Das Jahr 2011 ist bald um und der Leitartikel zum Satz des Jahres steht immer noch als einsames Monument auf diesem Planeten. Vielleicht ist der Artikel einfach zu gut, zu umfassend oder beides, so, dass es niemand gewagt hat etwas hinzu zu fügen. Ich habe mich nun trotzdem entschlossen ein Beispiel zur Anwendung des Satzes zu vertiefen. Es ist das selbe Thema, welchem ich bereits schon einmal einen Artikel gewidmet habe. Es geht um die Zetafunktion an der Stelle 2.
Eigentlich sollte dies nur eine kurze Einleitung werden, aber als ich versucht habe Eulers numerische Rechnung nachzuvollziehen, bin ich auf erstaunliche Dinge gestossen. Doch beginnen wir von vorne, vor beinahe 300 Jahren:
Euler hat den Wert von \zeta(2)=sum(1/n^2,n=1,\infty)
auf verschiedene Weise bestimmt.
Zuerst hat er den Wert mit einer numerischen Berechnung ermittelt. Im Jahre 1731 berechnete er die ersten 6 Dezimalstellen, 1735 veröffentlichte Euler den Wert 1.64493406684822643647....
Wenn diese Angaben aus dem Buch [Gamma,2007], S.50 so stimmen (im Netz habe ich nichts darüber gefunden), so muss Euler eine Methode zur effizienten Berechnung gefunden haben. Denn...
Reihen summieren
Um zu schätzen, ob Euler diese Reihe einfach "mechanisch" aufsummiert haben kann, habe ich Mathematica beauftragt dies für mich zu tun. Eine Million Reihenglieder und etwa 15 Minuten später hat mein Computer:
1.644933066848726436305748499979391855886 auf den Bildschirm geschrieben. Nochmals zu Eulers Resultat:
1.64493406684822643647....
Die sechste Nachkommastelle ist offensichtlich falsch berechnet (einige folgende Stellen stimmen aber wieder) und zwar die Summierung mit Mathematica, nicht Eulers Resultat, wie wir in den nächsten Kapiteln noch sehen werden. Man kann sich nun folgende Möglichkeiten denken:
a) Mathematica rechnet falsch
b) Intel inside, Fehler eingegrenzt (also die Computer-Hardware ist schuld)
c) Die Reihe der Zeta-Funktion konvergiert höchst eigenwillig.
Da die Summation einer Reihe ohne Tricks kein Problem für Mathematica darstellen sollte und und der Bug der Intel-Prozessoren schon viele Jahre zurückliegt, sollte man auf Antwort c) tippen. Eines kann man aber schon jetzt mit Sicherheit sagen: Euler hat die Reihe nicht einfach Glied für Glied aufsummiert.
Des Rätsels Lösung
Diese seltsame Art der Konvergenz wurde erst in der jüngeren Vergangenheit untersucht [Borwein, 2011], S31ff. Anscheinend hat sich früher nie jemand die Mühe gemacht langsam konvergierende Reihen wirklich elementar zu addieren. Als ein gewisser Joseph Roy 1988 fünf Millionen Terme der Reihe:
\pi=4*sum((-1)^(k+1)/(2k-1),k=1,\infty)=4(1-1/3+1/5-1/7...)
aufaddierte, bemerkte er, dass die Dezimalbruchdarstellung periodisch Fehler beinhaltet. Die Gegeüberstellung zeigt dies:
3.14159245358979323846464338328...=Summation der Leibniz Reihe
3.14159265358979323846264338328...=pi
Die beiden Brüder Borwein haben sich der Sache angenommen. Zunächst muss man feststellen, dass die Reihen sehr langsam konvergieren. Wir erwarten also nur, dass die Ziffern bis zur ersten Anomalie stimmen. Seltsam ist, dass es nachher wieder richtige Ziffern gibt und nicht, dass beispielsweise die sechste Ziffer falsch ist.
Borwein ging bei der Untersuchung folgendermaßen vor:
Zuerst notierte er die Unterschiede der Ziffern als Zahlenfolge:
2, -2, 10, -122, 2770
Da die Zahlen gerade sind, teilt man sie durch zwei:
1, -1, 5, -61, 1385
Nach dieser Folge kann man in einer Datenbank suchen:
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS)
Die Datenbank spukt nun allerlei aus. Unter anderem, dass es sich um die Eulerschen Zahlen handelt. Da es eine asymptotische Näherung gibt, die folgendermaßen lautet...
