Mathematik: Jenseits der quadratischen Ergänzung
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Mathematik

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Jenseits der quadratischen Ergänzung - Wesentliches über die Mathematik von Parabeln

Elementare Beweise für quadratische Funktionen und Parabeln diesseits und jenseits der Schulmathematik: Geometrie, Algebra, Koeffizientenvergleich, Lösungsmethoden, Vieta jumping, Tangenten, Brennpunkt-Eigenschaft, die Parabel als echter Kegelschnitt, Quadratur des Archimedes und Parabeln mit beliebigen Achsen in der x-y-Ebene. Für jeden, der mehr will als die gewöhnlichen Lehrbücher bieten. Mein 13. matheplanet-Artikel des lapidaren Wissens mit über 20 Sätzen. Zum Jenseits bitte hier klicken. Hier geht es weiter zum



Vorwort

In einem matheplanet-Artikel bewies 2007 der Schüler ramonpeter den Satz von Vieta, indem er die Lösungen der p-q-Formel in den Satz eingebaut hat, weil, wie er schrieb: „Bewiesen wurde es zu meiner Schulzeit nie. Dieser Artikel ist für alle, die es interessiert, wie man darauf kommt, und es noch nicht wissen.“
Im Schulbuch (Lambacher-Schweizer für Gymnasien) habe ich doch die folgende Erläuterung gefunden: Das Produkt
(x – u)∙(x – v)                 wird ausmultipliziert zu
= x² – ux – vx + uv         und dann wird x ausgeklammert
= x² – (u + v)x + uv.
Der Vergleich mit
x² + px + q
zeigt, dass beide Terme für u + v = -p und u∙v = q äquivalent sind.
Damit wird begründet, dass der Term x² + px + q in Linearfaktoren zerlegbar ist, wenn die Gleichung x² + px + q = 0 die Lösungen u und v hat.
Diese Begründung hat den Mangel, dass für den Schüler nicht klar wird, ob das ein Beweis ist oder nur ein didaktisch kluges Argument. Es ist das einzige Mal, dass das Schulbuch die Methode des Koeffizientenvergleichs benutzt, ohne weitere Erklärung.
Zu diesem Thema erschien auf matheplanet 2009 ein weiterer Artikel zur Scheitelbestimmung, der in Wikipedia registriert ist.
Interessant waren die Kommentare zu beiden Artikeln, die einen Bedarf an Information zu dem Thema offenbarten, den ich mir heute nicht mehr vorstellen kann. Ist doch alles mit wenigen Klicks im Internet zu finden oder doch nicht? Da ich außer Bruchstücken keine zusammenhängende Darstellung der elementaren Eigenschaften von quadratischen Funktionen und Parabeln gefunden habe, habe ich selbst die Beweise zusammentragen, nicht der Wahrheit wegen, sondern um die Zusammenhänge zu erkennen.

Recht hilfreich war für mich der Wikipedia-Artikel über Parabeln, der, professionell zusammengesetzt, ein Gewinn für jeden ist, ohne dass klar ist, inwieweit die Leser die Zusammenhänge verstehen.

Die Schule reduziert die Parabel auf zwei Dinge, auf die verschiebbare Form mit dem Scheitelpunkt und die quadratische Ergänzung als Methode, um quadratische Gleichungen zu lösen. Das genügt als Vorstufe für die Kurvendiskussionen ganzrationaler Funktionen in der Oberstufe. Ergänzungen beschränken sich auf biquadratische und einfache Wurzel- oder Bruch-Gleichungen. Alles Weitere verschwindet hinter einer unsichtbaren Wand, die ich beseitigen möchte. Offenbar haben unsere Lehrbücher wesentliche Lücken. Schulbücher sind nur eingeschränkt Lehrbücher, weil sie den Unterricht nicht ersetzen, sondern primär begleiten sollen.
Franz Lemmermeyer: "Die Normalparabel P: y = x² scheint zum Langweiligsten zu gehören, was die Schulmathematik zu bieten hat. Und die wenigen Dinge, die man mit Parabeln macht, sind eher angsteinflößend als aufregend: Man verschiebt sie (die gefürchtete Scheitelform), man berechnet ihre Tangenten (das konnten schon die Griechen, und zwar ganz ohne Ableitung), und man bestimmt die Fläche unter ihrem Schaubild (auch das hat bereits Archimedes hinbekommen)." (Quelle siehe unten S. 183)

