Mathematik: Grundlagen der linearen Algebra über F_1
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Mathematik

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Grundlagen der linearen Algebra über $\mathbb{F}_1$

Es gibt verschiedene Definitionen eines "Körpers mit einem Element", notiert mit $\IF_1$. In diesem Artikel stellen wir die wohl einfachste davon vor und betreiben etwas lineare Algebra darüber: Ein $\IF_1$-Vektorraum ist ganz einfach eine punktierte Menge, und $\IF_1$ ist $(\{0,1\},0)$. Lineare Algebra über $\IF_1$ ist also eng mit Kombinatorik verwandt, und viele Konstruktionen aus der gewöhnlichen linearen Algebra lassen sich nun kombinatorisch deuten und vereinfachen. Aber auch umgekehrt: so können wir etwa den Binomialkoeffizienten $\smash{\binom{n}{k}}$ als die Anzahl der $k$-dimensionalen Unterräume eines $n$-dimensionalen $\IF_1$-Vektorraumes definieren, womit wir eine Brücke zur kombinatorischen Definition der $q$-Binomialkoeffizienten schlagen, über die ich kürzlich hier geschrieben habe.



Einführung

Definition von $\IF_1$-Vektorräumen

Anstatt direkt zu sagen, was der "Körper" $\IF_1$ ist, legen wir zunächst fest, was ein $\IF_1$-Vektorraum ist.

Ein $\IF_1$-Vektorraum (oder auch $\IF_1$-Modul) ist definiert als eine punktierte Menge $V=(X,0)$, also eine Menge $X$ zusammen mit einem Element $0 \in X$, Nullvektor genannt. Wir schreiben $X = |V|$ für die zugrunde liegende Menge. Eine $\IF_1$-lineare Abbildung zwischen $\IF_1$-Vektorräumen $f : V \to W$ ist eine Abbildung $f : |V| \to |W|$ mit $f(0)=0$. Wir erhalten damit eine Kategorie von $\IF_1$-Vektorräumen $\mathsf{Vect}_{\IF_1}$. Eigentlich handelt es sich also einfach um die Kategorie $\mathsf{Set}_*$ der punktierten Mengen, nur dass wir sie anders interpretieren.

Der triviale $\IF_1$-Vektorraum $0$ sei $(\{0\},0)$. Das nächst einfache Beispiel eines $\IF_1$-Vektorraumes ist

$\IF_1 := (\{0,1\},0).$

Wir können uns $\IF_1$ hier also als "$\IF_2$ ohne Addition" vorstellen. Auch unsere $\IF_1$-Vektorräume haben keine Addition. Aber zumindest haben wir für jeden $\IF_1$-Vektorraum $V$ eine Skalarmultiplikation $|\IF_1| \times |V| \to |V|$, definiert durch $0 \cdot x := 0$ und $1 \cdot x : =x$. Das rechtfertigt etwas den Begriff.

$\IF_1$-Unterräume

Die $\IF_1$-Unterräume von $V$ haben die Form $(T,0)$ für eine Teilmenge $T \subseteq |V|$ mit $0 \in T$. Beliebige Durchschnitte von $\IF_1$-Unterräumen sind ebenfalls $\IF_1$-Unterräume. Die Summe $\sum_{i \in I} V_i$ einer Familie von Unterräumen $(U_i)_{i \in I}$ von $V$ sei der kleinste Unterraum von $V$, der die $U_i$ umfasst. Für $I=\emptyset$ ist dies der triviale Unterraum, und für $I \neq \emptyset$ ist es einfach $(\bigcup_{i \in I} |U_i|,0)$. Wir müssen bzw. können hier also keine echten Summen bilden wie bei Vektorräumen über gewöhnlichen Körpern.

Ein kommutativer Ring $R$ ist bekanntlich genau dann ein Körper, wenn der $R$-Modul $R$ genau zwei $R$-Untermoduln besitzt. Das ist bei $\IF_1$ ebenfalls der Fall: Offenbar hat $\IF_1$ genau zwei $\IF_1$-Untermoduln, nämlich den trivialen $\IF_1$-Modul und $\IF_1$ selbst. Das legt es nahe, $\IF_1$ als (verallgemeinerten) Körper anzusehen, und entsprechend von $\IF_1$-Vektorräumen zu sprechen, was wir schon getan haben.

