Mathematik: Sesquilinear- und quadratische Formen III
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Mathematik

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Sesquilinear- und quadratische Formen III - Endliche Geometrien


Wir haben in den letzten beiden Artikeln zu Sesquilinear- und quadratischen Formen bereits die grundlegenden Definitionen und den Satz von Witt kennengelernt. In diesem Artikel haben wir zwei Ziele. Zum einen wollen wir die Sätze, die wir schon kennen, ausbauen, um endliche Geometrien vollständig zu klassifizieren und so einen Eindruck davon zu bekommen, wie vielfältig die endlichen Isometriegruppen tatsächlich sein können. Wir wollen außerdem darauf aufbauend ein paar kombinatorische Überlegungen anstellen, die es uns letztendlich erlauben werden, die Ordnungen der Isometriegruppen zu bestimmen.


Inhalt


Die Klassifikation endlicher Geometrien

Sei V ein Vektorraum über K, der mit einer alternierenden, hermiteschen oder quadratischen Form versehen sei. Wir haben bereits gesehen, dass es dann eine Zerlegung von V in der Form V= H_1 \perp H_2 \perp ... \perp H_r \perp U \perp V^\perp gibt, wobei die H_i hyperbolische Ebenen sind, U ein total anisotroper Unterraum und V^\perp das Radikal. Um zu einer vollen Klassifikation zu kommen, müssen wir also die total anisotropen Räume klassifizieren können. Das machen wir per Fallunterscheidung. Zuvor jedoch verfeinern wir das Zerlegungsresultat noch etwas, indem wir zeigen, dass in total anisotropen Räumen stets Orthogonalbasen existieren:
Lemma 1: Orthogonalbasen
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) define(dot,opimg(*)) Sei (V, blf(\dot,\dot)) ein K\-Vektorraum mit einer total anisotropen, hermiteschen \(ggf. bilinearen\) Form. Dann existiert eine Orthogonalbasis, d.h. eine Basis v_1, ..., v_n von V, sodass blf(u_i,u_j)=0 für alle i!=j gilt.
Der Beweis erfolgt mit dem Gram-Schmidt-Verfahren wie im reellen bzw. komplexen Fall. Einzig auf das Normieren der Vektoren muss man verzichten, weil die dafür benötigten Wurzeln möglicherweise nicht im Körper liegen. Wenn man sich etwas cleverer anstellt, dann kann man auch für beliebige Räume mit einer hermiteschen Form, die nicht gleichzeitig alternierend ist, die Existenz von Orthogonalbasen zeigen. Dazu muss man im Wesentlichen sicherstellen, dass es in hyperbolischen Ebenen Orthogonalbasen gibt.

Der symplektische Fall

Der Fall einer alternierenden Form ist dabei trivial, denn dann ist der einzig anisotrope Raum der Nullraum. Alternierende Formen haben wir also bereits klassifiziert, sogar ohne auf die Endlichkeitsannahme zurückgegriffen zu haben. Das halten wir in einem Lemma fest:
Klassifikation I: Symplektische Räume
Sei K ein Körper. Für jedes n\in\IN gibt es bis auf Isometrie genau einen symplektischen Raum der Dimension 2n. Räume mit ungeraden Dimensionen sind immer entartet.
Es ist also wohldefiniert, wenn wir von "dem" symplektischen Raum der Dimension 2n sprechen.
Definition: Symplektische Gruppe
Sp_2n(K) ist die Isometriegruppe des symplektischen Raums der Dimension 2n über K.
Man beachte, dass statt Sp_2n auch Sp_n eine übliche Schreibweise ist. Das kann zu Verwechslungen führen, darauf sollte man achten. Wenn wir eine Basis aus paarweise orthogonalen hyperbolischen Paaren e_i, f_i wählen, dann können wir Sp_2n auch als Matrizengruppe menge(A\in\ GL_2n(K) | A^T*J_n*A=J_n) schreiben, wobei J_n=matrix(0,I_n;-I_n,0)\in\ K^(2n\times\ 2n) Indem wir die Basis anders nummerieren, kann man auch die Matrizengruppe menge(A\in\ GL_2n(K) | A^T*J*A=J) mit J=matrix(\ 0,1;\ -1,0;\ ,,\ddots;\ ,,,0,1;\ ,,,-1,0\ ) erhalten.

