Mathematik: Ein Garten aus Pfeilen: Spektralfolgen
Released by matroid on Fr. 19. Juni 2015 16:43:12 [Statistics]
Written by Martin_Infinite - 1137 x read [Outline] Printable version Printer-friendly version -  Choose language   
Mathematik

\(\begingroup\)

Spektralfolgen

\tikzset{commutative diagrams/.cd,arrow style=tikz,diagrams={>=stealth}} \begin{tikzcd}[row sep=25pt, column sep=22pt,inner sep=1pt,line width=0.45pt,] \cdots \ar{drr} & \bullet \ar{drr} & \bullet \ar{drr} & \bullet \ar{drr} & \bullet & \cdots \\ \cdots \ar{drr} & \bullet \ar{drr} & \bullet \ar{drr} & \bullet \ar{drr} & \bullet & \cdots \\ \cdots & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \cdots \end{tikzcd}
Jean Leray
Jean Leray

Spektralfolgen (oder auch Spektralsequenzen) kann man sich als Verallgemeinerungen von exakten Folgen vorstellen. Sie sind ein mächtiges Werkzeug für konkrete sowie allgemeine Berechnungen in verschiedenen algebraischen Gebieten der Mathematik. Sie wurden von dem französischen Mathematiker Jean Leray als Kriegsgefangener während des zweiten Weltkrieges entwickelt. In diesem Artikel möchte ich Spektralfolgen kurz vorstellen und ihre Nützlichkeit anhand von zwei einfachen Rechenbeispielen aus der algebraischen Topologie und der Gruppentheorie sowie einer abstrakten Anwendung in der homologischen Algebra aufzeigen. Ich hoffe, dass mein Artikel den Einstieg in diese verhältnismäßig komplizierte Technik erleichtert.