Basis und Dimension

Eine Teilmenge $T \subseteq |V|$ nennen wir linear unabhängig, wenn $0 \notin T$ (denn die einzigen $\IF_1$-Linearkombinationen sind von der Form $\lambda \cdot x$ mit $\lambda \in \{0,1\}$). Wir nennen $T \subseteq |V|$ ein Erzeugendensystem, wenn $|V| = T \cup \{0\}$. Der von einer Teilmenge $T \subseteq |V|$ erzeugte $\IF_1$-Unterraum von $V$ ist $(T \cup \{0\},0)$. Eine Basis von $V$ ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. Offenbar hat $V$ genau eine Basis, nämlich $|V| \setminus \{0\}$. Entsprechend definieren wir die Dimension durch

$\dim(V) := \mathrm{card}(|V| \setminus \{0\}).$

Es gilt offenbar

$V \cong W \iff \dim(V)=\dim(W).$

Zum Beispiel gilt $\dim(0) = 0$ und $\dim(\IF_1)=1$. Für $n \in \IN$ ist jeder $n$-dimensionale $\IF_1$-Vektorraum zu $(\{0,1,\dotsc,n\},0)$ isomorph. Wir werden weiter unten sehen, dass es sich dabei zugleich um die direkte Summe $\bigoplus_{i=1}^{n} \IF_1$ handelt.

Ein $n$-dimensionaler $\IF_1$-Vektorraum hat offenbar genau $2^n$ Unterräume.


Konstruktionen mit $\IF_1$-Vektorräumen

Direkte Summen

Für eine Familie von $\IF_1$-Vektorräumen $(V_i)_{i \in I}$ hat ihre direkte Summe $\bigoplus_{i \in I} V_i$ (auch Wedge-Summe genannt) als zugrunde liegende Menge den Quotienten der disjunkten Vereinigung $\{0'\} \sqcup \coprod_{i \in I} |V_i|$ mit $0'$ als Nullvektor, wobei wir die Nullvektoren in den $|V_i|$ allesamt mit dem Nullvektor $0'$ identifizieren. Wir könnten diese Menge alternativ auch als $\{0'\} \sqcup \coprod_{i \in I} |V_i| \setminus \{0\}$ beschreiben. Es handelt sich um das Koprodukt in $\mathsf{Vect}_{\IF_1}$. Das initiale Objekt ist insbesondere der triviale Vektorraum, welches zugleich das finale Objekt ist. Wenn $I$ nicht-leer ist, kommt jeder Vektor in $\bigoplus_{i \in I} |V_i|$ von einem Vektor in einem $|V_i|$. Die Mengenbeschreibung zeigt sofort

$\dim(\bigoplus_{i \in I} V_i) = \sum_{i \in I} \dim(V_i).$

Zum Beispiel gilt $\dim(\bigoplus_{i=1}^{n} \IF_1)=n$ für $n \in \IN$, und die zugrunde liegende Menge ist hier $\{0\}$ zusammen mit $n$ Kopien von $\{1\}$, was wir auch als $\{0,1,\dotsc,n\}$ sehen können.

Wir können auch interne direkte Summen charakterisieren: Wenn $U,U' \subseteq V$ zwei Unterräume sind mit $|U| \cap |U'| = \{0\}$ und $|U| \cup |U'| = |V|$, dann ist $V \cong U \oplus U'$.

Produkte

Für eine Familie von $\IF_1$-Vektorräumen $(V_i)_{i \in I}$ ist ihr Produkt $\prod_{i \in I} V_i$ ganz einfach komponentenweise definiert. Die zugrunde liegende Menge ist $\prod_{i \in I} |V_i|$, der Nullvektor ist $0 := (0)_{i \in I}$. Es handelt sich um das Produkt in $\mathsf{Vect}_{\IF_1}$. Es gilt offenbar

$\dim(\prod_{i \in I} V_i) = \prod_{i \in I} (\dim(V_i)+1) - 1.$

Insbesondere gilt $\dim(V \times W) = \dim(V) \dim(W) + \dim(V) + \dim(W)$. Zum Beispiel gilt $\dim(\IF_1 \times \IF_1) = 3$. Das zeigt bereits, dass $V \times W$ in der Regel nicht zu $V \oplus W$ isomorph ist. Das ist ein wesentlicher Unterschied zu Vektorräumen über gewöhnlichen (additiven) Körpern.

