Mathematik: Die Koch-Schneeflocke
Released by matroid on Sa. 07. September 2019 20:09:14 [Statistics]
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Mathematik

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Die Koch-Schneeflocke

In diesem kurzen Artikel werden die Flächeninhalte der Koch-Kurve und der Koch-Schneeflocke berechnet, ohne Grenzwerte oder unendliche Reihen zu benutzen.




Beschreibung der Koch-Kurve

Die Koch-Kurve entsteht in einer unendlichen Schleife so:

1. Starte mit einer Linie der Länge $s$ (z. B. $s=1$).



2. Ersetze das mittlere Drittel dieser Linie durch zwei Linien, jeweils der Länge $s/3$, sodass mit dem entfernten Drittel ein gleichseitiges Dreieck entstehen würde:



3. Mache nun dasselbe mit den vier kleineren Linien, usw.



Beschreibung der Koch-Schneeflocke

Die Koch-Schneeflocke entsteht aus einem gleichseitigen Dreieck (z. B. der Seitenlänge $1$), indem man ihre Seiten durch die Koch-Kurve ersetzt.



Flächeninhalt der Koch-Kurve

Die Koch-Kurve schließt mit der Ausgangslinie (deren Länge wir als $1$ annehmen) eine Fläche ein, die wir Koch-Fläche nennen.



Wir berechnen ihren Inhalt $A$:

Berechnung 1

Die Koch-Fläche setzt sich zusammen aus einem gleichseitigen Dreieck der Länge $\tfrac{1}{3}$ und vier Exemplaren der um den Faktor $\tfrac{1}{3}$ geschrumpften Koch-Fläche; das ergibt sich direkt aus der Definition der Kurve.



Wir nutzen nun den Fakt, dass sich der Flächeninhalt einer geometrischen Figur, die man um den Faktor $r$ verkleinert, um den Faktor $r^2$ verkleinert (in unserem Fall $r=\tfrac{1}{3}$). Daraus ergibt sich die Gleichung$$A = F + 4 \cdot \frac{1}{9} \cdot A,$$wenn $F$ der Flächeninhalt des Dreiecks ist. Wir lösen nach $A$ auf und erhalten zunächst $9 A = 9 F + 4 A$ und dann$$A = \frac{9}{5} \cdot F = \frac{9}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{1}{3^2} = \frac{\sqrt{3}}{4 \cdot 5}.$$

Eine Beobachtung

Das Ergebnis dieser Berechnung lässt sich auch schreiben als$$5 A = F',$$wobei $F' = \sqrt{3}/4$ der Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks der Länge $1$ ist. Das wirft die Frage auf:

Passt die Koch-Fläche vielleicht genau fünfmal in dieses Dreieck rein?

Das ist zwar leider nicht der Fall, führt uns aber zu einer alternativen Herleitung:

Berechnung 2

Zunächst schreiben wir die Koch-Fläche unten in das Dreieck ein. Dann verkleinern wir die Fläche so, dass wir zwei Kopien davon oben umgekehrt anlegen können und damit genau ein Drittel des Dreiecks ausfüllen. (Dass hierbei wirklich eine Füllung entsteht, muss man streng genommen noch beweisen.) Mit den anderen beiden Dritteln des Dreiecks verfahren wir genauso.



Der Verkleinerungsfaktor ist hierbei gerade die Länge der eingezeichneten Winkelhalbierenden bis zum Mittelpunkt. Elementare Geometrie am Dreieck zeigt, dass diese Länge $\frac{1}{\sqrt{3}}$ ist. Das liefert (erneut)$$F' = 3 \cdot \bigl(A + 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}^2} \cdot A\bigr) = 3A + 2A = 5A.$$

Flächeninhalt der Koch-Schneeflocke

Die Koch-Schneeflocke schließt im Inneren eine Fläche ein, deren Inhalt wir hier berechnen.

Berechnung 1

Die Fläche der Koch-Schneeflocke setzt sich aus drei Koch-Flächen (hier wieder der Ausgangslänge $1$) und einem gleichseitigen Dreieck der Länge $1$ zusammen.



Für ihren Flächeninhalt $A'$ gilt demnach$$A' = 3A + F',$$wobei wir $A$ bereits kennen und $F'=\sqrt{3}/4$ der Flächeninhalt des großen Dreiecks ist. Also ist$$A' = \frac{3 \sqrt{3}}{4 \cdot 5} + \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3 \sqrt{3}}{4 \cdot 5} + \frac{5\sqrt{3}}{4 \cdot 5} = \frac{8 \sqrt{3}}{4 \cdot 5} = \frac{2}{5} \sqrt{3}.$$

Berechnung 2

Wir können die Packung des Dreiecks aus der Berechnung 2 der Koch-Fläche sozusagen umstülpen und erhalten eine Packung eines regelmäßigen $6$-Ecks:



Mit der Flächenformel für das $6$-Eck und dem bereits bekannten Inhalt der Koch-Fläche erhält man also eine weitere Berechnungsmöglichkeit.

Weitere Berechnung?

