Mathematik: Fixpunkte in der Kategorientheorie
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Mathematik

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Fixpunkte in der Kategorientheorie

Was passiert, wenn man eine Funktion <math>f : X \to X</math> iteriert, also für <math>x \in X</math> die Folge <math>x,f(x),f(f(x)),\dotsc</math> betrachtet? In gewissen Situationen konvergiert diese Folge gegen einen Fixpunkt von <math>f</math>, d.h. ein <math>x \in X</math> mit <math>x=f(x)</math>. Die Rechnung <math>x=f(x)=f(f(x))=f(f(f(x)))=\dotsc</math> legt nahe, dass <math>x</math> eine "fraktale Struktur" aufweist.

In diesem Artikel geht es darum, diese Betrachtungen in der Kategorientheorie wiederzufinden. Dabei werden wir auf einige verblüffend einfache Beschreibungen von ansonsten recht kompliziert zu definierenden Mengen oder Räumen stoßen. Zum Beispiel ist die Cantormenge <math>C</math> die "größte Lösung" für <math>C = C + C</math>.

Bild

Am Schluss werden wir sogar das Lebesgue-Integral kategorientheoretisch beschreiben.


Vorbemerkungen: Aus der Kategorientheorie werden wir nur Grundbegriffe verwenden; ab Abschnitt 3 sollte man etwas über Limites wissen.

1. Natürliche Zahlen mal anders

Anstatt gleich auf die Definition zu kommen, machen wir einen - hoffentlich motivierenden - Umweg über die Menge der natürlichen Zahlen. Oder genauer gesagt über das Tripel <math>(\mathbb{N},0,S)</math>, wobei <math>S : \mathbb{N} \to \mathbb{N}</math> die Nachfolgerfunktion ist und <math>0 \in \mathbb{N}</math> die Null. Das Rekursionsprinzip, mit dem man Folgen rekursiv definieren kann, besagt folgendes:

Ist <math>(X,a,R)</math> ein Tripel, bestehend aus einer Menge <math>X</math>, einem Element <math>a \in X</math> ("Anfangswert") und einer Abbildung <math>R : X \to X</math> ("Rekursionsvorschrift"), so gibt es genau eine Abbildung <math>f : \mathbb{N} \to X</math> mit <math>f(0)=a</math> und <math>f(S(n))=R(f(n))</math>.

Mit anderen Worten: <math>(\mathbb{N},0,S)</math> ist ein initiales Objekt in der Kategorie der obigen Tripel. Nebenbei bemerkt kann man aus dieser kategoriellen Charakterisierung der natürlichen Zahlen bereits alles Wesentliche darüber herleiten (und auch allgemeiner in Topoi, das Stichwort hierzu sind NNO). Man beachte, wie kurz und knackig sie im Gegensatz zu den Peano-Axiomen ist.

Zum Beispiel lässt sich die vollständige Induktion so einsehen: Ist <math>T \subseteq \mathbb{N}</math> eine Teilmenge mit <math>0 \in T</math> und <math>S(T) \subseteq T</math>, so gibt es genau einen Morphismus <math>(\mathbb{N},S,0) \to (T,S|_T,0)</math>; die Komposition mit <math>(T,S|_T,0) \to (\mathbb{N},S,0)</math> ist dabei notwendigerweise die Identität. Also ist <math>T \hookrightarrow \mathbb{N}</math> surjektiv und <math>T = \mathbb{N}</math>. Die Rechenoperationen auf <math>\mathbb{N}</math> lassen sich natürlich rekursiv definieren, d.h. durch einfache Anwendung der universellen Eigenschaft - ebenso ihre Eigenschaften (Übung).

Jedenfalls lassen sich die Tripel alternativ als Mengen <math>X</math> zusammen mit einer Abbildung <math>1+X \to X</math> beschreiben; hierbei ist <math>1</math> die Einpunktmenge (terminales Objekt) und <math>+</math> ist die disjunkte Vereinigung (Koprodukt). Ein Morphismus von Tripeln ist ein kommutatives Diagramm. Wir haben es hier also offenbar mit dem Funktor <math>F : (\mathrm{Set}) \to (\mathrm{Set}), X \mapsto 1+X</math> zu tun. Beobachte, dass die Strukturabbildung <math>1+\mathbb{N} \to \mathbb{N}</math> ein Isomorphismus ist, unser initiales Objekt also ein "Fixpunkt" des Funktors ist. Und wenn wir ganz naiv eine Fixpunktiteration mit <math>\emptyset \in (\mathrm{Set})</math> starten, so erhalten wir <math>\emptyset, 1+\emptyset=1, 1+1=2, 1+2=3, \dotsc</math> und im "Grenzwert" dann <math>\mathbb{N}</math>. Wir werden gleich sehen, dass das kein Zufall ist.


