Es gab eine Zeit, in der man darüber stritt, ob antike und mittelalterliche Kaiser einen Bart trugen oder nicht. Das war, nach einem italienischen Sprichwort, genauso sinnvoll wie über den Schatten eines Esels zu diskutieren.1
Ähnlich scheint es mir mit der Frage zu sein, ob die Null eine natürliche Zahl ist. Auch auf dem Matheplaneten findet man gelegentlich etwas darüber.
Vor ein paar Tagen fand in einer kleinen amerikanischen Universitätsstadt, deren Name mir entfallen ist, ein Kongreß zu diesem Thema statt. Auf ihm standen sich zwei Parteien gegenüber: Die "Nuller", auch "Zeroisten" genannt, und die "Einser".
Die Zeroisten behaupteten, daß die Null schon "seit Jahrhunderten" zu den natürlichen Zahlen gerechnet wird. Die Einser sollten das doch endlich einsehen. Die aber wollten nicht. Sie wiesen darauf hin, daß die Null in Europa bis ins 13. Jahrhundert unbekannt war und der Begriff "natürliche Zahl" noch sehr viel später entstand. Sie hielten es für selbstverständlich, daß er vom Zählen herkommt: 1,2,3, …, und niemand mit Null, d. h. mit gar nichts, beginnt.2
Dem widersprachen die Zeroisten, weil die "natürlich" genannten Zahlen seit dem 19. Jahrhundert nicht mehr durch das Zählen definiert werden, sondern axiomatisch, etwa mit Hilfe der Peano'schen Axiome.
Die Einser wandten ein, daß Richard Dedekind, der noch vor Peano ein Axiomensystem für die natürlichen Zahlen aufstellte und N als Symbol für deren Menge einführte, die Null nicht dazu zählte. Auch Peano soll anfangs die Eins als kleinste natürliche Zahl angesehen haben.
In Deutschland gibt es eine DIN-Norm, die bestimmt: ist das Zeichen für die Menge der natürlichen Zahlen, und zu ihr gehört die Null. Daran erinnerten die Zeroisten. Die Einser hatten für diese Vorschrift kein Verständnis und lehnten sie ab. Jedenfalls die deutschen, denn ursprünglich war DIN eine Abkürzung für "Deutsche Industrie-Norm", und die Kritiker meinten, daß Zahlen, also etwas "rein Geistiges", mit technischen Produkten nichts zu tun haben. Dieser Gedanke, der schon fast ins Philosophische geht, wurde nur kurz behandelt, denn die aus anderen Ländern angereisten Fachkollegen und die gastgebenden Amerikaner hatten das Problem bei sich zu Hause nicht.
Andere Kongreßteilnehmer fragten, warum die natürlichen Zahlen "natürlich" genannt werden; man könnte sie ebenso gut "elementare" Zahlen nennen oder "fundamentale". Und sie rätselten darüber, was die Wörter "natürlich", "Natur" überhaupt bedeuten. Auch hier spielt die Philosophie mit hinein. Im übrigen ist es ja so: auch in der Mathematik sind bisweilen Namen "Schall und Rauch". Oder sind etwa die reellen Zahlen reeller als die natürlichen und die imaginären "eingebildet", nur weil sie jeweils so heißen? Diejenigen, die sich damit weiter beschäftigten, kamen mehr und mehr vom eigentlichen Thema ab.
Zu ihm führten die Zeroisten zurück. Sie machten darauf aufmerksam, daß es bei bestimmten Formeln und Lehrsätzen von Vorteil sein kann, die Null als natürliche Zahl anzusehen.3 Außerdem sagten sie, daß es, wenn die Null keine natürliche Zahl wäre, in der Menge der natürlichen Zahlen kein neutrales Element bezüglich der Addition gäbe. Den Einsern war vor allem letzteres gleichgültig. Für den Teil der Mathematik, mit dem sie sich beschäftigten, ist nur die multiplikative Struktur der natürlichen Zahlen von Interesse.
Eine willkommene Abwechslung bei alledem bildeten Berichte über einen sprechenden Papagei, der nicht nur einige hundert Wörter beherrschte, sondern auch "die Null erfand".4
Im Anschluß daran erwähnten die Zeroisten auch noch dies: Wenn die Werte einer Funktion angenähert durch eine Potenzreihe berechnet werden sollen, schreibt man meistens zunächst unbestimmt f(x)=a0+a1x+a2x2+..., d. h., man beginnt bei der Numerierung der Indizes mit 0. Das geschieht auch bei den modernen Computersprachen, während bei den älteren die Zählung meist mit der Eins begann.
