Stern Mathematik: Das 4-Farben Problem
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Title Das 4-Farben Problem
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Section 10
Title Euler
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Section 25
Title Begriffe
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Section 30
Title Der Beweis von Kempe
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Section 50
Title Neuer Abschnitt in Das 4-Farben Problem
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Title Neuer Abschnitt in Das 4-Farben Problem
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Title Neuer Abschnitt in Das 4-Farben Problem
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: Mathematik :: automatisch eingefügt und unbearbeitet :
Das 4-Farben Problem [von Ueli]  
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/9/4004_island_landkarte_regionen.png EinleitungOft ist es sehr viel leichter ein mathematisches Problem zu stellen, als es zu lösen. Dies gilt beispielsweise für die Goldbach Vermutung und auch für das 4-Farben Problem. Aber ist das Färben vo
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
 
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"Stern Mathematik: Das 4-Farben Problem" | 3 Comments
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Re: Das 4-Farben Problem
von: Gockel am: Do. 05. Juni 2014 22:54:49
\(\begingroup\)Hi Ueli. \quoteon Aktuell arbeitet Gonthier an den Klassifikationstheoremen endlicher Gruppen. Dabei handelt es sich um Beweise im Umfang von ca. 15000 Seiten. Teilweise wurden diese Beweise auch mit Computerhilfe erstellt und sind damit kaum von Hand nachvollziehbar. \quoteoff Das stimmt so nicht. Dass der Beweis schwer nachvollziehbar ist, liegt an der dahinterstehenden Mathematik und dem schieren Umfang des Gesamtprojekts, aber eigentlich nicht an den computerisierten Anteilen. Es ist nicht so, dass der Beweis des Klassifikationssatzes plötzlich total einfach (oder auch nur mittelschwer) würde, wenn man die Computeranteile durch ein cleveres Argument oder eine händische Konstruktion ersetzen könnte (was in einigen Fällen in der Tat passiert ist). Er bliebe weiterhin unüberschaubar groß und verwickelt. Da kann nur eine komplette Neufassung des Beweises Abhilfe schaffen, wie sie einige Arbeitsgruppen (z.B. die Gruppe um Prof. Stroth in Halle) ja auch versuchen. Dazu kommt, dass die Computerbeweise an einigen Stellen wirklich nur triviale Rechnungen durchführen, die man einfach nicht von Hand machen will. Die Computerbeweise im Klassifikationsprojekt sind verglichen mit anderen Computerbeweisen ziemlich einfach nachzuvollziehen und inzwischen auch in vielen Fällen schon durch händische Beweise ersetzt worden. Dabei ging es sehr oft um die konkrete Konstruktion einer zuvor vorhergesagten sporadischen Gruppe mit bestimmten Eigenschaften. Dabei war eine Schwierigkeit etwa, zu beweisen, dass eine z.B. durch einen Satz von Erzeugern gegebene Matrixgruppe über einem endlichen Körper tatsächlich die geforderten Eigenschaften hat, also die richtige Ordnung besitzt, die richtige Charaktertafel besitzt, eine Involution mit dem richtigen Zentralisator besitzt usw. Diese Berechnungen sind nicht grundlegend schwer. Wenn man nicht auf Speicherplatz und Rechenzeit achten müsste, wären sie sogar ziemlich trivial. Der nichttriviale Anteil liegt darin, effiziente Algorithmen für diese Aufgaben zu finden. Solche Algorithmen gibt es aber und ihr Verständnis ist nicht grundlegend schwer. Es ist halt ein Mindestmaß von der Theorie notwendig, für die man diese Algorithmen hinterher auch einsetzen will, aber das ist ja nicht so überraschend. Diese Theorie wäre genauso für einen handgeschriebenen Beweis notwendig (wenn nicht noch mehr). Ein anderes bekanntes Teilproblem war die Berechnung der Charaktertafel der Monstergruppe, deren Existenz zu diesem Zeitpunkt nur vermutet wurde. Man konnte also nicht mit expliziten Gruppenelementen rechnen, weil man die Gruppe dazu noch nicht zur Verfügung hatte. Die Tafel ist außerdem sehr groß (aber nicht unmöglich groß. Ausgedruckt nimmt sie eine zweistellige Anzahl von Seiten in Anspruch, wenn ich mich erinnere) das macht Computerhilfe wünschenswert. Außerdem will man die Rechnungen nicht von Hand machen, weil sie fehleranfällig sind und ein Vorzeichen an der falschen Stelle bei diesen Sachen wirklich sehr, sehr stört. Ein immer wiederkehrender Schritt ist z.B. einen Vektor eines $\mathbb{C}^n$ nach einer (partiell vorhandenen) ONB zu zerlegen. Das ist absolut trivial, aber man macht es trotzdem mit einem Computer, weil es von Hand zu fehleranfällig wird. Genauso mit anderen Standardkonstruktionen. Dies einen Computerbeweis zu nennen, ist eigentlich schon fast gelogen. Die eigentliche Arbeit steckt hier nicht in den Computerrechnungen, sondern in den dazugehörigen Beweisen, dass diese und jene Konstruktionen wirklich neue Charaktere erzeugen. Außerdem kann man, wenn man wirklich will, für einige dieser Aufgaben auch Algorithmen designen, die nicht nur die notwendige Berechnungen durchführen, sondern auch Zertifikate für die Richtigkeit des Ergebnisses liefern, sodass man, wenn man dem Rechner partout nicht glauben will, nur noch das Zertifikat von Hand überprüfen muss, um zu wissen, dass das Ergebnis stimmt. So weit kann man aber meines Wissens noch nicht bei allen sporadischen Gruppen gehen. Speziell Monster und Babymonster machen selbst der besten Hardware große Probleme, wenn man Standardalgorithmen verwenden will. Diese Gruppen kann man wirklich nur mit spezialisierten Tools attackieren. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Das 4-Farben Problem
von: Ueli am: Di. 10. Juni 2014 22:20:02
\(\begingroup\)Hallo Gockel, danke für deine Ergänzungen. Ich habe die Textzeile entsprechend angepasst. Ich gehe mal davon aus, dass die Computer am INRIA mehr machen, als nur abzählen. Auf der anderen Seite werden sie wohl auch nicht sehr selbständig ans Werk gehen. Gruss Ueli \(\endgroup\)
 