\pi/2-2*sum((-1)^(k+1)/(2k-1),k=1,N/2)~=sum(E_(2m)/N^(2m+1),m=0,\infty)
Dabei handelt es sich bei den E_n um die Eulerschen Zahlen.
...ist das Rätsel schon fast gelöst. Da Roy 5 Millionen Glieder addiert hat, also die Hälfte einer Zehnerpotenz, passt die Summe perfekt ins Raster der Korrekturglieder.
Für die Zeta-Funktion werden die Korrekturglieder anders aussehen. Auch die Eulerschen Zahlen müssen darin nicht vorkommen. Leider konvergiert die Zeta-Funktion zu langsam, um viel damit zu experimentieren. Am einfachsten werden die Abweichungen, wenn man eine Zehnerpotenz wählt, also zum Beispiel 1'000'000. Dies ist auch naheliegend, da gegenüber der Leibnizformel pi im Quadrat betrachtet wird.
Ein analytischer Ausdruck für ζ(2)
Was wir suchen ist ein analytischer Ausdruck für ζ(2). Programme wie Mathematica geben diesen sofort wieder, man muss also nicht die Reihe summieren:
\sourceon Mathematica
Sum[1/n^2, {n, 1, Infinity}]
Pi^2/6
\sourceoff
Angenommen man müsste einen analytischen Ausdruck finden, den Mathematica nicht kennt oder man hat kein solches Programm zur Verfügung. Dann hilft wider eine der Datenbanken für numerische Werte weiter. Dazu gibt man die ersten Stellen als Folge
1,6,4,4,9,3,4,0,6,6,8,4,8,2,2,6,4,3,6,4,7
in OEIS ein und erhält das Resultat:
\quoteon(OEIS)
Decimal expansion of zeta(2) = Pi^2/6.
\quoteoff
Wir wissen jetzt also, wonach wir suchen müssen und man braucht keine komplexen Zahlen um den Wert von ζ(2) exakt zu bestimmen. Aber der Umweg über die komplexe Ebene wird sich als wunderbare Abkürzung herausstellen.
Probleme aus der Zahlentheorie lassen sich häufig auf zwei verschiedene Arten lösen. Auf der einen Seite hilft ein gut gefüllter Rucksack Analysis oft weiter. Die Funktionentheorie und insbesondere der Residuensatz lassen sich auf viele zahlentheoretische Probleme anwenden. Die Lösung (man denke etwa an den Primzahlensatz) wird gefunden, sobald eine ausreichende Theorie zur Verfügung steht. Man sagt dann auch, dass die Zeit reif war für den entsprechenden Beweis.
Oft lassen sich Lösungen auch mit weit weniger Theorie im Hintergrund finden. Das nennt man dann einen elementaren Beweis. Wer jetzt aber einen elementarer Beweis mit einen Dreizeiler gleichsetzt, befindet sich auf dem Holzweg. Es ist im Gegenteil so, dass Beweise mit elementaren Mitteln normalerweise viel schwieriger sind, als Beweise, welche zum Beispiel auf der Funktionentheorie aufbauen. Beim Primzahlensatz hielt man einen elementaren Beweis lange für unmöglich. Der Grund mag gewesen sein, dass die größten Mathematiker daran gescheitert sind, bevor die entsprechenden Mittel zur Verfügung standen. Der Primzahlensatz wurde 1896 mit Mitteln der Funktionentheorie bewiesen. Viele wichtige Zwischenschritte wurden zuvor schon begangen. Erstaunlicherweise gelang Erdös und Selberg 1949 doch noch ein elementarer Beweis.
Anhand des Wertes von ζ(2) werden wir in den folgenden Abschnitten die Vorzüge eines nicht elementaren Beweises (oder anders herum die Vorzüge der Funktionentheorie) kennenlernen.
Funktionentheorie
Man kann nicht behaupten, dass Albert Einstein ein schlechter Physiker gewesen war weil eine seiner Antworten auf die Quantenmechanik: "Gott würfelt nicht" gewesen ist. Vielleicht hatte er ja auch nur eine Katzenallergie. Ebenso wenig war Euler ein schlechter Mathematiker, weil er behauptet hatte, dass
\sqrt(-2)*\sqrt(-3)=\sqrt(6)
sei. Damit will ich sagen, dass es manchmal neue Ideen und neue Köpfe braucht, um eine Wissenschaft voranzubringen, trotz der unbestritten, großen Verdienste der "Alten".
