Mathematik: Schriftlich Wurzelziehen (quadratisch und kubisch)
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Mathematik

\(\begingroup\)\(\usepackage{setspace}\) In der Schule lernen wir in der Regel nur die schriftliche Berechnung der 4 Grundrechenoperationen. Hier in diesem Artikel wird das schriftliche Radizieren beispielhaft für das quadratische bzw. kubische Wurzelziehen erläutert. Grundlage dafür ist wahlweise die erste binomische Formel \((a+b)^2 =a^2 +2ab +b^2\) bzw. das kubische Pendant \((a+b)^3 =a^3 +3a^2 b +3ab^2 +b^3\). Wurzeln höherer Potenzen sind ganz analog berechenbar, da jedoch der Aufwand enorm wird, empfiehlt es sich für diese Fälle andere Wege zu beschreiten.

Berechnung der Quadratwurzel

Von der Optik und vom Platz her ähnelt das schriftliche Wurzelziehen der schriftlichen Division. Allerdings werden hier die Reste immer grösser und unhandlicher, s.d. eine Strukturierung dieser Zahlen von Nöten ist. Wie gesagt, erfolgt die Erläuterung des Wurzelziehens an einem Beispiel - wir berechnen \(\sqrt{2357}\). Zunächst wird die zu radizierende Zahl ab dem (wie hier möglicherweise unsichtbaren) Komma einmal nach links fortschreitend in Zweierblöcke abgeteilt, sollte es Nachkommastellen geben, dann werden vom Komma ausgehend auch diese nach rechts in Zweierblöcke aufgeteilt: \(\sqrt{23'57}\). Zum am weitesten links stehenden Block, der auch nur aus einer einzigen Ziffer bestehen kann (bei uns ist es die \(23\)), wird nun die grösstmögliche Quadratzahl gesucht, die kleiner ist als der Block (bei uns \(16\)) und mit einem Minuszeichen versehen unter den Block, die Wurzel daraus wird rechts neben ein Gleichheitszeichen geschrieben, also: \(\begin{array}{l} \sqrt{23'57} = \color{red}{4} \\ \color{red}{-16} \end{array}\) Unter den Subtrahenden wird nun ein Strich gezogen, die Differenz darunter geschrieben und neben die Differenz der nächste Zweierblock. Gibt es keinen mehr, dann werden zwei Nullen daneben geschrieben. Wir haben jetzt also \(\begin{array}{l} \sqrt{23'57} = 4 \\ \underline{-16} \\ \hspace{0.5cm} 7 \color{red}{5|7} \end{array}\) Vor die letzte Ziffer kommt noch ein Trennungsstrich, die Zahl davor (bei uns also \(75\)) dient im nächsten Schritt zur Abschätzung der nächsten Ergebnisziffer. Dazu verdoppeln wir das bisherige Ergebnis und schreiben es nach einem Divisionszeichen auf die gleiche Zeile: \(\begin{array}{l} \sqrt{23'57} = 4 \\ \underline{-16} \\ \hspace{0.5cm} 7 5|7 : 8 (\color{red}{2\cdot4}) \end{array}\) Wir müssten jetzt also \(75:8\) abschätzen. Da die nächste Zahl zwingend einstellig sein muss, was bei der Abschätzung ja nicht immer der Fall ist, ist es wichtig den bzw. die nächsten Schritte zu kennen. Dazu