Mathematik: Worin unterscheiden sich f und f(x)?
Released by matroid on Mi. 03. Dezember 2014 20:43:50 [Statistics]
Written by Martin_Infinite - 2965 x read [Outline] Printable version Printer-friendly version -  Choose language   
MathematikThis is the outline view of the article [Show content view]

 

 

Section Kopf
Title Worin unterscheiden sich f und f(x)?
Created 2014-12-03 20:43:50 by Martin_Infinite [Änderungshistorie]
contains 642 Bytes


Section 1
Title def von x
Created 2014-12-03 16:58:10 by Martin_Infinite [Änderungshistorie]
contains 8810 Bytes

9452 charactes in tolal

Get link to this article Get link to this article  Printable version Printer-friendly version -  Choose language     Kommentare zeigen Comments  
pdfFür diesen Artikel gibt es keine pdf-Datei


Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen:
: Mathematik :: automatisch eingefügt und unbearbeitet :
Worin unterscheiden sich f und f(x)? [von Martin_Infinite]  
textbf{Large{Worin unterscheiden sich $f$ und $f(x)$?}}Bekanntlich muss man zwischen einer Funktion f : mathds{R} to mathds{R} und ihren Funktionswerten f(t) (t in mathds{R}) unterscheiden. Zum Beispiel ist t^2 für eine feste Zahl t etwas anderes als die Funktion t mapsto t^2. In diesem kurzen Arti
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
 
Aufrufzähler 2965
 
Aufrufstatistik des Artikels
Insgesamt 8 externe Seitenaufrufe zwischen 2014.12 und 2015.06 [Anzeigen]
DomainAnzahlProz
http://google.de8100%100 %

Häufige Aufrufer in früheren Monaten
Insgesamt 8 häufige Aufrufer [Anzeigen]
DatumAufrufer-URL
2014-2015 (8x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=

[Top of page]

"Mathematik: Worin unterscheiden sich f und f(x)?" | 18 Comments
The authors of the comments are responsible for the content.

Re: Worin unterscheiden sich f und f(x)?
von: Wally am: Mi. 03. Dezember 2014 21:17:42
\(\begingroup\)Hallo, Martin, das ist (wie nicht anders zu erwarten) mathematisch rigoros und korrekt. Ob das didaktisch sinnvoll für Anfänger ist, muss ich noch genau überlegen. Viele Grüße Peter\(\endgroup\)
 

Re: Worin unterscheiden sich f und f(x)?
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 04. Dezember 2014 00:23:46
\(\begingroup\)Hallo, wirklich schön, so habe ich da noch nicht drüber nachgedacht. Denke aber auch, dass es eher nicht für Anfänger geeignet ist, weil die sich darunter trotzdem das falsche vorstellen würden. Sobald man den unterschied zwischen f und f(x) (bei gewöhnlicher Notation) verstanden hat, ist dies dann eine schöne Anschauungsweise. \(\endgroup\)
 

Re: Worin unterscheiden sich f und f(x)?
von: xiao_shi_tou_ am: Do. 04. Dezember 2014 05:11:18
\(\begingroup\)Hi! Es freut mich wirklich diese neue Sichtweise kennenzulernen, denn in unserer Funktionentheorie Vorlesung hat man staendig f mit f(x) gleichgesetzt, allerdings ohne praezise Begruendung, und das hatte ich damals nicht verstanden. Ich persoenlich haette nichts dagegen (auch wenn das wahrscheinlich kaum zu verwirklichen ist) diese Sichtweise auch offiziell zu benutzen. Ich glaube nicht, dass es verwirrend fuer Anfaenger (jemand der Abbildungen noch nicht kennt) ist. lg xiaoshitou \(\endgroup\)
 

Re: Worin unterscheiden sich f und f(x)?
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 04. Dezember 2014 12:57:01
\(\begingroup\)Ich verstehe nicht, wieso du so viel Zeit für solche Banalitäten opferst.\(\endgroup\)
 