1. Begriff einer Spektralfolge

Es sei \mathcal{A} eine fixierte abelsche Kategorie. Man kann sich ruhig die Kategorie \mathcal{A}={}_R \mathsf{Mod} der Linksmoduln über einem Ring R vorstellen; insbesondere wenn man keine abelschen Kategorien allgemein kennt. Definition. Ein bigraduiertes \mathcal{A}-Objekt ist eine Familie von \mathcal{A}-Objekten (E^{p,q})_{p,q \in \mathds{Z}}, die also durch zwei ganze Zahlen indiziert sind. Man kann sich vorstellen, dass sich diese Objekte auf der Seite eines karierten Blocks ausbreiten (z.B. in deinem, lieber Leser): \begin{tikzpicture} \draw[step=1.0,lightgray!60,thin] (-1.5,-0.5) grid (3.5,2.5); \draw node at (-0.8,0) {$E^{-1,0}$}; \draw node at (0.2,0) {$E^{0,0}$}; \draw node at (1.2,0) {$E^{1,0}$}; \draw node at (2.2,0) {$E^{2,0}$}; \draw node at (3.2,0) {$E^{3,0}$}; \draw node at (-0.8,1) {$E^{-1,1}$}; \draw node at (0.2,1) {$E^{0,1}$}; \draw node at (1.2,1) {$E^{1,1}$}; \draw node at (2.2,1) {$E^{2,1}$}; \draw node at (3.2,1) {$E^{3,1}$}; \draw node at (-0.8,2) {$E^{-1,2}$}; \draw node at (0.2,2) {$E^{0,2}$}; \draw node at (1.2,2) {$E^{1,2}$}; \draw node at (2.2,2) {$E^{2,2}$}; \draw node at (3.2,2) {$E^{3,2}$}; \end{tikzpicture} Man nennt die Zahl p+q den Totalgrad des Objektes E^{p,q}. Die Objekte eines festen Totalgrades breiten sich auf den Diagonalen aus. Ein Morphismus von bigraduierten Objekten f : E \to E' sei einfach eine Familie von Morphismen f^{p,q} : E^{p,q} \to E'^{p,q} für p,q \in \mathds{Z}. Wir erhalten damit eine abelsche Kategorie \mathcal{A}^{\mathds{Z} \times \mathds{Z}}. Definition. Für ganze Zahlen u,v \in \mathds{Z} ist die Verschiebung E[u,v] eines bigraduierten Objektes E durch E[u,v]^{p,q} = E^{p+u,q+v} definiert. Dies erklärt einen Funktor -[u,v] : \mathcal{A}^{\mathds{Z} \times \mathds{Z}} \to \mathcal{A}^{\mathds{Z} \times \mathds{Z}}. Definition. Sei r \in \mathds{N}. Ein differentiell-bigraduiertes Objekt der Stufe r ist ein Paar (E,d), bestehend aus einem bigraduierten Objekt E und einem Morphismus d : E \to E[r,-r+1] von bigraduierten Objekten mit d[r,-r+1] \circ d = 0. Das bedeutet, für alle p,q \in \mathds{Z} haben wir einen Morphismus d^{p,q} : E^{p,q} \to E^{p+r,q-r+1} und die Komposition \tikzset{ commutative diagrams/.cd, arrow style=tikz, diagrams={>=stealth} } \begin{tikzcd}[column sep=55pt] E^{p,q} \ar{r}{\text{\normalsize $d^{p,q}$}} & E^{p+r,q-r+1} \ar{r}{\text{\normalsize $d^{p+r,q-r+1}$}} & E^{p+2r,q-2r+2} \end{tikzcd} verschwindet. Man nennt d das Differential. Man erhält damit eine ganze Reihe von Kettenkomplexen in \mathcal{A}. Die folgenden Bilder zeigen die typischen Fälle r=1,2,3, wobei wir r gleich noch als Index dazuschreiben: \begin{tikzpicture}[scale=1.4,inner sep=1pt] \draw[step=1.0,lightgray!60,thin] (-1.5,-0.5) grid (3.5,2.5); \node (n0)at (-0.9,0) {$E_1^{-1,0}$}; \node (00) at (0.1,0) {$E_1^{0,0}$}; \node (10) at (1.1,0) {$E_1^{1,0}$}; \node (20) at (2.1,0) {$E_1^{2,0}$}; \node (30) at (3.1,0) {$E_1^{3,0}$}; \node (n1) at (-0.9,1) {$E_1^{-1,1}$}; \node (01) at (0.1,1) {$E_1^{0,1}$}; \node (11) at (1.1,1) {$E_1^{1,1}$}; \node (21) at (2.1,1) {$E_1^{2,1}$}; \node (31) at (3.1,1) {$E_1^{3,1}$}; \node (n2) at (-0.9,2) {$E_1^{-1,2}$}; \node (02) at (0.1,2) {$E_1^{0,2}$}; \node (12) at (1.1,2) {$E_1^{1,2}$}; \node (22) at (2.1,2) {$E_1^{2,2}$}; \node (32) at (3.1,2) {$E_1^{3,2}$}; \path [line width=0.55pt,>=stealth,->] (n2) edge (02) (02) edge (12) (12) edge (22) (22) edge (32) (n1) edge (01) (01) edge (11) (11) edge (21) (21) edge (31) (n0) edge (00) (00) edge (10) (10) edge (20) (20) edge (30); \end{tikzpicture} \begin{tikzpicture}[scale=1.4,inner sep=1pt] \draw[step=1.0,lightgray!60,thin] (-1.5,-0.5) grid (3.5,2.5); \node (n0)at (-0.9,0) {$E_2^{-1,0}$}; \node (00) at (0.1,0) {$E_2^{0,0}$}; \node (10) at (1.1,0) {$E_2^{1,0}$}; \node (20) at (2.1,0) {$E_2^{2,0}$}; \node (30) at (3.1,0) {$E_2^{3,0}$}; \node (40) at (4.1,0) {}; \node (n1) at (-0.9,1) {$E_2^{-1,1}$}; \node (01) at (0.1,1) {$E_2^{0,1}$}; \node (11) at (1.1,1) {$E_2^{1,1}$}; \node (21) at (2.1,1) {$E_2^{2,1}$}; \node (31) at (3.1,1) {$E_2^{3,1}$}; \node (41) at (4.1,1) {}; \node (n2) at (-0.9,2) {$E_2^{-1,2}$}; \node (02) at (0.1,2) {$E_2^{0,2}$}; \node (12) at (1.1,2) {$E_2^{1,2}$}; \node (22) at (2.1,2) {$E_2^{2,2}$}; \node (32) at (3.1,2) {$E_2^{3,2}$}; \path [line width=0.55pt,>=stealth,->] (n1) edge (10) (01) edge (20) (11) edge (30) (21) edge (40) (n2) edge (11) (02) edge (21) (12) edge (31) (22) edge (41); \end{tikzpicture} \begin{tikzpicture}[scale=1.4,inner sep=1pt] \draw[step=1.0,lightgray!60,thin] (-1.5,-0.5) grid (3.5,2.5); \node (n0)at (-0.9,0) {$E_3^{-1,0}$}; \node (00) at (0.1,0) {$E_3^{0,0}$}; \node (10) at (1.1,0) {$E_3^{1,0}$}; \node (20) at (2.1,0) {$E_3^{2,0}$}; \node (30) at (3.1,0) {$E_3^{3,0}$}; \node (40) at (4.1,0) {}; \node (n1) at (-0.9,1) {$E_3^{-1,1}$}; \node (01) at (0.1,1) {$E_3^{0,1}$}; \node (11) at (1.1,1) {$E_3^{1,1}$}; \node (21) at (2.1,1) {$E_3^{2,1}$}; \node (31) at (3.1,1) {$E_3^{3,1}$}; \node (n2) at (-0.9,2) {$E_3^{-1,2}$}; \node (02) at (0.1,2) {$E_3^{0,2}$}; \node (12) at (1.1,2) {$E_3^{1,2}$}; \node (22) at (2.1,2) {$E_3^{2,2}$}; \node (32) at (3.1,2) {$E_3^{3,2}$}; \path [line width=0.55pt,>=stealth,->] (n2) edge (20) (02) edge (30) (12) edge (40); \end{tikzpicture} Man geht also r{-}1 Schritte in Diagonalrichtung und dann einen Schritt nach rechts. Die gezeichneten Differentiale werden dadurch immer steiler und länger. Außerdem wird der Totalgrad jeweils um 1 größer. Für das Nachvollziehen der folgenden Begriffe ist es empfehlenswert, sich diese Bilder auf einem Blatt Papier aufzumalen und damit den Text parallel zu verarbeiten. Morphismen von differentiell-bigraduierten Objekten einer festen Stufe r sind Morphismen der zugrunde liegenden bigraduierten Objekte, die mit dem Differential verträglich sind. Wir erhalten eine Kategorie \mathsf{Diff}_r( \mathcal{A}^{\mathds{Z} \times \mathds{Z}}) zusammen mit einem Vergissfunktor \mathsf{Diff}_r( \mathcal{A}^{\mathds{Z} \times \mathds{Z}}) \to \mathcal{A}^{\mathds{Z} \times \mathds{Z}}, (E,d) \mapsto E. Es gibt einen weiteren, viel interessanteren Funktor, die Homologie H^{*,*} : \mathsf{Diff}_r( \mathcal{A}^{\mathds{Z} \times \mathds{Z}}) \to \mathcal{A}^{\mathds{Z} \times \mathds{Z}},~ H^{p,q}(E,d) := \ker(d^{p,q}) / \mathrm{im}(d^{p-r,q+r-1}). Das ist also die Homologie des Kettenkomplexes an der Stelle (p,q). Bemerke E^{p,q} = 0 \Rightarrow H^{p,q}(E,d)=0. Hier ein Beispiel in der Kategorie der \mathds{Z}-Moduln (die Nullen sollen ins Unendliche fortgehen; die Nulldifferentiale sind nicht eingezeichnet):
\begin{tikzpicture}[scale=0.8,inner sep=1pt] \draw[step=1.0,lightgray!60,thin] (-1.5,-1.5) grid (4.5,2.5); \node (00) at (0,0) {$\mathds{Z}$}; \node (10) at (1,0) {$\mathds{Z}$}; \node (20) at (2,0) {$\mathds{Z}$}; \node (30) at (3,0) {$\mathds{Z}$}; \node (40) at (4,0) {$0$}; \node (01) at (0,1) {$\mathds{Z}$}; \node (11) at (1,1) {$\mathds{Z}$}; \node (21) at (2,1) {$\mathds{Z}$}; \node (31) at (3,1) {$\mathds{Z}$}; \node (41) at (4,1) {$0$}; \node (n0) at (-1,0) {$0$}; \node (n1) at (-1,1) {$0$}; \node (n2) at (-1,2) {$0$}; \node (02) at (0,2) {$0$}; \node (12) at (1,2) {$0$}; \node (22) at (2,2) {$0$}; \node (32) at (3,2) {$0$}; \node (42) at (4,2) {$0$}; \node (nn1) at (-1,-1) {$0$}; \node (0n1) at (0,-1) {$0$}; \node (1n1) at (1,-1) {$0$}; \node (2n1) at (2,-1) {$0$}; \node (3n1) at (3,-1) {$0$}; \node (4n1) at (4,-1) {$0$}; \path [line width=0.55pt,>=stealth,->] (01) edge node[right]{\scriptsize ~~2} (20) (11) edge node[right]{\scriptsize ~~ 3} (30); \end{tikzpicture}\stackrel{~H^{*,*}~}{\leadsto}\begin{tikzpicture}[scale=0.8,inner sep=1pt] \draw[step=1.0,lightgray!60,thin] (-1.5,-1.5) grid (4.5,2.5); \node (00) at (0,0) {$\mathds{Z}$}; \node (10) at (1,0) {$\mathds{Z}$}; \node (20) at (2,0) {$\mathds{Z}/2$}; \node (30) at (3,0) {$\mathds{Z}/3$}; \node (40) at (4,0) {$0$}; \node (01) at (0,1) {$0$}; \node (11) at (1,1) {$0$}; \node (21) at (2,1) {$\mathds{Z}$}; \node (31) at (3,1) {$\mathds{Z}$}; \node (41) at (4,1) {$0$}; \node (n0) at (-1,0) {$0$}; \node (n1) at (-1,1) {$0$}; \node (n2) at (-1,2) {$0$}; \node (02) at (0,2) {$0$}; \node (12) at (1,2) {$0$}; \node (22) at (2,2) {$0$}; \node (32) at (3,2) {$0$}; \node (42) at (4,2) {$0$}; \node (nn1) at (-1,-1) {$0$}; \node (0n1) at (0,-1) {$0$}; \node (1n1) at (1,-1) {$0$}; \node (2n1) at (2,-1) {$0$}; \node (3n1) at (3,-1) {$0$}; \node (4n1) at (4,-1) {$0$}; \end{tikzpicture}
Definition. Eine kohomologische Spektralfolge besteht aus den folgenden Daten: • einer natürlichen Zahl r_0, die Startseite, • für alle r \geq r_0 einem differentiell-bigraduierten Objekt (E_r,d_r) der Stufe r, genannt r-te Seite oder auch E_r-Term; • für alle r \geq r_0 einem Isomorphismus von bigraduierten Objekten \sigma_r : H^{*,*}(E_r,d_r) \xrightarrow{\cong} E_{r+1}. Kurzum: Die Homologie der r-ten Seite "gibt" das zugrunde liegende bigraduierte Objekt der nächsten, d.h. (r{+}1)-ten Seite; die Differentiale der nächsten Seite bekommt man aber nicht. In den allermeisten Fällen ist die Startseite r_0=2, aber r_0=0 und r_0=1 kommen auch vor. Zum Beispiel sollte die Homologie \ker(E_2^{1,1} \xrightarrow{d_2} E_2^{3,0}) / \mathrm{im}(E_2^{-1,2} \xrightarrow{d_2} E_2^{1,1}) via \sigma_2^{1,1} isomorph zu E_3^{1,1} sein. Viele Spektralfolgen sind im ersten Quadranten konzentriert, d.h. es gilt E_r^{p,q}=0 für p<0 oder q<0. In diesem Fall gilt also E_3^{1,1} \cong \ker(E_2^{1,1} \xrightarrow{d_2} E_2^{3,0}). Aber auf der nächsten Seite ist E_4^{1,1} einfach zu E_3^{1,1} isomorph, weil die Differentiale E_3^{-2,3} \xrightarrow{d_3} E_3^{1,1} \xrightarrow{d_3} E_3^{4,-1} trivial sind. Dann geht das aber so weiter, d.h. es ändert sich nichts mehr. Es macht also Sinn, E_{\infty}^{1,1} := E_3^{1,1} \cong E_4^{1,1} \cong E_5^{1,1} \cong \dotsc zu setzen. Allgemeiner: Definition. Es sei eine kohomologische Spektralfolge ((E_r,d_r)_{r \geq r_0},(\sigma_r)_{r \geq r_0}) im ersten Quadranten gegeben. Es seien p,q \in \mathds{N}. Für r \geq r_0 mit r > \max(p,q+1) ist H^{p,q}(E_r,d_r) = E_r^{p,q} und daher \sigma_r^{p,q} : E^{p,q}_r \xrightarrow{\cong} E^{p,q}_{r+1} ein Isomorphismus. Es sei E_{\infty}^{p,q} der Kolimes dieser Folge von Isomorphismen. Für genügend große r ist somit E_{\infty}^{p,q} \cong E_r^{p,q}. Es ist E_{\infty} ein bigraduiertes Objekt; der E_\infty-Term der Spektralfolge. Definition. Ein Morphismus von Spektralfolgen ((E_r,d_r),(\sigma_r)) \to ((E'_r,d'_r),(\sigma'_r)) derselben Startseite r_0 ist eine Familie von Morphismen von differentiell-bigraduierten Objekten f_r : (E_r,d_r) \to (E'_r,d'_r) für r \geq r_0, sodass jeweils das Diagramm \begin{tikzcd}[row sep=25pt] H^{*,*}(E_r,d_r) \ar{r}{\sigma_r} \ar{d}[swap]{H^{*,*}(f_r)} & E_{r+1} \ar{d}{f_{r+1}} \\ H^{*,*}(E'_r,d'_r) \ar{r}{\sigma'_r} & E'_{r+1} \end{tikzcd} kommutiert. Man erhält damit die Kategorie der Spektralfolgen \mathsf{Spf}_{r_0}(\mathcal{A}). An dem Diagramm erkennt man übrigens: Wenn f_{r_0} ein Isomorphismus ist, dann auch f_r für alle r \geq r_0. Definition. Eine homologische Spektralfolge in \mathcal{A} ist per Definition eine kohomologische Spektralfolge in \mathcal{A}^{\mathrm{op}}. Das heißt, wir haben für jedes r \geq r_0 ein bigraduiertes Objekt E^r = (E^r_{p,q})_{p,q \in \mathds{Z}} (beachte die Indizes!) in \mathcal{A} zusammen mit Differentialen d^r : E^r \to E^r[-r,r-1] und Isomorphismen \sigma^r_{p,q} : H_{p,q}(E^r,d^r) \xrightarrow{\cong} E_{p,q}^{r+1}. In den obigen Bildern für r=1,2,3 muss man einfach die Pfeile umdrehen. Aus einer homologischen Spektralfolge in \mathcal{A} erhält man außerdem eine kohomologische Spektralfolge in \mathcal{A} via E_r^{p,q} := E^r_{-p,-q}.

