Mathematik: Zappa-Szép-Produkte - Teil 1
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"Mathematik: Zappa-Szép-Produkte - Teil 1" | 3 Comments
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Re: Zappa-Szép-Produkte - Teil 1
von: Dune am: Mi. 22. Februar 2017 13:22:43
\(\begingroup\)Hi Triceratops, danke für diesen schönen Artikel! Das Zappa-Szép-Produkt kam mir schon immer sehr mysteriös vor - vor allem sicherlich deshalb, weil ich keine Ahnung habe, wie ich ein nicht-triviales externes Zappa-Szép-Produkt zweier Gruppen bilden könnte. Wie findet man in der Praxis für gegebene Gruppen $G,H$ (meinetwegen zyklische Gruppen der Einfachheit halber) zugehörige Distributivgesetze, sodass $G \bowtie H$ nicht semidirekt ist? Hintergrund: Ich arbeite häufig mit transitiven Permutationsgruppen $G$, die eine reguläre Untergruppe $U \leq G$ besitzen. Dann ist $G$ automatisch ein Zappa-Szép-Produkt von $U$ und einem Stabilisator $G_\omega$. Diese entstehen in meinem Fall zwar auf natürliche Weise, aber es wäre trotzdem schön (besonders zur Gegenbeispielsuche), noch weitere Beispiele als externes Zappa-Szép-Produkt konstruieren zu können. Viele Grüße, Dune PS: Vielen Dank für die ausführliche Antwort!\(\endgroup\)
 

Re: Zappa-Szép-Produkte - Teil 1
von: Triceratops am: Mi. 22. Februar 2017 19:01:16
\(\begingroup\)@Dune: Ich bin da kein Experte, kann aber sagen, was ich dazu gelesen habe. Es gibt sicherlich kein allgemeines Rezept, wie man Distributivgesetze konstruieren kann. Wenn $A=\langle a \rangle$ und $B=\langle b \rangle$ zyklisch sind, dann ist ein Distributivgesetz $\sigma$ durch die beiden Permutationen $\sigma_1(b,-) : A \to A$ und $\sigma_2(-,a) : B \to B$ bestimmt, welche einige Relationen erfüllen müssen. Die ersten Untersuchungen und auch Beispiele dazu gab es hier: J. Douglas, On finite groups with two independent generators. I, II, III, IV. Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 37 (1951), 604–610, 677–691, 749–760, 808–813, Link Anscheinend sind aber dennoch die Zappa-Szép-Produkte zyklischer Gruppen noch nicht bis auf Isomorphie klassifiziert. Das wird u.a. erwähnt in der Doktorarbeit Categorical constructions, braidings on monoidal categories and bicrossed products of Hopf algebras von A. L. Agore, auf Seite 58. Neben allgemeinen Strukturaussagen über Produkten von abelschen Gruppen (google-Suche mit "product of abelian subgroups") gibt es allerdings die folgenden Ergebnisse: Im dem im Artikel zitierten Paper Schreier type theorems for bicrossed products werden alle Distributivgesetze (die dort zusammen mit den Gruppen "matched pairs" heißen) zwischen $C_2$ und $C_n$ sowie zwischen $C_3$ und $C_n$ bestimmt. Das kleinste Zappa-Szép-Produkt, welches a priori kein semidirektes Produkt ist, wird für $n=6$ auch konkret angegeben. Für $A=\langle a : a^3=1 \rangle$, $B=\langle b : b^6=1 \rangle$ setzt man $\sigma(b,a)=(a^2,b^3)$. Daraus ergeben sich alle anderen Werte, nämlich $\sigma(b^i,a)=\left\{\begin{array}{ll} (a,b^i) & i \text{ gerade} \\ (a^2,b^{i+2}) & i \text{ ungerade}\end{array}\right. ~~~ \sigma(b^i,a^2)=\left\{\begin{array}{ll} (a^2,b^i) & i \text{ gerade} \\ (a,b^{i+4}) & i \text{ ungerade}\end{array}\right.