Physik: Zur Gruppengeschwindigkeit von Wasserwellen
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Physik

\(\begingroup\) Einleitung Dieser Artikel ist eine Ergänzung des bei Matroids-Matheplanet am 8.12.20 veröffentlichten Artikels „ Die Gruppengeschwindigkeit von Wasserwellen“ (1) und ein Widerruf des am 13.12.20 auch dort veröffentlichten Artikels „Die Entstehung und Natur von Wasserwellengruppen“(2). Im ersten Artikel ging es um die Frage „Wie ist die Gruppengeschwindigkeit der keilförmigen Wellenschleppe hinter einem Boot oder Schiff zu berechnen bzw. wovon hängt sie wie ab?“ Im Folgenden werden die seither zur Verifizierung der dort hergeleiteten Formeln durchgeführten Messungen und weitere mathematische Beweise vorgestellt. Abb. 1: Satellitenfoto eines Motorbootes auf der Weser bei Ovelgönne, mit Wellenschleppe und eingezeichneten Winkeln α = 7° und β = 13° Hauptteil Es geht um die dortigen Formeln \ v_g=v*sin\alpha\label(4.I) und v_p=v*sin\beta\label(6.I) , woraus durch Division folgt v_g/v_p=(sin\alpha)/(sin\beta)\label(7.I) Dabei bedeutet v die Schiffs- bzw. Erregergeschwindigkeit, \v_g die Gruppengeschwindigkeit, \v_p die „Phasengeschwindigkeit“, \alpha den Winkel zwischen Fahrtrichtung (grün, s. Abb. 1) und Wellengruppe (gelb) und β den Winkel zwischen Phasenwellen-Kammlinie (sandfarben) und Fahrtrichtung. Dafür gibt es folgende einfachere Beweise als in (1): Die Bewegung einer Wellenschleppe mit der Geschwindigkeit v gleicht der Verschiebung eines Dreiecks in Richtung seiner Winkelhalbierenden. Darum handelt es sich um ein mathematisches, einfaches trigonometrisches Problem, nicht um ein physikalisches. Folgendes Dreieck werde in der Zeit t um die Strecke s_v verschoben:

Abb. 2: Verschiebung eines gleichschenkligen Dreiecks Dann verschiebt sich die schräge untere Dreiecksseite orthogonal zu ihrer Ausbreitungsrichtung um eine Strecke s_g . Im rechtwinkligen Dreieck mit den Seiten s_g und s_v gilt dann \ sin\alpha=s_g/s_v , also s_g=s_v*sin\alpha . Dividiert durch die Verschiebungszeit t folgt: v_g=v*sin\alpha\label(4.I) Die Phasenwellen ruhen im Bezugssystem der Wellenschleppe. Der eingezeichnete Phasenwellenkamm verschiebt sich mit der Geschwindigkeit v der ganzen Wellenschleppe, d.h. des Dreiecks, ebenfalls um die Strecke s_v nach rechts. Orthogonal zu ihrem Wellenkamm verschiebt sich die Phasenwelle (bzw. die Gerade, auf welcher sie liegt,) dabei um die Strecke s_p . Im rechtwinkligen Dreieck mit den Seiten s_p und s_v gilt dann \ sin\beta=s_p/s_v und mit s_v=v*t also sin\beta=s_p/(v*t)=1/v * s_p/t=1/v *v_p mit der Phasengeschwindigkeit v_p . Daraus folgt: v_p=v*sin\beta \label(6.I) Durch Division folgt daraus: v_g/v_p =sin\alpha/sind\beta \label(7.I) In der Literatur findet man die Näherungsformel v_g=1/2 c mit der Phasengeschwindigkeit c.
