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O Kekseblech...*Teilen, nicht schiebenBerlin: Auch bei Mathematikers werden in diesen Tagen Kekse gebacken. Bei den einen sind es Pis, Omegas und Sigmen, andere präferieren das regelmäßige Siebzehn-Eck oder antiorthogonale Quadrate**, und nur wenige, zu denen wir*** uns aber zählen, backen traditionell**** Sterne-eckig, Sterne-gerundet, viereckige Schneeflocken und den Brotlaib des Herrn.
So standen wir denn am Abend des 3. Advent duftberauscht am Backofen und entzogen ihm das Blech, voll mit frisch gebackenen Keksen. Und während meine Frau begann, im unkonventionellen Rösselsprung (also total chaotisch) das wunderbar duftende Backwerk vom Blech zu sammeln (sie hatte schon 48 Stück entfernt), sah sich mein Auge unvermittelt mit einer Quasi-Symmetrie konfrontiert: „Halt!“, schrie ich*****.
Und ich sah ein Weihnachtsrätsel:
Von jeder Art waren noch vier Kekse auf dem Blech, und wenn man von jeder Art genau einen Keks haben wöllte, könnte man das Backpapier (auf dem Blech) so in vier kongruente Teile zerlegen, dass deren jedes genau einen Keks jeder Art enthielte, ohne die Lage der Kekse zu verändern.
...
Als ich mit der Schere wiederkam, war das Backblech leer.
Ein frohes Weihnachtsfest und einen guten Rutsch ins neue Jahr wünscht
buh2k+12
*: Im Original tritt eine Pflanze auf, ich weiß.
**: Das sind vorzugsweise Menschen, die Kreise in ungleichseitige Quadrate verwandeln können.
***: Das sind meine Frau und ich. Ich habe zwar Mathematik studiert, sie aber kann rechnen und backen. Gleichzeitig!
****: Weihnachtstraditionell; sonst bringt unsere Backtradition schon mal Eulen und Meerkatzen hervor.
*****: Und es geschah ein Wunder: Sie tat wie geheißen.
Das Zitat lautet übrigens im Original: „Liebling, kannst du bitte einen Moment innehalten? Ich habe da etwas entdeckt.“
\(\begingroup\)@ Federherz:
Ich denke, wenn die Kekse aufgegessen sind…
Aber dazu müssen sie ja erstmal verteilt werden - wirklich eine vertrackte Geschichte!
Bernhard\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo buh!
Ein Gewinn in diesem Format lohnt sich auch nicht mehr.
Der würde mit der übrigen Welt morgen sowieso untergehen.
Ich will mein Auto aber selber kaputt machen!!!
Ein Rolls-Royce ist zu stabil, Du stiftest also Deinen Fiat!
Bernhard\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hy,
Was ich auch sehr schön finde, ist dass es anscheinend( mindestens) 24 verschiedene Lösungen gibt...
mfG
Graf Zahl
P.S. Erklärung
\hideon
\sourceon
KK
K|
|K22K2
K11KKK
Legende:
K - Feld ist in einer der 4 Areale 'bekekst'
1 - Feld ist am Rand und kann nur zu einem Areal gehören
2 - Feld kann zu einem der beiden benachbarten Areale gehören
(je 2 Belegungen mgl.)
| - mindestens eines der Felder muss zum eigenen Areal gehören
( 3 Belegungen mgl.)
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\hideoff\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Rebecca, vielleicht hat der Herr Graf ja andere Kekse oder andere Regeln? Ich finde auch nur eine Backblechteilung.
Probiotisch, aber keimfrei grüßt
Milkmaid\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@GrafZahl
Deine Schätzung war noch etwas zu niedrig.
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Das ist die minimale Belegung. Die weißen Felder müssen jetzt noch belegt werden.
Eines der nachfolgend genannten Felder blau zu färben heißt natürlich, die entsprechenden Felder (=rotationssymmetrisch zur Feldmitte) der anderen Farben ebenfalls zu färben.