Der unitäre Fall

Wir konzentrieren uns hier auf unitäre Räume, d.h. K\-Vektorräume mit einer nichtentarteten hermiteschen Form. Wir setzen außerdem voraus, dass diese Form nicht bilinear ist, d.h., dass der zugeordnete Automorphismus x\mapsto\ x^- von K nicht die Identität ist. Das tun wir, weil wir statt symmetrischen Bilinearformen ja quadratische Formen betrachten wollten und dies im nächsten Abschnitt geschehen wird. In dieser Situation definieren wir nun weiter E:=menge(x\in\ K | x=x^-), d.h. E ist der Fixkörper des Automorphismus. Wir definieren nun weiter:
Definition: Spur und Norm
Mit den Bezeichnungen wie oben definieren wir die \darkblue\ Spur____\black tr||array(\small\ K;E\normal):K\to\ E und die \darkblue\ Norm____\black N||array(\small\ K;E\normal):K\to\ E durch tr||array(\small\ K;E\normal)(x):=x+x^- N||array(\small\ K;E\normal)(x):=x*x^- für alle x\in\ K.
Diese Abbildungen sind sehr nützlich. Wir zeigen zunächst folgendes Lemma:
Lemma 2: Grundlegende Eigenschaften von Spur und Norm
Mit obigen Bezeichnungen gilt: (a) tr||array(\small\ K;E\normal)(K)=E (b) menge(x\in\ K | N\.array(\small\ K;E\normal)(x)=1) = menge(y/y^- | y\in\ K) ~= K^x \/ E^x (c) Ist K endlich, so ist N||array(\small\ K;E\normal)(K)=E
a. Die Spur ist offenkundig E\-linear, d.h. es reicht, wenn wir tr||array(\small\ K;E\normal)!=0 ungleich zeigen. Angenommen, dem wäre nicht so. Dann ist \forall\ x\in\ K: x^-+x=0 Insbesondere also 2=1^-+1=0, d.h. char(K)=2. Daraus folgt dann x^-=-x=x, d.h. x\mapsto\ x^- ist die Identität im Gegensatz zur Annahme. \blue\checked b. folgt auch sehr einfach: Offenbar ist jedes y/y^- im Kern von N||array(\small\ K;E\normal). Ist umgekehrt a^-\.a=1, so unterscheiden wir zwei Fälle: a=-1. Dann wählen wir ein x\in\ K mit x^-!=x und setzen b:=x^--x. Es gilt dann offenbar b!=0 und b^-=-b, d.h. b/b^-=-1=a. Ist a!=-1, so wählen wir b:=1+a!=0. Es gilt dann: b/b^--a=(1+a)/(1+a^-)-a*(1+a^-)/(1+a^-)=(1+a-a-a\.a^-)/(1+a^-)=0 => b/b^-=a. Das zeigt die behauptete Gleichheit. Die Abbildung b\mapsto\ b/b^- ist ein Homomorphismus K^x\to\ menge(x | N||array(\small\ K;E\normal)(x)=1), dessen Kern genau menge(b\in\ K^x | b/b^-=1)=menge(b\in\ E^x | b=b^-)=E^x ist. Das zeigt die Isomorphie. \blue\checked Für c. sei nun K endlich. Da wir genau wissen, wie Automorphismen endlicher Körper aussehen, heißt das, dass K=\IF_array(q^2), x^-=x^q und E=\IF_q sein muss. N ist ein Gruppenhomomorphismus K^x\to\ E^x. Der Kern besteht aus den Elementen mit 1=x*x^q=x^(q+1). Da \IF||array(\small\ x;q^2)\normal zyklisch von der Ordnung q^2-1=(q+1)(q-1) ist, ist der Kern die eindeutige Untergruppe mit q+1 Elementen. Das Bild von N||array(\small\ K;E\normal) hat somit genau q-1 Elemente, muss also gleich \IF_q^x sein. Da sowieso N||array(\small\ K;E\normal)(0)=0 ist, zeigt das N||array(\small\ K;E\normal)(\IF_(q^2))=\IF_q. \blue\ q.e.d.
Mit diesem Lemma ausgestattet können wir nun die endlichen, unitären Räume klassifizieren:
Klassifikation II: Unitäre Räume
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) define(dot,opimg(*)) Sei K ein endlicher Körper. Es gilt: (a) Ist (V, blf(\dot,\dot)) ein total anisotroper, unitärer Raum, so ist dim(V)<=1. $ $ Bis auf Isometrie ist der einzige eindimensionale Raum (K,\beta), wobei $ $ \beta(x,y):=x*y^-. (b) Es tritt genau einer der folgenden Fälle ein: $ $ (i) $ dim(V)=2n und V~=H^n $ $ (ii) $dim(V)=2n+1 und V~=H^n \perp K $ $ wobei H die hyperbolische Ebene und K den Raum (K,\beta) aus (a) meint.
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) define(dot,opimg(*)) Weil jeder Unterraum eines total anisotropen Raums selbst total anisotrop ist, reicht es, wenn wir die Existenz eines zweidimensionalen, total anisotropen, unitären Raums zum Widerspruch führen. Angenommen, V wäre so ein Raum. Dann wissen wir aus \ref(Lemma 1), dass es eine Orthogonalbasis v,w von V gibt. Seien a:=blf(v,v) und b:=blf(w,w). Da blf(\dot,\dot) hermitesch ist, sind a und b in E. Weil V total anisotrop ist, sind sie in E^x. Mit \ref(Lemma 3) finden wir also \alpha\in\ K mit \alpha\.\alpha^-=-ab^(-1). Setzen wir x:=v+\alpha\.w, so gilt dann blf(x,x)=blf(v,v)+\alpha*\alpha^-*blf(w,w)=a-ab^(-1)*b=0 Weil v und w aber linear unabhängig sind, ist x!=0, d.h. V ist nicht anisotrop. Ist nun V=\ eindimensional und a:=blf(v,v)!=0, dann finden wir ein \alpha\in\ K mit \alpha*\alpha^-=a^(-1), sodass blf(\alpha\.v,\alpha\.v)=1 gilt. Dann ist 1\mapsto\alpha\.v die gesuchte Isometrie (K,\beta)\to\ (V, blf(\dot,\dot)). \ref(b) folgt sofort aus \ref(a). \blue\ q.e.d.
Das erlaubt es uns also, in Zukunft von "dem" unitären Raum der Dimension n und "der" unitären Gruppe zu sprechen:
Definition: Unitäre Gruppe
Die unitäre Gruppe U_n(q^2) ist die Isometriegruppe des unitären Raums der Dimension n über \IF_(q^2)
Man beachte, dass auch hier wieder die Bezeichnungsweise in verschiedenen Abwandlungen im Umlauf ist: Dieselbe Gruppe wird manchmal auch als U_n(q) bezeichnet. Wählen wir eine Basis von paarweise orthogonalen hyperbolischen Paaren e_i, f_i sowie ggf. einen zusätzlichen normierten Vektor, so erhalten wir U_n(q^2) auch als Matrixgruppe menge(A\in\ GL_n(\IF_(q^2))|A^-^T*J*A=J) mit J=matrix(\ 0,1;\ 1,0;\ ,,\ddots;\ ,,,0,1;\ ,,,1,0\ ) falls dim(V) gerade ist und J=matrix(\ 0,1;\ 1,0;\ ,,\ddots;\ ,,,0,1;\ ,,,1,0;\ ,,,,,1\ ) falls dim(V) ungerade ist. Weil alle nichtentarteten, hermiteschen Formen auf \IF||array(\small\ n;q^2\normal) äquivalent sind, hätten wir genauso gut jede andere nichtsinguläre Matrix mit J^-^T=J verwenden können anstelle von diesen beiden Matrizen. Insbesondere funktioniert die Einheitsmatrix ganz hervorragend und wir erhalten eine einheitliche Beschreibung Matrizengruppe für alle Dimensionen: menge(A\in\ GL_n(\IF_(q^2))|A^T*A^-=1)