Komplexe Zahlen waren im 18. Jahrhundert nicht sehr beliebt. Ihre Nützlichkeit wurde angezweifelt. Der Begriff "Imaginäre Zahl" zeugt noch heute von diesem negativen Beigeschmack. Erst als Gauß zu Beginn des 19. Jahrhunderts die komplexe Zahlenebene publik machte (entdeckt hatte sie zuvor schon unabhängig Jean Robert Argand) wandelte sich die Einstellung zu diesem Zahlenreich. Der Fundamentalsatz der Algebra war einer der ersten großen Schritte auf dem Weg zu einer systematischen Untersuchung der komplexen Zahlen. Etwas später wurde die Funktionentheorie in kurzer Zeit entwickelt. Die zwei zentralen Namen lauteten dabei Cauchy und Riemann.
Die Funktionentheorie ist in vielfacher Hinsicht nützlich und "schön". Man kann damit große Zusammenhänge in wenigen zentralen Sätzen beschreiben. Es ist auch nicht nötig viele verschiedenen Objekte, Regeln und Ausnahmen (wenn man dieses Wort in der Mathematik überhaupt gebrauchen darf) zu betrachten, wie es zum Beispiel bei Differentialgleichungen nötig ist.
Doch nun zur nächsten "Brücke" und zur ersten konkreten Berechnung:
Eine nützliche Funktion
Die Funktion
f(z)=1/z^2 cot(\pi*z)
hat auf den ersten Blick nicht viel mit der Zetafunktion gemeinsam. Eine Darstellung im Reellen zeigt die Polstellen der Funktion:
Es ist nun nicht schwer zu erraten, dass wir die Residuen dieser Funktion suchen.
In der komplexen Ebene
Ich habe oben die Funktion f(z)=1/z^2 cot(\pi*z) auf der reellen Achse aufgezeichnet. Man muss sich nun fragen, ob in der Komplexen Ebene keine Polstellen dazukommen.
Im Komplexen haben wir nun aber das Problem, dass wir keine vierdimensionalen Darstellungen ausgeben können. Ich wählte deshalb eine zweidimensionale Darstellung mit dem Absolutwert der Funktion als Farbe. Als Funktion wählte ich nur den Kotangens, da sonst die Unterschiede im Betrag zwischen den Polstellen zu groß geworden wären:
\sourceon Mathematica
DensityPlot[Abs[Cot[Pi (x + I y)]], {x, -10, 10}, {y, -1, 1},
PlotRange -> {Full, Full, {-2, 2}}]
\sourceoff
Das Ganze sieht sehr schön aus, aber auch etwas seltsam. Anscheinend haben nicht nur unendliche Reihen ihre Tücken, sondern auch graphische Darstellungen. (Die weißen, diagonalen Sprenkel sind nur Artefakte, die meine ich nicht). Man kommt also nicht darum herum das Ganze analytisch zu betrachten.
Wenn man sich klarmacht, dass cot(\pi z)=cos(\pi z)/sin(\pi z) ist, dann weiss man gleich (oder nach etwas umformen), dass der sin(\pi z) nur Nullstellen bei den reellen, ganzen Zahlen hat.
Die Residuen des Kotangens
Die Residuen kann man beispielsweise aus der Laurentreihe ablesen. Was uns interessiert ist lediglich der 1/z-Term. Dazu entwickeln wir den Kotangens in eine Reihe:
cot(\pi z)=cos(\pi z)/sin(\pi z)=(1-(\pi z)^2/2!+...)/(\pi z-(\pi z)^3/3!+...)=1/(\pi z)*(1-(\pi z)^2/2!+...)/(1-(\pi z)^2/3!+...)
Den Nenner kann man mittels Polynomdivision invertieren und erhält:
=1/(\pi z)*(1-(\pi z)^2/2+...)*(1+(\pi z)^2/6+...)=1/(\pi z)-(\pi z)/3+...
Da nur der z^(-1) etwas zum Residuum beiträgt, ist
res(cot(\pi z),0)=1/\pi.
Für die Residuen der vollständigen Funktion gilt:
res((1/z^2)cot(\pi z),n)=(1/n^2)res(cot(\pi z),0)=1/(\pi n^2)
Der Term 1/n^2 lässt bereits die Zetafunktion erahnen. Nun muss man nur noch summieren oder integrieren (ist wie Summieren, da nur bei den ganzen Zahlen ein Beitrag entsteht).