2. Konvergenz einer Spektralfolge

Wir arbeiten wie zuvor in einer festen abelschen Kategorie \mathcal{A}. Für Spektralfolgen gibt es verschiedene Konvergenzbegriffe. Allerdings sind diese Begriffe für Spektralfolgen im ersten Quadranten zueinander äquivalent und wir werden uns auf diesen Fall beschränken. Definition. Es sei \mathcal{S}=((E_r,d_r)_{r \geq r_0},(\sigma_r)_{r \geq r_0}) eine kohomologische Spektralfolge im ersten Quadranten. Es sei außerdem H=(H^n)_{n \in \mathds{N}} ein graduiertes Objekt, d.h. eine Folge von Objekten H^0,H^1,H^2,\dotsc. Ein Konvergenzdatum \mathcal{S} \Rightarrow H besteht aus den folgenden Daten: • einer Folge von Unterobjekten 0 = H_{n+1}^n \subseteq H_n^n \subseteq \dotsc \subseteq H_1^n \subseteq H_0^n = H^n für alle n \in \mathds{N}, • Isomorphismen \rho_{p,q} : H^{p+q}_p / H^{p+q}_{p+1} \xrightarrow{\cong} E_{\infty}^{p,q} für alle p,q \in \mathds{N}. Diese Daten zusammengenommen nennt man eine konvergente kohomologische Spektralfolge. Man schreibt dafür oftmals (stark) abkürzend E_{r_0}^{p,q} \Rightarrow H^{p+q}. Wir schöpfen den Grenzwert H^n also mit Unterobjekten aus, deren sukzessive Quotienten gerade durch den E_\infty-Term der Spektralfolge gegeben sind; dabei kommen genau die Objekte E_{\infty}^{p,q} vom Totalgrad p+q=n ins Spiel. Das Ziel einer Spektralfolge ist oftmals, damit den Grenzwert möglicht gut auszurechnen; oder aber genau anders herum, aus dem Grenzwert etwas über den E_2-Term etwa herauszufinden. \begin{tikzpicture}[scale=1.4] \draw[step=1.0,lightgray!30,thin] (-0.5,-0.5) grid (3.5,3.5); \draw node at (0,0) {$E_{\infty}^{0,0}$}; \draw node at (1,0) {$E_{\infty}^{1,0}$}; \draw node at (2,0) {$E_{\infty}^{2,0}$}; \draw node at (3,0) {$E_{\infty}^{3,0}$}; \draw node at (0,1) {$E_{\infty}^{0,1}$}; \draw node at (1,1) {$E_{\infty}^{1,1}$}; \draw node at (2,1) {$E_{\infty}^{2,1}$}; \draw node at (3,1) {$E_{\infty}^{3,1}$}; \draw node at (0,2) {$E_{\infty}^{0,2}$}; \draw node at (1,2) {$E_{\infty}^{1,2}$}; \draw node at (2,2) {$E_{\infty}^{2,2}$}; \draw node at (3,2) {$E_{\infty}^{3,2}$}; \draw node at (0,3) {$E_{\infty}^{0,3}$}; \draw node at (1,3) {$E_{\infty}^{1,3}$}; \draw node at (2,3) {$E_{\infty}^{2,3}$}; \draw node at (3,3) {$E_{\infty}^{3,3}$}; \draw [gray] (-0.5,1) to (0.5,0); \draw [gray] (-0.5,2) to (1.5,0); \draw [gray] (-0.5,3) to (2.5,0); \draw [gray] (0.0,3.5) to (3.5,0); \draw [gray] (1.0,3.5) to (3.5,1); \draw [gray] (2.0,3.5) to (3.5,2);\end{tikzpicture}\hspace{1cm} \begin{tikzpicture}[scale=1.4] \draw[step=1.0,lightgray!30,thin] (-0.5,-0.5) grid (3.5,3.5); \draw [gray] (-0.5,1) to (0.5,0); \draw [gray] (-0.5,2) to (1.5,0); \draw [gray] (-0.5,3) to (2.5,0); \draw [gray] (0.0,3.5) to (3.5,0); \draw [gray] (1.0,3.5) to (3.5,1); \draw [gray] (2.0,3.5) to (3.5,2); \draw node at (0,0) {$H^0$\,}; \draw node at (1,0) {$H^1_1$\,}; \draw node at (2,0) {$H^2_2$\,}; \draw node at (3,0) {$H^3_3$\,}; \draw node at (0,1) {$H^1/H^1_1$\,}; \draw node at (1,1) {$H^2_1/H^2_2$\,}; \draw node at (2,1) {$H^3_2/H^3_3$\,}; \draw node at (3,1) {$H^4_3/H^4_4$\,}; \draw node at (0,2) {$H^2/H^2_1$\,}; \draw node at (1,2) {$H^3_1/H^3_2$\,}; \draw node at (2,2) {$H^4_2/H^4_3$\,}; \draw node at (3,2) {$H^5_3/H^5_4$\,}; \draw node at (0,3) {$H^3/H^3_1$\,}; \draw node at (1,3) {$H^4_1/H^4_2$\,}; \draw node at (2,3) {$H^5_2/H^5_3$\,}; \draw node at (3,3) {$H^6_3/H^6_4$\,}; \end{tikzpicture} Zum Beispiel ist H^0 \cong E^{0,0}_{\infty} (bzw. allgemeiner H^n_n \cong E_{\infty}^{n,0}) und es gibt eine exakte Folge 0 \to E_{\infty}^{1,0} \to H^1 \to E_{\infty}^{0,1} \to 0, womit man etwa im Falle von Vektorräumen schon die Dimension von H^1 ablesen kann. Für H^2 können wir zunächst einmal nur sagen, dass es Unterobjekte 0 \subseteq H^2_2 \subseteq H^2_1 \subseteq H^2 gibt mit H^2_2 \cong E_{\infty}^{2,0} , H^2_1 / H^2_2 \cong E_{\infty}^{1,1} und H^2 / H^2_1 \cong E_{\infty}^{0,2}. Bemerkung. Konvergente kohomologische Spektralfolgen bilden ebenfalls eine Kategorie: Morphismen sind definiert als die Morphismen der zugrunde liegenden Spektralfolgen zusammen mit Morphismen der Grenzwerte, sodass zwei naheliegende Kompatibilitätsbedingungen erfüllt sind. Satz. Jede konvergente kohomologische Spektralfolge E_{2}^{p,q} \Rightarrow H^{p+q} liefert eine exakte Folge 0 \to E_2^{1,0} \to H^1 \to E_2^{0,1} \xrightarrow{d_2} E_2^{2,0} \to H^2. Sie heißt die Fünf-Term-Folge. Beweis. Wir haben eine exakte Folge 0 \to E_{\infty}^{1,0} \to H^1 \to E_{\infty}^{0,1} \to 0. Offensichtlich gilt E_{\infty}^{1,0}=E_2^{1,0}. Außerdem gilt E_{\infty}^{0,1} = E_3^{0,1} = \ker(E_2^{0,1} \xrightarrow{d_2} E_2^{2,0}). Es gibt also eine exakte Folge 0 \to E_{\infty}^{0,1} \to E_2^{0,1} \xrightarrow{d_2} E_2^{2,0} \to E_2^{2,0} / \mathrm{im}(d_2) \to 0. Nun ist aber E_{\infty}^{2,0} = E_3^{2,0} = E_2^{2,0} / \mathrm{im}(d_2) und E_{\infty}^{2,0} \cong H^2_2 bettet sich in H^2 ein. Damit erhält man die exakte Folge 0 \to E_{\infty}^{0,1} \to E_2^{0,1} \xrightarrow{d_2} E_2^{2,0} \to H^2. In Kombination mit der zuerst genannten Folge folgt die Behauptung. \checkmark Bemerkung. Es sei E_2^{p,q} \Rightarrow H^{p+q} eine konvergente kohomologische Spektralfolge. Für p \neq 0,1 gelte E_2^{p,q}=0. Der E_2-Term beschränkt sich also auf den folgenden Streifen (alle anderen Objekte sind Null): \begin{tikzpicture} \draw[step=1.0,lightgray!60,thin] (-0.5,-0.5) grid (3.5,3.5); \draw node at (0,0) {$E_{2}^{0,0}$}; \draw node at (1,0) {$E_{2}^{1,0}$}; \draw node at (0,1) {$E_{2}^{0,1}$}; \draw node at (1,1) {$E_{2}^{1,1}$}; \draw node at (0,2) {$E_{2}^{0,2}$}; \draw node at (1,2) {$E_{2}^{1,2}$}; \draw node at (0,3) {$\vdots$}; \draw node at (1,3) {$\vdots$}; \end{tikzpicture} Sämtliche Differentiale sind hier und auch auf allen folgenden Seiten Null, weil sie ein Nullobjekt treffen. Daher gilt E_2^{pq} \cong E_3^{pq} \cong \dotsc \cong E_{\infty}^{pq}. Die Definition der Konvergenz liefert uns eine exakte Folge 0 \to E_{\infty}^{1,n-1} \to H^n \to E_{\infty}^{0,n} \to 0. Aufgabe. Es sei E_{2}^{p,q} \Rightarrow H^{p+q} eine konvergente kohomologische Spektralfolge. Für q \neq 0,1 gelte E_2^{p,q}=0. Konstruiere eine lange exakte Folge 0 \to E_2^{1,0} \to H^1 \to E_2^{0,1} \xrightarrow{d} E_2^{2,0} \to H^2 \to E_2^{1,1} \xrightarrow{d} E_2^{3,0} \to \dotsc. Aufgabe. Es sei E_{r_0}^{p,q} \Rightarrow H^{p+q} eine konvergente kohomologische Spektralfolge in \mathcal{A}=\mathsf{Vect}_K für einen Körper K. Zeige \dim_K(H^n)=\sum_{p=0}^{n} \dim_K(E_{\infty}^{p,n-p}).