schauen wir uns nochmal die binomische Formel an, die wir etwas umstellen. Es ist \((a+b)^2 = a^2 +2ab+b^2 =a^2 +(2a+b)b\). Dabei stellt der Term \(2a\) bei uns die \(8\) dar, \(b\) wäre die nächste Ergebnisziffer. Enthalten ist in dem ganzen aber noch ein Trick unter insgeheimer Verwendung des dekadischen Positionssystems. Denn eigentlich wird das Ergebnis irgendetwas um die \(40\) sein, das Doppelte mithin \(80\), wenn wir (das noch unbekannte) \(b\) dazu addieren, was wir ja müssen, erhalten wir also \(80+b\) oder \(8b\). Sprich, eigentlich ist die ganze Zahl unter dem Strich (bei uns also \(757\)) durch \(2a+b\) zu dividieren und es muss \(b\) dabei heraus kommen. Bei uns wäre in einer ersten Abschätzung \(b\approx 75:8 \approx 9\), aber \(89 \cdot 9>757\). Wir wählen also ein kleineres \(b\), konkret \(b=8\). Sind die abgeschätzten \(b\) dagegen klein, können sie meist direkt benutzt werden. Wir schreiben jetzt b (bei uns also \(8\)) einmal als neue Ergebnisziffer und dann neben die Abschätzung (\(2a\)) (beides rot) und haben jetzt: \(\begin{array}{l} \sqrt{23'57} = 4\color{red}{8} \\ \underline{-16} \\ \hspace{0.5cm} 7 5|7 : 8\color{red}{8} \end{array}\) Das Ergebnis von \((2a+b)\cdot b\) (bei uns von \(88\cdot 8=704\)) schreiben wir erneut mit einem vorangestellten Minuszeichen unter den ehemaligen Rest: \(\begin{array}{l} \sqrt{23'57} = 48 \\ \underline{-16} \\ \hspace{0.5cm} 7 5|7 : 88 \\ \hspace{0.25cm} \underline{-704} \end{array}\) Jetzt geht das Spiel mit Differenzbildung, Herunterholen des nächsten Zweierblocks, bei Überschreitung des Kommas analog zur schriftlichen Division die Kommasetzung (wäre bei uns der Fall), Abtrennung der letzten Ziffer für die erste Abschätzung, Verdopplung des Ergebnisses, Anfügen des neuen \(b\) sowohl als neue Ergebnisziffer als auch in der Abschätzungsreihe wieder von vorne los. Immer und immer wieder bis zum Ergebnis oder zur gewünschten Genauigkeit. Wir hätten also \(\begin{array}{l} \sqrt{23'57} = 48,5 \\ \underline{-16} \\ \hspace{0.5cm} 7 5|7 : 88 \\ \hspace{0.25cm} \underline{-704} \\ \hspace{0.75cm} 530|0 : 965 \end{array}\) wobei wir \(b=5\) durch \(530:96\) (\(96\) ist das Doppelte von \(48\)) abgeschätzt und sowohl oben dem Ergebnis wie der \(96\) angefügt haben. Weiter würde es wie folgt gehen (bitte nachrechnen): \(\begin{array}{l} \sqrt{23'57} = 48,548 \dotsc \\ \underline{-16} \\ \hspace{0.5cm} 7 5|7 : 88 \\ \hspace{0.25cm} \underline{-704} \\ \hspace{0.75cm} 530|0 : 965 \\ \hspace{0.5cm} \underline{-4825} \\ \hspace{1cm} 4750|0 : 9704 \\ \hspace{0.75cm} \underline{-38816} \\ \hspace{1.25cm} 86840|0 : 97088 \\ \hspace{1.25cm} \cdots \end{array}\) Soweit die Berechnung der Quadratwurzel.