Wenn die Farbbereiche jeweils zusammenhängend sein sollen, dann müssen die beiden ♥ mit blau belegt werden. Sonst entstehen zwangsläufig separierte Bereiche einer Farbe.
Desgleichen muß mindestens einer der beiden Vollkreise blau sein.
Ist genau einer der beiden Vollkreise blau, dann müssen noch genau 4 der verbliebenen 8 Kreisfelder blau sein, das macht $\displaystyle 2 \cdot \binom{8}{4}=140$ Möglichkeiten. Sind beide Vollkreise belegt, kommen noch mal $\displaystyle \binom{7}{3}=35$ dazu. Macht insgesamt $\displaystyle 175$ Lösungen.
Ist der Zusammenhang aufgehoben, dann kann jede beliebige Kombination von 7 der 28 weißen markierten Felder blau sein, also $\displaystyle \binom{28}{7}=1184040$ Lösungen zusätzlich.
Und jetzt hoffe ich, daß da kein Denkfehler drin ist.
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Gruß vom ¼\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi viertel,
entweder habe ich deine Lösungen oder du die Aufgabenstellung missverstanden.
In dem Rätsel heißt es, dass das Backpapier so in vier kongruente Teile zerlegt werden soll, dass jedes der vier Teile genau einen Keks jeder Art enthält.
Also zerlegen, nicht ausschneiden. Es darf kein Rest bleiben und die vier Teile müssen kongruent sein.
Gruß
Rebecca
\(\endgroup\)
von: Hans-Juergen am: Di. 25. Dezember 2012 14:54:30
\(\begingroup\)Hallo Rebecca,
ich muß Viertel recht geben und bewundere ihn schon deshalb, weil er sich mit der naheliegenden, einfachen Möglichkeit nicht zufrieden gab (wie auch ich es tat), sondern weiter forschte.
Aus seinen Überlegungen ergibt sich unter anderem im rechten Teilbild diese Lösung des Rätsels:
Es besteht aus kongruenten Teilen und enthält keine Lücken.
Gruß,
Hans-Jürgen
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi Hans-Jürgen,
danke für das Bild, jetzt habe ich viertel’s Argumentation endlich verstanden und schließe mich deiner Bewunderung an.
Gruß
Rebecca
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@Rebecca
Sorry für die mißverständliche Formulierung.
Ich habe den Text angepaßt/erweitert.
Ich habe nur die Überlegungen von GrafZahl weiter geführt.
Nachtrag
Jetzt gibt es auch noch die Excel-Datei zum Experimentieren in meinem Notizbuch.
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Oh, GrafZahl und viertel,
darauf wäre ich nie nie gekommen. Und ich war so stolz auf meine Lösung.
Nun ja, ich bin halt nur
Milkmaid
Euch allen ein gesundes und zahlenfreundliches Neues Jahr!
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Viertel!
Ich finde gerade die weiteren Lösungen, Deine Erklärungen und insbesondere die praktische Excel-Datei.
Ist Dir klar, daß das Bild dort nicht ganz mit der Grafik übereinstimmt, die Du hier in Deinem Lösungskasten versteckt hast?
Du schreibst dort u.a.:
\quoteonWenn die Farbbereiche jeweils zusammenhängend sein sollen, dann müssen die beiden ♥ mit blau belegt werden. Sonst entstehen zwangsläufig separierte Bereiche einer Farbe.
Desgleichen muß mindestens einer der beiden Vollkreise blau sein.
\quoteoff
Soweit ich das erkennen kann, erhält man ebenfalls zusammenhängende Bereiche, wenn statt der beiden Herzen die beiden Felder mit den blauen Hohlkreisen schräg darüber gefüllt werden. Oder wenn man die beiden direkt überanderliegenden von der einen und der anderen Gruppe nimmt.
Somit müßten sich noch mehr Lösungen ergeben, oder?
Viele Grüße, Bernhard\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Und wie färbst du dann die beiden ♥ Felder ein?
Die sind dann auf jeden Fall von ihrer „Stammfarbe“ abgetrennt.
Die müssen blau sein, nicht damit blau zusammenhängend ist, sondern damit sie mit den anderen Feldern ihrer Farbe zusammenhängen.