3. Lyndon-Hochschild-Serre-Spektralfolge

Es sei G eine Gruppe und N ein Normalteiler von G. Es sei ferner A ein G-Modul. Die Konjugationswirkung von G auf der Gruppenkohomologie H^q(N;A) (Wiki) ist auf N trivial und setzt sich daher zu einer Wirkung von G/N fort. Es macht daher Sinn, die Gruppenkohomologie H^p(G/N;H^q(N;A)) zu betrachten und sie mit der Gruppenkohomologie H^n(G;A) zu vergleichen. Die Lyndon-Hochschild-Serre-Spektralfolge für Gruppenkohomologie (es gibt auch eine Version für Gruppenhomologie) ist eine konvergente kohomologische Spektralfolge im ersten Quadranten, die auf der zweiten Seite mit E_2^{p,q} = H^p(G/N;H^q(N;A)) startet und gegen H^n=H^n(G;A) konvergiert. Wir werden hier keinen Beweis ihrer Existenz geben. Es sei nur gesagt, dass sie sich sofort aus der Grothendieck-Spektralfolge ergibt, aus der man tatsächlich einen ganzen Zoo von Spektralfolgen gewinnen kann. Wir möchten vielmehr zeigen, wie man damit die Gruppenkohomologie von Diedergruppen aus der Gruppenkohomologie der zyklischen Gruppen (die wir hier als bekannt voraussetzen) berechnen kann. Wir wählen dabei triviale Koeffizienten A=\mathds{Z}. Wir betrachten die Diedergruppe G=D_m der Ordnung 2m und nehmen an, dass m ungerade ist. Die Rotation erzeugt einen Normalteiler N vom Index 2 in G, d.h. N \cong C_m und G/N \cong C_2. Die LHS-Spektralfolge beginnt also mit E_2^{p,q}=H^p(C_2;H^q(C_m;\mathds{Z})). Nun weiß man: \displaystyle H^q(C_m;\mathds{Z}) \cong \left\{\begin{array}{ll} \mathds{Z} & q = 0 \\ \mathds{Z}/m & q \geq 2 \text{ gerade} \\ 0 & q \text{ ungerade} \end{array}\right. Für ungerades q ist also E_2^{p,q}=0. Nun sei q \geq 2 gerade. Für p \geq 1 ist dann aber E_2^{p,q} \cong H^p(C_2;\mathds{Z}/m)=0, weil C_2 und \mathds{Z}/m teilerfremde Ordnungen haben. Es bleibt also nur E_2^{0,q} übrig. Und für q=0 haben wir E_2^{p,0} = H^p(C_2;\mathds{Z}), was für ungerades p verschwindet und für gerades p \geq 2 durch \mathds{Z}/2 gegeben ist. Der E_2-Term ist also sehr dünn besetzt: \begin{tikzpicture}[scale=0.8] \draw[step=1.0,lightgray!60,thin] (-0.5,-0.5) grid (6.5,5.5); \node (00) at (0,0) {$\mathds{Z}$}; \node (10) at (1,0) {$0$}; \node (20) at (2,0) {$\mathds{Z}/2$}; \node (30) at (3,0) {$0$}; \node (40) at (4,0) {$\mathds{Z}/2$}; \node (50) at (5,0) {$0$}; \node (60) at (6,0) {$\cdots$}; \node (01) at (0,1) {$0$}; \node (02) at (0,2) {$E_2^{0,2}$}; \node (03) at (0,3) {$0$}; \node (04) at (0,4) {$E_2^{0,4}$}; \node (05) at (0,5) {$\vdots$}; \end{tikzpicture} Aus Gradgründen müssen sämtliche Differentiale müssen verschwinden; auch die auf allen folgenden Seiten. Daher haben wir hier schon den E_{\infty}-Term vorliegen. Daraus lesen wir sofort H^0(D_m;\mathds{Z}) \cong \mathds{Z} sowie H^n(D_m;\mathds{Z})=0 für ungerade n ab. Außerdem gibt es für gerade n \geq 2 eine exakte Folge 0 \to \mathds{Z}/2 \to H^n(D_m;\mathds{Z}) \to E_2^{0,n} \to 0. ~~~~ (\star) Nun benötigen wir den folgenden Input: Die C_2-Wirkung auf H^n(C_m;\mathds{Z}) \cong \mathds{Z}/m (für gerade n) ist für 4 \mid n die triviale Wirkung und für 4 \nmid n die Wirkung [x] \mapsto [-x]. Daraus folgt E_2^{0,n} = H^n(C_m;\mathds{Z})^{C_2} \cong \mathds{Z}/m für 4 \mid n und E_2^{0,n} = 0 für 4 \nmid n. Im ersten Fall spaltet die exakte Folge (\star), weil 2,m teilerfremd sind, sodass E_2^{0,n} \cong \mathds{Z}/2 \oplus \mathds{Z}/m \cong \mathds{Z}/(2m). Fassen wir also zusammen: Für ungerades m gilt: H^n(D_m;\mathds{Z}) \cong \left\{\begin{array}{ll} \mathds{Z} & n = 0 \\ \mathds{Z}/(2m) & n \equiv 0 \bmod 4, ~ n > 0 \\ \mathds{Z}/2 & n \equiv 2 \bmod 4 \\ 0 & n \text{ ungerade} \end{array}\right. Aufgabe. Es sei G eine Gruppe und N ein Normalteiler von G, der unendlich zyklisch ist. Es sei A eine abelsche Gruppe mit trivialer G-Wirkung. Konstruiere eine lange exakte Folge \dotsc \to H^n(G;A) \to H^n(G/N;A) \to H^{n+1}(G/N;A) \to H^{n+1}(G;A) \to \dotsc.

4. Serre-Spektralfolge

Es sei F \to X \to B eine Serre-Faserung (Wiki). Die Basis B sei der Einfachheit halber einfach-zusammenhängend. Dann gibt es eine konvergente kohomologische Spektralfolge im ersten Quadranten, die bei der zweiten Seite beginnt und dort durch E_2^{p,q} = H^p(B;H^q(F)) gegeben ist, also durch die singuläre Kohomologie der Basis mit Koeffizienten in der singulären Kohomologie der Faser. Der Grenzwert H^n=H^n(X) ist die singuläre Kohomologie des Totalraumes. Dies ist die Serre-Spektralfolge. Wir werden ihre Existenz hier nicht beweisen, sondern anhand eines Beispiels aufzeigen, wie man sie benutzen kann. Offenbar kann man mit der Serre-Spektralfolge theoretisch die Kohomologie des Totalraumes aus den Kohomologien der Basis und der Faser ausrechnen. Man kann aber auch umgekehrt vorgehen und die Kohomologie der Basis bestimmen. Im folgenden Beispiel wird auf diese Weise die Kohomologie des komplexen projektiven Raumes mit Hilfe der (als bekannt vorausgesetzten) Kohomologie von Sphären bestimmt. Sei n \geq 1. Betrachte S^n_{\mathds{C}} = \{x \in \mathds{C}^{n+1} : \lVert x \rVert = 1\} \cong S^{2n+1}. Die Projektion \pi : S^n_{\mathds{C}} \to \mathds{P}^n_{\mathds{C}} in den komplexen projektiven Raum ist eine Faserung mit Faser \cong S^1. In der Serre-Spektralfolge gilt daher E_2^{p,q} = H^p(\mathds{P}^n_{\mathds{C}};H^q(S^1)) und H^k = H^k(S^{2n+1}). Unsere erste Beobachtung lautet: Für q \neq 0,1 ist E_2^{p,q} = 0. Der E_2-Term konzentriert sich also auf den Streifen q \in \{0,1\} und sieht so aus: \begin{tikzpicture}[scale=1.6] \draw[step=1.0,lightgray!70,thin] (-0.3,-0.3) grid (4.3,1.3); \node (00) at (0,0) {$H^0(\mathds{P}^n_{\mathds{C}})$}; \node (01) at (0,1) {$H^0(\mathds{P}^n_{\mathds{C}})$}; \node (10) at (1,0) {$H^1(\mathds{P}^n_{\mathds{C}})$}; \node (11) at (1,1) {$H^1(\mathds{P}^n_{\mathds{C}})$}; \node (20) at (2,0) {$H^2(\mathds{P}^n_{\mathds{C}})$}; \node (21) at (2,1) {$H^2(\mathds{P}^n_{\mathds{C}})$}; \node (30) at (3,0) {$H^3(\mathds{P}^n_{\mathds{C}})$}; \node (31) at (3,1) {$H^3(\mathds{P}^n_{\mathds{C}})$}; \node (40) at (4,0) {$\cdots$}; \path [line width=0.55pt,>=stealth,->] (01) edge (20) (11) edge (30) (21) edge (40); \end{tikzpicture} Daraus folgt nun einerseits, dass der E_3-Term aus den Kernen bzw. Kokernen dieser Differentiale besteht und andererseits, dass dieser E_3-Term bereits der E_{\infty}-Term ist. Unsere nächste Beobachtung ist: Für k \neq 0,2n+1 gilt H^k=0. Das bedeutet: Für p+q \neq 0,2n+1 muss E_{\infty}^{p,q} = 0 sein. Das sagt uns aber gerade, dass das Differential d_2 : E_2^{p,1} \to E_2^{p+2,0} ein Isomorphismus ist für alle 0 \leq p \leq 2n-2, d.h. H^p(\mathds{P}^n_{\mathds{C}}) \cong H^{p+2}(\mathds{P}^n_{\mathds{C}}). Nun ist H^0(\mathds{P}^n_{\mathds{C}}) = E_{\infty}^{0,0} = H^0(S^{2n+1})=\mathds{Z} und H^1(\mathds{P}^n_{\mathds{C}})=E_{\infty}^{1,0} = 0. Für p>2n ist H^p(\mathds{P}^n_{\mathds{C}})=0, weil \mathds{P}^n_{\mathds{C}} ein 2n-dimensionaler CW-Komplex ist. Daraus folgt nun: H^p(\mathds{P}^n_{\mathds{C}}) = \left\{\begin{array}{ll} \mathds{Z} & p\leq 2n \text{ und } p \text{ gerade } \\ 0 & \text{sonst}\end{array}\right. Man hat übrigens auf der Serre-Spektralfolge auch eine sogenannte multiplikative Struktur; mit der kann man sogar herleiten, dass der Kohomologiering von \mathds{P}^n_{\mathds{C}} gleich \mathds{Z}[u]/(u^{n+1}) ist, wobei \mathrm{deg}(u)=2. Aufgabe. Für einen punktierten Raum B mit Basispunkt b_0 sei \Omega(B) = \{\omega : [0,1] \to B : \omega(0)=\omega(1)=b_0\} der Schleifenraum und P(B)=\{\omega : [0,1] \to B : \omega(0)=b_0\} der Wegeraum (dieser ist zusammenziehbar). Konstruiere eine Faserung \Omega(B) \to P(B) \to B und berechne damit die Kohomologiegruppen von \Omega(S^n) für n \geq 2.