Der orthogonale Fall

Für orthogonale Geometrien gibt es i.A. mehr als nur einen Isometrie-Typ pro Dimension, aber es sind trotzdem nur sehr wenige, sodass wir auch hier eine vernünftige Klassifikation erhalten.
Klassifikation III: Orthogonale Räume
Sei K ein beliebiger Körper und (V,q) ein K\-Vektorraum mit einer nichtentarteten quadratischen Form. Dann gilt: (a) Ist K endlich und V total anisotrop, so gilt dim(V)<=2. (b) Klassifikation kleiner Räume: $ $Für dim(V)<=2 tritt genau einer der folgenden Fälle ein: $ $ (i) $ dim(V)=1. Dann existiert ein c\in\ K^x, sodass (V,q)~=(K,cq_0), $ $ $ $ $ $wobei q_0(x):=x^2. $ $ (ii) $dim(V)=2 und V ist eine hyperbolische Ebene. $ $ (iii) dim(V)=2, V ist total anisotrop. Dann existiert ein c\in\ K^x, $ $ $ $ $ $und eine quadratische Galoiserweiterung L\|K, sodass (V,q)~=(L,cN||array(\small\ L;K\normal)) $ $ $ $ $ $ist, wobei N||array(\small\ L;K\normal)(x)=x\.x^- die Norm dieser Erweiterung ist. (c) Klassifikation aller Räume: $ $Ist K endlich, so tritt genau einer der folgenden Fälle ein: $ $ (i) $ dim(V)=2n und V~=H^n $ $ (ii) $dim(V)=2n und V~=H^(n-1) \perp (L,cN||array(\small\ L;K\normal)) für eine Konstante c\in\IF_q^x $ $ (iii) dim(V)=2n+1 und V~=H^n \perp (K,cq_0) für eine Konstante c\in\ K^x $ $ Dabei meint H die hyperbolische Ebene.
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) define(dot,opimg(*)) Für (a) reicht es wieder, wenn wir die Existenz dreidimensionaler total anisotroper Räume zum Widerspruch führen. Wir nehmen also n=3 an. Fall 1: char(K)=2 Sei u\in\ V^\# beliebig. Dann ist dim(u^\perp)=n-1=2 und daher gibt es ein v\in\ u^\perp \\ Ku, d.h., u und v sind dann linear unabhängig und orthogonal. Es gilt demzufolge: q(xu+yv)=x^2\.q(u)+y^2\.q(v) für alle x,y\in\ K. Da char(K)=2 und K endlich ist, ist jedes Element in K ein Quadrat, d.h., wir können x=sqrt(q(v)) und y=sqrt(-q(u)) wählen. Dann ist xu+yv ungleich Null, aber isotrop entgegen der Annahme. Fall 2: char(K)!=2 Dann wählen wir eine Orthogonalbasis u,v,w von V. So etwas existiert, weil die Polarisierung von q eine total anisotrope Bilinearform ist und daher das Gram\-Schmidt\-Verfahren anwendbar ist. Dann setzen wir a:=q(u), b:=q(v), c:=q(w). Weil V total anisotrop ist und u,v,w von Null verschieden sind, sind auch a,b,c von Null verschieden. Ist abs(K)=r, so gibt es genau (r+1)/2 Quadrate. Das sieht man wie folgt: x\mapsto\ x^2 ist ein Homomorphismus K^x\to\ K^x mit Kern \{+-1\}. Also hat das Bild (r-1)/2 Elemente. Zusammen mit x=0 ergibt das (r+1)/2 Quadrate. Die Mengen menge(ax^2 | x\in\ K), menge(-c-by^2 | y\in\ K) haben daher ebenfalls (r+1)/2 Elemente und sind somit nicht disjunkt, d.h. es gibt x,y\in\ K mit ax^2+by^2=-c. Dann ist aber q(xu+yv+w)=q(u)x^2+q(v)y^2+q(w)=ax^2+by^2+c=0. Der Vektor xu+yv+w ist jedoch ungleich Null. Das widerspricht der Annahme, dass V total anisotrop ist. \blue\checked Wie sehen nun die anisotropen Räume genau aus? Eindimensional ist es einfach: Da kann man einen Vektor v\in\ V\\\{0\} wählen und q(v) ist dann die einzig bestimmende Größe. Wenn wir v durch av ersetzen, erhalten wir a^2\.q(v). Die Restklasse von q(v) in K^x \/ (K^x)^2 ist also eine Invariante von (V,q). Umgekehrt sind zwei Räume (V,q) und (V',q') isometrisch, wenn sie in derselben Restklasse liegen, weil dann Vektoren v,v' mit q(v)=q'(v') gefunden werden können. \blue\checked Nun also zu zweidimensionalen Räumen: Wenn V isotrope Vektoren enthält, dann ist V eine hyperbolische Ebene, weil es nach Annahme ein nichtentarteter Raum ist. Also bleibt der Fall (iii) eines total anisotropen Raums übrig. Sei dafür u,v eine Basis von V. Für alle t\in\ K ist 0!=q(tu+v) = t^2\.q(u)+t*blf(u,v)+q(v) Wenn wir also a:=q(u), b:=blf(u,v), c:=q(v) setzen, erhalten wir ein Polynom f(T)=aT^2+bT+c\in\ K[T], welches irreduzibel ist, weil es keine Nullstellen hat. Wir wählen die Erweiterung L:=K[T]\/(f), in der f nach Konstruktion eine Nullstelle \alpha besitzt. 1/a*f(T) ist dann das Minimalpolynom von \alpha. Weil f'=2aT+b!=0 ist, ist L\|K separabel. Als Erweiterung vom Grad 2 ist es auch normal, also eine Galoiserweiterung. Insbesondere ist Gal(L\|K)=menge(id, $^-) zweielementig. Nach Vieta ist \alpha+\alpha^- = -b/a, d.h. die andere Nullstelle von f ist \alpha^-=-b/a-\alpha Es gilt für alle x,y\in\ K: \align\ N||array(\small\ L;K\normal)(x+y\alpha) ><= (x+y\alpha)(x+y\.\alpha^-) ><=x^2+xy(\alpha+\alpha^-)+y^2\.\alpha\.\alpha^- ><=x^2+xy*(-b/a)+y^2*c/a ><=1/a*(ax^2-bxy+cy^2) ><=1/a*q(xu-yv) Die Abbildung u\mapsto\ 1, v\mapsto\ -\alpha ist also eine Isometrie (V,q)\mapsto(L, 1/a*N||array(\small\ L;K\normal)). \blue\ q.e.d.
Entsprechend der drei Fälle in der Klassifikation definieren wir:
Definition: Orthogonale Gruppen
(a) O||array(\small\+;2n\normal)(q) ist die Isometriegruppe eines 2n\-dimensionalen, orthogonalen $ $Raums über \IF_q mit Witt\-Index n. (b) O||array(\small\-;2n\normal)(q) ist die Isometriegruppe eines 2n\-dimensionalen, orthogonalen $ $Raums über \IF_q mit Witt\-Index n-1. (c) O||array(\small\ $;2n\+1\normal)(q) ist die Isometriegruppe eines (2n+1)\-dimensionalen, $ $orthogonalen Raums über \IF_q.
Man beachte, dass die Isometriegruppe (V,q) sich nicht ändert, wenn man q durch ein Vielfaches ersetzt. Die Konstante aus der Klassifikation spielt also für die Gruppen keine Rolle, die hängen nur von n,q und dem Witt\-Index ab. Man beachte folgende Falle: Ist q eine Zweiterpotenz, d.h. char(K)=2, dann ist die von q induzierte Bilinerform stets alternierend. Im Falle ungerader Dimension ist V^\perp also ungleich Null. Insbesondere wäre (K,q_0) total anisotrop, aber entartet. Einige Autoren definieren daher "nichtentartet" so, dass V^\perp!=0 sein darf, dann aber q(v)!=0 für alle v\in\ V^\perp\.\\\{0\} zu sein hat. In diesem Sinne ist auch (K,q_0) nichtentartet. Letztlich ist das aber nicht interessant, denn es stellt sich heraus, dass O_(2n+1)(2^r)~=Sp_2n(2^r) ist und man diese Gruppen daher auch genauso gut als symplektische Gruppen untersuchen kann statt als orthogonale.