Re: Worin unterscheiden sich f und f(x)?
von: hari01071983 am: Do. 04. Dezember 2014 15:45:43
\(\begingroup\)Es finde es gut dass es auch Artikel für die "Matheneulinge" gibt. Was eine Banalität ist liegt nämlich im Allgemeinen im Auge des Betrachters. Ich, für meinen Teil, zähle mich auch zu den Matheneulingen und finde die letzten 3 Absätze so gar nicht trivial. \(\endgroup\)
 

Re: Worin unterscheiden sich f und f(x)?
von: Martin_Infinite am: Do. 04. Dezember 2014 16:23:36
\(\begingroup\)Danke für die Kommentare soweit. @Peter: Darüber habe ich mir ehrlich gesagt auch noch keine Gedanken gemacht. @Anonymous(1): Ja, könnte leider sein, dass das falsch verstanden wird. Bei Polynomen bekommt man es ja hin, dass X2 - X + 1 recht selten mit einem festen Wert verwechselt wird. Wenn man also f(X) anstelle von f(x) oder f(a) schreibt, könnte das auch funktionieren. @Anonymous(2): Banalitäten sind die Grundlage für alles Weitere ;). Außerdem habe ich an dem Artikel nur etwa eine Stunde geschrieben. @hari01071983: Das freut mich.\(\endgroup\)
 

Re: Worin unterscheiden sich f und f(x)?
von: Gockel am: Do. 04. Dezember 2014 18:07:53
\(\begingroup\)Hi. Ich möchte ein nichttriviales Beispiel für diese Art der Notation besteuern: Distributionentheorie. Für allgemeine Distributionen sind keine Funktionswerte definiert, daher ist es z.B. sinnlos $\delta(x)$ als Wert der Delta-Distribution an der Stelle x aufzufassen. Funktionswerte von $\delta$ sind nur außerhalb des Nullpunkts wohldefiniert und dort Null. Man ist aber, wenn man mit der Delta-Distribution arbeitet, ausschließlich an ihrem Verhalten in einer Umgebung des Nullpunkts interessiert. Die hier vorgestellte Notation macht es allerdings möglich, $\delta(x)$ als Verknüpfung von $\delta$ mit der identischen Funktion oder einer Projektion $\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^k$ o.Ä. zu betrachten. Das ist wohldefiniert (wobei gerade diese Verkettungen von Distributionen mit Funktionen sehr technisch zu definieren ist) und liefert das tatsächlich intendierte Objekt zurück. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Worin unterscheiden sich f und f(x)?
von: Martin_Infinite am: Do. 04. Dezember 2014 18:35:52
\(\begingroup\)@Gockel: Das hört sich sehr interessant an. Könntest du das vielleicht etwas ausarbeiten? Wenn man Distributionen als Funktionen schreibt und damit arbeitet, ist es dann wirklich in dem Sinne richtig, wie ich das in meinem Artikel vorgeschlagen habe? Ich habe einmal den Wikipedia-Artikel zu Distributionen überflogen. Wenn $f$ eine lokal integrierbare Funktion mit zugehöriger Distribution $\delta_{f}$ ist ($\delta_{f}(\phi) = \int f(x) \phi(x) dx$), so wird in dem Artikel mehrmals darauf hingewiesen, dass oftmals (v.a. in der Physik) nicht zwischen $f$ und $\delta_{f}$ unterschieden wird, auch wenn das formal nicht korrekt ist. Kann man der "Gleichung" $\delta_{f}(x)=f(x)$ vielleicht trotzdem einen "formalen" Sinn geben? Was hältst du von der folgenden Analogie? Funktionenraum <---> Kategorie Distribution <---> Prägarbe Reguläre Distribution <---> darstellbare Prägarbe Distributionenraum <---> Kovervollständigung Siehe auch hier ("Integrale in der Kategorientheorie").\(\endgroup\)
 