5. Künneth-Spektralfolge

Es sei R ein kommutativer Ring und es seien C,D zwei Kettenkomplexe von R-Moduln in nichtnegativen Graden. Es bestehe außerdem C nur aus flachen R-Moduln. Die Künneth-Spektralfolge (die wir hier ohne Beweis angeben) ist eine konvergente homologische Spektralfolge der Form \displaystyle E^2_{pq} = \bigoplus_{q_1+q_2=q} \mathrm{Tor}_p^R\bigl(H_{q_1}(C),H_{q_2}(D)\bigr) \Rightarrow H_{p+q}(C \otimes D). Daraus folgt zusammen mit dem Satz von Eilenberg-Zilber eine entsprechende Spektralfolge für die singuläre Homologie eines Produktes von topologischen Räumen. Die Künneth-Spektralfolge ist funktoriell in C und D. Wenn speziell R ein Hauptidealring ist (allgemeiner, wenn R erblich ist), gilt \mathrm{Tor}_p^R=0 für p \neq 0,1. Die Spektralfolge reduziert sich daher auf exakte Folgen 0 \to E^2_{0,n} \to H_n \to E^2_{1,n-1} \to 0, das heißt die übliche exakte Künneth-Folge \displaystyle 0 \to \bigoplus_{q_1+q_2=n} H_{q_1}(C) \otimes H_{q_2}(D) \to H_n(C \otimes D) \to \bigoplus_{q_1+q_2=n-1} \mathrm{Tor}_1^R\bigl(H_{q_1}(C),H_{q_2}(D)\bigr) \to 0. Die Spektralfolge funktioniert hingegen für beliebige kommutative Ringe. Eine Anwendung gibt es als Aufgabe: Aufgabe. Es seien f : C \to C' und g : D \to D' zwei Kettenabbildungen zwischen Kettenkomplexen in nichtnegativen Graden, wobei C,C' nur aus flachen Moduln bestehen. Zeige: Sind dann f und g Homologieäquivalenzen, so ist es auch f \otimes g : C \otimes D \to C' \otimes D'. Zeige anhand eines Beispiels, dass auf die Flachheitsannahme nicht verzichtet werden kann.

7. Schluss

Ich wollte in diesem Artikel mit Absicht einen sehr verkürzten Einblick in die Welt der Spektralfolgen geben, um den Leser nicht gleich mit technischen Details und einer großen Anzahl von Spektralfolgen zu "vergraben". Man kann außerdem ziemlich gut mit verschiedenen Spektralfolgen herumrechnen und damit warmwerden, ohne ihre Existenz nachvollzogen zu haben; das kann man zu einem späteren Zeitpunkt nachholen, wenn man dafür genügend Motivation und Hintergrundwissen gesammelt hat. Jeder filtrierte Kettenkomplex etwa führt zu einer Spektralfolge; diese muss man einmal in Ruhe konstruiert haben und weil das relativ technisch ist und sowieso überall nachzulesen ist, habe ich es hier nicht gemacht. Viele Spektralfolgen basieren letztlich auf einer Spektralfolge dieses Typs. Es sollte auch noch gesagt werden, dass Berechnungen mit Spektralfolgen in der Praxis längst nicht so einfach wie in diesem Artikel verlaufen müssen. Man hat eher selten das Glück, dass praktisch alle Differentiale verschwinden, und muss sich dann Tricks einfallen lassen, um an die Differentiale heranzukommen. Ich bedanke mich bei Dune für das Korrekturlesen und bei Zaos für diverse Verbesserungsvorschläge.
\(\endgroup\)
Get link to this article Get link to this article  Printable version Printer-friendly version -  Choose language     Kommentare zeigen Comments  
pdfFür diesen Artikel gibt es keine pdf-Datei


Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist nicht im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen.
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
 
Aufrufzähler 1137
 
Aufrufstatistik des Artikels
Insgesamt 7 externe Seitenaufrufe zwischen 2015.06 und 2021.07 [Anzeigen]
DomainAnzahlProz
http://r.duckduckgo.com228.6%28.6 %
https://google.com228.6%28.6 %
http://google.de114.3%14.3 %
http://google.co.jp114.3%14.3 %
http://google.at114.3%14.3 %

[Top of page]

"Mathematik: Ein Garten aus Pfeilen: Spektralfolgen" | 7 Comments
The authors of the comments are responsible for the content.

