Mathematik: Die Lemniskate
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Analysis

\(\begingroup\) \color{blue}\textsl{\huge{\bf{Die Lemniskate}}}
Dieser Artikel gilt einer faszinierenden algebraischen Kurve vierten Grades, die in verschiedenen Bereichen auftaucht und forschungsgeschichtlich von Bedeutung ist. Ihr Name leitet sich von lateinisch „lemniscus“ ab, was „Schleife“ bedeutet. Sie symbolisiert die Unendlichkeit, weshalb das mathematische Symbol für „Unendlich“ (∞) eine Lemniskate ist. In der Freimaurerei taucht sie auf Arbeitsteppichen als maurerisches Symbol auf und steht dort für die Bruderkette, die die Logenmitglieder verpflichtet, einander in jeglicher Situation beizustehen. Inhalt: riderwaite1
Das Unendliche, symbolisiert durch die Lemniskate


1. Definitionen Man kann sie auf verschiedene Weisen definieren. Zum einen ist sie eine spezielle Cassinische Kurve, d.h. bei ihr ist das Produkt der euklidischen Abstände zu zwei Zentren konstant. Unter diesen Kurven stellt sie den Grenzfall zwischen den Fällen dar, daß die Kurve eine oder zwei Zusammenhangskomponenten besitzt. Zum anderen ist die Lemniskate das Pendant zu einer Hyperbel bezüglich der Inversion am Einheitskreis. Ich möchte zunächst aus beiden Definitionen die algebraische Formel herleiten, woraus sich die Äquivalenz beider Definitionen ergibt. Cassinische Kurve: Die beiden Zentren seien die Punkte F_1 = (-1,0) und F_2 = (1,0) in der Ebene. Dann sind die Cassinischen Kurven durch C_a := \{Q \in \mathbb{R}^2 |\, \overline{F_1Q}\cdot\overline{F_2Q} = a^2\} festgelegt. Der Grenzfall tritt ein, wenn der Koordinatenursprung Element der Kurve wird, also die Konstante a = 1 ist. Aus der Bedingung für das Produkt der Abstände gewinnt man die algebraische Gleichung der Cassinischen Kurven: \begin{aligned} \sqrt{(x-1)^2+y^2}\cdot\sqrt{(x+1)^2+y^2} &= a^2 \\ (x^2+y^2+1)^2 - (2\cdot x)^2 &= a^4 \\ (x^2+y^2)^2 - 2\cdot(x^2-y^2)+1 &= a^4 \end{aligned}
Ein paar Cassinische Kurven (weinrot die Lemniskate) Falls die beiden Zentren F_1 und F_2 nicht den Abstand 2, sondern 2\cdot s > 0 zueinander besitzen (die Cassinische Kurve am Koordinatenursprung also zentrisch gestreckt wird), so ändert sich an der letzten Gleichung nicht nur die rechte Seite, sondern aufgrund der unterschiedlichen Grade von Minuend und Subtrahend links auch der Faktor 2 vor letzterem zu anderen Werten. Ist der Streckfaktor s, so geht die Gleichung über in (x^2+y^2)^2-2\cdot s^2\cdot (x^2-y^2) + (1 - a^4) \cdot s^4 \,=\, 0. Für den speziellen Fall a =1,\; s = 1 ergibt sich folglich (x^2+y^2)^2-2\cdot(x^2-y^2) = 0 als algebraische Bestimmungsgleichung der Einheitslemniskate. Inversion der Hyperbel am Einheitskreis: Die Standardhyperbel ist definiert durch die Gleichung x·y = 1. Inversion am Einheitskreis behält alle Argumente (Erhebungswinkel gegen die waagerechte Achse) bei und invertiert die Abstände, entspricht also der Division beider Koordinaten durch x^2+y^2. Somit erhalten wir für die am Einheitskreis gespiegelte Hyperbel die algebraische Gleichung \frac{x}{x^2+y^2}\,\cdot\,\frac{y}{x^2+y^2}\,=\,1, also x\cdot y\,=\,(x^2+y^2)^2. Übergang zu den Koordinaten u und v, so daß x := \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot(u+v) und y := \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot(u-v) (was einer Drehung um \frac{\pi}{4}=45° um den Ursprung entspricht), führt auf \frac{1}{2}\cdot(u^2-v^2)=(u^2+v^2)^2. Dies entspricht der Gleichung einer um den Faktor s=\frac{1}{2} zentrisch gestreckten Einheitslemniskate nach der vorangegangenen Definition, so daß das Bild der Hyperbel unter der Inversion am Einheitskreis eine maßstäblich auf die Hälfte verkleinerte, um 45° gedrehte Einheitslemniskate ist. Es existiert ferner ein Zusammenhang zwischen der Kreisinversion und der Abbildung z \rightarrow \frac{1}{\overline{z}} in der komplexen Zahlenebene, denn die Inversion invertiert gleichfalls den Betrag, ändert allerdings zusätzlich das Argument ins Negative. Zum Ausgleich dessen wird \frac{1}{z} zusätzlich konjugiert. Wir werden hierauf später noch zurückgreifen.
