Mathematik: Der Satz von Ptolemäus über Inversion am Kreis
Released by matroid on So. 06. September 2020 12:44:15 [Statistics]
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Mathematik

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}}\)
Zu den fundamentalen Aussagen in der gesamten Mathematik gehört die Dreieckungleichung aus der Geometrie. Man möge sich also fragen: Gibt es eine "Vierecksungleichung"?

Antwort: Ja. Eigentlich ist es aber auch "nur" die Dreiecksungleichung. Das richtige Analogon der Dreiecksungleichung für Vierecke ist der

Satz von Ptolemäus. Sei $ABCD$ ein Viereck. Es gilt $$ |AB| \cdot |CD| + |BC| \cdot |AD| \geq |AC| \cdot |BD|,$$ und Gleichheit gilt genau dann, wenn $ABCD$ ein Sehnenviereck ist.

Diesen Satz kann man mit verschiedenen Methoden, von einer Winkeljagd, trigonometrischen Rechnungen bis zu Ansätzen mit komplexen Zahlen, beweisen. Einer meiner Lieblingsbeweise verwendet die sogenannte Inversion am Kreis. Wir werden in diesem Artikel die Technik der Kreisinversion behandeln, um den Satz von Ptolemäus zu beweisen. Gleichzeitig werden wir sehen, wieso der Satz von Ptolemäus eigentlich bloß die Dreiecksungleichung ist.




Definition 1 (L.I. Magnus 1831). Sei $k$ ein Kreis mit Mittelpunkt $O$ und Radius $r$. Die Abbildung $$ O \neq A \mapsto A^{*}$$ sodass $O, A, A^{\ast}$ kollinear sind und $|OA| \cdot |OA^{*}| = r^2$ gilt, heißt Inversion am Kreis. Zusätzlich ist $O \mapsto P_{\infty}$ und $P_\infty \mapsto O$.

Bemerkung 2.
a) Der Punkt $P_{\infty}$ ist der Fernpunkt der Ebene. In unserem Setting gibt es genau einen Fernpunkt und alle Geraden gehen durch diesen Fernpunkt $P_{\infty}$. Die Experten werden wiedererkennen, dass wir mit dem $\mathbb{C} \mathbb{P}^1$ bzw. äquivalent mit der Riemann'schen Zahlenkugel $\hat{\mathbb{C}} = \mathbb{C} \cup \{ \infty \}$ arbeiten. Wenn man die Objekte richtig interpretiert, braucht man also keine Fallunterscheidung in der Definition.
b) Wieso heißt die Abbildung "Inversion"? Betrachte in $\mathbb{C}$ (bzw. $\hat{\mathbb{C}}$) den Einheitskreis, also $O = 0, r = 1$ und $A = z$. Inversion am Kreis ist genau die antikonforme Abbildung $z \mapsto \frac{1}{\overline{z}}$. Es korrespondiert also zur komplexen Inversion. Diese Beobachtung motiviert die Kreisinversion: Die Grundrechenarten $+,-,\cdot$ können wir alle geometrisch in der Gauß'schen Ebene veranschaulichen. Es ist eine natürliche Frage, wie die Inversion $(-)^{-1}$ aussieht - und die Antwort ist schließlich die Inversion (bis auf Spiegelung)!
c) Bemerkung b) suggeriert bereits, dass Inversion am Kreis nicht nur in der Elementargeometrie von Interesse ist, sondern auch in der Funktionentheorie. Es führt zur Theorie der Möbiustransformationen.

Konstruktion des Inversionspunktes 3. Sei $k$ ein Kreis mit Mittelpunkt $O$ und $A$ ein Punkt innerhalb des Kreises.
1. Zeichne die Gerade $OA$.
2. Fälle die Senkrechte $\ell$ durch $A$ auf $OA$.
3. Ein Schnittpunkt von $\ell$ mit $k$ sei $S$.
4. Die Tangente zu $k$ an $S$ schneidet $OA$ in $A^*$.
Wenn $A$ außerhalb von $k$ liegt, geht die Konstruktion ähnlich: Wir ziehen zuerst eine Tangente und dann eine Senkrechte.

Beweis. Das ist der Kathetensatz. $\square$

Wir beginnen mit ersten Eigenschaften der Kreisinversion.

Lemma 4. Sei $k$ ein Kreis und $(-)^{\ast}$ die entsprechende Kreisinversion.
a) Die Inversion ist eine Involution, d.h. $A^{**} = A$.
b) Die Fixpunkte sind genau die Punkte auf $k$.
c) Es gilt $\triangle OAB \sim \triangle OB^{*}A^*$.

Beweis.
a) b) Folgt direkt aus der Definition.
c) Nach Konstruktion gilt $\frac{|OA|}{|OB|} = \frac{|OB^*|}{|OA^*|}$ und $\angle AOB = \angle A^* O B^*$. Die Ähnlichkeit folgt also aus dem S:W:S-Ähnlichkeitssatz. $\square$

Nun kommen wir zum wichtigsten Satz der Inversion. Geraden und Kreise sind die wichtigsten Objekte in der Geometrie (tatsächlich sind Geraden bloß Kreise durch $P_{\infty}$ in unserem Setting). Wir untersuchen, wie die Kreisinversion auf diese Objekte wirken.