Berechnung der Kubikwurzel

Die Kubikwurzel wird ganz ähnlich wie die Quadratwurzel berechnet, allerdings ist der kubische Rest \(3a^2+3ab^2+b^3=(3a(a+b)+b^2)b\) deutlich komplizierter strukturiert, was sich dann auch im Verfahren nieder schlägt. Auch hier erläutern wir es an einem Beispiel, wir berechnen \(\sqrt[3]{73067}\). Analog zum quadratischen Wurzelziehen wird der Radikand vom (mitunter unsichtbaren) Komma aus nach rechts und links in Dreierblöcke abgeteilt. Verallgemeinernd kann man sagen, dass die Radikanden n-ter Wurzeln in n-Blöcke geteilt werden müssen. \(\sqrt[3]{73'067}\) Der Block ganz links (bei uns 73) dient zur Ermittlung der ersten Ziffer der Wurzel. Es muss die größtmögliche Kubikzahl, die kleiner ist als der fragliche Zahlenblock gefunden werden (bei uns 64), diese wird mit einem Minuszeichen versehen unter den Anfangsblock für die spätere Subtraktion geschrieben, rechts neben die Wurzel kommt ein Gleichheitszeichen und die Kubikwurzel aus dieser Kubikzahl. Nach der Subtraktion wird der nächste Dreierblock (bei uns 067) herunter geholt und die letzten beiden Ziffern vorerst abgetrennt. Es verbleibt eine Zahl (bei uns 90), die der Abschätzung der nächsten Ergebnisziffer dient. \(\begin{array}{l} \sqrt[3]{73'067} = \color{red}{4} \\ \hspace{0.05cm}\underline{\color{red}{-64}} \\ \hspace{0.5cm} \color{red}{90|67} \end{array}\) Soweit erstmal alles wie gehabt. Die Ermittlung der nächsten Ergebnisziffer erfolgt in einer mehrstufigen Nebenrechnung. Die erste Stufe ist die Berechnung von \(3a^2\). Auch wenn dies, zumindest anfänglich, im Kopf berechenbar ist, empfehle ich dennoch von Beginn an folgenden Aufbau der Rechenoperationen: \(\begin{array}{l} \underline{a\cdot 3} \\ \hspace{0.25cm}\underline{3a\cdot a}\color{red}{b} \end{array}\) Dabei ist \(b\) die nächste, noch unbekannte Ergebnisziffer, ihr Platz wird auf diese Weise freigehalten. Wir erhalten \(3a^2=48\), d.h. die erste Abschätzung lautet \(b\approx90:48\approx1\). Je größer diese erste Abschätzung ist, desto mehr muss darauf geachtet werden, dass \(b\) sehr wahrscheinlich um Eins oder Zwei kleiner ist. \(b\) wird nun an die Leerstelle gesetzt und es wird \(3a\cdot ab\), das eigentlich \(3a(a+b)\) bedeutet, berechnet. Da ausserdem für den kubischen Rest noch \(b^2\) addiert werden muss, u.z. an letzter Stelle, kommt dies noch als letzte Additionszeile dazu. Wir nutzen hier also wiederum die Vorteile des Positionssystems. Konkret \(\begin{array}{l} \underline{4\cdot 3} \\ \hspace{0.25cm} \underline{12\cdot 4\color{red}{1}} \\ \hspace{0.75cm}48\\ \hspace{0.9cm}12\\ \underline{\hspace{1.3cm}\color{red}{1}}\\ \hspace{0.75cm}4921 \end{array}\) Diese Zahl kommt nun als Divisor neben den Rest in der Hauptrechnung, das ermittelte \(b\) als nächste Ergebnisziffer nach oben. \(\begin{array}{l} \sqrt[3]{73'067} = 4 \color{red}{1}\\ \hspace{0.05cm}\underline{-64} \\ \hspace{0.5cm} 90|67 \color{red}{: 4921} \end{array}\) Jetzt wird wieder die Differenz gebildet, der nächste Dreierblock herunter geholt (gibt es keinen, dann drei Nullen), die letzten beiden Ziffern abgetrennt, ggf. das Komma gesetzt (wie jetzt bei uns), und erneut die nächste Ergebnisziffer ermittelt. Zunächst also in der Hauptrechnung \(\begin{array}{l} \sqrt[3]{73'067} = 41\color{red}{,} \\ \hspace{0.05cm}\underline{-64} \\ \hspace{0.5cm} 90|67 : 4921 \\ \hspace{0.25cm} \underline{-4921} \\ \hspace{0.55cm} \color{red}{41460|00} \end{array}\) Die Nebenrechnung sieht zunächst wie folgt aus: \(\begin{array}{l} \underline{41\cdot 3} \\ \hspace{0.25cm} \underline{123 \cdot 41} \\ \hspace{0.7cm} 492 \\ \underline{\hspace{0.85cm} 123} \\ \hspace{0.7cm} 5043 \end{array}\) Die Abschätzung der nächsten Ergebnisziffer \(b\) erfolgt über die Rechnung \(41460:5043\approx 8\). Mit dieser wird die Nebenrechnung wie gehabt zu Ende geführt. \(\begin{array}{l} \underline{41\cdot 3} \\ \hspace{0.25cm} \underline{123 \cdot 41} \color{red}{8}\\ \hspace{0.7cm} 492 \\ \underline{\hspace{0.85cm} 123} \\ \hspace{0.7cm} 5043\\ \hspace{1.05cm} \color{red}{984} \hspace{0.65cm} (=123\cdot8) \\ \underline{\hspace{1.4cm} \color{red}{64}} \hspace{0.5cm} (=8^2) \\ \hspace{0.7cm} 514204 \end{array}\) Mit diesen Ergebnissen (also \(b=8\) und 514204) wird jetzt die Hauptrechnung weiter geführt, also der kubische Rest aus diesen beiden Werten durch Multiplikation ermittelt. \(\begin{array}{l} \sqrt[3]{73'067} = 41,\color{red}{8} \\ \hspace{0.05cm}\underline{-64} \\ \hspace{0.5cm} 90|67 : 4921 \\ \hspace{0.25cm} \underline{-4921} \\ \hspace{0.55cm} 41460|00 : \color{red}{514204}\\ \hspace{0.3cm} \underline{-\color{red}{4113632}}\\ \hspace{0.95cm} 323680|00 \end{array}\) Diese Rechnung kann nun immer weiter fortgeführt werden bis zur gewünschten Genauigkeit.