Re: Das 4-Farben Problem
von: MontyPythagoras am: Sa. 21. Juni 2014 11:19:54
\(\begingroup\)Hallo Ueli, ein sehr interessanter Artikel. Was wie ein Aufsatz über ein "einfaches" geometrisches Problem anfängt, endet in einer beinahe philosophisch anmutenden Diskussion über den Nutzen von Computerbeweisen. Betrachtet man das Ganze aus der "Vogelperspektive", dann fällt einem auf, finde ich zumindest, dass die Menschheit vor einem großen Wandel zu stehen scheint, so ähnlich wie schon einmal vor wenigen Tausend Jahren. Bis dahin hatten die Menschen nur einfache Werkzeuge, alles was sie taten, wurde durch ihre eigene Muskelkraft angetrieben, oder bestenfalls durch domestizierte Zossen. Ein Mensch leistet auf Dauer kaum mehr als 150W, Topsportler kommen auf 450W Ausdauerleistung. Mehr schafft ein Herz einfach nicht. Betrachtet man heute die technischen Errungenschaften, so bestand ihr Nutzen häufig darin, die (körperliche) Leistungsfähigkeit eines Menschen bei weitem zu übertreffen. Wir haben heute Maschinen im weitesten Sinne, deren Leistungsfähigkeit im Megawatt- oder bei Kraftwerken sogar im Gigawattbereich liegt. Das sind Multiplikatoren, die die Vorstellungskraft eines Menschen vor nur etwa 1000 Jahren gesprengt hätten. Trotzdem sind sie für uns heute selbstverständlich und kein Mensch, auch nicht der weltgrößte Bodybuilder auf Steroiden, würde ernsthaft glauben, dass irgendetwas davon wieder durch Muskelkraft zu ersetzen wäre. Andererseits betrachten wir unser Gehirn als etwas besonderes, wo es doch eigentlich auch nur ein "Muskel" ist, wenn auch nicht im medizinischen Sinne, so doch im metaphorischen. Es ist noch nicht lange her, dass Menschen behauptet haben, ein Computer würde niemals (!) einen Menschen im Schach schlagen können. Das ist an sich schon ein Witz, denn 99% der schachspielenden Menschheit wird schon jetzt von kostenlosen Schachprogrammen auf Handys geschlagen. Der Durchbruch, vor dem wir stehen, ist, dass die Computer unser Gehirn als Werkzeug ablösen. So wie ein Kranführer zwar auch noch die Muskelkraft seiner Hände benötigt, um den Kran zu bedienen, so wird in Zukunft auch noch das menschliche Gehirn benötigt, um die Grundfunktionen, die "Bedienung" zu übernehmen, während die Computer die eigentliche "Denkarbeit" übernehmen. Vor 2000 Jahren passten mathematische Beweise auf eine Din A4-Seite (oder ein durchschnittliches Papyrusblatt), im letzten Jahrhundert waren es schon zig oder hunderte von Seiten. Mathematische Beweise werden immer komplexer und werden ein Level erreichen, den das menschliche Gehirn überhaupt nicht mehr fassen und überblicken kann, oder nur mit gigantischen Mühen in winzigen Einzelschritten. So wie die Ägypter mit Hunderten von Menschen in tagelanger Arbeit einen einzelnen Felsquader auf die Pyramide gehievt haben, was heute ein Kran in Minuten mühelos wuppen würde. Klingt ein bisschen nach Terminator und Skynet, aber es muss ja nicht immer in der Apokalypse enden. Aber der Schritt ist als nächster nur logisch. Ciao, Thomas \(\endgroup\)
 

 
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