Quotienten

Die Kategorie $\mathsf{Vect}_{\IF_1}$ ist vollständig und kovollständig: Produkte und Koprodukte haben wir bereits beschrieben. Differnzkerne und Differenzkokerne lassen sich wie in $\mathsf{Set}$ bilden. Es gibt außerdem ein Nullobjekt, den trivialen $\IF_1$-Vektorraum. (Das ist der wesentliche Vorteil, punktierte Mengen zu betrachten.)

Insbesondere können wir für jeden Unterraum $U \subseteq V$ den Quotienten $V/U$ definieren als den Kokern der Inklusion $U \to V$. Es gibt also eine Projektion $\pi : V \to V/U$ mit der universellen Eigenschaft: Es gilt $\pi|_U = 0$, und wenn $f : V \to W$ eine $\IF_1$-lineare Abbildung mit $f|_U = 0$ ist, dann gibt es genau eine $\IF_1$-lineare Abbildung $f' : V/U \to W$ mit $f' \circ \pi = f$.

Konkret ist $|V/U| = |V| / {\sim}$, wobei $v \sim v'$ genau dann, wenn $v,v' \in |U|$ oder ($v,v' \notin |U|$ und $v=v'$). Die Elemente von $|U|$ liegen also in genau einer Äquivalenzklasse, und die restlichen Elemente liefern jeweils eine Äquivalenzklasse. Es gibt daher eine Bijektion $|V/U| \cong \{0\} \sqcup (|V| \setminus |U|)$. Sofern $\dim(V)$ endlich ist, gilt also

$\dim(V/U) = \dim(V) - \dim(U).$

Für Unterräume $W \subseteq V$ gilt $\pi^{-1}(\pi(W)) = W \cup U$ wegen unserer Beschreibung der Äquivalenzklassen. Für jeden Unterraum $W' \subseteq V/U$ gilt $W' = \pi(\pi^{-1}(W'))$, einfach weil $\pi$ surjektiv ist, und es gilt $U = \pi^{-1}(0) \subseteq \pi^{-1}(W')$. Daraus folgt der Korrespondenzsatz für Unterräume:

$\{\text{Unterräume } W' \subseteq V/U\} \cong \{\text{Unterräume } W \subseteq V \text{ mit } U \subseteq W\}$

Hierbei ist $W' = \pi(W) = W/U$ bzw. $W = \pi^{-1}(W')$.

Hom-Vektorräume

Für zwei $\IF_1$-Vektorräume $V,W$ versehen wir die Menge $\mathrm{Hom}(V,W)$ der $\IF_1$-linearen Abbildungen $V \to W$ mit der Struktur eines $\IF_1$-Vektorraumes, indem wir die konstante Nullabbildung als Nullvektor erklären. Wir bezeichnen diesen $\IF_1$-Vektorraum mit $\underline{\mathrm{Hom}}(V,W)$. Zum Beispiel gilt $\underline{\mathrm{Hom}}(\IF_1,V) \cong V$. Es gilt

$\mathrm{dim}(\underline{\mathrm{Hom}}(V,W)) = (\dim(W)+1)^{\dim(V)} - 1.$

Die Darstellungsmatrix einer $\IF_1$-linearen Abbildung $f : V \to W$, wobei $(x_1,\dotsc,x_n)$ und $(y_1,\dotsc,y_m)$ geordnete Basen von $V$ und $W$ seien, ist definiert durch $(a_{ij}) \in M_{m \times n}(\IF_1)$, wobei $a_{ij}=1 \iff f(x_i)=y_j$ (und ansonsten $a_{ij}=0$). Für $f : \{0,x_1,x_2,x_3\} \to \{0,y_1,y_2\}$, $f(x_1)=y_2$, $f(x_2)=y_1$, $f(x_3)=0$ erhält man zum Beispiel die Matrix

$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$

Tensorprodukte

Sei $(V_i)_{i \in I}$ eine Familie von $\IF_1$-Vektorräumen. Sei $W$ ein $\IF_1$-Vektorraum. Nennen wir eine Abbildung $\omega : \prod_{i \in I} |V_i| \to |W|$ multilinear, wenn für alle $x \in \prod_{i \in I} |V_i|$ gilt: wenn $x_i=0$ für ein $i \in I$, dann gilt $\omega(x)=0$. Ein Tensorprodukt $T = \bigotimes_{i \in I} V_i$ sei ein $\IF_1$-Vektorraum zusammen mit einer universellen multilinearen Abbildung $\prod_{i \in I} |V_i| \to |T|$, die wir mit $x \mapsto \otimes_{i \in I} x_i$ notieren. Die universelle Eigenschaft besagt genauer: Für jede multilineare Abbildung $\omega$ wie oben gibt es genau eine lineare Abbildung $f : \bigotimes_{i \in I} V_i \to W$ mit $f(\otimes_{i \in I} x_i) = \omega(x)$ für alle $x \in \prod_{i \in I} |V_i|$.