Und wo unterscheiden sich Excel und das Bild hier?
In der Excel-Version sind lediglich die beiden ♥-Felder noch nicht gefärbt, und ebendsowenig natürllich die korrespondierenden Felder der anderen Farben.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Viertel!
Danke für den Hinweis! Jetzt ist das mir auch (oder besser: "auch mir"? ) klar.
Ich hatte übersehen, daß diese Felder dann separiert würden.
Bis ich mir dann aus Deiner Tabelle eine eigene erstellt habe. Die aus Deinem Notizbuch ließ sich nur mit Open Office öffnen, war aber dann geschützt und konnte deshalb nicht weiter eingefärbt werden.
Viele Grüße, Bernhard
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Es ist eine XLSM-Datei, d.h. da sind VBA-Makros drin (nämlich ein Makro, das auf das Selektieren einer Zelle reagiert und die entsprechenden Umfärbungen vornimmt). Deren Funktion mußt du ggf. freischalten. Sofern Open Office das überhaupt kann.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo,
Viertel bat mich, es hier auch noch mal zu schreiben.
Leider hat sich bei ihm ein kleiner Fehler eingeschlichen, da er die Rotationssymmetrie später ignoriert hat.
Die 28 Felder sind nicht frei färbbar, sondern sind als 7 Gruppen á 4 Felder anzusehen. (d.h. zusammenhanglose Aufteilungen dürfte es dann nur
4^7 = 16324
geben)
Entsprechend korrespondieren in seinem Diagramm die Felder
b1 und h2
b3 und f2
b4 und e2
c2 und g3
d3 und c5
d.h. die Färbung des einen legt die Färbung des anderen fest.
(Oder bildlich gesprochen: die Hohlkreise in der b-Spalte müssten grün sein, c5 ein grüner Vollkreis und g3 ein gelber Vollkreis)
Noch mal mein Weg für zusammenhängende Keksareale:
e2,f2 und h2 können jeweils zu blau oder gelb gehören (b4,b3 und b1 gehören dann entsprechend zu grün oder blau) 2*2*2 = 8 Möglichkeiten
c2 oder d3 (oder beide) müssen zu blau gehören: 3 Möglichkeiten
Ergibt nach meiner Überlegung 3*8 = 24 mögliche Aufteilungen.
mfG
Graf Zahl
P.S. Auch ich möchte mich für meine unverständliche Darstellung vom 20.12.2012 entschuldigen.\(\endgroup\)
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Bernhard
P.S. erster Preis = Matroids Rolls-Royce?
Bernhard
\hideoff
Gruß
Rebecca
Das ist die minimale Belegung. Die weißen Felder müssen jetzt noch belegt werden.
Eines der nachfolgend genannten Felder blau zu färben heißt natürlich, die entsprechenden Felder (=rotationssymmetrisch zur Feldmitte) der anderen Farben ebenfalls zu färben.
Wenn die Farbbereiche jeweils zusammenhängend sein sollen, dann müssen die beiden ♥ mit blau belegt werden. Sonst entstehen zwangsläufig separierte Bereiche einer Farbe.
Desgleichen muß mindestens einer der beiden Vollkreise blau sein.
Ist genau einer der beiden Vollkreise blau, dann müssen noch genau 4 der verbliebenen 8 Kreisfelder blau sein, das macht $\displaystyle 2 \cdot \binom{8}{4}=140$ Möglichkeiten. Sind beide Vollkreise belegt, kommen noch mal $\displaystyle \binom{7}{3}=35$ dazu. Macht insgesamt $\displaystyle 175$ Lösungen.
Ist der Zusammenhang aufgehoben, dann kann jede beliebige Kombination von 7 der 28 weißen markierten Felder blau sein, also $\displaystyle \binom{28}{7}=1184040$ Lösungen zusätzlich.
Und jetzt hoffe ich, daß da kein Denkfehler drin ist.
\hideoff
Gruß vom 
Es besteht aus kongruenten Teilen und enthält keine Lücken.
Gruß,
Hans-Jürgen