Re: Ein Garten aus Pfeilen: Spektralfolgen
von: rofler am: So. 21. Juni 2015 10:40:54
\(\begingroup\)Schöner Artikel! Spektralfolgen sind ein wirklich mächtiges Instrument. Man könnte natürlich sehr viel mehr schreiben, z.B. dass man auch eine 7-Term-Folge hat, und vor allem die Grothendieck-Spektralfolge betonen und exakte Paare einführen, aber die Auswahl ist schon gut. Edit: Die 7-Term-Folge ist: $0 \to E_2^{1,0} \to E^1 \to E_2^{0,1} \to E_2^{2,0} \to \mathrm{ker}(E^2 \to E_2^{0,2}) \to E_2^{1,1} \to E_2^{3,0}$ Man kann sie z.B. im Zusammenhang mit der Picard-Brauer-Folge (Leray-/Hochschild-Serre-Spektralfolge für étale Kohomologie mit $\mathbf{G}_m$-Koeffizienten: $\mathrm{H}^p(k,\mathrm{H}^q(\bar{X},\mathbf{G}_m)) \Rightarrow \mathrm{H}^{p+q}(X,\mathbf{G}_m)$ mit $\bar{X} = X \times_k k^{\mathrm{sep}}$) bei der Brauer-Manin-Obstruktion anwenden: $0 \to \mathrm{Pic}(X) \to \mathrm{Pic}(\bar{X})^{G_k} \to \mathrm{Br}(k) \to \ker(\mathrm{Br}(X) \to \mathrm{Br}(\bar{X})) \to \mathrm{H}^1(k,\mathrm{Pic}(\bar{X})) \to 0$ Die erste $0$ ist Hilberts Satz 90. Für globale Körper $k$ folgt dabei $E_2^{3,0} = \mathrm{H}^3(k,\mathbf{G}_m) = 0$ aus der Klassenkörpertheorie.\(\endgroup\)
 

Re: Ein Garten aus Pfeilen: Spektralfolgen
von: epsilonkugel am: So. 20. März 2016 16:25:30
\(\begingroup\)Der Artikel ist wirklich gut gelungen. Er ist recht kompakt gehalten, aber trotzdem hilfreich um den Überblick zu behalten und nicht in Indizes und Theorie zu versinken (dafür gibts ja auch Lehrbücher). Mir gefällt besonders, dass hier teilweise die Bestandteile in den Definitionen verbalisiert werden und Bilder zum besseren Verständnis genutzt werden, etwa wie man die Indizes bei den Randabbildungen in der Spektralfolgendefinition lesen kann und dazu die Bilder für die ersten 3 Seiten zur Veranschaulichung, oder bei der Konvergenz von Spektralfolgen. Außerdem finde ich die Anwendungen gut gewählt. Ich lerne grad für die Topo2-Prüfung und wir haben Spektralfolgen durchgenommen, um Künneth und die universellen Koeffiziententheoreme zu beweisen, Künneth kommt ja hier in 5.vor. Bin bereits bevor wir zu diesen extrem nützlichen Sätzen gekommen sind auf den Artikel gestoßen und konnte dann da schonmal den Zusammenhang zu dem sehen, worauf wir genau hinauswollen. \(\endgroup\)
 

Re: Ein Garten aus Pfeilen: Spektralfolgen
von: Martin_Infinite am: So. 20. März 2016 18:49:43
\(\begingroup\)Danke Sabrina für das Feedback!\(\endgroup\)
 

Re: Ein Garten aus Pfeilen: Spektralfolgen
von: xiao_shi_tou_ am: Do. 13. Juli 2017 22:39:40
\(\begingroup\)Wie immer, ein sehr gelungener Artikel den ich leider erst jetzt gelesen habe. Er hat mir den Einstieg in dieses Thema sehr viel leichter macht! Er ist deshalb enorm hilfreich fuer mich, weil in der Vorlesung und den Uebungen Spektralfolgen zwar sehr sehr oft benutzt werden, aber verstaendlicherweise keine Zeit ist sie naeher zu motivieren oder mehr als Definitionen ueber sie zu bringen und weil er (wie die anderen Artikel auch) extrem gut erklaert wird! Auch die Artikel ueber Lokalisierung von Kategorien und Differentiale in der Algebra, sowie die Artikel zur Schematheorie haben mir uebrigens in letzter Zeit sehr viel weitergeholfen. Hut ab und Daumen hoch! Daniel \(\endgroup\)
 

Re: Ein Garten aus Pfeilen: Spektralfolgen
von: Kezer am: Mo. 05. April 2021 10:28:43
\(\begingroup\)Das ist echt ein wunderbarer Artikel! Es ist bemerkenswert, dass Leray vor allem in PDEs und Physik interessiert war. Glück gehabt, dass er gefangen genommen wurde und deswegen mehr Zeit in algebraische Topologie investiert hat... Ich finde es schade, dass in diesem Artikel kein Beispiel zur algebraischen Geometrie auftaucht, aber dieser Text ist definitiv ein guter Start bei dem Studium von Spektralsequenzen.\(\endgroup\)
 

Re: Ein Garten aus Pfeilen: Spektralfolgen
von: Triceratops am: Mo. 05. April 2021 15:39:31
\(\begingroup\)@Kezer: Ein paar einfache Anwendungen von Spektralfolgen in der algebraischen Geometrie findet man im Buch "Introduction to Étale Cohomology" von G. Tamme. Zum Beispiel ist Theorem 3.4.4. die Spektralfolge "Cech-Kohomologie => Garbenkohomologie", die in vielen Anwendungen auch entartet und damit eine einfache Berechnung der Garbenkohomologie liefert. Und Theorem 3.7.5. ist die vielfach im Buch verwendete Leray-Spektralfolge. Ich kann das Buch nur empfehlen, weil es sehr verständlich geschrieben ist.\(\endgroup\)
 

Re: Ein Garten aus Pfeilen: Spektralfolgen
von: Kezer am: Di. 06. April 2021 21:23:35
\(\begingroup\)@Triceratops: Danke für die Buchempfehlung! Ich besuche im kommenden Semester voraussichtlich eine Vorlesung zur étalen Kohomologie, da werde ich sicher ein wenig in Tammes Buch stöbern. 😄\(\endgroup\)
 

 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]