Polarkoordinaten und Parameterdarstellung Man kann die Gleichung der Einheitslemniskate nach y auflösen, um sie sich als Funktionsgraph plotten zu lassen. Man erhält y(x)\,=\,\sqrt{\sqrt{1+4\cdot x^2}-x^2-1}. (Aus Gründen der Eindeutigkeit erhält man im Plotter natürlich nur die obere Hälfte der Kurve.) Praktischer für den Umgang sind allerdings Parameterdarstellungen mit dem Argument \varphi, welches für die Bereiche [-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}] und [\frac{3\cdot\pi}{4},\frac{5\cdot\pi}{4}] definiert ist. Setzen wir x := r(\varphi)\cdot\cos(\varphi), y := r(\varphi)\cdot\sin(\varphi), so ergibt Einsetzen und Berücksichtigung der trigonometrischen Eins sowie der Additionstheoreme die Gleichung r^4(\varphi)\,=\, 2\cdot r^2 \cdot(\cos^2(\varphi)-\sin^2(\varphi)), also r(\varphi)\,=\,\sqrt{2\cdot\cos(2\cdot\varphi)}. Die Parameterdarstellungen für x und y lauten also x(\varphi)\,=\,\cos(\varphi)\cdot\sqrt{2\cdot\cos(2\cdot\varphi)}, y(\varphi)\,=\,\sin(\varphi)\cdot\sqrt{2\cdot\cos(2\cdot\varphi)}.
Bestimmung des Flächeninhalts Im Prinzip könnte man die Funktionsgleichung y(x)\,=\,\sqrt{\sqrt{1+4\cdot x^2}-x^2-1} hierfür auf dem Intervall [-\sqrt{2},\sqrt{2}] integrieren, was allerdings rechnerisch nahezu unmöglich erscheint (sogar Wolframs Integrator verweigert hier die Herausgabe einer Stammfunktion). Als wesentlich eleganter erweist sich hier die Anwendung der Flächenformel für Parameterkurven: A_C\,=\,4\cdot\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{2}\cdot(x\,\dot{y}-y\,\dot{x})\,\mathrm{d}\varphi. Hiermit ergibt sich für den Flächeninhalt 4\cdot\int_0^{\frac{\pi}{4}}\cos(2\cdot\varphi)\,\mathrm{d}\varphi\,=\,4\cdot\frac{1}{2}\,=\,2. Im allgemeinen Fall (Zentrenabstand 2·s) ergibt sich also der Flächeninhalt der vollständigen Lemniskate zu 2·s2.