Kombinatorik



Wir wollen nun ein paar kombinatorische Invarianten dieser endlichen Geometrien bestimmen. Das Ziel soll letztendlich sein, die Größe der Isometriegruppe zu bestimmen.

Es überrascht nicht, dass diese Invarianten von den bisher betrachteten Größen abhängig sind. Es wird sich herausstellen, dass in der Tat alle sinnvollen kombinatorischen Invarianten mit den bisherigen numerischen Kennzahlen bestimmen werden können.

Haben wir eine Geometrie vom Witt-Index r, so definieren wir ε nach folgender Tabelle:
Typ Dimension ε
Symplektisch 2r1
Unitär 2r1
Unitär 2r+10
Orthogonal 2r+1
Orthogonal 2r+10
Orthogonal 2r+2-1
ε ist hierbei aufgrund der letzten drei Zeilen definiert worden, damit wir einheitlich Onε(q) für die orthogonalen Gruppen schreiben können. Die anderen ε-Werte sind so gewählt, dass sie mit den kommenden Formeln zusammenpassen.

r, ε und die Größe des Körpers q sind nun also unsere gegebenen Größen. Wir werden sehen, dass alle sinnvollen numerischen Invarianten dieser Geometrien sich aus diesen drei Werten berechnen lassen.
Beispielsweise ist die Dimension von V jetzt in allen Fällen durch n=2r+1-ε gegeben.