Die Funktion f(z)=1/(z^2)*cot(\pi z) kann über einem quadratischen Integrationsweg in der komplexen Ebene integriert werden.
Zuerst: Integration mit Residuen
Eine ganze Zahlen sei mit n bezeichnet, mit N sei die höchste Zahl bezeichnet, welche vom Integrationsquadrat umschlossen wird.
Um zu Integrieren brauchen wir nur die Residuen im Inneren des Quadrates zu addieren.
1/(2 \pi \ii)*\int(f(z),z,S)=res(f(z),0)+\sum(res(f(z),n),n=-N,-1)+\sum(res(f(z),n),n=1,N)=-\pi/3+2/\pi*\sum(1/n^2,n=1,N)
Damit ist es geschafft (für N->\inf), das Integral mit Hilfe von \zeta(2) auszudrücken.
Wert des Integrals mit einem Grenzwert bestimmen
Jetzt hat man alle gesuchte Größen in einer Gleichung. Wenn wir beweisen können, dass das Integral 0 ergibt, sind wir fertig.
Um dies zu zeigen kann man beweisen, dass der Integrand schneller nach Null geht, als der Integrationsweg wächst, wenn man ihn vergrößert, also N erhöht.
Wenn der Integrationsweg genau zwischen den ganzen Zahlen N und N+1, \ii N und \ii (N+1) usw. liegt, dann beträgt die Länge des Weges 8N+4.
Der Integrand 1/(z^2)*cot(\pi*z) muss also mit wachsendem N schneller nach Null gehen, als 8N+4. Für den Anteil 1/z^2 gilt: abs(1/z^2)<1/N^2 , da abs(z)>N.
Der Anteil abs(cot(\pi*z)) wandelt man vorteilhaft in die Exponentialschreibweise um:
abs(cot(\pi*z))=abs((\ee^(\ii \pi z)+\ee^(-\ii \pi z))/(\ee^(\ii \pi z)-\ee^(-\ii \pi z)))
Für hinreichend großes N kann man nun für alle vier Seiten des Integrationsweges S zeigen, dass
abs(cot(\pi*z))<1+\eps
Beispielhaft sei dies für die rechte Seite gezeigt.
Die Integrationsstrecke für diese Seite ist N+1/2+\ii*y
Wir erweitern den Betrag des Kotangens mit \ee^(\ii \pi z):
abs((\ee^(\ii \pi z)+\ee^(-\ii \pi z))/(\ee^(\ii \pi z)-\ee^(-\ii \pi z)))=abs((\ee^(2*\ii \pi z)+1)/(\ee^(2*\ii \pi z)-1))=abs((\ee^(\ii*\pi(2*N+1)-2*\pi*y)+1)/(\ee^(\ii*\pi(2*N+1)-2*\pi*y)-1))
Realanteil abspalten
=abs((-1*\ee^(-2*\pi*y)+1)/(-1*\ee^(-2*\pi*y)-1))
erweitern mit \ee^(2*\pi*y)
=abs((\ee^(2*\pi*y)-1)/(\ee^(2*\pi*y)+1))<1
Nimmt man nun noch den 1/z^2 Term dazu, so erhält man die folgende Ungleichung:
\abs(\int(f(z),z,S))<(1+\eps)/N^2*(8N+4)
Für N ->\inf strebt das Integral also gegen 0 und somit ist die ursprüngliche Behauptung bewiesen:
-\pi/3+2/\pi*\sum(1/n^2,n=1,\inf)=0, also
\sum(1/n^2,n=1,\inf)=\pi^2/6
...und damit sind wir fertig.
\(\begingroup\)Danke für den sehr interessanten Artikel! Deine Art zu Schreiben ist sehr kurzweilig und gleichsam informativ wie unterhaltsam.
lg freeclimb
P.S: Unter dem Density-Plot hat sich ein Tippfehler eingeschlichen, dort wird zuerst der cot als sin/cos definiert. \(\endgroup\)
\(\begingroup\)Das mit der "seltsamen" Konvergenz habe ich noch nicht verstanden. Ab wann stabilisiert sich denn nun die Kommaanzeige?
Anscheinend, so deine These, hat Euler Zahlenfolgen ähnlich der Eulerzahlen zur Korrektur benutzt? Welche man für die Zeta-Funktion braucht, ist aber unklar? Habe ich dich so richtig verstanden?