Zur Herleitung der Flächenformel für Parameterkurven: \mathrm{d}A\,=\,1/2\,\cdot\,\det\left(\begin{matrix} x&\mathrm{d}x \\ y & \mathrm{d}y\end{matrix}\right)\,=\, \frac{1}{2}\cdot(x\,\mathrm{d}y - y\,\mathrm{d}x)
Bestimmung der Bogenlänge Die Bogenlänge der Lemniskate zu bestimmen ist wesentlich schwieriger als die Bestimmung des Flächeninhalts. Die Frage nach dieser Bogenlänge war lange offen und ihre Beantwortung ist, soweit ich weiß, zuerst Carl Friedrich Gauß gelungen. Zumindest heißt die lemniskatische Konstante im angelsächsischen Sprachraum "Gauss's Constant". Ich weiß zwar nicht, wie Gauß es genau bewerkstelligt hat, aber ich möchte hier meinen eigenen Weg darstellen. Verwendet man die Parameterdarstellung, so ergibt sich für \sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2} der Term \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\cos(2\cdot\varphi)}}, welches man als \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1-2\cdot\sin^2(\varphi)}} umschreiben kann. Man hat dies über dem Intervall [0,\frac{\pi}{4}] zu integrieren. Die Substitution t = \sin(\varphi) ergibt \int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1-2\cdot t^2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\,\mathrm{d}t; eine weitere Substitution, u = \sqrt{2}\cdot t, überführt dies in \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{2}\cdot u^2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\,\mathrm{d}u. Dies ist das vollständige elliptische Integral erster Art K(\frac{1}{\sqrt{2}}). Es gibt eine wesentlich verschiedene Art, diese Bogenlänge zu bestimmen, und – nach einem tiefen Griff in die Trickkiste mit Umkehrfunktionen – erhalten wir für dieses spezielle elliptische Integral einen Ausdruck in elementareren Termen. Zu diesem Zweck verwenden wir einen Ast der Hyperbel in der komplexen Ebene, den wir mit t parametrisieren, so daß wir ihn als \{t+\frac{\mathrm{i}}{t}\,\in\mathbb{C}\,|\,t \in [0,\infty)\} erhalten. Beschränken wir den Laufbereich des Parameters auf [0,1], so erhalten wir die Hälfte des Astes, die oberhalb der Winkelhalbierenden liegt. Dessen Bild unter z \rightarrow \frac{1}{\overline{z}} ist ein um den Faktor \frac{1}{2} gestrecktes, halbes Lemniskatenblatt. Wie sieht die Parametrisierung dieser Kurve im Komplexen also aus? Wir nutzen die dritte binomische Formel: \displaystyle \frac{1}{\overline{t+\frac{\mathrm{i}}{t}}}\,=\,\frac{t+\frac{\mathrm{i}}{t}}{t^2+\frac{1}{t^2}}\,=\,\frac{t^3}{t^4+1} + \mathrm{i}\cdot\frac{t}{t^4+1} Wir erhalten also eine zweite Parametrisierung x(t)\,=\,\frac{t^3}{t^4+1}, y(t)\,=\,\frac{t}{t^4+1}. Beides wird einmal differenziert; hieraus erhält man \displaystyle \dot{x}(t)\,=\,\frac{3\cdot t^2 \cdot(t^4+1)-t^3\cdot(4\cdot t^3)}{(t^4+1)^2}\,=\,\frac{3\cdot t^2-t^6}{(t^4+1)^2}, \displaystyle \dot{y}(t)\,=\,\frac{1\cdot(t^4+1)-t\cdot(4\cdot t^3)}{(t^4+1)^2}\,=\,\frac{1-3\cdot t^4}{(t^4+1)^2}. \bigskip \displaystyle \begin{aligned} \dot{x}^2+\dot{y}^2\,=&\,\frac{9\cdot t^4-6\cdot t^8+t^{12}}{(x^4+1)^4}\,+\, \frac{1-6\cdot t^4+9\cdot t^8}{(t^4+1)^4} \\ &=\,\frac{t^{12}+3\cdot t^8+3\cdot t^4+1}{(t^4+1)^4} \\ &=\,\frac{(t^4+1)^3}{(t^4+1)^4} \\ &=\,\frac{1}{t^4+1} \end{aligned} Für die Berechnung der Bogenlänge hat man \sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}\,=\,\frac{1}{\sqrt{t^4+1}} zwischen 0 und 1 zu integrieren. Um das gleiche Ergebnis zu erhalten, kann man nun auch, wie in meinem Artikel "Signore Beltramis