Satz 5. Sei $k$ ein Kreis mit Mittelpunkt $O$.
a) Geraden durch $O$ werden auf Geraden durch $O$ abgebildet.
b) Geraden nicht durch $O$ werden auf Kreise durch $O$ abgebildet.
c) Kreise durch $O$ werden auf Geraden nicht durch $O$ aufgebildet.
d) Kreise nicht durch $O$ werden auf Kreise nicht durch $O$ abgebildet.

Beweis.
a) Folgt aus der Definition und Lemma 4a).
b) Sei $\ell$ eine Gerade nicht durch $O$ und $A,B,C$ unterschiedliche Punkte auf $\ell$. Es genügt zu zeigen, dass $OA^* B^* C^*$ ein Sehnenviereck ist. Nach Lemma 4c) ist $\triangle OAB \sim \triangle OB^* A^*$ und $\triangle OBC \sim \triangle OC^* B^*$. Also gilt $\angle BAO = \angle OB^* A^*$ und $\angle OCB = \angle C^* B^* O$. Somit folgt $$ \angle C^* B^* A^* = \angle C^* B^* O + \angle OB^* A^* = \angle OCB + \angle BAO = \angle OCA + \angle CAO = 180^{\circ} - \angle AOC = 180^{\circ} - \angle A^* O C^*.$$ Also ist $OA^* C^* B^*$ ein Sehnenviereck.

c) Folgt aus b) und Lemma 4a).
d) Übung. $\square$

Beweis von Ptolemäus. Fixiere einen Kreis $k$ mit Radius $1$ um $A$ und invertiere $B,C,D$ an $k$.
Mit $\triangle ABC \sim \triangle AC^* B^*$ erhalten wir $\frac{|B^* C^*|}{|BC|} = \frac{|AB^*|}{|AC|} \iff |B^* C^*| = \frac{|BC|}{|AB| \cdot |AC|}$. Ähnlich erhalten wir $|C^* D^*| = \frac{|CD|}{|AC| \cdot |AD|}$ und $|B^* D^*| = \frac{|BD|}{|AD| \cdot |AB|}$. Nach der Dreiecksungleichung(!) in $\triangle B^* C^* D^*$ gilt $$|B^* C^*| + |C^* D^*| \geq |B^* D^*|.$$ Einsetzen der obigen Gleichungen und Ausmultiplizieren liefert die äquivalente Ungleichung $$|AD| \cdot |BC| + |AB| \cdot |CD| \geq |AC| \cdot |BD|.$$ Nach Dreiecksungleichung (in $\triangle B^* C^* D^*$) gilt Gleichheit genau dann, wenn $B^*, C^*, D^*$ kollinear sind, also nach Satz 5 genau dann, wenn $ABCD$ ein Sehnenviereck ist! $\square$

Bemerkung 6.
a) Wenn man unkreativ ist und neue Aufgaben erfinden möchte, z.B. für eine Mathematik-Olympiade, kann man so vorgehen: Man nimmt ein triviales Problem und invertiert sie an (möglicherweise mehreren) Kreisen und erhält ein nicht-triviales Problem. Invertieren wir z.B. die Dreiecksungleichung, so erhalten wir den Satz von Ptolemäus!
b) Insbesondere folgt die Message dieses Artikels aus unserem Beweis: Der Satz von Ptolemäus ist nicht anderes als die Dreiecksungleichung (nach einer geeigneten Inversion)!
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"Mathematik: Der Satz von Ptolemäus über Inversion am Kreis" | 4 Comments
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Re: Der Satz von Ptolemäus über Inversion am Kreis
von: Diophant am: So. 06. September 2020 19:08:13
\(\begingroup\)
Das ist mal eine schöne Anwendung der Inversion am Kreis. Das kann man durchaus auch mal mit ambitionierten Schülern machen. Vielen Dank dafür!

Gruß, Diophant\(\endgroup\)
 

Re: Der Satz von Ptolemäus über Inversion am Kreis
von: Kezer am: Mo. 07. September 2020 08:54:00
\(\begingroup\)
@Diophant Danke für das Feedback!

Das kann man definitiv mit Schülern machen, vor allem bei fortgeschrittenen Wettbewerbsteilnehmern ist die Kreisinversion sehr beliebt.

In der Schulzeit habe ich bereits einen Artikel über den Satz von Ptolemäus für Wettbewerbskandidaten geschrieben - damals habe ich aber den Beweis über Inversion nur als Übungsaufgabe gegeben.\(\endgroup\)
 

Re: Der Satz von Ptolemäus über Inversion am Kreis
von: Gerhardus am: Do. 10. September 2020 23:36:01
\(\begingroup\)
Schöner Beitrag!
Aus der Beziehung a * a' = konstant für die Strecken a und a' von O zu den Punkten der Inversion folgt, dass ein Dreieck D mit Punkt O zum Dreieck mit Punkt O und 2 invertierten Punkten von D gegensinnig ähnlich ist. Die Winkel bei Punkt B sind gleich den Winkeln bei A' bzw. C', also in der Summe 180 grad. Der Rest ist Strahlensatz.\(\endgroup\)
 

Re: Der Satz von Ptolemäus über Inversion am Kreis
von: easymathematics am: Do. 07. Januar 2021 00:23:26
\(\begingroup\)
Ich finde die Einleitung des Artikels zeigt das Vorgehen eines Mathematikers wunderbar.

Wer, ausgenommen Mathematiker, fragt nach einer Vierecksungleichung?

Sehr sehr schön gemacht.\(\endgroup\)
 

 
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