Der wuchtige Algorithmus der quadratischen Ergänzung ist für manchen Schüler eine Eskapade und festigt die Vorstellung, dass Mathematik aus irren Rechenverfahren und Algorithmen besteht. Umgekehrt zeigen Algorithmen in der Schule das Mathematikniveau an, obwohl sie vom Menschen wie vom Computer ohne Verständnis ausführbar sind. Man muss nur stur die festgelegten Rechenschritte mit den richtigen Parametern durchführen. Was Parameter und Algorithmen sind, muss man dazu nicht wissen, das Schulbuch erklärt es auch nicht. Die zunehmende Algorithmisierung der Prüfungen und des Unterrichts hat den sprachlichen Diskurs in der Mathematik verdrängt, Schüler können nicht über das Gelernte sprechen, geschweige denn, es dem Nachbarn erklären. Die neue Gegenbewegung, der „sprachsensible Unterricht“, wird nur Erfolg haben, wenn die Schüler mathematische Themen selbst beschreiben können, wenn sie ihren Mitschülern das Gelernte erklären können.
Wer erklären kann, erfährt die Mathematik als etwas Konstruktives, wo alles aus ganz einfachen Regeln entsteht, wo Fehler zu Widersprüchen führen. Ohne diese Erfahrung bleibt die Schulmathematik ein Hort des Büffelns.

Mein Text zeigt, wie einfache Argumente weitreichende Verbindungen schaffen, ganz ohne höhere Oberstufentheorie. Das 8. Kapitel des Textes begründet ebene Drehtransformationen ganz ungewöhnlich ohne Hilfe von Winkeln, basierend auf geometrischen Eigenschaften von Drehungen. Von diesen Eigenschaften ahnen Abiturienten nichts, wenn sie sich in den Rechnungen mit den Drehmatrizen verheddern. Ob Schüler dieser Logik folgen können, ist natürlich fraglich.

Ich hatte das Glück, über quadratische Funktionen Nachhilfe zu geben und zu fragen, welche Entdeckungen die einfachen Mittel des 9. Schuljahres erlauben.
Ich bin kein Schriftsteller. Schreiben ist für mich eine Herausforderung, ein mühsamer Lernprozess, Umständliches immer wieder von Überflüssigem zu säubern. In lapidaren Erklärungen geht der Reiz des Problems im Banalen unter. Am Ende erfreuen mich ausführliche und schnörkellose Argumente. Heutzutage fragt man nicht warum, sondern wozu. Wer will noch Beweise lesen? (Wenn ein Schüler etwas beweisen soll, fragt er, was es da zu rechnen gibt.) Am Ende bleibt für mich die Frage, ob alles richtig und einfach erklärt ist und ob etwas Wichtiges fehlt. Ich freue mich über jede sachliche Kritik, deren Erwartung mein Hauptmotiv für die Publikation ist.

Zum pdf-Artikel geht es hier.

Literatur:
Franz Lemmermeyer, Mathematik à la Carte, Quadratische Gleichungen mit Schnitten von Kegeln, 2016.

Ältere matheplanet-Artikel
1. Die Standardlösungsverfahren für Polynome [von Gockel]
LinkDie Standard-Lösungsverfahren für Polynome
2. Über Parabeln [von Hans-Jürgen]
matheplanet.de/default3.html?article=869
3. Satz von Vieta [von ramonpeter]
LinkSatz von Vieta
4. Zur Scheitelbestimmung bei quadratischen Funktionen [von Hans-im-Pech]
matheplanet.de/default3.html?article=1227
5. Ein schwieriges Problem auf der IMO 1988 [von trunx]
LinkEin schwieriges Problem auf der IMO
Diesem Artikel verdanke den Hinweis auf eine IMO-Aufgabe, die mit dem Vieta jumping lösbar ist. Da hier keine Zahlentheorie gefragt ist, stelle ich es vereinfacht vor.
6. Transformationen ebener Kurven [von Gerhardus]
LinkTransformation ebener Kurven
Der unterschätzte Artikel half mir beim Beweis des letzten Satzes.
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