\ Bei Wellenschleppen gilt mit Gl. 7: v_g=sin\alpha/sin\beta *v_p , kurz v_g=f*v_p mit einem Faktor f bzw. f(\alpha), der aus Satellitenfotos (s. Anhang und Abb. 4) zu f=0,54 bestimmt werden konnte. Also gilt näherungsweise: v_g=0,54 v_p .\label(1) Dazu ist Folgendes anzumerken: Die allgemein bei diesen Kelvinwellen so genannte „Phasengeschwindigkeit“ v_p entspricht nicht der Definition der echten Phasengeschwindigkeit c, weil kein unendlich langer Wellenzug, sondern im Gegenteil ein ganz kurzer vorliegt. Außerdem haben die „Phasenwellen“ eine andere Ausbreitungsrichtung als die Wellengruppe. Mit v_p wird hier die Ausbreitungsgeschwindigkeit derjenigen Wellen gemeint, aus denen sich die Wellengruppe zusammensetzt, der „Phasenwellen“, und zwar in Richtung ihrer Wellenstrahlen, orthogonal zu ihren Kammlinien. Da sie aus der sich kreisförmig ausbreitenden Bugwelle entstehen und da die Bugwelle ein Wellenpaket aus unendlich vielen Sinuswellen unterschiedlicher Wellenlängen mit jeweils eigenen Phasengeschwindigkeiten c ist, ist die „Phasengeschwindigkeit“ v_p der Mittelwert dieser sehr vielen Phasengeschwindigkeiten c. Denn für Schwerewellen in Wasser ausreichender Tiefe gilt für die Phasengeschwindigkeit einer harmonischen Welle die Formel c=sqrt(g/(2\pi) *\lambda) (3). Die längeren Teilwellen sind also schneller als die kürzeren. Sie schieben sich bei der Durchquerung der Wellengruppe nach vorne. Ein Wellenberg in der „Phasenwelle“ beschleunigt dementsprechend auf seinem Weg nach außen. Etwa in der Mitte der Wellengruppe hat er die mittlere Geschwindigkeit v_p . Sie ist außerdem der Mittelwert der „Phasengeschwindigkeiten“ der Bugwellen, welche dicht neben ihrem Ursprungsort entstehen und mit der betrachteten Bugwelle konstruktiv interferieren. Wie in Abb. 1 wurden in 34 Satellitenfotos und andere Fotos von Wellenschleppen (s. Anhang) die Winkel α und β eingezeichnet und ausgemessen. (In Kanälen und großen Häfen kann man bei Google Maps eine ganze Reihe solcher Aufnahmen finden.) Da sich der Winkel β in charakteristischer Weise zusammen mit α verändert, also von α abhängt, ist im Diagramm in Abb. 3 β über α aufgetragen, um die Funktion β(α) empirisch zu ermitteln. (Ihre analytische Herleitung erscheint nicht möglich.) Damit kann der Faktor f genauer, nämlich als Funktion von α dargestellt werden. Dadurch wiederum sind Aussagen über die auch beobachteten Winkel α > 19,47° möglich.
Abb. 3: Darstellung des Zusammenhanges der Winkel β und α Näherungsweise gilt: \beta=2\alpha\label(2) . Im folgenden Diagramm ist f=sin⁡α/sin⁡β über α aufgetragen (blaue Punkte).
Abb. 4: Darstellung von f=sin⁡α/sin⁡β über α ; Mittelwert 0,542 (grüne Gerade) ; Streuung 0,053 ; Die Messungen sind ziemlich ungenau. Einsetzen von β=2α ergibt f(\alpha)=sin\alpha/sin(2\alpha) (blaue Kurve in Abb. 4). Demnach gilt dann: v_g=sin\alpha/sin(2\alpha) *v_p\label(3) . Auf der Suche nach noch größeren Winkeln α stellte sich heraus, dass dann der Winkel β der Kammlinien der „Phasenwellen“ kleiner als der halbe Schleppenwinkel α ist (s. Abb. 5 und 6). Dann gilt f=sin⁡α/sin⁡β > 1 und mit v_g=f*v_p ist dann die Gruppengeschwindigkeit größer als die „Phasengeschwindigkeit“, was anomale Dispersion wie bei Kapillarwellen bedeutet.