Isotrope Vektoren, hyperbolische Ebenen und Paare

makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) define(dot,opimg(*)) Die wohl ersten nichttrivialen kombinatorische Fragen, die sich hier stellen, sind, wieviele isotrope Vektoren, hyperbolische Ebenen und hyperbolische Paare es in V gibt. Wir vergeben Namen für diese Anzahlen: A_r := \# menge(v\in\ V^\# | v isotrop) B_r := \# menge(H<=V | H ist hyp. Ebene) C_r := \# menge((e,f) | e,f isotrop \and blf(e,f)=1) Dabei haben wir mit r indiziert, weil wir gleich eine Rekursion über r herleiten werden. In Wirklichkeit hängen die Werte aber natürlich auch von q und \epsilon ab. Es ist etwas aufwändiger, A_r direkt zu bestimmen. Wir bestimmen daher erst einmal die Anzahl der projektiven__ Punkte, die isotrop sind, d.h. A_r^' := \# menge(Kv\in\IP(V) | v isotrop) = 1/(q-1)*A_r Die Idee für die Rekursion ist es, sich einen isotropen Punkt P=Kv im projektiven Raum \IP(V) zu fixieren und alles relativ zu diesem Punkt zu zählen. Um die Anzahlen zu bestimmen, brauchen wir ein Lemma:
Lemma: Hyperbolische Ebenen, die P enthalten
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) define(dot,opimg(*)) Sei P=Kv\in\IP(V) ein fest gewählter, isotroper Punkt. (a) Ist w\in\ V mit blf(v,w)=1, so ist P+Kw eine hyperbolische Ebene. $ $Umgekehrt hat jede hyp. Ebene, die P enthält, diese Form. (b) Es gibt genau q^(n-2) hyperbolische Ebenen, die P enthalten. (c) Ist H\subseteq\ V eine hyperbolische Ebene, die P enthält, dann gibt es genau $ $ \alpha:=cases(q,symplektisch;q^1\/2,unitär;1,orthogonal) $ $ weitere isotrope Punkte in \IP(H) \\ \{P\}.
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) define(dot,opimg(*)) Die Aussage (a) haben wir im Wesentlichen schon einmal im ersten Artikel über Sesquilinearformen gezeigt. Es muss nur gezeigt werden, dass es eine Linearkombination u:=av+w gibt, sodass (v,u) ein hyperbolisches Paar ist. blf(v,u)=1 gilt für alle a, es ist nur noch blf(u,u)=0 bzw. Q(u)=0 sicherzustellen. Im symplektischen Fall ist da nichts zu zeigen. Für den unitären Fall ist blf(u,u)=a^2*blf(v,v)+a*blf(v,w)+a^-*blf(w,v)+blf(w,w)=Tr(a)+blf(w,w). Weil Tr:\IF_q\to\IF_(q^1\/2) surjektiv ist, gibt es ein a, das diese Gleichung erfüllt. Im orthogonalen Fall muss Q(u)=a^2*Q(v)+a*blf(v,w)+Q(w)=a+Q(w) gelten, d.h. a:=-Q(w) tut das Gewünschte. Weil hyperbolische Ebenen stets nichtentartet sind, gibt es immer ein w\in\ H mit blf(v,w)!=0. Durch Skalieren von w erreichen wir blf(v,w)=1. Dann sind v und w linear unabhängig und spannen daher H auf. \blue\checked Die Aussage (b) folgt nun so: Setze X:=menge(w\in\ V | blf(v,w)=1). Es ist dann abs(X)=q^(n-1), denn blf(v,\dot) ist eine von Null verschiedene \(semi\)lineare Abbildung V\to\ K, hat also einen (n-1)-dimensionalen Kern und X ist eine der Nebenklassen vom Kern. Sind nun w,w'\in\ X, dann ist Kv+Kw=Kv+Kw' <=> w'\in\ Kv+Kw <=> \exists a,b: w'=av+bw. Nun ist aber 1=blf(v,w')=a*blf(v,v)+b*blf(v,w)=b, d.h., die Unterräume Kv+Kw und Kv+Kw' stimmen genau dann überein, wenn w-w'\in\ Kv ist. Umgekehrt ist w+av für jedes a in dieser Nebenklasse und erzeugt denselben Unterraum mit v. Betrachte die Abbildung X\to\ menge(H<=V hyp. Ebene | v\in\ H), w\mapsto\ Kv+Kw. Wegen (a) ist sie wohldefiniert und surjektiv. Die obige Überlegung zeigt, dass es sich um eine q-zu-1-Abbildung handelt. Es folgt daher: \#|menge(H<=V hyp. Ebene | v\in\ H) = abs(X)/q = q^(n-2) \blue\checked (c) Sei H eine hyperbolische Ebene mit P\subseteq\ H. Ergänze v zu einem hyperbolischen Paar (v,w). H ist zweidimensional, es gibt also (q^2-1)/(q-1) eindimensionale Unterräume. Einer davon ist P, die anderen wollen wir zählen. Wenn wir im symplektischen Fall sind, dann sind die alle isotrop, also ist \alpha=q, wie behauptet. Jeder eindimensionale Unterraum, der von Kv verschieden ist, wird von genau einem Vektor der Form av+w aufgespannt. Im unitären Fall gilt nun: blf(av+w,av+w) = a^2*blf(v,v)+blf(av,w)+blf(w,av)+blf(w,w) = a*1+a^-*1 = Tr(a) Also ist av+w genau dann isotrop, wenn Tr(a)=0 ist. Die Spur hat als von Null verschiedene \IF_(q^1\/2)-lineare Abbildung \IF_q\to\IF_(q^1\/2) einen eindimensionalen Kern, es gibt also genau q^1\/2 solcher a. Das zeigt \alpha=q^1\/2 im unitären Fall. Sind wir im orthogonalen Fall, so ist Q(av+bw) = a^2*Q(v)+blf(av,bw)+b^2*Q(w) = ab Also ist av+bw genau dann isotrop, wenn a=0 oder b=0 ist. Alle isotropen Vektoren sind daher Vielfache von v oder w und es gibt nur die beiden isotropen Punkte Kv und Kw in \IP(H). Das zeigt die Behauptung im orthogonalen Fall. \blue\ q.e.d.