2. Was sind Fixpunkte in der Kategorientheorie?

Gegeben ist eine Kategorie <math>C</math> und ein Funktor <math>F : C \to C</math>. Wir könnten nun einen Fixpunkt von <math>F</math> ganz naiv als ein Objekt <math>X \in C</math> mit <math>F(X) \cong X</math> definieren. Das ist aber nicht so geschickt; man sollte schon den Isomorphismus <math>\sigma : F(X) \cong X</math> zum Datum des Fixpunktes hinzufügen. Es wäre außerdem wünschenswert, wenn der Fixpunkt eine universelle Eigenschaft besitzen würde. Ist etwa <math>C</math> eine partielle Ordnung, so kann man nach dem kleinsten oder dem größten Fixpunkt fragen. Dies motiviert die folgende Definition:

Definition. Eine <math>F</math>-Algebra <math>(X,\sigma)</math> besteht aus einem <math>X \in C</math> zusammen mit einem Morphismus <math>\sigma : F(X) \to X</math>. Ein Morphismus von <math>F</math>-Algebren <math>(X,\sigma) \to (Y,\tau)</math> ist natürlich ein kommutatives Diagramm

<math>\displaystyle \begin{array}{ccc} ~~~~ F(X) & \stackrel{\sigma}{\rightarrow} & X\\ F(f) \downarrow ~~ & & ~~  \downarrow f\\ ~~~~ F(Y)& \stackrel{\tau}{\rightarrow} & Y \end{array} </math>

Wir erhalten die Kategorie der <math>F</math>-Algebren. Initiale <math>F</math>-Algebren können wir dann als "kleinste" <math>F</math>-Algebren verstehen, oder eben als "kleinste Fixpunkte" aufgrund des folgenden Lemmas:

Lemma (Lambek). Ist <math>(X,\sigma)</math> eine initiale <math>F</math>-Algebra, so ist <math>\sigma : F(X) \to X</math> ein Isomorphismus.

Beweisskizze: Die <math>F</math>-Algebra <math>(F(X),F(\sigma))</math> liefert einen eindeutigen Morphismus <math>(X,\sigma) \to (F(X),F(\sigma))</math>. Dann ist <math>X \to F(X)</math> zu <math>\sigma</math> invers. <math>\square</math>

Durch Dualisierung erhält man "größte Fixpunkte":

Definition. Eine <math>F</math>-Koalgebra ist eine eine <math>F^{op} : C^{op} \to C^{op}</math> - Algebra; sie besteht also aus einem <math>X \in C</math> zusammen mit einem Morphismus <math>X \to F(X)</math>. Entsprechend werden Morphismen dual definiert. Durch Dualisierung des Lemmas von Lambek erhält man: Im Falle einer terminalen <math>F</math>-Koalgebra ist <math>X \to F(X)</math> ein Isomorphismus.

Beispiel: Wir haben bereits bemerkt, dass die natürlichen Zahlen eine initiale Algebra für den Funktor <math>(\mathrm{Set}) \to (\mathrm{Set}), X \mapsto 1+X</math> bilden. Es gibt auch eine terminale Algebra, nämlich <math>1</math> - in der Regel sind terminale Algebren und initiale Koalgebren uninteressant.

3. Existenz von Fixpunkten

Mit dem folgenden Satz lassen sich "kleinste Fixpunkte" konstruieren:

Satz. Eine Kategorie <math>C</math> besitze ein initiales Objekt <math>0</math> sowie <math>\omega</math>-Kolimites, das heißt Kolimites von Diagrammen der Form <math>X_0 \to X_1 \to X_2 \to \dotsc</math>. Ist dann <math>F : C \to C</math> ein <math>\omega</math>-kostetiger Funktor, der also <math>\omega</math>-Kolimites bewahrt, so existiert eine initiale Algebra für <math>F</math>.

Und zwar nimmt man den Kolimes von <math>0 \stackrel{i}{\rightarrow} F(0) \stackrel{F(i)}{\rightarrow} F(F(0)) \stackrel{F(F(i))}{\rightarrow} \dotsc</math>, wobei <math>i</math> der eindeutige Morphismus ist.

