\(\begingroup\)\(\usepackage{setspace}\)
Anlässlich des 40. Geburtstages des "Zauberwürfels" möchte ich eine kurze Anleitung geben, wie man sich ihm und vor allem seiner Lösung durch Erforschen nähern kann.
1. Zunächst braucht man einen Fixpunkt. Dazu wählt man sich eine Mittelpunktfarbe für vorn und eine weitere Mittelpunktfarbe für oben. Von jetzt an bestimmen diese beiden Farben die Position im Raum.
2. Wir haben jetzt sechs Seiten, die wir mit vorn (v), hinten (h), rechts (r), links (l), oben (o) und unten (u) beszeichnen.
3. Es gibt zwei Drehrichtungen: wenn eine Seite im Uhrzeigersinn gedreht wurde, schreiben wir einfach die Seite hin, die Drehung andersherum, also zurück gegen den Uhrzeigersinn notieren wir mit einem Hochstrich (Apostroph) an der entsprechenden Seite. Eine Drehung der rechten Seite im Uhrzeigersinn ist also einfach r, eine Drehung der unteren Seite gegen den Uhrzeigersinn ist u'.
4. Es gibt 8 Ecken (e), die wir durchnummieren e1, e2, ... , e8. e1 ist die vordere obere linke Ecke, e2 die vordere obere rechte usw. Dies benötigt man doppelt(!), weil ja eine Ecke an einer anderen Eckenposition sein kann. Das notiert man am besten so en->em (also die Ecke en befindet sich an der Eckposition em). en:en bedeutet daher eigentlich, dass die Ecke ei am richtigen Platz ist, da sie aber falsch orientiert sein kann, müssen wir das auch berücksichtigen. Es gibt drei Orientierungen en->0 für richtig, en->+ für verdreht im Uhrzeigersinn, en->- für verdreht entgegen dem Uhrzeigersinn.
5. Analog werden die 12 Kanten (k) durchnummiert k1, ... , k12. Auch hier bedeutet die Notation kn->km, dass sich die Kante kn an der km-Kantenposition befindet. Es gibt nur zwei Orientierungen, nämlich kn->0 für richtig und kn->g für gekippt.
6. Bewegungen kann man nun gut beschreiben: bspw. verursacht eine Drehung der vorderen Scheibe im Uhrzeigersinn einen Positionswechsel von e1 nach e2. kurz also
v: e1->e2
Jetzt kann das Selbststudium beginnen. Einfach ausprobieren und aufschreiben, was passiert, wenn man irgendwo dran dreht. Und das Gute daran ist, man kommt bei Fehlern sehr schnell durch Umkehrung zurück :D
viel Spass
bye trunx (Jens Koch)
Anlässlich des 40. Geburtstages des "Zauberwürfels" möchte ich eine kurze Anleitung geben, wie man sich ihm und vor allem seiner Lösung durch Erforschen nähern kann.
1. Zunächst braucht man einen Fixpunkt. Dazu wählt man sich eine Mittelpunktfarbe für vorn und eine weitere Mittelpunktfarbe für ob
\(\begingroup\)Heute ist zwar nicht der 1. April, aber der Artikel kann kaum ernst gemeint sein. Durch eine Kodierung der Bewegungen kann man nicht lernen, den Würfel zu lösen. Und auch auf keine Ideen kommen. Man kann damit nicht einmal (ohne weitere theoretische Überlegungen) effizient einen Computer füttern. Erfolgsversprechender sind da schon gruppentheoretische Aspekte. Es geht dabei, grob gesagt, darum, die Symmetrien des Würfels auszunutzen (welche bei einer Nummerierung der Kanten von 1 bis 12 natürlich verlorengeht).
Ein Spielzeug mit Gruppenstruktur\(\endgroup\)
\(\begingroup\)sry martin, aber 15jährige schmeissen dir den würfel und deine gruppentherotischen erklärungen an den kopf :D
im ernst, wenn du nicht möchtest, dass der würfel lediglich spielzeug für ausgebildete mathematiker ist und die anderen bloss tumb irgendwelche im netz gefundenen zugfolgen auswendig lernen, dann muss man insbesondere schülern einen einfachen zugang schaffen, dieses spielzeug selbst zu erforschen. in der regel versuchen sie erstmal eine seite hin zu bekommen, aber wie gehts dann weiter? und dafür steht dieser artikel.
sie werden dann schon von selbst die symmetrien entdecken, hab vertrauen :D\(\endgroup\)
\(\begingroup\)"in der regel versuchen sie erstmal eine seite hin zu bekommen, aber wie gehts dann weiter? und dafür steht dieser artikel."