Jetzt können wir die Werte A,B,C bestimmen.
Satz
Mit obigen Bezeichnungen: (a) Anzahl der projektiven, isotropen Punkte $ $A_r^' = (q^r-1)(\alpha*q^(r-\epsilon)+1)/(q-1) (b) Anzahl der von Null verschiedenen, isotropen Vektoren $ $A_r = (q^r-1)(\alpha*q^(r-\epsilon)+1) (c) Anzahl der hyperbolischen Ebenen $ $B_r = (A_r*q^(n-2))/((\alpha+1)*(q-1)) (d) Anzahl der hyperbolischen Paare $ $C_r = A_r*q^(n-2)*\alpha
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) define(dot,opimg(*)) (a) Wir leiten eine Rekursion für A_r^' her. Zunächst ist A_0^'=0 per definitionem gegeben. Sei nun r>0 und v\in\ V^\# ein festgewählter, isotroper Vektor und P:=Kv der zugehörige Punkt im projektiven Raum. Wenn wir nun die isotropen Punkte R\in\IP(V) zählen wollen, können drei Fälle eintreten: 1. R=P. Das liefert genau einen Punkt. 2. R\subseteq\ P^\perp, aber R!=P. Dann ist P+R zweidimensional, total anisotrop und enthält P. Umgekehrt ist jeder solche Unterraum U von der Form P+R für ein geeignetes R\in\IP(V), das isotrop und \subseteq\ P^\perp ist \(sonst wäre U nicht total isotrop\) und ungleich P \(sonst wäre U nicht zweidimensional\). In jedem zweidimensionalen, total isotropen Unterraum U, der P umfasst, gibt es (q^2-1)/(q-1) = q+1 eindimensionale Unterräume, wovon einer eben gleich P ist. Die anderen q kommen für unser R in Frage. Wenn wir also jedem R\subseteq\ P^\perp mit R!=P den zweidimensionalen Unterraum P+R zuordnen, ist das eine q-zu-1-Abbildung. Um die Anzahl der R zu bestimmen, reicht es uns also, die zweidimensionalen, total isotropen Unterräume, die P enthalten, zu zählen. Die zweidimensionalen Unterräume, die P enthalten entsprechen via U<->U\/P genau den eindimensionalen Unterräumen von V\/P. Weil sie total isotrop sind, landen wir sogar in P^\perp\.\/P. Wir würden jetzt gerne die Anzahl der total isotropen U als A_(r-1)^' beziffern. Dazu müssen wir aber erst einmal sicherstellen, dass unsere Voraussetzungen auf P^\perp\.\/P überhaupt zutreffen. Wegen P^\perp\perp=P ist P das Radikal von P^\perp, d.h. die induzierte Bilinearform blf(x^-,y^-):=blf(x,y) bzw. die induzierte quadratische Form Q(x^-) := Q(x) ist wohldefiniert und nichtentartet auf P^\perp\.\/P. Daher ist U\/P ein isotroper Punkt \in\IP(P^\perp\.\/P) und umgekehrt ist jeder isotrope Punkt von \IP(P^\perp\.\/P) von dieser Form. Es gibt also tatsächlich genau A_(r-1)^' zweidimensionale, total isotrope Unterräume, die P enthalten. 3. R opimg(\subseteq)^/ P^\perp. Dann ist P+R eine hyperbolische Ebene, die P enthält. Es gibt in dieser hyperbolischen Ebene genau \alpha verschiedene isotrope projektive Punkte, die ungleich P sind. Wieder ist die Zuordnung R\mapsto\ P+R eine \alpha-zu-1-Abbildung und es gibt q^(n-2) hyperbolische Ebenen, die P enthalten, sodass wir \alpha*q^(n-2) verschiedenen R in diesem Fall erhalten. Alle drei Fälle zusammen liefern uns die Rekursion A_r^' = 1+q*A_(r-1)^'+\alpha*q^(2r-1-\epsilon) Diese Rekursion mit der Anfangsbedingung A_0^'=0 wird genau von A_r^' = ((q^r-1)(\alpha*q^(r-\epsilon)+1))/(q-1) gelöst. \blue\checked makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) define(dot,opimg(*)) (b) folgt sofort aus A_r = (q-1)*A_r^'. \blue\checked (c) Wir können B_r durch doppeltes Abzählen bestimmen. Dazu betrachten wir X:=menge((v,H) | v\in\ V^\# isotrop, H<=V hyp.Ebene, v\in\ H) Wenn wir v zuerst zählen, erhalten wir abs(X)=A_r*q^(n-2) aufgrund des obigen Lemmas. Zählen wir H zuerst, so erhalten wir B_r*(\alpha+1)*(q-1), weil jede hyperbolische Ebene genau \alpha+1 verschiedene isotrope, projektive Punkte enthält und jeder davon q-1 isotrope Vektoren enthält. \blue\checked (d) Jedes hyperbolische Paar erzeugt eine hyperbolische Ebene. Wir fixieren also eine hyperbolische Ebene H und zählen, wieviele hyp. Paare es darin gibt. Für H gelten die Parameter r=1 und \epsilon=1. Es gibt also A_1=(q-1)*(\alpha*q^(1-1)+1) isotrope Punkte v\in\ H^\# und für jedes solche v gibt es genau \alpha isotrope, projektive Punkte Kw\in\IP(H) \\ \{Kv\}. Weil H den Witt\-Index 1 hat, kann nicht blf(v,w)=0 sein, denn das hieße, dass Kv+Kw ein zweidimensionaler, total isotroper Unterraum wäre. Also muss blf(v,w)!=0 sein. In jedem eindimensionalen Unterraum Kw mit blf(v,w)!=0 gibt es nun genau ein x\in\ Kw mit blf(v,x)=1. Für ein festes, isotropes v erhalten wir also genau \alpha hyperbolische Paare (v,x). Das macht zusammen (q-1)*(\alpha+1)*\alpha hyp. Paare pro hyp. Ebene, also (q-1)*(\alpha+1)*\alpha*B_r hyp. Paare insgesamt. \blue\checked