Man beachte die Ähnlichkeit zum Banachschen Fixpunktsatz; oder noch besser zum Fixpunktsatz von Tarski, welcher den Spezialfall darstellt, dass <math>C</math> eine partielle Ordnung ist.

Der Beweis ist nicht schwer: Wenn <math>X</math> den Kolimes bezeichnet, so ist wegen der <math>\omega</math>-Kostetigkeit <math>F(X)</math> der Kolimes des Teildiagrammes <math>F(0) \to F(F(0)) \to F(F(F(0)) \to \dotsc</math>; es gibt also einen kanonischen Isomorphismus <math>F(X) \to X</math>. Ist nun <math>F(Y) \to Y</math> eine beliebige <math>F</math>-Algebra, so definiere man den Morphismus <math>X \to Y</math> mittels der universellen Eigenschaft des Kolimes durch kompatible Morphismen <math>F^n(0) \to Y</math>, welche wiederum rekursiv definiert werden: Es ist <math>F^0(0) = 0 \to Y</math> der eindeutige Morphismus. Ist bereits <math>F^n(0) \to Y</math> gegeben, so wende <math>F</math> an und komponiere mit <math>F(Y) \to Y</math>, um <math>F^{n+1}(0) \to F(Y) \to Y</math> zu erhalten. <math>\square</math>

Durch Dualisierung erhalten wir einen Satz über "größte Fixpunkte":

Satz. Eine Kategorie <math>C</math> besitze ein terminales Objekt <math>1</math> sowie <math>\omega</math>-Limites, das heißt Limites von Diagrammen der Form <math>\dotsc \to X_2 \to X_1 \to X_0</math>. Ist dann <math>F : C \to C</math> ein <math>\omega</math>-stetiger Funktor, so existiert eine terminale Koalgebra für <math>F</math>.

Und zwar nimmt man den Limes von <math>\dotsc \stackrel{F(F(j))}{\to} F(F(1)) \stackrel{F(j)}{\to} F(1) \stackrel{j}{\to} 1</math>, wobei <math>j</math> der eindeutige Morphismus ist.

Über die Eindeutigkeit muss natürlich kein Wort verloren werden - initiale/terminale Objekte sind stets bis auf kanonische Isomorphie eindeutig.

4. Anwendungen

Wir wollen nun den Satz über die Konstruktion von Fixpunkten mit einigen Anwendungen beleuchten.

A. Natürliche Zahlen

Betrachte den Funktor <math>F : (\mathrm{Set}) \to (\mathrm{Set}), X \mapsto 1+X</math>. Es ist klar, dass er <math>\omega</math>-kostetig ist. Die initiale <math>F</math>-Algebra erhält man also als Kolimes von <math>\emptyset \to 1 \to 2 \to 3 \to </math> und ist <math>\mathbb{N}</math> mit dem Morphismus <math>1 + \mathbb{N} \cong \mathbb{N}, * \mapsto 0, n \mapsto n+1</math>. Insofern ist <math>\mathbb{N}</math> die "kleinste Lösung" von <math>1 + X = X</math>.

B. Die Cantormenge

Betrachte den Funktor <math>F : (\mathrm{Set}) \to (\mathrm{Set}), X \mapsto X+X</math>. Hier ist <math>\emptyset</math> eine initiale Algebra, also nicht so interessant; im Gegensatz zur terminalen Koalgebra. Zunächst überzeugt man sich mit einer direkten Rechnung mit direkten Limites von Mengen davon, dass <math>F</math> <math>\omega</math>-stetig ist. Das System <math>\dotsc \to F(F(1)) \to F(1) \to 1</math> identifiziert sich mit dem System <math>(\{0,1\}^{n+1} \to \{0,1\}^n)_n</math>, welches jeweils die letzte Koordinate abschneidet. Der Limes ist dann <math>C=\{0,1\}^{\mathbb{N}}</math>, also die Cantormenge! Mit anderen Worten, die Cantormenge ist die "größte Lösung" für <math>X=X+X</math>. Die Iteration kann man auch sehen: Erst zerlegt sich <math>X</math> in zwei Kopien von sich selbst, diese zerlegen sich wiederum in jeweils zwei Kopien, ad infinitum.