Die Konstruktion des Tensorproduktes ist bei $\IF_1$-Vektorräumen besonders einfach: Wir betrachten zunächst den freien $\IF_1$-Vektorraum auf dem Produkt $P := \prod_{i \in I} |V_i|$, also $\{0'\} \sqcup P$, und definieren $\bigotimes_{i \in I} V_i$ als den Quotienten davon, bei dem wir die Unterräume $\{0'\} \sqcup \{x \in P : x_i=0\}$ für $i \in I$ herausteilen. Die universelle Eigenschaft gilt dann per Konstruktion. Diese Beschreibung zeigt außerdem, dass es eine Bijektion zwischen $|\bigotimes_{i \in I} V_i| \setminus \{0\}$ und $\prod_{i \in I} |V_i| \setminus \{0\}$ gibt. Es folgt

$\dim(\bigotimes_{i \in I} V_i) = \prod_{i \in I} \dim(V_i).$

Das Tensorprodukt verhält sich insofern besser als das kartesische Produkt. In der Sprache der punktierten Mengen, vor allem aber bei punktierten topologischen Räumen, wird das Tensorprodukt hier üblicher Smash-Produkt genannt.

Es gibt natürliche Isomorphismen $\IF_1 \otimes V \cong V$, $V \otimes W \cong W \otimes V$, $U \otimes (V \otimes W) \cong (U \otimes V) \otimes W$. Damit wird $\mathsf{Vect}_{\IF_1}$ zu einer symmetrisch monoidalen Kategorie.

Für $\IF_1$-Vektorräume $U,V,W$ gibt es eine natürliche Bijektion

$\mathrm{Hom}(U \otimes V,W) \cong \mathrm{Mult}(U,V;W) \cong \mathrm{Hom}(U,\underline{\mathrm{Hom}}(V,W)).$

Daraus folgt insbesondere, dass $- \otimes V$ jeweils ein kostetiger Funktor ist (weil er linksadjungiert zu $\underline{\mathrm{Hom}}(V,-)$ ist), insbesondere also direkte Summen und Kokerne erhält.

Dualräume

Der Dualraum $V^* := \underline{\mathrm{Hom}}(V,\IF_1)$ von $V$ hat nicht so gute Eigenschaften wie bei gewöhnlichen Körpern. Seine Dimension ist nämlich $2^{\dim(V)}-1$ gemäß unserer allgemeinen Formel für Hom-Vektorräume, also in der Regel größer als $\dim(V)$. Genauer gesagt gibt es eine Bijektion zwischen $|V^*|$ und der Menge der Unterräume von $V$, wobei man $f : V \to \IF_1$ auf den Unterraum $\ker(f) := \{x \in V : f(x)=0\}$ abbildet. Insbesondere ist die natürliche Einbettung $V \to V^{**}$ in der Regel kein Isomorphismus.

Man kann sich außerdem überlegen, dass der Funktor $- \otimes V$ für $\dim(V) > 1$ keine Produkte erhält, sodass also $V$ nicht dualisierbar im Sinne von monoidalen Kategorien ist. Das ist ein wesentlicher Unterschied (und Nachteil) zu Vektorräumen über gewöhnlichen (additiven) Körpern.

Ein Ersatz für den Dualraum von $V$ ist allerdings manchmal $V$ selbst: dazu kann man nämlich die $\IF_1$-lineare Abbildung

$\Delta : V \otimes V \to \IF_1,\, v \otimes w \mapsto \begin{cases} 1 & v = w \neq 0 \\ 0 & \text{sonst}\end{cases}$

betrachten (die es über gewöhnlichen Körpern natürlich nicht gibt). Für die Basisvektoren $v,w \in |V| \setminus \{0\}$ gilt also $\Delta(v \otimes w) = \delta_{v,w}$. In diesem Sinne können wir $f$ als perfekte Paarung von $V$ mit sich selbst ansehen. So können wir insbesondere für jeden Unterraum $U \subseteq V$ sein orthogonales Komplement

