Mathematik: Elemente der Stochastik bis χ²-Unabhängigkeitstest
Released by matroid on Di. 18. Oktober 2011 19:59:40 [Statistics]
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Mathematik

\(\begingroup\) Elemente der Stochastik bis χ² Der folgende Lehrtext (PDF-Datei) eignet sich für Schüler der Oberstufe, ab der Normalverteilung für Abiturienten. Inhalt: Undefinierte Zufälle, Grundelemente der Wahrscheinlichkeit, Kombinatorik, Binomial- und Normalverteilung, Hypothesentest, Konfidenzintervall, Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest. Leitfiguren sind Vierfeldertafel und die Glockenkurven. Wer Angst vor Mathematik hat, hat noch mal soviel Angst vor der Stochastik, dem Chaos an Quälerei. Welcher Teufel hat mich dazu getrieben, eine 22-seitige Einführung in die Stochastik (s. Button am Ende) zu schreiben? Der Ehrgeiz, die Stochastik wirklich zu verstehen und verständlich zu machen; für das Verständnis wichtige Zusammenhänge, die ich so in Büchern nicht vorfand, festzuhalten. Anfangs schrieb ich die Doppelseite über Kombinatorik mit der Produktregel als Basis und der Systematik mit den verschiedenen gleichartigen Mustern. Dann die Aufgaben zur Bernoulli-Kette und die Formel von Bernoulli.