Diese einfache Charakterisierung der Cantormenge in der Kategorie der Mengen wirft einige Fragen auf: Wie lässt sich die Topologie auf dieser Menge anhand der Charakterisierung definieren? Welche Eigenschaften der Cantormenge kann man wie herleiten (theoretisch ja alle!)? Man hätte natürlich auch genausogut mit <math>(\mathrm{Top}) \to (\mathrm{Top}), X \mapsto X+X</math> starten können und sieht: Die Cantormenge ist der "größte Raum" mit <math>X = X+X</math>.

C. Binärbäume

Betrachte den <math>\omega</math>-kostetigen Funktor <math>F : (\mathrm{Set}) \to (\mathrm{Set}), X \mapsto 1+X^2</math>. Die Elemente von <math>1+X^2</math> stellen wir uns dabei so vor, dass es entweder der Punkt (aus <math>1</math>) ist oder zwei Elemente aus <math>X</math> mit diesem Punkt verheftet wurden. Wir suchen die initiale Koalgebra, also die "kleinste Lösung" der Gleichung <math>X=1+X^2</math>:

Bild

Falls sie einem jetzt noch nicht ins Auge fällt, kann man die allgemeine Konstruktion benutzen: Man berechne den Kolimes, sprich die gerichtete Vereinigung, des Systems

<math>0 \to 1+0^2 \to 1+(1+0^2)^2 \to 1+(1+(1+0^2)^2)^2 \to \dotsc.</math>

Dabei ist <math>0</math> leer, <math>1+0^2</math> besteht aus einem Punkt mit zwei angehefteten leeren "Blasen", <math>1+\left(1+0^2\right)^2</math> besteht aus einem Punkt sowie einem Punkt, an dem jeweils ein Punkt oder zwei leere Blasen angeheftet werden, und so weiter:

Bild

Es entsteht die Menge <math>T</math> aller endlichen Binärbäume! Was passiert wohl allgemeiner bei <math>X=1+X^n</math>?

Mit dieser Beobachtung können wir nun folgende Spielerei machen: Wir rechnen ganz naiv wie in guten alten Zeiten und formen die Gleichung <math>T=1+T^2</math> zu <math>T^2-T+1=0</math> um. Unter der Substitution <math>T \mapsto -T</math> ist dies das dritte bzw. sechste Kreisteilungspolynom. Es folgt also <math>T^6=1</math> und damit <math>T^7=T</math>. Was kann man dieser Rechnung abgewinnen? Vielleicht die interessante Vermutung, dass <math>T^7=T</math>, dass es also eine kanonische Bijektion zwischen Bäumen und <math>7</math>-Tupeln von Bäumen gibt. Aber sicherlich ist <math>T^6=1</math> falsch und daher muss ganz anders bzw. überhaupt argumentiert werden. Nämlich dürfen wir nur mit <math>+</math> und <math>\cdot</math> rechnen, nicht mit <math>-</math>; auch Kürzen ist nicht erlaubt. Wenn man diesen Regeln gehorcht, kann man jeden Rechenschritt zu einer explizit Bijektion ummünzen und kommt schließlich zu einer kanonischen Bijektion <math>T^7 \cong T</math> (welche sich also nicht nur auf die Abzählbarkeit beider Mengen beruft, sondern "stetig" in den Höhen der Bäume ist). Das funktioniert tatsächlich - ihr könnt euch bei dieser Knobelaufgabe daran versuchen.

D. Wörter

Sei <math>\Sigma</math> ein Alphabet (also im Prinzip nichts weiter als eine Menge, nur dass wir die Elemente als Buchstaben auffassen). In Verallgemeinerung zu Beispiel 4A betrachte den Funktor <math>X \mapsto 1 + \Sigma \times X</math>. Hier können wir ebenfalls eine naive Rechnung machen, um den kleinsten Fixpunkt direkt zu finden: Die geometrische Reihe liefert uns

<math>X = 1 + \Sigma \times X \Longrightarrow X = \frac{1}{1 - \Sigma} = 1 + \Sigma + \Sigma^2 + \Sigma^3 + \dotsc = \Sigma^*,</math>

also die Menge der endlichen Wörter über dem Alphabet <math>\Sigma</math>. Die Aufgabe der sog. Kategorifizierung besteht unter anderem darin, solche Rechnungen mit Inhalt zu füllen. Wir können aber auch wieder die allgemeine Konstruktion benutzen: In der Sequenz <math>1 \to 1 + \Sigma \to 1 + \Sigma \times (1 + \Sigma) \to \dotsc</math> identifiziert sich die <math>n</math>-te Menge offenbar mit der Menge der Wörter der Länge <math>< n</math>; im Kolimes erhalten wir also die Menge aller endlichen Wörter <math>\Sigma^*</math>.