$U^{\perp} := \{v \in V : \forall u \in U.~\Delta(u \otimes v)=0\}$

betrachten, welches explizit gegeben ist durch $|U^{\perp}| = |V \setminus U| \cup \{0\}$, also letztlich durch ein gewöhnliches Komplement im Sinne der Mengenlehre. Daran sehen wir auch $U^{\perp\perp} = U$ sowie, sofern $\dim(V)$ endlich ist,

$\dim(U^{\perp}) = \dim(V) - \dim(U).$


Kommutative Algebra

Der kommutative Ring $\IZ$ ist im folgenden Sinne der "kleinste Ring" in der kommutativen Algebra: Für jeden kommutativen Ring $R$ gibt es einen (eindeutigen) Ringhomomorphismus $\IZ \to R$. Dieser induziert wiederum einen Vergissfunktor $\mathsf{Mod}_R \to \mathsf{Mod}_{\IZ} = \mathsf{Ab}$ (der die Skalarmultiplikation vergisst) und einen dazu linksadjungierten Funktor, die Skalarerweiterung $R \otimes_{\IZ} - : \mathsf{Mod}_{\IZ} \to \mathsf{Mod}_R$, die sogar ein symmetrisch monoidaler Funktor ist.

Verschiedene Fragestellungen aus der algebraischen Geometrie haben zum Wunsch geführt, einen noch kleineren "Ring" zu finden, wofür man dann den Ringbegriff erweitern muss (mehr dazu am Ende). Diese Aufgabe erfüllt $\IF_1$ tatsächlich: es gibt genau einen "Ringhomomorphismus" $\IF_1 \to \IZ$. Wir können das hier konkret sehen anhand eines Vergissfunktors $\mathsf{Ab} = \mathsf{Mod}_{\IZ} \to \mathsf{Mod}_{\IF_1} = \mathsf{Vect}_{\IF_1}$, der einer abelsche Gruppe $A=(|A|,+,0)$ den zugrunde liegenden $\IF_1$-Vektorraum $(|A|,0)$ zuordnet (es wird also die Addition vergessen). Der dazu linksadjungierte Funktor $\IZ \otimes_{\IF_1} -$ lässt sich so beschreiben: Einen $\IF_1$-Vektorraum $(X,0)$ schicken wir auf die freie abelsche Gruppe $\bigl(\bigoplus_{x \in X} \IZ \cdot x \bigr) / \IZ \cdot 0 \cong \bigoplus_{x \in X \setminus \{0\}} \IZ \cdot x$. Dieser Funktor ist auch symmetrisch monoidal.

Die monoidale Struktur von $\mathsf{Vect}_{\IF_1}$ macht es möglich, eine $\IF_1$-Algebra abstrakt zu definieren als ein Monoidobjekt in dieser monoidalen Kategorie. Konkret ist eine $\IF_1$-Algebra ein punktiertes Monid $(X,\cdot,1,0)$, also ein Monoid $(X,\cdot,1)$ zusammen mit einem Element $0 \in X$, sodass $0 \cdot x = 0$ und $x \cdot 0 = 0$ für alle $x \in X$ gilt (denn diese Gleichungen besagen gerade, dass $\cdot$ eine $\IF_1$-lineare Abbildung $(X,0) \otimes (X,0) \to (X,0)$ induziert). Die symmetrisch monoidale Struktur macht es zudem möglich, von kommutativen Monoidobjekten zu sprechen, was hier natürlich einfach kommutative punktierte Monoide sind. Das Einsobjekt trägt immer die Struktur eines kommutatives Monoidobjekts, was in unserem Fall bedeutet, dass $\IF_1$ als kommutative $\IF_1$-Algebra angesehen werden kann. Die Multiplikation ist offensichtlich. Die freie kommutative $\IF_1$-Algebra $\IF_1[T]$ auf einem Erzeuger besteht einfach aus $0,1,T,T^2,\dotsc$.

Man kann im Übrigen die Grundlagen an kommutativer Algebra und algebraischer Geometrie von kommutativen $\IZ$-Algebren (also kommutativen Ringen) auf kommutative $\IF_1$-Algebren übertragen. So besteht etwa das Spektrum $\mathrm{Spec}(A)$ einer kommutativen $\IF_1$-Algebra $A$ aus den Primidealen, also Teilmengen $\mathfrak{p} \subseteq |A|$ mit den Eigenschaften $0 \in \mathfrak{p}$, $1 \notin \mathfrak{p}$, $x \cdot y \in \mathfrak{p} \iff x \in \mathfrak{p} \vee y \in \mathfrak{p}$. Die basis-offenen Mengen $D(f) = \{\mathfrak{p} : f \notin \mathfrak{p}\}$ identifizieren sich mit $\mathrm{Spec}(A[f^{-1}])$, wobei $A[f^{-1}]$ die Lokalisierung nach dem Element $f$ ist mit zugrunde liegender Menge $\{a/f^k : a \in A, k \in \IN\}$. Das Motto ist hier:

Man braucht keine Addition.