Gruppenordnungen

Eigentlich wollten wir ja etwas über die klassischen Gruppen lernen und speziell war die ganze Kombinatorik dafür gedacht, deren Ordnungen zu bestimmen. Jetzt sind wir endlich soweit, dass das möglich wird.
Satz: Ordnungen klassischer Gruppen
Sei q eine Primzahlpotenz, r\in\IN_>0 und \epsilon wie in obiger Tabelle. Dann gilt: (a) Symplektische Gruppen: $ $ \#Sp_2r(q) = q^r^2 * produkt((q^2i-1),i=1,r) (b) Unitäre Gruppen: $ $(i) $ \#U_2r(q^2) $ = q^(2r^2-r)*produkt((q^j-(-1)^j),j=1,2r) $ $(ii) $\#U_2r\+1(q^2) = q^(2r^2+r)*produkt((q^j-(-1)^j),j=1,2r+1) $ $Gemeinsame Formel für alle Dimensionen: $ $(iii) \#U_n(q^2)$ $=q^(1/2*n(n-1))*produkt((q^j-(-1)^j),j=1,n) (c) Orthogonale Gruppen: $ $(i) $ \#O||array(\small\+;2r\normal)(q) $ = 2*q^(r^2-r)*(q^r-1)*produkt((q^2i-1),i=1,r-1) $ $(ii) $\#O||array(\small\ $ ;2r\+1\normal)(q) = 2*q^r^2*produkt((q^2i-1),i=1,r) $ $(iii) \#O||array(\small\- $;2r\+2\normal)(q) = \#O||array(\small\-;2\normal)(q)*q^(r^2+r)*(q-1)*(q^(r+1)+1)*produkt((q^2i-1),i=2,r)
makro(blf,\<||array(%1),||array(%2)\>) define(dot,opimg(*)) Die Idee ist hier, die Operation auf den hyperbolischen Paaren zu betrachten. Als Konsequenz des Satzes von Witt ist sie transitiv. Wir nutzen die Bahnenformel aus, die uns nun sagt, dass abs(O(V)) = abs(menge(hyp. Paare))*abs(Stabilisator eines Paares) Der Stabilisator eines hyp. Paares (e,f), d.h. die Untergruppe menge(\phi\in\ O(V) | \phi(e)=e, \phi(f)=f) ist nun aber zur Isometriegruppe O(H^\perp) isomorph, wobei H:=Ke+Kf die von e und f aufgespannte hyperbolische Ebene sei. Weil H^\perp nun den Witt\-Index r-1 hat, erhalten für die Gruppenordnung G_r=abs(O(V)) also die folgende Rekursion G_r = C_r*G_(r-1) d.h. wir erhalten G_r = G_0*produkt(C_i,i=1,r) = G_0 * produkt(A_i*q^(2i-1-\epsilon)*\alpha,i=1,r) = G_0 * q^(r^2-r\epsilon)*\alpha^r *produkt(A_i,i=1,r) = G_0 * q^(r^2-r\epsilon)*\alpha^r *produkt((q^i-1)(\alpha*q^(i-\epsilon)+1),i=1,r) über einem Körper mit q Elementen. Jetzt ist der Rest eine Fallunterscheidung und Einsetzen: (a) Für den symplektischen Fall ist \alpha=q und \epsilon=1, d.h. \alpha*q^(i-\epsilon)=q^i. Es bleibt dann also G_r = G_0 * q^(r^2-r) * q^r * produkt((q^i-1)*(q^i+1),i=1,r) =G_0 * q^r^2 * produkt((q^2i-1),i=1,r) übrig. Weil ein symplektischer Raum mit Witt\-Index 0 die Dimension 0 hat, ist G_0=1, d.h. die Formel für (a) ist gezeigt. \blue\checked (b) Für den unitären Fall ist \alpha=q \(man beachte, dass unser Körper jetzt q^2-Elemente hat, um mit der Bezeichnung U_n(q^2) konform zu bleiben\) (b)(i) Im Fall gerader Dimension ist \epsilon=1, also \alpha*(q^2)^(i-\epsilon) = q^(2i-1). Eingesetzt: G_r = G_0 * (q^2)^(r^2-r)* q^r*produkt((q^2i-1)(q^(2i-1)+1),i=1,r) = G_0 * q^(2r^2-r) * produkt((q^j-(-1)^j),j=1,2r) Wieder haben wir das Argument, dass G_0=1 ist, weil ein unitärer Raum mit Witt\-Index 0 und gerader Dimension nulldimensional sein muss. (b)(ii) Im Fall ungerader Dimension ist \epsilon=0, also \alpha*(q^2)^(i-\epsilon)=q^(2i+1). Eingesetzt: G_r = G_0 * (q^2)^r^2*q^r *produkt((q^2i-1)(q^(2i+1)+1),i=1,r) =G_0 *q^(2r^2+r)*produkt((q^2i-1)(q^(2i+1)+1),i=1,r) =G_0 *q^(2r^2+r)*produkt((q^j-(-1)^j),j=2,2r+1) Es ist nun G_0=q+1, denn ein unitärer Raum mit Witt\-Index 0, aber ungerader Dimension hat Dimension 1. Eine lineare Abbildung ist dann durch Multiplikation mit einem Skalar \lambda gegeben und blf(\lambda\.v,\lambda\.w) = \lambda*\lambda^-*blf(v,w) ist genau dann gleich