Pseudosphäre" begründet, die Umkehrfunktion bestimmen und zwischen \frac{\sqrt{2}}{2} und 1 zu integrieren. Das Ergebnis unterscheidet sich von der Bogenlänge um den Flächeninhalt des Rechtecks mit den Seitenlängen \frac{\sqrt{2}}{2} und 1, also um \frac{\sqrt{2}}{2}. Bestimmung der Umkehrfunktion: \displaystyle y(t)\,=&\,\frac{1}{\sqrt{t^4+1}} \\ \frac{1}{y^2}\,=&\,t^4+1 \\ \frac{(1-y^2)^{\frac{1}{4}}}{\sqrt{y}}\,=&\,t(y) Damit ist also \displaystyle L_{C_1}\,=\,\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^1 \frac{(1-y^2)^{\frac{1}{4}}}{\sqrt{y}}\,\mathrm{d}y\,+\,\frac{1}{\sqrt{2}}. Man substituiert so, daß der Nenner "im Differential aufgeht": \frac{1}{2}\cdot\frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{y}}\,=\,\mathrm{d}z,\,\sqrt{y}\,=\,z, also y\,=\,z^2. \displaystyle L_{C_1}\,=\,2\cdot\int_{\frac{1}{\sqrt[4]{2}}}^1 (1-z^4)^{\frac{1}{4}}\,\mathrm{d}z\,+\,\frac{1}{\sqrt{2}}\,=\,2\cdot\left( _2F_1\left(\frac{1}{4},-\frac{1}{4},\frac{5}{4},1\right)\,-\,_2F_1\left(\frac{1}{4},-\frac{1}{4},\frac{5}{4},\frac{1}{2}\right)\right)\,+\,\frac{1}{\sqrt{2}}
Zur Berechnung der Bogenlänge mittels des Integrals einer Superellipse Dies sieht aus wie der Flächeninhalt einer Viertel-Superellipse \{(x,y) \in \mathbb{R}_{+}^2 \,|\, x^4+y^4\leq 1\}, allerdings passen die Integrationsgrenzen nicht, um die hypergeometrische Funktion mittels der Gammafunktion zu vereinfachen. Doch es stellt sich heraus, daß wir Glück im Unglück haben, denn der Punkt (\frac{1}{\sqrt[4]{2}},\frac{1}{\sqrt[4]{2}}) teilt deren im I. Quadranten gelegenen Bogen in zwei exakt kongruente Hälften. Also ist das hier gesuchte Integral, gegeben durch _2F_1(\frac{1}{4},-\frac{1}{4},\frac{5}{4},1) - _2F_1(\frac{1}{4},-\frac{1}{4},\frac{5}{4},\frac{1}{2}), gerade die Hälfte des Flächeninhalts dieser Superellipse – vermindert um den Flächeninhalt des schraffierten Dreiecks der Kantenlänge \frac{1}{\sqrt[4]{2}}, der \frac{\sqrt{2}}{4} ist. \begin{aligned} L_{C_1}\,=&\;2\cdot\left(\frac{1}{2}\cdot\,_2F_1\left(\frac{1}{4},-\frac{1}{4},\frac{5}{4},1\right)-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)\right) + \frac{\sqrt{2}}{2} \\ =&\;_2F_1\left(\frac{1}{4},-\frac{1}{4},\frac{5}{4},1\right) \\ =&\;\frac{\Gamma(\frac{5}{4})^2}{\Gamma(\frac{3}{2})} \\ =&\;\frac{\frac{1}{16}\cdot\Gamma(\frac{1}{4})^2}{\frac{1}{2}\cdot\Gamma(\frac{1}{2})} \\ =&\;\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{8\cdot\sqrt{\pi}} \end{aligned} Wer hätte das gedacht? Nach Ausgleichen der Auswirkung der zentrischen Streckung und Ausdehnung auf die ganze Lemniskate erhalten wir also L_{C_1}\,=\,\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{\sqrt{\pi}}\,=\,7,416\,298\,708\ldots als Umfang beider Blätter der Einheitslemniskate. Und als hübsches kleines Nebenresultat erhalten wir noch eine Identität über vollständige elliptische Integrale 1. Art: \fbox{\parbox{6cm}{\[\displaystyle K\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\,=\,\frac{\Gamma(\frac{1}{4})^2}{4\sqrt{\pi}} \]}}