Daraus ergibt sich nun die Besonderheit (und Vereinfachung), dass jede nichttriviale kommutative $\IF_1$-Algebra $A$ lokal ist, also genau ein maximales Ideal besitzt, nämlich die Menge der Nichteinheiten. Das Spektrum von $\IF_1[T]$ etwa besteht aus dem Nullideal $\{0\}$ und dem maximalen Ideal $\langle T \rangle = \{T,T^2,\dotsc\}$.


Äußere Potenzen

Seien $V,W$ zwei $\IF_1$-Vektorräume und $k \in \IN$. Wir nennen eine Abbildung $f : |V|^k \to |W|$ alternierend, wenn sie multilinear ist (also $f(x)=0$ wenn $x_i=0$ für ein $i)$, symmetrisch (also $f(x)=f(x^{\sigma})$, wobei $x^{\sigma}$ durch eine Permutation $\sigma$ der Einträge aus $x$ hervorgeht) und die folgende Eigenschaft hat: Wenn in $x \in |V|^k$ zwei Einträge übereinstimmen, gilt $f(x)=0$. Ein $\IF_1$-Vektorraum zusammen mit einer universellen alternierenden Abbildung $|V|^k \to | \Lambda^k V |$, notiert mit $x \mapsto x_1 \wedge \cdots \wedge x_k$, nennen wir $k$-te äußere Potenz von $V$.

Konkret können wir die $k$-te äußere Potenz konstruieren, indem wir aus dem Tensorprodukt $\bigotimes_{i=1}^{k} V$ die Relationen $\bigotimes_{i \in I} x_i=0$ herausteilen, wenn $x_i=x_j$ für ein Paar $i \neq j$, sowie $\bigotimes_{i \in I} x_i = \bigotimes_{i \in I} x_{\sigma(i)}$ für Permutationen $\sigma : I \to I$; wir bilden also geeignete Differenzkokerne.

Soweit haben wir nur die Definition der äußeren Potenz über gewöhnliche Körper imitiert, nur dass wegen einer fehlenden $-1$ im Grundkörper die Antisymmetrie-Gleichung zu einer Symmetrie-Gleichung wird. In unserem Fall gibt es allerdings eine starke Vereinfachung: nämlich induziert $\{x_1,\dotsc,x_k\} \mapsto x_1 \wedge \cdots \wedge x_k$ eine Bijektion zwischen $P_k(|V| \setminus \{0\})$, der Menge der $k$-elementigen Teilmengen von $|V| \setminus \{0\}$, und der Menge $|\Lambda^k(X)| \setminus \{0\}$. Tatsächlich könnte man $\Lambda^k(V)$ auch alternativ über $(\{0'\} \sqcup P_k(|V| \setminus \{0\}),0')$ definieren und die universelle Eigenschaft zeigen. Insbesondere folgt (genau wie in der linearen Algebra über gewöhnlichen Körpern)

$\dim(\Lambda^k(V)) = \binom{\dim(V)}{k}.$

Für $ k > \dim(V)$ ist insbesondere $\Lambda^k(V)=0$. Die Grenzfälle sind $\Lambda^0(V)=\IF_1$, $\Lambda^1(V) = V$, sowie $\Lambda^n(V) = \IF_1$ für $n = \dim(V) < \infty$. Die Gleichheit ist gerechtfertigt zu schreiben, weil es einen eindeutigen Isomorphismus $\Lambda^n(V) \to \IF_1$ gibt, denn $\IF_1$ hat als $\IF_1$-Vektorraum eine triviale Automorphismengruppe. Wenn $|V| = \{0,x_1,\dotsc,x_n\}$, wird $\Lambda^n(V)$ erzeugt von $x_1 \wedge \cdots \wedge x_n$.