Eine kleine Anmerkung zum Buch von Havil: Über die englische Ausgabe kann ich nichts sagen, aber die deutsche ist von vorne mit hinten auf fast jeder Seite mit Fehlern gespickt. Keine großen, sondern irgendwelche vergessenen Terme, falsche Variablen, Umformungen in der falschen Reihenfolge (also einfach Gleichungsketten durcheinandergewürfelt), so dass man sie nicht mehr versteht, und vieles mehr. Bei Dingen, die dort stehen würde ich also vorsichtig sein und dreimal nachprüfen 😉
Schöner Artikel insgesamt!\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@freeclimb: Danke für Fehlermeldung, die Korrektur ist bereits eingeflossen.
@kofi: Das Buch von Havil bietet sehr viele Anregungen und weckt auch Freude sich mit verschiedenen mathematischen Themen zu befassen. Als Nachschlagewerk würde ich es wegen den Fehlern auch nicht verwenden. Für den Artikel kam ich nicht darum herum alles nachzurechnen (wie du ja auch empfiehlst) und dabei bin ich dann auf diese seltsame Konvergenz gestossen. Was Euler gemacht hat kann ich nicht sagen. Vielleicht hatte er ja vermutet, dass
\
\zeta(2)=\pi^2/6
und er hatte das Resultat nur teilweise überprüft. Um die Korrekturglieder zu bestimmen muss man den analytischen Ausdruck eigentlich schon kennen.
Herauszufinden, was Euler genau gerechnet hat ist nicht einfach.
Euler schrieb "kürzlich" dazu:
hier
"Indeed I recently showed for the sum of this series to
be approximately 1, 644934066842264364"
(Bezeichnenderweise eine Stelle weniger, als in Havils Buch.)
Nun, wie er auf die Zahl kam steht da nicht. (Hoffentlich wurde sein Papierkorb noch nicht geleert).
Ich werde noch etwas in den Übersetzungen recherchieren und es in den Artikel einbauen, allerdings glaube ich nicht, dass uns Euler die Zwischenresultate hinterlassen hat.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)schöner artikel! :)
eine anmerkung zum densityplot:
die artefakte verschwinden, wenn du die zahl der berechneten punkte im plot erhöhst. mathematica rechnet zu wenige punkte aus und macht dann eine eigenartige interpolation ... versuch mal das hier:
DensityPlot[Abs[Cot[Pi (x + I y)]], {x, -10, 10}, {y, -1, 1},
PlotRange -> {Full, Full, {-2, 2}}, PlotPoints -> 100]\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@Ueli:
Hier steht, dass er an den Wert wohl über das Abschätzen eines Integrals gekommen ist. Es steht aber leider auch nicht da wie er es abgeschätzt hat.
PS: Es gibt noch mehr Artikel dieser Serie. Hans-Juergen hatte schon bei dem alten Artikel einen Link darauf gepostet.\(\endgroup\)
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2023-03-27 00:20 U <
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Es ist nun nicht schwer zu erraten, dass wir die Residuen dieser Funktion suchen.
Das Ganze sieht sehr schön aus, aber auch etwas seltsam. Anscheinend haben nicht nur unendliche Reihen ihre Tücken, sondern auch graphische Darstellungen. (Die weißen, diagonalen Sprenkel sind nur Artefakte, die meine ich nicht). Man kommt also nicht darum herum das Ganze analytisch zu betrachten.
Wenn man sich klarmacht, dass cot(\pi z)=cos(\pi z)/sin(\pi z) ist, dann weiss man gleich (oder nach etwas umformen), dass der sin(\pi z) nur Nullstellen bei den reellen, ganzen Zahlen hat.
Eine ganze Zahlen sei mit n bezeichnet, mit N sei die höchste Zahl bezeichnet, welche vom Integrationsquadrat umschlossen wird.
Um zu Integrieren brauchen wir nur die Residuen im Inneren des Quadrates zu addieren.
1/(2 \pi \ii)*\int(f(z),z,S)=res(f(z),0)+\sum(res(f(z),n),n=-N,-1)+\sum(res(f(z),n),n=1,N)=-\pi/3+2/\pi*\sum(1/n^2,n=1,N)
Damit ist es geschafft (für N->\inf), das Integral mit Hilfe von \zeta(2) auszudrücken.
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