Abb. 5: Modellboot von 85 cm Länge; λ der „Phasenwellen“ ca. 10 cm, also keine Kapillarwellen; Drohnen-Aufnahme; in der Bugschleppe (gelb) ist β < α, in der Heckschleppe (grün) β > α . Bug: α = 29,5° ; β = 17,5°
Abb. 6: Schrägaufnahmen eines Schwimmers unter einem Winkel φ=17° ; die Geschwindigkeit des Schwimmers ist nur etwas größer als die mittlere Phasengeschwindigkeit ; α*=(25°+23°):2=24° ; β*=15° ; α=57° ; β=42,5° Für Schrägaufnahmen unter einem Winkel φ gegenüber der Waagerechten gelten für die Umrechnung eines gemessenen Winkels α* in den in der waagerechten Ebene befindlichen Winkel α die Formeln (Beweise s. Anhang): 1. Wellenerreger-Bewegung in der φ-Ebene; der Erreger entfernt sich vom Beobachter oder bewegt sich auf ihn zu: tanα=tanα*∙sinφ (4) 2. Erreger-Bewegung senkrecht zur φ-Ebene; der Erreger bewegt sich quer zur Blickrichtung:tanα=tanα*: sinφ (5)
Wenn ein Boot aus der Ruhe anfährt, tritt bei den entstehenden kreisförmigen Wellen zunächst nur der Doppler-Effekt auf. Wenn die Bootsgeschwindigkeit die mittlere Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen überschreitet, entsteht eine Wellenschleppe mit α zunächst fast 90° und β < α. Bei weiterer Beschleunigung sinken α und auch β bis in einem gewissen Geschwindigkeitsbereich offenbar wie in Abb. 5 sowohl Wellenschleppen mit β < α als auch solche mit β > α auftreten können. Bei noch höheren Geschwindigkeiten kommen dann nur noch letztere vor, die typischen Kelvin-Schleppen. Die bisherigen Versuche zeigen, dass der Wechsel von β < α zu β > α in einem Winkelbereich von 37° > α > 23° erfolgt. In weiteren Versuchen soll dieser Winkelbereich näher untersucht und die Funktionen f(α) und β(α) für den Winkelbereich 23° < α < 90° bestimmt werden. Mit v_g=f*v_p geht es also letztlich darum, wie Gruppengeschwindigkeit und „Phasengeschwindigkeit“ in umfassender Weise zusammenhängen. Schluss Für solche Versuche braucht man ein Boot oder Schiff (bei einem Modellboot kann bezweifelt werden, dass es sich um Schwerewellen und nicht um Kapillarwellen handelt.), am besten eine Drohne für senkrecht von oben aufgenommene Videos für unverzerrte Winkel, geeignetes Wetter, möglichst wenig Wind, passenden Sonnenstand für Schatten oder Reflexionen (damit die Wellen gut sichtbar sind), Zeit und entsprechende Fähigkeiten aller Beteiligten und meist auch ein wenig Geld. Diese Voraussetzungen sind für den Autor nur schwer zu erfüllen; darum bittet er hiermit interessierte Besitzer eines Schiffs, Bootes oder einer Drohne um Hilfe (Angebote im Kommentar möglich). Auch ohne Drohne kann man z.B. am Mast eines Segelbootes (das dann nur vom Motor angetrieben wird) zusammen mit einem Winkelmesser (s. Anhang Abb. 31) ein Mobiltelefon zur Aufnahme von Videos anbringen und die Winkel mit obigen Formeln umrechnen. Das hat sogar den Vorteil, im Ruhesystem der Wellenschleppe zu filmen, wobei die charakteristische Ortsfestigkeit der „Phasenwellen“ sichtbar wird. Dieser Nachweis fehlt noch für Wellen mit β < α . Wie in der Einleitung angekündigt, muss der Artikel „Die Entstehung und Natur von Wasserwellengruppen“ als Resultat der durchgeführten Messungen widerrufen werden. Das dort beschriebene Verfahren zur Konstruktion der „Phasenwellen“ führt nämlich zu einem anderen Ergebnis als es beobachtet wird, s. Abb. 7.