Die letzten beiden Beispiele deuten die Bedeutung von initialen Algebren in der theoretischen Informatik an.

E. Das Einheitsintervall

Das Einheitsintervall <math>[0,1]</math> lässt sich wie folgt als Fixpunkt interpretieren: Es hat zwei Endpunkte <math>0,1</math>. Verklebt man zwei Kopien von <math>[0,1]</math>, indem man den zweiten Endpunkt der ersten Kopie mit dem ersten Endpunkt der zweiten Kopie verklebt, so bekommt man wieder <math>[0,1]</math> heraus:

Bild

Wir betrachten daher die Kategorie der zweifach punktierten Mengen <math>(\mathrm{Set}_{**})</math>; Objekte darin sind Mengen mit zwei ausgezeichneten Elementen; diese dürfen nicht identisch sein. Betrachte den Funktor

<math>(\mathrm{Set}_{**}) \to (\mathrm{Set}_{**}), (X,x_0,x_1) \mapsto (X + \overline{X} / x_1 \sim \overline{x_0} , x_0, \overline{x_1}).</math>

Hierbei ist <math>\overline{X}</math> eine Kopie von <math>X</math>. Dann stellt sich heraus, dass das Einheitsintervall <math>[0,1]</math> mit seinen Endpunkten <math>0,1</math> eine terminale Koalgebra für diesen Funktor ist! Dies wurde 1999 von Peter Freyd entdeckt.

Das können wir hier aber leider nicht mit unserem Satz beweisen, weil <math>(\mathrm{Set}_{**})</math> kein terminales Objekt hat. Es gibt trotzdem eine ganze Theorie (von Tom Leinster), die dahintersteckt und einem auch das Einheitsintervall aus dem Funktor konstruiert. Dasselbe gilt auch, wenn wir die Kategorie <math>(\mathrm{Top}_{**})</math> betrachten; Objekte sind hier topologische Räume mit zwei abgeschlossenen Punkten. Das liefert dann insbesondere eine kategorielle Charakterisierung des Einheitsintervalls innerhalb der Kategorie der topologischen Räume, und damit dann auch von <math>[0,1] \setminus \{0,1\} = ]0,1[ \cong \mathbb{R}</math>. Die bekannten Charakterisierungen aus der mengentheoretischen Topologie sind viel komplizierter. Eine besagt zum Beispiel, dass <math>\mathbb{R}</math> der einzige zusammenhängende, lokal zusammenhängende separable reguläre topologische Raum ist.

Die Theorie von Tom Leinster zeigt, dass sich jeder kompakte metrische Raum als "Fixpunkt einer einfachen Gleichung" darstellen lässt.

F. Das Lebesgue-Integral

Und das Beste kommt zum Schluss!

Wir arbeiten mit der Kategorie <math>B</math> der Banachräume über dem Körper <math>\mathbb{K} = \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> und stetigen linearen Abbildungen dazwischen von Norm <math>\leq 1</math>, d.h. lineare Abbildungen <math>f</math> mit <math>||f(x)|| \leq ||x||</math> für alle <math>x</math>. Daraus können wir die Komma-Kategorie <math>C=\mathbb{K} / B</math> bauen, oder äquivalent: Die Kategorie der Tupel <math>(X,\xi)</math>, bestehend aus einem Banachraum und einem Element <math>\xi \in X</math> mit <math>||\xi|| \leq 1</math>. Die Kategorie <math>C</math> besitzt Produkte, nämlich <math>(X,\xi) \times (Y,\eta) = (X \times Y,(\xi,\eta))</math>, wobei <math>X \times Y</math> mit der Norm <math>||(x,y)|| = \frac{1}{2} (||x|| + ||y||)</math> versehen wird.

Nun betrachte den Funktor <math>F : C \to C,~ X \mapsto X \times X</math>. Eine <math>F</math>-Algebra ist also ein Tripel <math>(X,\xi,m)</math>, bestehend aus einem Banachraum, einem <math>\xi \in X</math> von Norm <math> \leq 1</math> und einer linearen Abbildung <math>m : X \times X \to X</math> von Norm <math> \leq 1</math>, die <math>m(\xi,\xi)=\xi</math> erfüllt. Was ist hier eine initiale Algebra?