Es spricht natürlich nichts dagegen, einen Artikel über den Würfel ohne Anleitung zu schreiben. Allerdings gibt der Artikel keinerlei Anleitung oder auch nur einen Hinweis darauf, wie man den Würfel selbst erforschen kann. Eine Benennung der Kanten etc. hat keinen inhaltlichen Wert und ist auch nicht zielführend.
Wenn es um die zweite Ebene geht, muss man eigentlich nur wissen, wie man die Kantensteine der dritten Ebene in die zweite Ebene bringt. Und das geht mit zwei geeigneten Konjugationen. Was hier eine Konjugation ist, versteht man auch ohne irgendwelche Vorkenntnisse. Man macht einen vorbereitenden Setup-Move, führt dann die eigentliche Bewegung aus, und macht dann den Setup-Move wieder rückgängig. Das sieht wie eine "Schaufel" aus.
Für die zweite Ebene: Die erste Konjugation bringt den Eckstein der ersten Ebene in die dritte Ebene, die zweite Konjugation verbindet diesen mit dem Kantenstein und bringt beide zurück an die richtige Stelle. Das kann man sich so vorstellen, dass man den Kantenstein zwar nicht direkt mit dem Eckstein verbinden kann, weil es in der zweiten Ebene zu eng ist. Aber in der dritten Ebene ist genug Platz, also verbindet man sie dort. Am Ende bringt man sie natürlich wieder gemeinsam zurück.
Cooles Videomaterial gibt es etwa im Blog von Gameone. Dort wird alles sehr anschaulich beschrieben mit "Hamburger", "Autos", "Transportebene", "Kofferraum", "Rückwärts einparken", "Fisch", ... :)\(\endgroup\)
\(\begingroup\)als in unserer klasse 1980 der erste würfel auftauchte, da gab es weder bücher noch videos, also nichts was uns in irgendeiner weise geholfen hätte, dieses problem zu knacken. alle haben herum probiert und lediglich die erste ebene geschafft, vllt auch mal durch glück eine zweite. trotz weiteren herumexperimentierens gab es nicht wirklich fortschritte und langsam begann das interesse zu erlahmen. dadurch konnte ich ihn mal eine woche durchgängig haben, hab mir die o.g. notierung ausgedacht und bewegungen aufgeschrieben und beobachtet. Und genau das war dann aber die initialzündung auch für meine klassenkameraden weiter zu machen und gemeinsam lösungen zu finden. ua. den heute sog. "setup move" zu entdecken. aber wie gesagt, auch dieses "konzept" ist eig intuitiv, weil es überall im alltag anzutreffen ist: buch aufmachen, etwas lesen, buch zumachen; flasche aufmachen, etwas trinken, flasche zu machen usw. und hier eben mit einer bestimmten zugfolge eine änderung vorbereiten (aufmachen), die änderung dann durchführen und diese änderung durch die umgekehrte vorbereitungszugfolge (zumachen) in die ausgangssituation mitnehmen.
diese eigene erfahrung habe ich weitervermittelt, sobald jmd mit dem experimentieren an seine grenzen stiess. die grundhaltung bei jmd, der es selbst lösen will, ist doch die "verrat mir nix, ich schaff das allein". und genau da setze ich an, ich verrate nichts, aber lenke das experimenten in eine gewisse systematik. und die allein ist zielführend genug. zugfolgen aus dem netz auswendig zu lernen, so klangvoll sie auch sein mögen, ist einfach nur öde.
übrigens, was du beschreibst ist lediglich eine heransgehensweise, wir haben auch andere lösungen gefunden, zb. zuerst die kanten an die richtigen plätze zu bringen, dann die ecken. lösungszeiten lagen bei etwa 10-15min.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Ich hatte mal dieses Buch durchgeackert. Das tolle an der Lösungsstrategie des Mathematik Professors ist die Herangehensweise mittels Gruppentheorie, so wie Martin es schon erklärt hat. Diese Strategie ist zwar nicht die schnellste, aber man beherrscht den Würfel dadurch komplett, kann also direkt aus jeder möglichen Darstellung/Verdrehung jede gewünschte andere Darstellung erzeugen. Mich hat das damals total verblüfft und von allein wäre ich nie auf diese Gruppen-Lösungsstrategie gekommen. Das der Würfel ein so anschauliches Objekt für die Gruppentheorie ist, muss wohl auch Herrn Rubik selbst überrascht haben.