Re: Worin unterscheiden sich f und f(x)?
von: Gockel am: Do. 04. Dezember 2014 19:20:23
\(\begingroup\)Hi Martin. Deine Analogie ist gar nicht so falsch. Der Fundamentalsatz der Variationsrechnung sagt z.B., dass eine lokal int.bare Funktion $f:\Omega\to\mathbb{C}$ eindeutig (bis auf Nullmengen) durch die Integrale $\int_\Omega f(x)\phi(x)$ bestimmt ist, wobei $\phi$ durch $C_c^\infty(\Omega)$ läuft. Das fühlt sich sehr nach einer Instanz des Yoneda-Lemmas an. Insbesondere ist die kanonische Abbildung $L_{loc}^1(\Omega) \to \mathcal{D}'(\Omega), f\mapsto T_f$ injektiv ($\delta_f$ ist eine ungünstige Bezeichnen, da man mit $\delta_a$ üblicherweise die Deltadistribution im Punkt $a$ bezeichnet, was nicht mit der konstanten Funktion identisch ist). In diesem Sinne wird $T_f$ mit $f$ identifiziert. Da man hier aber Funktionen bis auf Gleichheit fast überall betrachtet, kann man noch nicht direkt von Funktionswerten reden. Erst, wenn man einen eindeutigen Vertreter der Äquivalenzklasse wählen kann, darf man das. Das trifft z.B. auf stetige $f$ zu, denn zwei stetige Funktionen sind genau dann gleich, wenn sie f.ü. gleich sind. Werte von Distributionen sind nun wie folgt definiert. Da Distributionentheorie lokal ist (präzise: $U\mapsto\mathcal{D}'(U)$ ist eine Garbe), gibt es eine größte offene Menge $\Omega_0\subseteq\Omega$, sodass $T_{|\Omega_0}=T_f$ für eine stetige Funktion $f\in C^0(\Omega_0)$ gilt. Dieses $f$ ist dann, wie gesagt, eindeutig bestimmt. Für $x\in\Omega_0$ definiert man dann den Wert $T(x)$ als den Wert $f(x)$. Die Menge der Punkte $\Omega\setminus\Omega_0$ ist in gewisser Weise die Menge der Singularitäten von $T$. Speziell für $T=\delta$ ergibt sich $\Omega_0 = \Omega\setminus\{0\}$ und $\delta_{|\Omega_0} = 0$. Das einzig interessante an der Delta-Distribution ist also ihre Singularität bei $0$ und das präzise Verhalten dort. Zur Verkettung mit Funktionen: Die Verkettung $T\circ\psi$ ist definiert für alle $C^\infty$-Submersionen $\psi:\Omega\to\Omega'$. Für Diffeomorphismen $\psi$ kann man die Verkettung sehr explizit beschreiben, indem man den Transformationssatz zum Vorbild nimmt. Für allgemeine Submersionen ist das schwieriger (und steht auch nicht in allen Büchern zum Thema). Wenn ich mich recht erinnere, benutzt man dann eine Integration über Fasern. Man nimmt sich also die verallgemeinerte Transformationsformel (=Koflächenformel) zum Vorbild. In beiden Fällen ist die Definition genauso gewählt, dass $T_f\circ\psi = T_{f\circ\psi}$ für alle $f\in L_{loc}^1(\Omega')$ gilt. Insbesondere gilt dann mit der Notation $x=id$ wirklich $T(x)=T$ oder, wenn man zusätzlich noch $T_f$ mit $f$ gleichsetzt, $f(x)=f$ als Gleichung von Distributionen. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Worin unterscheiden sich f und f(x)?
von: Ex_Mitglied_4018 am: Do. 04. Dezember 2014 20:13:19
\(\begingroup\)In meinen Anfängervorlesungen wurde das so gehandhabt. Ich "wunderte" mich irgendwann, warum das sonst nie gemacht wird. Und ja, ein Element, das in eine Funktion eingesetzt wurde hieß dann z.B. s,t,p,q etc, aber nie x und y... Ein weiteres Beispiel, wofür das nützlich ist: Im Zusammenhang mit der Analysis mehrerer Veränderlicher hat man z.B. die Projektionen $x_j : \mathbb R^n \to \mathbb R$. Dann ist z.B. völlig klar, was das Differential $d x_j$ ist. \(\endgroup\)
 

Re: Worin unterscheiden sich f und f(x)?
von: sbechtel am: Sa. 06. Dezember 2014 11:26:03
\(\begingroup\)Gefällt mir, es so aufzuziehen!\(\endgroup\)
 