Man kann sich zunächst einmal leicht überlegen, wie <math>\omega</math>-Kolimites in <math>B</math> bzw. <math>C</math> aussehen und dass <math>F</math> diese erhält; siehe hier. Man muss das an dieser Stelle aber nicht allgemein verstehen. Wir wenden wieder die allgemeine Konstruktion an:

Starten wir mit dem initialen Objekt <math>\mathbb{K}</math> von <math>C</math> (zusammen mit dem Element <math>1 \in \mathbb{K}</math>). Die <math>n</math>-te Iteration mit <math>F</math> liefert <math>\mathbb{K}^{\{0,1\}^n}</math>. Es wird sich gleich als sehr nützlich herausstellen, dass wir uns diesen Banachraum als einen Raum <math>X_n</math> von Funktionen <math>[0,1[ \to \mathbb{K}</math> vorstellen; nämlich der Treppenfunktionen, die auf den Intervallen <math>[i/2^n,(i+1)/2^n[</math> konstant sind. Ein Element von <math>\{0,1\}^n</math> teilt uns nämlich mit, wenn wir es von hinten nach vorne lesen, welches Intervall wir in dieser Unterteilung von <math>[0,1[</math> nehmen. Hier ein Bild für <math>n=3</math>:

Bild

Die Sequenz <math>\mathbb{K} \hookrightarrow F(\mathbb{K}) \hookrightarrow F^2(\mathbb{K}) \hookrightarrow \dotsc</math> identifiziert sich nun mit der Sequenz <math>X_0 \subseteq X_1 \subseteq X_2 \subseteq \dotsc</math> von Inklusionen von Funktionenräumen. Das fixierte Element ist die konstante Funktion <math>1</math>. Die Norm auf <math>\mathbb{K}</math> ist der Absolutbetrag, folglich ist die Norm auf <math>\mathbb{K}^{\{0,1\}^n}</math> gegeben durch <math>||x|| = \frac{1}{2^n} \sum_{w} |x_w|</math>. Dabei ist <math>x_w</math> der Wert der zu <math>x</math> gehörigen Treppenfunktion in <math>X_n</math> auf dem zu <math>w</math> gehörigen Intervall der Länge <math>\frac{1}{2^n}</math>. Die Norm auf <math>X_n</math> ist also nichts anderes als das Integral (des Absolutbetrages) von Treppenfunktionen, d.h. die <math>\mathrm{L}^1</math>-Norm. Insbesondere sind die Inklusionen <math>X_n \subseteq X_{n+1}</math> isometrisch. Den Kolimes von normierten Räumen erhalten wir durch Vereinigung, <math>X = \cup_n X_n</math> mit der offensichtlichen isometrischen Fortsetzung der Norm. Der Kolimes von Banachräumen ist dann die Vervollständigung <math>\overline{X}</math> bezüglich der <math>\mathrm{L}^1</math>-Norm.

Aber das ist ein sehr bekannter Banachraum! Weil man mit den "dyadischen" Treppenfunktionen bereits alle Treppenfunktionen bzgl. der <math>L^1</math>-Norm approximieren kann, ist <math>\overline{X}</math> die Vervollständigung des Raumes aller Treppenfunktionen auf <math>[0,1[</math> bezüglich der <math>\mathrm{L}^1</math>-Norm und das ist nichts anderes als ... <math>\mathrm{L}^1[0,1]</math>!

Wir müssen noch den Morphismus <math>\mathrm{L}^1[0,1] \times \mathrm{L}^1[0,1] \to \mathrm{L}^1[0,1]</math> bestimmen. Dieser ist induziert von unserer Identifikation <math>X_n \times X_n \cong X_{n+1}</math>, welche zwei Treppenfunktionen staucht und danach aneinanderhängt. Allgemeiner wird also zwei <math>f,g \in \mathrm{L}^1[0,1]</math> die Funktion <math>f \star g</math> zugeordnet, die wie folgt definiert ist:

<math>\displaystyle (f \star g)(t) = \left\{\begin{array}{cc} f(2t) & t < \frac{1}{2} \\ g(2t-1) & t > \frac{1}{2} \end{array}\right.</math>

Bild

Wir haben also für den Banachraum <math>\mathrm{L}^1[0,1]</math>, zusammen mit der konstanten Funktion <math>1</math> und der obigen Abbildung <math>(f,g) \mapsto f \star g</math>, eine kategorielle Charakterisierung! Sie lautet noch einmal ausgeschrieben:

