neues dabei ist :-). @Anonymus: Och bitte keine Witze erklären :-). \(\endgroup\)
 

Re: Wie universelle Eigenschaften einem das Leben erleichtern
von: Hanno am: So. 07. August 2011 11:12:40
\(\begingroup\)Martin, was hat es mit der Katze auf sich? 😄\(\endgroup\)
 

Re: Wie universelle Eigenschaften einem das Leben erleichtern
von: davidz am: So. 07. August 2011 18:18:13
\(\begingroup\)Auch das sollte man nicht erklären. 😄\(\endgroup\)
 

Re: Wie universelle Eigenschaften einem das Leben erleichtern
von: Martin_Infinite am: Do. 11. August 2011 09:31:36
\(\begingroup\)http://www.functor.sk/\(\endgroup\)
 

 
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