blf(v,w), wenn \lambda*\lambda^-=1 ist. Der Körperautomorphismus von \IF_(q^2) ist \lambda^-=\lambda^q, d.h. \lambda*\lambda^-=\lambda^(1+q). Die unitären Abbildungen sind also genau die (q+1)-ten Einheitswurzeln von \IF_q. Davon gibt es genau q+1 viele, also G_0=q+1 wie behauptet. Das ergibt also G_r=q^(2r^2+r)*produkt((q^j-(-1)^j),j=1,2r+1) wie gewünscht. \blue\checked (c) Hier ist in allen drei Fällen \alpha=1. (c)(i) Hier ist \epsilon=1, d.h. \alpha*q^(i-\epsilon)=q^(i-1). Wir setzen ein: G_r = G_0 * q^(r^2-r)*1^r *produkt((q^i-1)(q^(i-1)+1),i=1,r) =G_0 * q^(r^2-r)*produkt((q^i-1),i=1,r)*produkt((q^i+1),i=0,r-1) =G_0 * q^(r^2-r)*(q^r-1)*2*produkt((q^i-1)*(q^i+1),i=1,r-1) =G_0 * q^(r^2-r)*(q^r-1)*2*produkt((q^2i-1),i=1,r-1) Weil G_0 wieder die Ordnung der Isometriegruppe eines nulldimensionalen Raums ist, gilt G_0=1. (c)(ii) Hier ist \epsilon=0, d.h. \alpha*q^(i-\epsilon)=q^i. Wir setzen ein: G_r = G_0 * q^r^2*1^r *produkt((q^i-1)(q^i+1),i=1,r) =G_0 * q^r^2*produkt((q^2i-1),i=1,r) Der Witt\-Index r=0 korrespondiert hier zur Isometriegruppe des eindimensionalen Raums K mit der quadratischen Form Q(x)=x^2. Lineare Abbildungen sind durch Multiplikation mit Skalaren gegeben und \lambda ist in O(K,Q) genau dann, wenn Q(x)=Q(\lambda*x)=\lambda^2*Q(x) für alle x, d.h. \lambda^2=1 gilt. Es folgt, dass die Isometriegruppe O(K,Q)=menge(+-1) ist und somit G_0=2. (c)(iii) Jetzt ist \epsilon=-1, d.h. \alpha*q^(i-\epsilon)=q^(i+1). Wir setzen ein: G_r = G_0 * q^(r^2+r)*1^r *produkt((q^i-1)(q^(i+1)+1),i=1,r) =G_0 * q^(r^2+r)*produkt((q^i-1),i=1,r)*produkt((q^i+1),i=2,r+1) =G_0 * q^(r^2+r)*(q-1)*(q^(r+1)+1)*produkt((q^i-1)*(q^i+1),i=2,r) =G_0 * q^(r^2+r)*(q-1)*(q^(r+1)+1)*produkt((q^2i-1),i=2,r) \blue\ q.e.d.
Die Bestimmung von G_0 = abs(O||array(\small\-;2\normal)(q)) im letzten Fall ist etwas komplizierter als bei den anderen Fällen. Daher verschieben wir das auf später. Wer es unbedingt wissen will, dem sei verraten, dass O||array(\small\-;2\normal)(q)~=\IZ\/(q+1)\rtimes\IZ\/2 = D_array(2(q+1)) ist, d.h., es kommt noch der Faktor 2(q+1) hinzu in (c)(iii), sodass sich \#O||array(\small\- $;2r\+2\normal)(q) = 2*q^(r^2+r)*(q^(r+1)+1)*produkt((q^2i-1),i=1,r) ergibt. Zusammengefasst gilt dann allgemein \#O||array(\small\epsilon;2m\normal)(q) = 2*q^array(m(m-1))*(q^m-\epsilon)*produkt((q^2i-1),i=1,m-1) für alle geraden Dimensionen.

Abschluss

Damit haben wir (bis auf die kleine Ausnahme im orthogonalen Fall) eine vollständige Liste von Ordnungsformeln für die Isometriegruppen, für die wir uns interessieren. Wir werden in den kommenden Artikeln daraus die entsprechenden Formeln für die daraus resultierenden einfachen Gruppen herleiten. abs(mfg)=abs(G_o)ckel

Die Reihe "Einfache Gruppen"

Inhaltsverzeichnis Vorheriger Teil der Reihe: Sesquilinearformen II - Der Satz von Witt Nächster Teil der Reihe: PSL

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: Mathematik :: Einfache Gruppen :: Gruppentheorie :: Geometrie :: Kombinatorik :: Bilinearformen :: Quadratische Formen :: Sesquilinearformen :: Reine Mathematik :
Sesquilinear- und quadratische Formen III - Endliche Geometrien [von Gockel]  
Klassifikation der meisten endlichdimensionalen, symplektischen/unitären/orthogonalen Räume über endlichen Körpern. Es wird außerdem die Gruppenordnung der jeweiligen Isometriegruppen hergeleitet.
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
 
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