Es folgten Texte über die Glockenkurven der Binomialverteilung und die Hypothesentests. Der Grund war einfach: Ich wollte aus einem Lehrbuch für Schüler erfahren, wie diese Tests funktionieren. Die Abhandlung begann mit der Definition von etwa 20 Begriffen, mit denen nichts anzufangen war. Ich las weiter die Aufgabe und dann die Lösung. Zum Glück war die Lösung so ausführlich, dass ich daraus die Funktionsweise des Hypothesentests aufschreiben konnte. Das klang damals noch sehr technisch, ohne ganzheitlichen Überblick. Als ich Jahre später bei einem Bildungsverein einen kleinen Freizeitkurs über Stochastik (bedingte Wahrscheinlichkeiten) gab, merkte ich, wie viel man doch hier erklären muss und kann. Durch den Umgang mit Vierfeldertafeln erkannte ich diese als ein tolles Modell, das vieles vereinfacht. Aus philosophischer Sicht erkannte ich, dass die Mathematiker den Zufall gern auf die Wahrscheinlichkeit, wenn nicht gar auf das Laplace-Experiment reduzieren. Es gibt aber auch Zufälle jenseits der Stochastik, und die Mathematiker dürfen diese nicht leugnen, nur weil sie mathematisch nicht fassbar sind. Zu Recht stutzen die Mathematiker die Realität auf ein mathematisches Modell zusammen, um daraus Schlüsse zu ziehen. Auch ich reduziere die Begriffe Stichprobe und Hypothese auf einen mathematischen Kern, und zwar radikaler als manches Lehrbuch. Nur so wird die Logik klar. Weil sich in der Stochastik mehrere Interessen kreuzen, ist der Wust an Begriffen besonders groß. Jeder erzählt etwas anderes über Stichproben, ohne zu einer klaren Definition zu kommen. Ohne ein System präziser Definitionen und Regeln funktioniert keine formale Logik, keine noch so verlockende Rhetorik kann das ändern. Drei Grundsätze prägen nun mein Grundverständnis von elementarer Stochastik: 1. Grundelemente der Stochastik sind Anteilsrechnung, Mengenlehre und Kombinatorik. 2. Die Vierfeldertafel ist ein tolles Lerngerät für die Stochastik zweier Merkmale/Ereignisse. 3. Das Verständnis der Glockenkurven ist die Basis der beurteilenden Statistik. (Unter Anteilsrechnung verstehe ich die Erweiterung der Prozentrechnung auf statistische Mengen.) Ab dem Abschnitt über Kombinatorik ist mein Text vielleicht zu knapp für absolute Anfänger, denen ich empfehle, ggf. Details aus einem der vielen neuen Lehrfilme (z.B. auf Youtube) zu lernen. Mein Text eignet sich für alle, die vieles wieder vergessen haben und einen Überblick suchen, und argumentiert auf dem Niveau der gymnasialen Oberstufe. Neue Inhalte gibt es nicht, nur die Akzente und Perspektiven weichen von anderen Werken ab: 1. Der Unterschied von undefiniertem Zufall und Wahrscheinlichkeit und von frequentistischer und gleichverteilter Wahrscheinlichkeit. 2. In der Mengenlehre der Begriff der Partition und der Vierfeldertafel. 3. Im Modell der Vierfeldertafel mein Begriff des bedingten Anteils, der sich dann fortsetzt zum Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit. 4. Die hintergründige Datenstruktur des Baumdiagramms und die Verbindung zu Tabellen (Vierfeldertafel), die Kombination zweier Ereignisse mittels Produktmenge. 5. In der Kombinatorik die Listen gleichartiger Muster, ganz wichtig für das Verständnis. 6. Die Glockenkurven und die Verteilungsfunktion als Grundlage der beurteilenden Statistik mit meinen Begriffen Kern- und Randzonen. 7. Die Begriffe für die Tests sind auf das nötigste reduziert und bauen auf Bekanntes auf. 8. Abweichende Formulierung von Sätzen, um das Verständnis zu erleichtern. 9. Synonyme zu einigen Begriffen, gut für den Vergleich von Texten, z. B. Zufallsgröße = Zufallsvariable. 10. Eine deutsch-englische Wörterliste als Anregung, Schul-Mathematik mit Fach-Englisch zu verbinden. Der Einfachheit halber beschränke ich mich auf endliche Mengen. Um oberflächliche Diskussionen stochastischer Erscheinungen zu vermeiden, werden alle Begriffe und Regeln so gut und so einfach es geht erklärt. Der mengentheoretische Begriff Sigma-Algebra fehlt, weil er für das erste Grundverständnis der Stochastik überflüssig ist. Leider wollen einige Erklärer (z.B. mathematik.de – Erste Hilfe oder Wikipedia) auch für Laien nicht auf ihn verzichten. Das führt dann dazu, dass Begriffe wie Konfidenzintervall oder Zufallsvariable so lange unverständlich bleiben, bis der Leser andere Artikel gelesen und mehrere Artikel zu einem Puzzle zusammengefügt hat. Umgekehrt erschrecken mich Schulbücher der Stochastik (Leistungskurs), die den Begriff Verteilungsfunktion meiden. Mich würde es freuen, wenn der Text dem Leser hilft, ein Problem besser zu verstehen oder neue Zusammenhänge zu entdecken. Der Aufgabenteil enthält klassische Probleme, mit kurzen Lösungen im Anhang. Vielleicht ist einiges ausführlicher oder anders besser zu erklären. Jetzt bin ich gespannt auf eure Kritik: Was ist unzulässig vereinfacht? Wo stecken Fehler? Was sollte man weglassen, anders machen oder ergänzen?
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: Bernoulli-Experiment :: Gaußsche Verteilung :: Kombinatorik :: Stochastik :: Wahrscheinlichkeitsrechnung :
Elemente der Stochastik bis χ²-Unabhängigkeitstest [von Gerhardus]  
Elemente der Stochastik bis χ² Der folgende Lehrtext (PDF-Datei) eignet sich für Schüler der Oberstufe, ab der Normalverteilung für Abiturienten. Inhalt: Undefinierte Zufälle, Wahrscheinlichkeit, Kombinatorik, Binomial- und Normalverteilung, Hypothesentest, Konfidenzintervall, ...
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"Mathematik: Elemente der Stochastik bis χ²-Unabhängigkeitstest" | 2 Comments
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Änderungen
von: Gerhardus am: Mi. 21. Dezember 2011 13:55:56
\(\begingroup\)In der Version vom 21.12.2011 habe ich die deutsch-englische Wörterliste erweitert.\(\endgroup\)
 

Re: Elemente der Stochastik bis χ²-Unabhängigkeitstest
von: Gerhardus am: Sa. 08. März 2014 18:51:04
\(\begingroup\)Die neue Version (Febr. 2014) hat Fehler bei den bedingten Häufigkeiten beim Wechsel von S. 5 auf S. 6 beseitigt (A und B waren vertauscht), geringfügige Verbesserungen der Darstellung (z. B. 5a. Exkurs zum Problem der besten Wahl, S. 9) vorgenommen. Der Seitenumbruch blieb unverändert. Neu ist Anhang 5 Analogie zwischen Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie auf S. 23. Kritiken sind immer willkommen. \(\endgroup\)
 

 
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