Re: Worin unterscheiden sich f und f(x)?
von: Redfrettchen am: Mo. 08. Dezember 2014 11:51:31
\(\begingroup\)Im Artikel Bringing Calculus Up-to-Date schrieb M. E. Munroe 1958(!) schon ähnliches, und sein erster Punkt lautete auch: »It is essential to distinguish between a function $f$ and its values $f(a)$.« Das entscheidende ist, Variablen als Funktionen zu verstehen.\(\endgroup\)
 

Re: Worin unterscheiden sich f und f(x)?
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 14. Dezember 2014 12:46:19
\(\begingroup\)Sowas ähnliches wurde hier auch in der Ana1 Vorlesung gemacht: www.math.uni-bonn.de/ag/ana/WiSe1415/AnIscript/Kapitel1.pdf (S.18) \(\endgroup\)
 

Re: Worin unterscheiden sich f und f(x)?
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 15. Januar 2015 23:00:49
\(\begingroup\)Wieso wird in diesem Skript aus Bonn das Auswahlaxiom benutzt, um zu zeigen, dass bijektive Abbildungen eine Umkehrfunktion besitzen? \(\endgroup\)
 

Re: Worin unterscheiden sich f und f(x)?
von: Gockel am: Fr. 16. Januar 2015 13:10:50
\(\begingroup\)@Anonymous: Das ist sehr seltsam. Das Auswahlaxiom wird in Wirklichkeit gar nicht benutzt. Die Funktion g, deren Existenz mit dem AC begründet wird, existiert auch ohne AC. Weshalb das überhaupt in einem Analysis-Skript auftaucht, ist mir schleierhaft. Man benötigt das AC nicht (in voller Stärke) für die Analysis-Grundvorlesungen. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Worin unterscheiden sich f und f(x)?
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 21. Januar 2015 01:58:46
\(\begingroup\)Wie würdest du denn sonst die folgende Aussage "Es seien X, Y Mengen und f:X-->Y eine Abbildung. Falls f surjektiv ist, so existiert eine injektive Funktion g:Y-->X, so dass f(g(y))=y für alle y aus Y." zeigen? Dies war damals in meiner AnaI Vorlesung erstmals ein etwas anschaulicheres Beispiel (man "wählt" sich ein paar Pfeile) zu AC. \(\endgroup\)
 

Re: Worin unterscheiden sich f und f(x)?
von: Gockel am: Mi. 21. Januar 2015 02:28:01
\(\begingroup\)Dass surjektive (nichtbijektive) Funktionen Rechtsinverse besitzen, ist sehr offensichtlich äquivalent zum AC. Das ist aber gar nicht der springende Punkt. Eine bijektive Funktion ist ja mehr als nur surjektiv und man braucht das AC nicht, um die Existenz eines Inversen zu zeigen. Es ist sehr einfach: Wenn $f:X\to Y$ bijektiv ist, dann betrachte den Graph $G:=\{(x,f(x)) \mid x\in X\}$ von $f$. Dies ist eine Relation, also eine Teilmenge von $X\times Y$. Die reverse Relation $G^{op}:=\{(y,x) \mid (x,y)\in G\}\subseteq Y\times X$ ist aufgrund der Bijektivität von $f$ der Graph einer Funktion $g:Y\to X$ (dafür braucht man wirklich die Bijektivität, weder Surjektivität noch Injektivität alleine reichen aus). Dies ist nach Konstruktion ist die Umkehrfunktion von $f$. An keiner Stelle musste irgendwo eine willkürliche Wahl getroffen werden. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Worin unterscheiden sich f und f(x)?
von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 24. Januar 2015 02:32:12
\(\begingroup\)Ok. Um auf deine anfängliche Aussage "Weshalb das überhaupt in einem Analysis-Skript auftaucht, ist mir schleierhaft." zurückzukommen. Die Motivation dieses Beweises war wohl gerade, dass man sich Gedanken über obige Aussage macht (vgl. Übungsaufgabe). \(\endgroup\)
 

 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]