Ist <math>X</math> ein Banachraum zusammen mit einem Element <math>\xi \in X</math> und einem Morphismus (d.h. lineare Abbildung von Norm <math>\leq 1</math>) <math>m : X \times X \to X</math> mit <math>m(\xi,\xi)=\xi</math>, so gibt es genau einen Morphismus <math>\alpha : \mathrm{L}^1[0,1] \to X</math> mit <math>\alpha(1)=\xi</math> und <math>\alpha(f \star g) = m(\alpha(f),\alpha(g))</math> für alle <math>f,g \in \mathrm{L}^1[0,1]</math>.

Also grob gesagt: <math>\mathrm{L}^1[0,1]</math> ist der "kleinste punktierte Banachraum" mit <math>X \times X \cong X</math>. Das ist schon bemerkenswert: Zum einen zeigt dies, dass <math>\mathrm{L}^1[0,1]</math> nicht irgendein Banachraum ist, mit dem wir gut arbeiten können, sondern dass er tatsächlich die beste Lösung dafür ist, wenn es darum geht, "Funktionen aufzuspalten". Zum anderen könnten wir genauso gut die übliche Konstruktion dieses Banachraumes umgehen, also die Grundlagen aus der Maß- und Integrationstheorie einfach überspringen und aus allgemeinen kategorientheoretischen Überlegungen die folgende Definition rechtfertigen: Es sei <math>\mathrm{L}^1[0,1]</math> die (i.W. eindeutige) initiale Algebra für <math>X \mapsto X \times X</math> auf der Kategorie der Banachräume mit einem Element von Norm <math> \leq 1</math>.

Mit dieser abstrakten Definition (oder zumindest Charakterisierung) von <math>\mathrm{L}^1[0,1]</math> kann man auch wirklich etwas anfangen: Betrachte die <math>F</math>-Algebra <math>(\mathbb{K},1,m)</math>, wobei <math>m(a,b) = \frac{a+b}{2}</math>. Es gibt also genau einen Morphismus von <math>F</math>-Algebren <math>(\mathrm{L}^1[0,1],1,\star) \to (\mathbb{K},1,m)</math>, das heißt, genau eine lineare Abbildung von Norm <math>\leq 1</math>

<math>\displaystyle \int_{0}^{1} ~ dt: \mathrm{L}^1[0,1] \to \mathbb{K},</math>

sodass die beiden Gleichungen

<math>\displaystyle \int_{0}^{1} 1 ~ dt = 1</math>

<math>\displaystyle \int_{0}^{1} f(t) ~ dt = \frac{1}{2} \left( \int_{0}^{1} f\left(\frac{t}{2}\right) ~ dt + \int_{0}^{1} f\left(\frac{t+1}{2}\right) ~ dt\right)</math>

gelten. Das muss das Lebesgue-Integral sein! Das ist zum einen eine interessante Charakterisierung für sich genommen (die sich auch direkt beweisen lässt), zum anderen müssen wir hier zur Konstruktion nichts weiter tun als eine universelle Eigenschaft anzuwenden: Es ist nicht notwendig, das übliche Argument über die stetige Fortsetzung auf Treppenfunktionen zu wiederholen und - vor allem - die Unabhängigkeit des Integrals von der Approximation durch Treppenfunktionen erübrigt sich völlig!

Wenn wir also an der Gleichung "Kategorientheorie = abstrakter Blödsinn" festhalten wollen, so muss man zumindest eingestehen, dass man mit abstraktem Blödsinn ziemlich viel anstellen kann ... Hier ein paar Quellen als Referenz und auch zum Weiterlesen.

Quellen:

<math>\bullet</math> Tom Leinster, A universal Banach space, online
<math>\bullet</math> Tom Leinster, A general theory of self-similarity, online
<math>\bullet</math> Andreas Blass, Seven Trees in One, online
<math>\bullet</math> Thread bei mathoverflow, What theorem constructs an initial object for this category?, online
<math>\bullet</math> Thread bei mathoverflow, Topological Characterization of the real line, online
<math>\bullet</math> Alex Simpson, Probabilistic Observations and Valuations, online
<math>\bullet</math> nlab-Artikel, algebra for an endofunctor, online
<math>\bullet</math> nlab-Artikel, initial algebra, online
<math>\bullet</math> nlab-Artikel, natural numbers object, online
<math>\bullet</math> Wikipedia-Artikel, Initial algebra, online