Mit äußeren Potenzen können wir insbesondere Determinanten definieren, die hier allerdings weniger spannend ausfallen: Für eine $\IF_1$-lineare Abbildung $f : V \to V$, wobei $n = \dim(V) < \infty$, erhalten wir mit der universellen Eigenschaft eine $\IF_1$-lineare Abbildung $\Lambda^n(f) : \Lambda^n(V) \to \Lambda^n(V) $, nämlich $x_1 \wedge \cdots \wedge x_n \mapsto f(x_1) \wedge \cdots \wedge f(x_n)$. Wegen $\Lambda^n(V)=\IF_1$ hat sie die Form $w \mapsto \det(f) \cdot w$ für genau ein $\det(f) \in |\IF_1| = \{0,1\}$. Es ist ganz einfach

$\det(f) = \begin{cases} 1 & f \text{ bijektiv} \\ 0 & \text{ sonst.}\end{cases}$

Die natürlichen $\IF_1$-linearen Abbildungen $\Lambda^p(V) \otimes \Lambda^q(V) \to \Lambda^{p+q}(V)$ und die Identifikation $\IF_1 = \Lambda^0(V)$ versehen $\Lambda(V) := \bigoplus_{p \geq 0} \Lambda^p(V)$ mit der Struktur einer kommutativen $\IF_1$-Algebra (also eines punktierten kommutativen Monoids), der äußeren Algebra von $V$. Konkret identifiziert sich $|\Lambda(V)| \setminus \{0\}$ mit der Menge aller endlichen Teilmengen von $|V| \setminus \{0\}$, und die Verknüpfung ist

$S \cdot T := \begin{cases} S \cup T & S,T \text{ sind disjunkt} \\ 0 & \text{sonst.}\end{cases}$


Binomialkoeffizienten

Wenn $q \geq 1$ eine Primzahlpotenz ist, wobei wir den Fall der Potenz $q=1$ nun explizit mit einschließen, definieren wir $\smash{\binom{n}{k}_q}$ als die Anzahl der $k$-dimensionalen Unterräume eines $n$-dimensionalen $\IF_q$-Vektorraumes. Wenn $q > 1$, handelt es sich also um den $q$-Binomialkoeffizienten, den ich kürzlich hier beschrieben habe. Wenn nun aber $q = 1$, dann ist

$\displaystyle \binom{n}{k}_1 = \binom{n}{k}$

der gewöhnliche Binomialkoeffizient; denn ein $k$-dimensionaler Unterraum eines $n$-dimensionalen $\IF_q$-Vektorraumes $V$ entspricht einer $k$-elementigen Teilmenge von $|V| \setminus \{0\}$, und $|V| \setminus \{0\}$ hat $n$ Elemente.

Wir haben damit $q$-Binomialkoeffizienten und gewöhnliche Binomialkoeffizienten auf ein gemeinsames Fundament gestellt. Die in dem verlinkten Artikel bewiesenen kombinatorischen Gesetze für $q$-Binomialkoeffizienten lassen sich fast genauso für $q=1$, also für $\IF_1$-Vektorräume, beweisen und vereinfachen sich dabei zudem. Wir zeigen das exemplarisch anhand von einigen Gleichungen.

Die Symmetriegleichung

$\displaystyle\binom{n}{k}_q = \binom{n}{n-k}_q$

folgt für $q > 1$ (bzw. $q = 1$) aus der Korrespondenz zwischen $k$-dimensionalen Unterräumen von $V$ und den $n-k$-dimensionalen Unterräumen von $V^*$ (bzw. $V$). Für $q=1$ haben wir das oben im Abschnitt über (fehlende) Dualräume gesehen.

Wir definieren das $q$-Analogon von $n \in \IN$ durch

$\displaystyle [n]_q := \binom{n}{1}_q = 1+q+\cdots+q^{n-1}$.

Die Rekursionsgleichung

$\displaystyle [k]_q \cdot \binom{n}{k}_q = [n]_q \cdot \binom{n-1}{k-1}_q$

beweisen wir gleich allgemeiner in der Form

$\displaystyle \binom{k}{i}_q \cdot \binom{n}{k}_q = \binom{n}{i}_q \cdot \binom{n-i}{k-i}_q.$

Der kombinatorische Beweis, der für alle Primzahlpotenzen $q \geq 1$ funktioniert, geht so: die linke Seite ist die Kardinalität von (wobei $U,W$ hier jeweils Unterräume sind und $V$ ein fester $n$-dimensionaler $\IF_q$-Vektorraum ist)

$\{W \subseteq U \subseteq V,\, \dim(W) = i,\, \dim(U) = k\},$

wogegen die rechte Seite die Kardinalität von

$\{W \subseteq V,\, U' \subseteq V/W,\, \dim(W)=i,\, \dim(U') = k-i\}$

ist. Der Korrespondenzsatz für Unterräume stellt aber gerade eine Bijektion zwischen diesen Mengen her, also man setzt $U' = U/W$.