$ Die Gruppe hat die Präsentation $G=\langle a,b : a^3=1, b^6=1, ba = a^2 b^3 \rangle$. Dazu muss man sich klarmachen, dass man mit der Relation $ba=a^2 b^3$ bereits alle $b^i a$ und $b^i a^2$ in der Form $a^u b^v$ ausdrücken kann. Ich zeige einmal exemplarisch $b^2 a = a b^2$, weil der Rest dann einfach ist: $b^2 a = b a^2 b^3 = a^2 b^3 a b^3 = a^2 b^2 a^2 b^3 b^3 = a^2 b^2 a^2 \Rightarrow b^2 = a^2 b^2 a \Rightarrow a b^2 = b^2 a$ Nun kann man sich überlegen, dass die Elemente $x:=ab^2$ und $y:=b$ die Relationen $x^3=y^6=1$ und $yx=x^{-1} y$ erfüllen. Das liefert einen Homomorphismus $C_3 \rtimes_{-1} C_6 \to G$, der offenbar surjektiv ist und dann aus Ordnungsgründen schon ein Isomorphismus ist. (Übrigens lässt sich $C_3 \rtimes_{-1} C_6$ auch noch vereinfachen zu $C_3 \times S_3$.) Es ist also doch ein semidirektes Produkt der beiden zyklischen Gruppen, die nur anders eingebettet werden. Das hat einen allgemeinen Grund: Das im Artikel zitierte Paper Bicrossed products for finite groups zeigt, dass ein Zappa-Szép-Produkt von $C_p$ und $C_n$ mit $p$ prim bereits als Gruppe isomorph zu einem semidirekten Produkt dieser zyklischen Gruppen ist. Ich habe daher bisher noch kein Zappa-Szép-Produkt endlicher zyklischer Gruppen gefunden, das zu keinem semidirekten Produkt dieser zyklischen Gruppen isomorph ist. Daher habe ich im Artikel auch das Beispiel $S_n = S_{n-1} \bowtie C_n$ genommen. Der Fall von unendlichen zyklischen Gruppen ist vollständig klassifiziert worden in Rédei, Zur Theorie der faktorisierbaren Gruppen, ergänzt durch Cohn, A remark on the general product of two infinite cyclic groups. Zum Beispiel hat man das Zappa-Szép-Produkt $\langle x,y : y x = x^{-1} y^{-1},\, y x^{-1} = xy^{-1} \rangle$. PS: Der Tippfehler ist korrigiert. Danke.\(\endgroup\)
 

Re: Zappa-Szép-Produkte - Teil 1
von: StefanVogel am: So. 21. Mai 2017 06:28:28
\(\begingroup\)Hallo Triceraptos, Das Zappa-Szep-Produkt $G = A \bowtie_\sigma B$ mit $A=\langle a : a^4=1 \rangle$, $B=\langle b : b^4=1 \rangle$ und $\sigma(b^j,a^k) = \left\{\begin{array}{ll} (a^{k+2},b^{j+2}) & j, k \text{ beide ungerade} \\ (a^k,b^j) & \text{sonst}\end{array}\right $ ist meiner Ansicht nach kein direktes oder semidirektes Produkt von A und B. Auf direktem Weg ein solches Beispiel zu finden war aussichtslos. Ich habe nicht die geringste Vorstellung, wie man ein solches $\sigma$ ohne viel Raten finden kann. Ich habe mir dann paar Gedanken gemacht, wie das Zappa-Szep-Produkt für Gruppen der Ordnung $2^n$ und "lower exponent p class 2" aussieht. Mit deren Eigenschaften $x^4=e, x^2y=yx^2, yx=x^2y^2(xy)^2xy$ von hier erhalte ich $\sigma_{1}(b,a)=\sigma'_{1}(b,a)a$ mit $\sigma'_{1}(b,a)$ aus $\underline{A}^2=\langle a^2 | a \in A \rangle$ und $\sigma_{2}(b,a)=\sigma'_{2}(b,a)b$ mit $\sigma'_{2}(b,a)$ aus $\underline{B}^2=\langle b^2 | b \in B \rangle$, denn in $ba=a^2b^2(ab)^2ab$ ist $(ab)^2$ ein eindeutiges Produkt zweier Elemente aus $\underline{A}^2$ und $\underline{B}^2$ (den Beweis dafür habe ich noch nicht vollständig, das als Annahme vorausgesetzt reicht jedoch auch) und diese Quadrate kann man dann alle vor die zugehörigen $a$ und $b$ verschieben (mit Hilfe der Eigenschaft $x^2y=yx^2$), $ba = \sigma'_{1}(b,a) a \sigma'_{2}(b,a) b = \sigma_{1}(b,a) \sigma_{2}(b,a)$. Bis jetzt sieht es ganz danach aus, dass man für Erzeugende $a$ von $\underline{A}$ und Erzeugende $b$ von $\underline{B}$ die $\sigma'_{1}(b,a)$ und $\sigma'_{2}(b,a)$ beliebig festlegen kann und der Rest ist dann eindeutig bestimmt. Die Aussage aus dem Anhang von Teil 2 geht ja auch in diese Richtung oder ist eventuell sogar schon der benötigte Beweis. Es ist viel zu rechnen und ich habe dabei vielleicht noch was übersehen. Aber wenn es stimmt, haben wir eine ganze Menge nichttrivialer Zappa-Szep Produkte, trotz der einschränkenden Annahme. Für obiges Beispiel mit $\underline{A}=\langle a : a^4=a^0\rangle, \underline{B}=\langle b : b^4=b^0\rangle$ bedeutet das $\sigma'_{1}(b,a)=a$ oder $a^3$ und $\sigma'_{2}(b,a)=b$ oder $b^3$. Diese vier Varianten ergeben drei verschiedene Gruppen. Ein bis zwei Relationen reichen bereits für deren Präsentation $\langle a,b : ba=ab\rangle$, $\langle a,b : ba=a^3b\rangle$, $\langle a,b : ba=a^3b^3, b^3a=a^3b\rangle$. und das eingegeben in \sourceon GAP gap> F:=FreeGroup(2); a:=F.1; b:=F.2; f1 f2 gap> StructureDescription(F/[a^4,b^4,b*a*(a*b)^-1]); "C4 x C4" gap> StructureDescription(F/[a^4,b^4,b*a*(a^3*b)^-1]); "C4 : C4" gap> StructureDescription(F/[a^4,b^4,b*a*(a^3*b^3)^-1,b^3*a*(a^3*b)^-1]); "(C4 x C2) : C2" gap> \sourceoff liefert als Ergebnis ein direktes Produkt (GAP-Ausgabe Zeichen "x"), ein semidirektes Produkt (GAP-Ausgabe Zeichen ":") und als drittes eine Gruppe, von der ich denke, dass sie kein semidirektes Produkt der Gruppen A und B sein kann, sonst würde sie als eine der ersten beiden Gruppen ausgegeben werden. Ich gehe fest davon aus, dass StructureDescription(G) zu dieser Ordnungszahl eindeutig ist. Wenn nicht, wäre das dafür ein Gegenbeispiel, also auch nicht ganz umsonst. Auch von mir ein Dankeschön für die beiden schönen Artikel. Das es nach $\times$ und $\rtimes$ noch ein verallgemeinerndes $\bowtie$ gibt war neu für mich und ist bestimmt ganz brauchbar für die Beschäftigung mit den Gruppen der Ordnung $2^n$ und "lower exponent p class 2". Außerdem kann ich mir endlich merken, welche der beiden Gruppen beim semidirekten Produkt ein Normalteiler des Produkts ist: In $A \times B$ sind beide Normalteiler, in $A \bowtie B$ brauchen beide kein Normalteiler zu sein, also ist in $A \rtimes B$ Gruppe A der Normalteiler 😄 Viele Grüße, Stefan \(\endgroup\)
 

 
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