Gruß, Slash\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@slash: in welchem alter hast du das getan? welche voraussetzungen hattest du?
ich bin natürlich auch nicht der meinung, dass man stets und ständig das rad neu und vor allem selbst erfinden müsste, dennoch halte ich den einstieg über die gruppentheorie als zu hohe hürde. es ist ein spiel. wenn man ein "gefühl" für den würfel entwickelt hat und dann auf das konzept "gruppentheorie" aufmerksam gemacht wird, ist das sicher eine bereicherung, keine frage. aber wie gesagt, eins nach dem anderen...\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@trunx
ich glaube ich war 12 und hatte keine besonderen Voraussetzungen. Die Verbindung zur Gruppentheorie wird im Buch anfangs kurz erwähnt. Das Buch ist ja auch ab 12 Jahren empfohlen und damit keine mathematische Abhandlung. Ich wusste damals natürlich nichts mit dem Begriff Gruppentheorie anzufangen. Mein Post wollte aber nicht kritisieren, sondern nur eine nützliche Info liefern.
Gruß, Slash\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Trunx: du scheinst Gruppentheorie für schwierig zu haltem. Dem ist nicht so.
Wie schon andernorts erläutert sind Gruppen sowieso fast nie abstrakt, sondern meistens Permutationsgruppen, entstehen also durch Vertauschungen von Dingen. Mehr als solche muss man also hierfür (und nach Cayley allgemein) nicht anschauen. Die von dir genannten Aspekte ergeben sich dann ja direkt daraus, plus die üblichen Verschönerungen wie z.B. die schon genannten Kommutatoren oder die Zykelschreibweise und die daraus ablesbare Ordnung.
Besonders wichtig ist wohl das Prinzip der Konjugation, welche bei genügend Transitiven Operationen sofort liefert, dass wenn ich eine bestimmte Vertauschung mit einer festen Steinmenge durchführen kann, ich diese sogar mit jeder (passenden, z.B. selbe Anzahl Eck- und Kantensteine; hängt eben von der Art der Transitivität ab) machen kann. Man sollte alle Gruppenelemente nur wieterhin als Permutationen sehen, den Würfel durch Erzeuger (diese sind ja noch kanonisch und führen schnell zu den üblichen Notationen für Züge) und Relationen darzustellen ist kaum nützlich. \(\endgroup\)
\(\begingroup\)trunx *meint* (geschrieben hat er es in Chatjargon 😉 ):
""Alle haben herumprobiert und lediglich die erste Ebene geschafft, vielleicht auch mal durch Glück eine zweite. Trotz weiteren Herumexperimentierens gab es nicht wirklich Fortschritte und langsam begann das Interesse zu erlahmen. Dadurch konnte ich ihn einmal eine Woche durchgängig haben, hab mir die obengenannte Notierung ausgedacht, und Bewegungen aufgeschrieben und beobachtet""
Soweit ist das 1-zu-1 meine eigene Erfahrung mit den Unistudenten, welche mir den Würfel damals als Neuigkeit präsentierten. Dennoch ist trunx'ens Artikel wesentlich zu kritisieren, weil der wahrlich wichtige Hinweis auf die Lösungsmethode nicht im Artikel selbst erfolgte, sondern ziemlich versteckt im 4.Kommentar:
""Mit einer bestimmten Zugfolge eine Änderung vorbereiten (aufmachen), die Änderung dann durchführen und diese Änderung durch die umgekehrte Vorbereitungszugfolge (zumachen) in die Ausgangssituation mitnehmen""
Das gelingt in der Regel nicht direkt, sondern entweder
|
(1) Durch rigoroses Notieren der Situation *vor* einer Drehfolge und *danach*, oder
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(2) Mit Hilfe eines zweiten, zurechtgedrehten Würfels, bei welchem man freilich peinlich darauf achten sollte, ihn stets wieder zurückzudrehen.
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Auf diese Art findet man früher oder später einen geeigneten Satz von 4_bis_5 Drehfolgen heraus, mit welchen man zum Ziel kommt.
Das Schöne dabei ist, dass dabei keineswegs jeder *dieselben* Drehfolgen findet.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@zetax : alles klar :D
@goswin: du sagst es, rigoroses beobachten und aufschreiben. übrigens ist aufmachen, ändern, zumachen nur eine möglichkeit und um die vielfalt an anderen möglichkeiten nicht einzuschränken, steht davon nichts im artikel.