Für Informatiker brachte das Treffen wenig Neues. Auf ihre besondere Weise stellten sie fest, daß es 10 Arten von Mathematikern gibt: diejenigen, die über die Bedeutung der natürlichen Zahlen und der Null Bescheid wissen, und die, bei denen das nicht der Fall ist.
Richtigen Streit wie einst um des Kaisers Bart gab es nicht auf dem Kongreß, aber auch keine Einigung. Die meisten Teilnehmer blieben bei ihren Denk- und Sprechgewohnheiten.5
Nur eines war allen klar: die Null, ob natürlich oder nicht, ist gerade.
Und ich dachte immer, sie sei rund: 6
Hans-Jürgen
1. April 2013 (zugleich, was sehr selten ist, Ostermontag)
----------------------------------
1 "disputar dell'ombra dell'asino"
2 Was passieren kann, wenn man doch mit der Null zu zählen anfängt, zeigt eine kleine Anekdote über den berühmten polnischen Mathematiker Sierpiński, dem wir das nach ihm benannte Dreieck verdanken. Er war mit seiner Frau auf Reisen und stets in Sorge, daß eines ihrer sechs Gepäckstücke verloren gehen könnte. Die Frau versuchte, ihn zu beruhigen, und sagte, es wären alle da. Sierpiński zählte, indem er jedes einzeln antippte: "0,1,2,3,..." und kam nur bis 5. Das bedeutete für ihn, daß ein Gepäckstück fehlte! Die Geschichte steht in dem lesenswerten Buch "Zahlenzauber" von John H. Conway und Richard K. Guy, Birkhäuser-Verlag, und wird dort als "von zweifelhafter Urheberschaft" bezeichnet.
3 Hierbei wird willkürlich 0!=1 gesetzt, was wegen 1=1! zu der seltsamen Gleichung 0!=1! führt. – In anderem Zusammenhang verabredet ein Teil der Mathematiker, daß der unbestimmte Ausdruck 00 (vgl. z.B. Wikipedia) gleich 1 sein soll, somit auch 00=10 und 01=11. Sind zwei Potenzen mit nicht-negativer Basis und demselben Exponenten einander gleich, so sind es auch ihre Basen: an=bn⇒a=b. Würde dies allgemein gelten, insbesondere auch für a=0, erhielte man aus der letzten Gleichsetzung 0=1. Die Null verhält sich in mancher Hinsicht anders als ihre "natürlichen" Schwestern. Schon vor Jahrhunderten schrieb Alois Stirnrunzler, Hofastronom bei Kaiser Rotbarsch/Barbarossa: "die nul ist ein widerborstig garstig ding", was sicherlich übertrieben ist.
4http://userpage.fu-berlin.de/~ram/pub/pub_jf47ht81Ht/null, Absatz: "Das Zählen mit Null ist unserer Kultur nicht fremd". Der Artikel ist auch sonst interessant, was die Verwendungsmöglichkeiten der Null betrifft. Weiteres s. hier und hier.
5 Daß keine Einheitlichkeit in dieser Sache besteht, wird manchmal bedauert, z. B. bei Wolfram MathWorld: "Regrettably, there seems to be no general agreement about whether to include 0 in the set of natural numbers." Weiter heißt es dort: "Let P be a set of natural numbers; whenever convenient, it may be assumed that 0∈P." und: "The set of natural numbers (whichever definition is adopted) is denoted N."
6 Es sprach die Null zum Ei: "Ich gleiche dir figürlich," und dachte sich dabei: "drum bin auch ich natürlich." Was hier steht über sie, das ist nicht sehr ausführlich, mit etwas Ironie – mehr wäre ungebührlich. (Gereimtes aus einem Arbeitskreis des Kongresses über mathematische Lyrik, Zeno's Paradoxon und die Achillesverse.)