Bedeutung in der Theorie der elliptischen Funktionen Für die Bogenlänge der Lemniskate wurde, bevor obiges Ergebnis bekannt war, die Bezeichnung \varpi eingeführt, so daß die Beziehung 2^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt{\varpi} \cdot \pi^{\frac{1}{4}}\,=\,\Gamma(\frac{1}{4}) gilt. Die Versuche von Jakob Bernoulli, Leonard Euler und anderen, die Bogenlänge der Lemniskate zu berechnen, führten zur Geburt der Theorie der elliptischen Funktionen, die dadurch charakterisiert sind, daß sie in der komplexen Ebene zwei Perioden besitzen. Kennt man sie also auf einem Parallelogramm, dessen Seiten gerade die komplexen Perioden darstellen, so kennt man sie auf ganz \mathbb{C}. Äquivalent dazu ist die Sichtweise, daß der Definitionsbereich elliptischer Funktionen ein Torus sei. In der Theorie der elliptischen Funktionen wurde eine Vielzahl an Ergebnissen ähnlich dem obigen erzielt, was einen engen Zusammenhang zwischen vollständigen elliptischen Integralen erster Art und der Gammafunktion begründet. Man sehe sich dazu auf MathWorld die Seite über Elliptic Integral Singular Values an. In Analogie zu den Funktionen Sinus und Cosinus am Kreis wurden an der Lemniskate die Funktionen lemniskatischer Sinus, \mathrm{sl}(z), und lemniskatischer Cosinus, \mathrm{cl}(z), eingeführt. In Abhängigkeit von der Bogenlänge eines Lemniskatenbogens gibt \mathrm{sl}(s) die Länge der Sehne in einer Lemniskate zwischen (0,0) und (x,y)\in C_1 an, wenn die Bogenlänge auf derselben s beträgt. Die Berechnung führte Gauß auf das elliptische Integral s(r)=\int_0^r \frac{1}{\sqrt{1-t^4}}\,\mathrm{d}t; die hierzu gehörige Umkehrfunktion ist der lemniskatische Sinus. In Analogie zum bekannten Cosinus definierte Gauß: \mathrm{cl}(s)\,:=\,\mathrm{sl}(\varpi-s). Die zweifache Periodizität im Komplexen hängt zweifellos mit dem auch in unserer Rechnung schon zu beobachtenden Auftreten vierter Potenzen der Variablen zusammen, aus dem zu folgern ist, daß die Werte in reeller und in rein imaginärer Richtung gleich sind.
Weiteres Auftreten und technische Anwendungen: Gegeben sei ein Torus im \mathbb{R}^3, und zwar durch (c-\sqrt{x^2+y^2})^2+z^2\,=\,s^2,\;\; 0 < s < c. Wenn man ihn derart mit einer Ebene schneidet, daß diese den Torus in einem Punkt der waagerechten Symmetrieebene am inneren Rand des Loches tangiert – dies ist der Fall z.B. für die Ebene y=c-s –, dann entsteht als Schnittfigur eine zusammenhängende Kurve mit einem Kreuzungspunkt. Einsetzen der Ebenen- in die Torusgleichung führt auf \displaystyle z_{c,s}(x)\,=\,\pm\sqrt{\sqrt{4\cdot c^2\cdot x^2+4\cdot c^2\cdot (c-s)^2}-x^2-2\cdot c\cdot(c-s)}, was im speziellen Fall s=\frac{1}{2},\,c=1 der Funktionsdarstellung der Lemniskate entspricht. Die Lemniskate gehört also auch als Spezialfall zu den Torusschnitten.
Die Lemniskate als spezieller Torusschnitt Anwendungen in der Technik: - Roots-Gebläse: ein verdichtungsfreies Gebläse mit 2 aufeinander anrollenden Kolben in Lemniskatenform (meist allgemeiner in Cassini-Kurvenform), entwickelt in den 20er Jahren, vorwiegend im automobilen Rennsport, heute auch als Saugpumpen zum Beladen und Löschen von Massengut - Lemniskatenlenker (z.B. an Radachsen bei Schienenfahrzeugen; ermöglicht für kleine Auslenkungen eine sehr geradlinige Führung entlang des Mittelabschnittes der Lemniskate), auch Alsthom-Lenker, verwendet die Lemniskate als geometrischen Ort aller Punkte, die in der Mitte der mittleren Strecke eines Streckenzuges aus Strecken der Länge 1, \sqrt{2} und wieder 1 liegen, dessen Anfangs- und Endpunkte die Brennpunkte der Lemniskate sind (siehe dazu hier). - Lemniskatenschildausbau: Bauart eines kombinierten Stütz- und Fördergeräts im automatisierten Untertagebau, das sich selbsttätig in möglichst waagerechter Weise fortbewegen soll. Das Prinzip der Fortbewegung gleicht dem des Lemniskatenlenkers und verbessert das ältere Konzept des Kreisbogenschildausbaus.