Schluss

Ich hoffe, dass die Erklärungen zum schriftlichen Wurzelziehen ausreichend verständlich waren und nachvollziehbar sind. Diese Verfahren habe ich im alten Mathehefter meines Vaters gefunden als Stoff der 10. Klasse in Sachsen in den 50er Jahren. Höhere, also n-te Wurzeln wurden darin nur noch abgeschätzt, also durch Einteilung des Radikanden in n-Blöcke. Der erste Block lieferte dann natürlich die erste Ergebnisziffer, die Anzahl der n-Blöcke vor dem Komma die Anzahl der Nullen des Schätzwertes. soweit, wie immer viel Freude trunx (Jens Koch)
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Schriftlich Wurzelziehen (quadratisch und kubisch) [von trunx]  
In der Schule lernen wir in der Regel nur die schriftliche Berechnung der 4 Grundrechenoperationen. Hier in diesem Artikel wird das schriftliche Radizieren beispielhaft für das quadratische bzw. kubische Wurzelziehen erläutert. Grundlage dafür ist wahlweise die erste binomische Formel ((a+b)^2 =a
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"Mathematik: Schriftlich Wurzelziehen (quadratisch und kubisch)" | 4 Comments
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Re: Schriftlich Wurzelziehen (quadratisch und kubisch)
von: Diophant am: Mo. 05. August 2019 11:34:56
\(\begingroup\)Hallo trunx, wow, das ist ein schönes Fundstück. Zunächst mal wieder vielen Dank für den schönen Artikel! 😄 Das Verfahren für Quadratwurzeln hatte ich auch in der Schule (Baden-Württemberg). 10. Klasse dürfte auch hinkommen, dann sollte es das Schuljahr 1981/82 gewesen sein. Das auf Kubikwurzeln anzuwenden, darauf bin ich allerdings noch nie gekommen... Gruß, Diophant\(\endgroup\)
 

Re: Schriftlich Wurzelziehen (quadratisch und kubisch)
von: trunx am: Di. 06. August 2019 16:39:12
\(\begingroup\)hallo diophant, wiederum vielen dank für die wohlwollende aufnahme. es war durchaus ein kleines bisschen arbeit, die aufzeichnungen zu verstehen, aber ich denke auch, dass es sich gelohnt hat. bye trunx\(\endgroup\)
 

Re: Schriftlich Wurzelziehen (quadratisch und kubisch)
von: trunx am: Do. 24. Oktober 2019 12:10:09
\(\begingroup\)man muss sich vielleicht klar machen, dass in den fünfziger jahren des letzten jahrhunderts die achtklassenschule, also die hauptschule, der regelfall war. die meisten berufe hatten diese zur voraussetzung und nach zwei weiteren jahren berufsausbildung war man dann ab dem 16. lebensjahr berufstätig. nur für höhere aufgaben zb. die eines meisters oder eines ingenieurs, aber auch für krankenschwestern war die oberschule also ein 10klassenabschluss erforderlich. meist gab es diesen in kombination mit der entsprechenden berufsausbildung (dann war diese bspw. drei jahre lang), seltener gab es eigenständige oberschulen. diese waren dann wohl oft teil eines gymnasiums, also einer erweiterten oberschule. jedenfalls war der abschluss der 10. klasse etwas besonders und entsprechend waren auch die anforderungen relativ hoch. mit der nivellierung von haupt- und oberschule zur polytechnischen oberschule, die ebenfalls mit der 10. klasse beendet wurde, ging auch ein rückgang der anforderungen einher. diese tendenzen erleben wir erneut als nivellierung von realschulabschluss und abitur; und vielleicht werden die univorbereitungskurse in zukunft auf eine ein- bis zweijährige univorbereitungsstufe ausgedehnt.\(\endgroup\)
 

Re: Schriftlich Wurzelziehen (quadratisch und kubisch)
von: Diophant am: Do. 24. Oktober 2019 12:19:39
\(\begingroup\)Hallo trunx, noch als Zusatz zu deinen obigen Gedanken: man macht sich ja heutzutage auch nicht mehr bewusst, welche 'Revolution' der Taschenrechner in der Schulmathematik (und nicht nur dort) ausgelöst hat. Und es ist ja noch gar nicht so lange her, dass Taschenrechner in der Schule überhaupt zur Verfügung standen (zu Beginn waren sie ja utopisch teuer). Man kann das glaube ich nicht mehr recherchieren, ich meine mich aber einnern zu können, dass in Baden-Württemberg das erste Mathe-Abitur, bei dem der TR als Hilfsmittel zugelassen und vorgesehen war, im Jahr 1979 stattgefunden hat. Vor der Einführung des TR hatten solche Verfahren dann eben auch eine ganz andere praktische Relevanz im Vergleich zu heute. Gruß, Diophant\(\endgroup\)
 

 
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