\(\begingroup\)Ein erstzunehmender Konkurrent für die 1 als Zählstart war die 0 wohl erst seit dem Aufkommen der Computersprachen. Ich kann mich nur an zwei Beispiele erinnern, wo man schon davor mit 0 zu zählen anfing: (1) die Zählung der Jahrhunderte, und (2) die europäische Zählung der Stockwerke eines Hauses.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Goshwin!
zu (1)
Die Jahrhunderte hat man nie mit 0 beginnend gezählt. Wenn man von ein- oder zweistelligen Jahreszahlen sprechen will, dann gehören die ins Erste Jahrhundert nach oder vor Christus.
zu(2)
Ich weiß nicht, wann die "europäische Zählung" der Stockwerke "eingeführt" wurde. Ich wußte noch nicht einmal, daß man die so nennt. Für mich begann sie immer mit dem ersten Stock und darauf der zweite und dritte usw. oder - das habe ich viel später kennengelernt - mit dem Erdgeschoß, darauf das 1., 2., … Obergeschoß. An Aufzügen sieht man dann manchmal statt "E" eine "0".
Aber von "Nulltem Stockwerk" habe ich noch niemand sprechen hören.
Viele Grüße, Bernhard\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Bei diesem Streit zwischen "Nullern" und "Einsern" ist es so, wie bei vielen anderen Themen auch: Wer allen Ernstes glaubt, dass es besser ist, die Null nicht zu den natürlichen Zahlen zu rechnen, der möchte einfach daran glauben, und sei es auch nur, um von alten liebgewonnenen Gewohnheiten nicht ablassen zu müssen. Es hätte von daher auch keinen Sinn, ihn überzeugen zu wollen und man verschwendet nur seine Zeit damit...\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Bernhard,
Du hast ja recht, auch die Jahrhunderte zählt man ab 1. Vielleicht wäre dies sogar das einzige Beispiel, wo Grundschulkinder *lieber* ab 0 zählen würden. Ich muss immer scharf nachdenken, bevor ich weiß, ob 1846 ins 18. oder ins 19.Jahrhundert gehört. Und habe immer noch das unwiderstehliche Bauchgefühl, dass bis zum 21.Jahrhundert noch einiges fehlt 😁 .
Dan bleiben uns wohl nur noch die Stockwerke als Präzedenzfall. Mit "europäisch" wollte ich eigentlich nur sagen, dass in amerikanischen Aufzügen eine 6 aufleuchtet, wo in Deutschland eine 5 aufleuchtet. Immerhin interessant, dass Europa computerorientierter als die USA ist 😄 . Was meinst du, kann man demnächst auch in der Gartenstraße 0 wohnen? Oder vielleicht in der Schule eine 0 in Mathe kriegen?\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Warum werden bei mir automatisch die Smileys deaktiviert, obwohl sie in der Vorschau zu sehen sind? Und warum kann ich sie nicht nachträglich in der Bearbeitung aktivieren (Button ist plötzlich weg)? ☹️\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Goshwin!
Das war eigentlich schon immer so. Bisher habe ich - trotz Voranzeige in der Vorschau - noch nier Smilies in die Kommentare setzen können.
Ich habe mir seit letztem Jahr die internen Url's zu den Dingern abgespeichert und füge die stattdessen ein. Dann klappt's.
\sourceonHTML
\sourceoff
ergibt:
So kann man sich auch die anderen schönen Smilies wiederholen, die aufgrund der Javascript-Sperrung nicht mehr klappen (das sind die, die oberhalb des Editorfensters liegen.
\sourceonHTML
\sourceoff
ergibt:
Viel Spaß damit!
Bernhard
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Ja, das stimmt. Das war schon "immer" so (war es natürlich nicht. Das hat einmal funktioniert und ist irgendwann kaputt gegangen) und es war halt auch immer falsch so. Smileys sollten in Kommentaren genauso funktionieren wie im Forum.
mfg Gockel.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@Bernhard: Die Smilies kann man auch benutzen, indem man die Adresse der Grafik einfügt. Das img-Tag wird dann automatisch ergänzt:
(Ich muss aber zugegeben, dass ich in der Vorschau eben noch etwas korrigiert habe. Man konnte nämlich die Wirkung des eingefügten img-Tags dort noch nicht sehen.)\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Ein Aprilscherz ist keine wissenschaftlich-exakte Abhandlung. Er enthält außer Richtigem auch Falsches, und jeder entscheidet selbst, was er davon glaubt. Dies erwähne ich, weil mir jemand privat Kritisches zur Fußnote 3 schrieb.
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Hans-Jürgen!
Wie nennt man die Gegner der Null eigentlich in der Fachsprache. Die einen Zeroisten, die andern dann "Naturalisten"?