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: Analysis :: Lemniskate :: Cassinische Kurven :: Superellipsen :: Umkehrfunktionen :: Integralrechnung :: elliptische Integrale erster Art :: elliptische Funktionen :: Bogenlänge :: Torusschnitt :
Die Lemniskate [von shadowking]  
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"Mathematik: Die Lemniskate" | 5 Comments
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Re: Die Lemniskate
von: FractalAntenna am: Mi. 22. Juli 2015 00:02:20
\(\begingroup\)Ein interessanter Artikel. Bei den elliptischen Funktionen und Integralen gibt es noch viele Geheimnisse zu entdecken. Beispielsweise kann man "Fagnano"-Integral $s(r) = \int_0^r \frac{\mathrm{d} t}{\sqrt{1-t^4}}$, das du erwähnst, und dessen Wert $s(1) = \frac{\varpi}{2}$ eng mit der lemniskatischen Konstante zusammenhängt, "explizit" ausrechnen, indem man einen Ausflug in die klassische Welt der elliptischen Funktionen über $\mathbb{C}$ macht. Es gilt nämlich, dass $s(r) = \varpi \eta$ ist, wobei $\eta \in (0,\frac{1}{2}]$ durch die Gleichung $\wp(\eta)=\frac{\varpi^2}{r^2}$ festgelegt ist. Dabei steht $\wp$ für die Weierstraßsche Funktion zum Gitter $L=\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} i$. Das finde ich so schön und überraschend, dass ich es hier mitteilen wollte. Umgekehrt steht die lemniskatische Konstante in direkter Beziehung zu den Gitterkonstanten von etwa $L$, es gilt nämlich $g_2(L) = 4\varpi^4$... Viel Spaß noch mit der Lemniskate!\(\endgroup\)
 

Re: Die Lemniskate
von: AdalbertHuebner am: Mi. 22. Juli 2015 03:16:19
\(\begingroup\)Hallo, bin mathematisch nur ein Dreikäsehoch und hab' bisher auch nur bis zu den Polarkoordinaten gelesen, aber bis da soweit alles verstanden - sehr interessant und auch formschön, der Rotationskörper ein perfekter Tropfen, etwa ? Dank und Gruß AH \(\endgroup\)
 

Re: Die Lemniskate
von: shadowking am: Fr. 24. Juli 2015 18:31:39
\(\begingroup\)Ich habe hier wieder einmal das Gauß zugeschriebene Ergebnis verwendet, das auch im Artikel "Superellipsen" ohne Beweis angewendet wurde und wonach $\displaystyle _2F_1\left(\frac{1}{a},-b,1+\frac{1}{a},1\right)\,=\,\frac{\Gamma(1+\frac{1}{a})\cdot\Gamma(1+b)}{\Gamma(1+\frac{1}{a}+b)}$ gilt. Die Herleitung würde nicht in diesen Artikel passen, soll den Lesern aber dennoch nicht vorenthalten werden. Es kann gezeigt werden durch die Auswertung eines Doppelintegrals auf zwei Arten. Seien zunächst $a, b \in \mathbb{R}^{+}, a, b \neq 0.$ $\displaystyle \int_0^{\infty}\int_0^{\infty}\exp(-x^a-y^{\frac{1}{b}})\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y $ läßt sich separieren zu $\displaystyle \int_0^{\infty}\exp(-x^a)\,\mathrm{d}x \cdot \int_0^{\infty}\exp(-y^{\frac{1}{b}})\,\mathrm{d}y \\ &= \frac{1}{a}\int_0^{\infty}\exp(-u)\cdot u^{\frac{1}{a}-1}\,\mathrm{d}u \cdot b \cdot \int_0^{\infty}\exp(-v)\cdot v^{b-1}\,\mathrm{d}v \\ &= \frac{1}{a}\cdot\Gamma\left(\frac{1}{a}\right) \cdot b \cdot\Gamma(b) \\ &= \Gamma\left(1+\frac{1}{a}\right) \cdot \Gamma(1+b). $ Andererseits - und dieser Ansatz verdeutlicht gut die Herangehensweise des Lebesgueschen Integrals - läßt sich das Doppelintegral auswerten zu $\displaystyle \int_0^{\infty}\int_0^{\infty}\exp(-x^a-y^{\frac{1}{b}})\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int_0^{\infty}\exp(-r)\cdot \mathrm{d}\mu(\{(x,y)\in\mathbb{R}_{\geq 0}^2: x^a+y^{\frac{1}{b}}\leq r\}). $ Die Teilmenge des $\mathbb{R}_{\geq 0}^2$, deren Maß hier erscheint, ist der vierte Teil einer Superellipse mit den Indizes $a$ und $b$, denn $y$ liegt für gegebenes $x$ zwischen $0$ und $(r-x^a)^b$. Man berechnet für dieses Maß also $\displaystyle \mu(\{(x,y)\in\mathbb{R}_{\geq 0}^2: x^a+y^{\frac{1}{b}}\leq r\}) \\ &= \int_0^{r^{\frac{1}{a}}}(r-x^a)^b\,\mathrm{d}x \\ &= r^b \cdot \int_0^{r^{\frac{1}{a}}}\left(1-\left(\frac{x}{r^{\frac{1}{a}}}\right)^a\right)^b\,\mathrm{d}x \\ &= r^b \cdot r^{\frac{1}{a}} \cdot \int_0^1 (1-z^a)^b\,\mathrm{d}z.$ Das Integral, das nach dem Herausziehen von $r$ stehen bleibt, ist das, welches mittels der hypergeometrischen Funktion zu $_2F_1(\frac{1}{a},-b,1+\frac{1}{a},1)$ ausgewertet wurde. Das Lebesgue-Integral wird ausgeführt: $\displaystyle \int_0^{\infty}\exp(-r)\cdot \mathrm{d}\mu(\{(x,y)\in\mathbb{R}_{\geq 0}^2: x^a+y^{\frac{1}{b}}\leq r\}) \\ &= \int_0^{\infty} \exp(-r) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r^b \cdot r^{\frac{1}{a}} \cdot \int_0^1 (1-z^a)^b\,\mathrm{d}z\right)\,\mathrm{d}r \\ &= \int_0^{\infty} \exp(-r) \cdot \left(\frac{1}{a}+b\right) \cdot r^{\frac{1}{a}+b-1}\,\mathrm{d}r \cdot \int_0^1 (1-z^a)^b\,\mathrm{d}z \\ &= \left(\frac{1}{a}+b\right)\cdot \Gamma\left(\frac{1}{a}+b\right) \cdot {}_2F_1\left(\frac{1}{a},-b,1+\frac{1}{a},1\right) \\ &= \Gamma\left(1+\frac{1}{a}+b\right) \, \cdot \, {}_2F_1\left(\frac{1}{a},-b,1+\frac{1}{a},1\right), $ so daß man als Ergebnis erhält: $\fbox{\parbox{9cm}{\[\displaystyle _2F_1\left(\frac{1}{a},-b,1+\frac{1}{a},1\right)\,=\,\frac{\Gamma(1+\frac{1}{a})\cdot\Gamma(1+b)}{\Gamma(1+\frac{1}{a}+b)} \]}} $\(\endgroup\)
 

Re: Die Lemniskate
von: Ex_Mitglied_477 am: Sa. 25. Juli 2015 20:01:29
\(\begingroup\)Ich habe mal mit einem Geschichtsprofessor in seiner Privatbibliothek den Worthintergrund besprochen. Wahrscheinlich kommt das Wort von griech. lemniskos "wollenes Band", zu griech. lenos "Wolle". Vermutlich weil Wollfäden vom Webstuhl aus auf ausgestreckte Hände achtförmig aufgewickelt wurde. Im Lateinischen wurde daraus sowas wie "Schmuckband". \(\endgroup\)
 

Re: Die Lemniskate
von: MontyPythagoras am: Fr. 28. August 2015 12:59:55
\(\begingroup\)Hallo Shadowking, Ein kleiner Vorschlag zur Vereinfachung zum ansonsten sehr gelungenen Artikel: In Kapitel 2 hast Du bereits die Polarkoordinatendarstellung hergeleitet. Diese könnte man für Kapitel 3 recht einfach nutzen, denn es ist ja in Polarkoordinaten allgemein die Fläche des vom Radius überstrichenen Sektors $\displaystyle A=\int \frac12 r^2\textrm d\varphi$ Mit $\displaystyle r(\varphi)=\sqrt{2\cos2\varphi}$ aus Kapitel 2 folgt daraus ja schon unmittelbar $\displaystyle A_C=4\intop_0^{\frac{\pi}4}\cos2\varphi\textrm d\varphi$ Nur der Vollständigkeit halber: $\displaystyle \int\sqrt{\sqrt{1+4x^2}-x^2-1}\mathrm dx=\frac12x\sqrt{\sqrt{1+4x^2}-x^2-1}-\frac14\sqrt{2\sqrt{1+4x^2}-4x^2+2}$ Ciao, Thomas\(\endgroup\)
 

 
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