Artikel zur Kategorientheorie
Teil 1 (von Zaos): Kategorientheorie
Teil 2 (von Zaos): Kategorien und Diagrammjagd
Teil 3: Ja Mono Epi Iso
Teil 4: Universelle Eigenschaften
Teil 5: Limites und Kolimites
Teil 6: Wie universelle Eigenschaften einem das Leben erleichtern
Teil 7: Fixpunkte in der Kategorientheorie
Teil 8: Adjunktionen: Wie man zwischen zwei Kategorien eine Brücke baut
Teil 9: Koenden ohne Ende - Integrale in der Kategorientheorie
Teil 10: 2-Kategorien - Einstieg in die höhere Kategorientheorie
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201305-05 (6x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=konstruktion von fixpunkten
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"Mathematik: Fixpunkte in der Kategorientheorie" | 7 Comments
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Re: Fixpunkte in der Kategorientheorie
von: kostja am: Mo. 17. Oktober 2011 16:57:27
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Hallo Martin,

das war sehr interessant! Erstmal herzlichen Dank.

Aber was L1 und das Lebesgue-Integral in der Praxis auszeichnet sind insbesondere die starken Konvergenzsätze. Hierfür muss man aber dann doch wieder die normale Theorie bemühen, oder nicht?

Gruß
Konstantin\(\endgroup\)
 

Re: Fixpunkte in der Kategorientheorie
von: Martin_Infinite am: Mo. 17. Oktober 2011 20:10:24
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Hi,
 
ja ich denke man kommt nicht drum herum. Der Satz von der majorisierten Konvergenz sagt zum Beispiel aus, wann gewisse messbare Funktionen in L1 landen. Das ginge nur mit einem kategoriellen Ansatz, wenn man auch noch den Raum aller messbaren Funktionen geeignet als Fixpunkt charakterisiert.
 
Ich würde allerdings sowieso nicht die These vertreten, dass die "normale Theorie" ersetzt werden kann - vielmehr kann sie zunächst in einem anderen Licht gesehen werden. Letzlich haben kategorientheoretische Ansätze aber natürlich schon zahlreiche konkrete Methoden hervorgebracht.
 
Gruß, Martin\(\endgroup\)
 

Re: Fixpunkte in der Kategorientheorie
von: proxximus am: Di. 18. Oktober 2011 10:22:20
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Hallo Martin,

ein sehr aufschlussreicher Artikel, vielen Dank dafür. Eine Anmerkung:
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Re: Fixpunkte in der Kategorientheorie
von: Martin_Infinite am: Di. 18. Oktober 2011 15:22:15
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Danke für die Korrektur - ich habe das im Artikel geändert. Ich meinte eigentlich die terminale Algebra.
 
Wie sieht man am besten ein, dass <math>\mathbb{N} \cup \{\infty\}</math> eine terminale Koalgebra ist?
 
Gruß, Martin\(\endgroup\)
 

Re: Fixpunkte in der Kategorientheorie
von: proxximus am: Di. 18. Oktober 2011 16:23:00
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Hallo Martin,

heuristisch kann man die terminale Coalgebra eines Funktors F oft schnell finden, indem man F-Koalgebren als "Transitionssysteme" interpretiert, siehe z.B. hier:

www.mathematik.uni-marburg.de/~gumm/Papers/Luatcs.ps

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Re: Fixpunkte in der Kategorientheorie
von: endy am: Sa. 22. Oktober 2011 18:16:05
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Re: Fixpunkte in der Kategorientheorie
von: Triceratops am: Mo. 26. April 2021 21:44:32
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In Beispiel F steht, dass $X \times Y$ mit der Norm $||(x,y)|| = \frac{1}{2} (||x|| + ||y||)$ ein kategorielles Produkt ist; das ist aber nicht der Fall, das kategorielle Produkt wäre mit der Sup-Norm. Man definiert hier die Norm gerade so, dass die Operation $\star$ isometrisch wird. Der Beweis bleibt unverändert. Wählt man die Norm $||(x,y)||_p := \left(\frac{1}{2} (||x||^p + ||y||^p)\right)^{1/p}$ für $1 \leq p < \infty$, bekommt man übrigens $L^p[0,1]$ als initiale Algebra heraus; siehe Tom Leinster, The categorical origins of Lebesgue integration.\(\endgroup\)
 

 
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