ansonsten ist die zentrale frage doch die, ob neben der deutungshoheit von experten hier ein bisschen waldorfpädagogik zugelassen wird...\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Die "Experten" berichten hier großteils aus einer Zeit, als sie noch keine "Experten" waren, oder eben aus ihren didaktischen Erfahrungen. So habe ich (u.a. durch intensive Beschäftigung zu Kinderszeiten sowie durch das Halten eines einwöchigen Kurses über das Ding) zum Beispiel den Eindruck gewonnen, dass zwar einige Aspekte der Gruppenstruktur anfangs durchaus schwer zu schlucken sind, aber bei der passenden Aufbereitung sehr nützlich sind und auch angenommen werden. Zudem liefert dies gleichzeitig einen spielerischen Einstieg in Gruppentheorie, eine Chance, die man nicht ungenutzt lassen sollte.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@zetax: wie gesagt, ich lege erstmal viel wert auf unvoreingenommene, aber halt systematische beobachtung. ist dies geleistet, kann (und wird) man sich gern an die theorienbildung machen. wenn du mal etwas wirklich neues schaffen möchtest, ist das auch für dich der weg. gleich mit einer theorie einzusteigen nennt man nicht ohne grund selektive wahrnehmung. ansonsten, dass du dich durch die gruppentheorie als kind durchgebissen hast, alle achtung. aber dies ist kein masstab für die mehrheit, die nämlich wendet sich ab und sagt, die trauben sind zu sauer. und dann beschweren sich leute wie du (ihr), dass die mathematik gesellschaftlich einen so schlechten ruf hat. und noch etwas, deine kommentare schreibst du heute, also als experte und nicht aus der sicht des kindes.
ein systematisches vorgehen in der beobachtung wäre hier bspw. sich mit aus den basiszügen zusammen gesetzten zugfolgen zu beschäftigen. besteht eine zugfolge aus nur einem zug, dann gibt es davon halt nur eine art, nämlich eine drehung. nimmt man zwei züge, dann gibt es 5 arten, bei drei basiszügen 12 arten usw. jede dieser arten kann man nun durch wiederholtes ausführen in ihrer wirkung beobachten. das ist ein beobachtungsschritt, bei dem man selbst feststellen kann, dass alle zugfolgen einen mehr oder weniger langen zyklus haben (diese länge zu berechnen steht nun aber nicht im vordergrund, wer das zusätzlich möchte, hat ja nun genug hinweise auf die gruppentheorie). eine weitere beobachtung bei diesen wiederholt ausgeführten zugfolgen ist, dass "zwischendurch" immer wieder situationen (würfelstellungen) erreicht werden, die nur wenig von der grundstellung abweichen. dass man diese nutzen kann, um den würfel zu lösen, liegt sofort auf der hand. die zyklizität bringt einen auch recht schnell auf die idee zugfolgen umzukehren und beides zu verknüpfen. usw.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Und jetzt zur Übung eine kleine Knobelaufgabe (keine Ahnung, ob diese neu ist oder nicht):
Drehe den Würfel so hin, dass gleichzeitig
(1) Jede der 6_Farben auf jeder der 6_Seiten zu sehen ist, und
(2) Jede der Farben isoliert ist (keine gemeinsame Grenze mit einem Quadrat derselben Farbe hat).
Im Gegensatz zur üblichen Würfellösung weiß man bei dieser Aufgabe grundsätzlich nicht, wo jeder der Teilwürfel hin soll. Es gibt mindestens eine Lösung, aber ich weiß nicht, wieviele nicht-isomorphe Lösungen es insgesamt gibt.
NACHTRAG:
Bitte Lösungen im diesbezüglich angefangenen Knobelecken-Thema posten.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo trunx!
\quoteonalle haben herum probiert und lediglich die erste ebene geschafft, vllt auch mal durch glück eine zweite. trotz weiteren herumexperimentierens gab es nicht wirklich fortschritte und langsam begann das interesse zu erlahmen. dadurch konnte ich ihn mal eine woche durchgängig haben, hab mir die o.g. notierung ausgedacht und bewegungen aufgeschrieben und beobachtet.
\quoteoff
Das gilt nicht nur für den Zauberwürfel. Diese Beobachtung kannst Du bei (fast) allen neuen Sachen machen, hinter denen ein bißchen mehr Niveau als bei einem Ballerspiel steckt. Erst kommt der große Hype, aber wenns zur Sache geht und Kreativität und strategisches Denken gefordert sind, dann fallen die meisten ab.
Ähnlich ist es aber auch oft mit anderen - nicht-mathematischen - Herausforderungen im Leben.
Viele Grüße, Bernhard\(\endgroup\)
\(\begingroup\)trunx hat geschrieben:
\quoteon Übrigens ist aufmachen, ändern, zumachen nur eine möglichkeit und um die vielfalt an anderen möglichkeiten nicht einzuschränken, steht davon nichts im artikel.
\quoteoff
In der Tat, ich selber bin ein klein wenig anders vorgegangen:
(1) Die erste Ebene ordnen
(2) Den Zustand der unteren beiden Ebenen notieren
(3) Die erste Ebene ein wenig abändern und mit einer anderen Zugfolge wieder ordnen
(4) Den neuen Zustand der unteren Ebenen notieren und mit dem alten Zustand vergleichen.
(5) Die für mich interessanten Unterschiede merken.
Ich glaube aber, dass meine Idee im wesentlichen dieselbe wie "aufmachen, ändern, zumachen" ist 😄\(\endgroup\)
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