Ansonsten wurde die Sache anscheinend todernst genommen. Es ist zum Haare Bart ausraufen - schon seit Jahrtausenden. Wenn schon sooo viele Haare wie hier ausgerissen worden sind, dann scheint auch ein Aprilscherz sie nicht mehr zum Nachwachsen zu bringen.
Viele Grüße und Danke für die nette Idee,
Bernhard\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Kurzmeldung: Zum Kongress im nächsten Jahr sind nun überraschenderweise doch die Minuseinsologen ($\mathbb{N}:=\{-1,0,1,2,\dotsc\}$) und die Semizisten ($\mathbb{N}:=\{0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2,\dotsc\}$) eingeladen worden. Aus Kreisen geht hervor, dass die Nuller und die Zeroisten nun den Kongress boykottieren möchten.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Wenn nun in Euroland auch negative Münzen eingeführt würden, dann könnte man 80 Cent bezahlen, indem man einen Euro und -20 Cent gibt. Und der Andere müsste kein Wechselgeld herausgeben. Das Problem wäre nur, wenn der Andere dann die -20 Cent Münze verlöre, hätte er mehr als vorher.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Martin!
\quoteonDas Problem wäre nur, wenn der Andere dann die -20 Cent Münze verlöre, hätte er mehr als vorher.
\quoteoff
Auf diese Weise würde ich auch gerne mein Geld zum Fenster rauswerfen.
In der Praxis wird das ja bereits schon getan. Es soll Unternehmen, ja sogar Staaten geben, dort wird nur noch mit negativen Euros gerechnet…
Das wäre übrigens eine schöne Rätselaufgabe:
Wie müßte man dann den Münz- und Banknotensatz optimieren, damit jede Summe bezahlt werden kann, aber so wenig wie möglich verschiedene Geldstücke geprägt werden müssen?
Viele Grüße, Bernhard\(\endgroup\)
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
Printer-friendly version
ist das Zeichen für die Menge der natürlichen Zahlen, und zu ihr gehört die Null. Daran erinnerten die Zeroisten. Die Einser hatten für diese Vorschrift kein Verständnis und lehnten sie ab. Jedenfalls die deutschen, denn ursprünglich war DIN eine Abkürzung für "Deutsche Industrie-Norm", und die Kritiker meinten, daß Zahlen, also etwas "rein Geistiges", mit technischen Produkten nichts zu tun haben. Dieser Gedanke, der schon fast ins Philosophische geht, wurde nur kurz behandelt, denn die aus anderen Ländern angereisten Fachkollegen und die gastgebenden Amerikaner hatten das Problem bei sich zu Hause nicht.
Andere Kongreßteilnehmer fragten, warum die natürlichen Zahlen "natürlich" genannt werden; man könnte sie ebenso gut "elementare" Zahlen nennen oder "fundamentale". Und sie rätselten darüber, was die Wörter "natürlich", "Natur" überhaupt bedeuten. Auch hier spielt die Philosophie mit hinein. Im übrigen ist es ja so: auch in der Mathematik sind bisweilen Namen "Schall und Rauch". Oder sind etwa die reellen Zahlen reeller als die natürlichen und die imaginären "eingebildet", nur weil sie jeweils so heißen? Diejenigen, die sich damit weiter beschäftigten, kamen mehr und mehr vom eigentlichen Thema ab.
Zu ihm führten die Zeroisten zurück. Sie machten darauf aufmerksam, daß es bei bestimmten Formeln und Lehrsätzen von Vorteil sein kann, die Null als natürliche Zahl anzusehen.
Die Null verhält sich in mancher Hinsicht anders als ihre "natürlichen" Schwestern. Schon vor Jahrhunderten schrieb Alois Stirnrunzler, Hofastronom bei Kaiser Rotbarsch/Barbarossa: "die nul ist ein widerborstig garstig ding", was sicherlich übertrieben ist.
4 
Get link to this article
Comments
Für diesen Artikel gibt es keine pdf-Datei
Viele Grüße, Bernhard
\sourceoff
ergibt:
\sourceoff
ergibt:
(Ich muss aber zugegeben, dass ich in der Vorschau eben noch etwas korrigiert habe. Man konnte nämlich die Wirkung des eingefügten img-Tags dort noch nicht sehen.)
Ansonsten wurde die Sache anscheinend todernst genommen. Es ist zum