Der kombinatorische Beweis der Rekursionsgleichung

$\displaystyle \binom{n+1}{k}_q = \binom{n}{k-1}_q + q^k \cdot \binom{n}{k}_q$

aus dem vorigen Artikel vereinfacht sich für $q = 1$ drastisch, weil hier Komplemente von Unterräumen (die ja Komplementen von Teilmengen entsprechen) immer eindeutig sind, sprich man beweist dabei direkt die übliche Rekursionsgleichung

$\displaystyle \binom{n+1}{k} = \binom{n}{k-1} + \binom{n}{k}.$


Verallgemeinerte kommutative Ringe

Unsere Definitionen rund um $\IF_1$ waren zwar an die Definitionen für gewöhnliche Körper bzw. kommutative Ringe angelehnt, aber immer noch ad hoc. Es wäre besser, eine Kategorie zu haben, die sowohl $\IF_1$ als auch alle kommutative Ringe enthält, und die Definitionen dann ganz allgemein hinzuschreiben. Das (und vieles mehr) hat Nikolai Durov in seiner Arbeit New Approach to Arakelov Geometry getan (der nebenbei auch Mitgründer des Telegram-Messengers ist). Was ich in diesem Artikel gemacht habe, ist lediglich die Grundlagen von Durovs Theorie für den Spezialfall $\IF_1$ konkret hinzuschreiben.

Durov definiert einen verallgemeinerten (kommutativen) Ring als eine algebraische (kommutative) Monade auf $\mathsf{Set}$. Dabei heißt eine Monade algebraisch, wenn sie gerichtete Kolimites erhält (und folglich mit einem Funktor auf $\mathsf{FinSet}$ mit Zusatzstrukturen heruntergebrochen werden kann), und sie heißt kommutativ, wenn grob gesagt für alle $n,m \in \IN$ die $n$-stelligen Verknüpfungen mit den $m$-stellgen Verknüpfungen kompatibel sind: hat man eine $n \times m$-Matrix, spielt es keine Rolle, ob man erst die Spalten und dann die Zeilen verrechnet, oder erst die Zeilen und dann die Spalten. Wenn man verallgemeinerte kommutative Ringe so definiert, so bekommt man den Begriff des Moduls gratis, weil er für beliebige Monaden definiert ist.

Jeder kommutative Ring $R$ kann nun als verallgemeinerter kommutativer Ring angesehen werden: man betrachte dazu die Monade $T_R$ auf $\mathsf{Set}$, die zur Adjunktion des freien $R$-Moduls gehört. Konkret ist $T_R(X)$ die Menge der $R$-Linearkombinationen von Elementen aus $X$. Die $ T_R$-Moduln stimmen mit den $R$-Moduln überein. Für kommutative Halbringe $R$ und kommutative Monoide $R$ funktioniert dieselbe Konstruktion.

Dr verallgemeinerte kommutative Ring $\IF_1$ ist nun über die Monade $\IF_1(X) := X \sqcup \{0\}$ definiert, sodass also $\IF_1$-Moduln offensichtlich dasselbe wie punktierte Mengen sind. Der eindeutige Homomorphismus $\IF_1 \hookrightarrow \IZ$ ist definiert über die Inklusionen $X \sqcup \{0\} \to T_{\IZ}(X)$, $x \mapsto x$, $0 \mapsto 0$.

Die meisten der hier vorgestellten Grundlagen über $\IF_1$-Vektorräume gelten genauso für $R$-Moduln für beliebige verallgemeinerte kommutative Ringe $R$. Dieser einfache Spezialfall (zusammen mit den gewöhnlichen kommutativen Ringen) gibt einem einen guten Vorgeschmack auf die Theorie von Durov. Einen Überblick über andere Definitionen von $\IF_1$ bekommt man in der Arbeit Mapping F1-land von Javier López Peña und Oliver Lorscheid.

Danke an tactac fürs Korrekturlesen

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"Mathematik: Grundlagen der linearen Algebra über F_1" | 0 Comments
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