Es stellt sich die Frage, ob es eine Berechnung von $A'$ gibt, die unabhängig von $A$ ist. Genauer gesagt haben wir ja oben$$5 A' = 8 F'$$festgestellt. Gibt es eine direkte geometrische Herleitung dafür mit einer schönen Pflasterung? Falls ja, muss man dabei die Schneeflocke natürlich aufteilen und vermutlich auch skalieren.

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"Mathematik: Die Koch-Schneeflocke" | 10 Comments
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Re: Die Koch-Schneeflocke
von: Ritter am: Sa. 07. September 2019 21:28:10
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Zu Berechnung 1: wieso  sind es vier  verkleinerte Flächen und nicht drei?

Ergänzung: Danke, matroid. Natürlich. Ich bin irgendwie mit der Schneeflocke durcheinander gekommen.

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Re: Die Koch-Schneeflocke
von: matroid am: Sa. 07. September 2019 23:56:52
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Betrachte unter „Berechnung 1“ das Bild mit dem gelben Dreieck. Die Koch-Fläche sieht man (verkleinert) viermal.

Gruß
Matroid\(\endgroup\)
 

Re: Die Koch-Schneeflocke
von: weird am: So. 08. September 2019 09:35:52
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Sehr erfreulich, nach langer Zeit wieder einmal von unserem "Urgestein" - jetzt nicht nur dem Namen nach! - hier zu hören oder besser zu lesen. Und das gleich mit einem graphisch und auch sonst sehr ansprechenden Artikel aus dem Bereich der Fraktal-Geometrie, wobei ich mir durchaus vorstellen kann, dass der Wunsch die nunmehr möglichen Animationen auszuprobieren der Vater des Gedankens war. Und das Resultat spricht ja auch wirklich für sich!  😉\(\endgroup\)
 

Re: Die Koch-Schneeflocke
von: Diophant am: So. 08. September 2019 10:43:42
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Hallo Triceratops,

sehr schöner Artikel! Den kaufe ich mir dann gleich mal für unsere AG Schulmathematik.

Und eine gute Ergänzung zu diesem schon etwas älteren Artikel.  ;-)


Gruß, Diophant\(\endgroup\)
 

Re: Die Koch-Schneeflocke
von: Ueli am: So. 08. September 2019 13:42:35
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Vielen Dank für den schönen Artikel. Elegant ist auch die Umgehung von Grenzwertberechnungen.\(\endgroup\)
 

Re: Die Koch-Schneeflocke
von: Triceratops am: So. 08. September 2019 22:53:24
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Danke für das Feedback. Unabhängig davon würde ich mich freuen, wenn noch jemand eine Idee zur Frage am Ende des Artikels vorbringen könnte. Vielleicht kann man auf diese Pflasterung geschickt ein Dreieck drauflegen?\(\endgroup\)
 

Re: Die Koch-Schneeflocke
von: trunx am: So. 08. September 2019 23:31:26
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hi triceratops,
ja sicher gibt es eine solche parkettierung. lege dazu die sechsecke so aus, dass sich ihre spitzen berühren und ihre seiten jeweils gleichseitige dreiecke einschliessen. dies ergibt dann wie bei der koch-fläche ein muster nur aus den schneeflocken (unterschiedlicher grösse natürlich).
bye trunx

ps: ich hatte deinen link nicht angeklickt, sprich, mir war nicht klar, dass dir die parkettierung bereits vorliegt. wo ist nun aber das problem, von drei benachbarten sechsecken je die mittelpunkte zu einem gleichseitigen dreieck zu verbinden? dieses enthält eine halbe grosse und eine kleine schneeflocke.\(\endgroup\)
 

Re: Die Koch-Schneeflocke
von: Delastelle am: Mo. 09. September 2019 00:40:02
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Hallo Triceratops!

Eine Detailkritik:
beim Anschauen sind animierte Grafiken sehr schön, falls aber jemand einen Artikel ausdrucken möchte, gibt es weniger Informationen (das Startbild der Animation (?) ).

Viele Grüße
Ronald\(\endgroup\)
 

Re: Die Koch-Schneeflocke
von: xiao_shi_tou_ am: Mo. 09. September 2019 02:12:12
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Hi Triceratops.
Ein sehr schöner Artikel zu einem sehr schönen Thema!\(\endgroup\)
 

Re: Die Koch-Schneeflocke
von: Triceratops am: Mo. 09. September 2019 13:04:57
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@trunx: Stimmt, da habe ich anscheinend den Wald vor lauter Flocken nicht gesehen. Sehr schön!




Das zeigt nach etwas Rechnerei dann $F' = \frac{5}{8} \cdot A'$.

PS: Was ich eigentlich noch nachtragen wollte: auch dass die Koch-Kurve eine unendliche Länge $L$ hat, kann man ohne Reihen beweisen. Diese Zahl $L \in [0,\infty]$ erfüllt nämlich gemäß der Rekursion die Gleichung $L = 4 \cdot \frac{L}{3}$, also ist $L = 0$ oder $L=\infty$. Aber $L=0$ ist ausgeschlossen.\(\endgroup\)
 

 
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