Abb. 7: Aus „Die Entstehung und Natur von Wasserwellengruppen“, dort Abb. 9, Satelliten-Aufnahmen aus Google Maps; Beschreibung der Konstruktion s. Anhang
Quellen (1) Die Gruppengeschwindigkeit von Wasserwellen, URL matheplanet.de/default3.html?article=1914 (2) Die Entstehung und Natur von Wasserwellengruppen, URL matheplanet.de/default3.html?article=1915 (3) itp.tugraz.at/LV/ewald/AM/am9.pdf auf S. 185 bis 190 (4) *** Phasen und Gruppengeschwindigkeit von Wellen - Bing video ; bei YouTube: Phasen- und Gruppengeschwindigkeit von Wellen, Stephan Mueller (ab Minute 3:50) Anhang Einige beispielhafte Fotos von Wellenschleppen mit eingezeichneten Winkeln der zu Abb. 2 und 3 gehörigen Messpunkte (ohne fortlaufende Nummerierung):

Wellenschleppe eines Kajaks, von einer Brücke aus aufgenommen; α = 19,5° ; β = 38°

Berechnung von Winkeln in Schrägansicht 1. Wellenerreger-Bewegung in der φ-Ebene, nach rechts; der Erreger entfernt sich vom Beobachter:

2. Erreger-Bewegung in der φ-Ebene, nach links; der Erreger kommt auf den Beobachter zu: Ein gleichseitiges Dreieck wird wie in Abb. 1 betrachtet, aber die Spitze liegt links, die Grundseite rechts. An die Stelle von Abb. 2 tritt die folgende Abb. 3:
Abb. 3: Ansicht aus der φ-Ebene, senkrecht von oben (blau) und schräg unter dem Winkel φ von vorne (violett, Größen mit *) Es gilt dasselbe wie im vorigen Abschnitt: Abb. 3 entnimmt man: tan\alpha=(g/2)/h=g/(2 h)
3. Erreger-Bewegung senkrecht zur φ-Ebene; der Erreger schwimmt quer zur Blickrichtung:
Abb. 4: Ansicht quer zur Bewegungsrichtung, senkrecht von oben (blau) und schräg unter dem Winkel φ von der Seite (violett, Größen mit *)
Abb. 5: schräge Ansicht orthogonal zur Grundlinie g; die φ-Ebene liegt in der Zeichenebene. Abb. 4 entnimmt man: tan\alpha=(g/2)/h=g/(2 h)
Beschreibung der Konstruktion der „Phasenwellen“ in Abb. 7: Untere Wellengruppe: Gl. 2(II): \lambda_w: \lambda_v=tan^2 \alpha =0,03109≈1:32=0,5 cm:16cm (bei 180 % Vergrößerung, rot dargestellt, orthogonal und parallel zur Fahrtrichtung) ; Die Kammlinie der v-Welle (= Bugwelle, rot) steht senkrecht zur Fahrtrichtung, da gleichzeitig entstanden, die Kammlinie der w-Welle schließt mit der Fahrtrichtung den Winkel α ein, da sukzessive während der Fahrt entstanden (sandfarben). Hätten beide dieselbe Schwingungsdauer, wäre die Interferenzwelle die Diagonale im Parallelogramm (hellblau). Obere Wellengruppe: Gl. 3(II): T_w: T_v=tan\alpha=0,1763 bzw. T_v=T_w: 0,1763=5,67 T_w . Während sich also die v-Welle in der Zeit T_v um eine Wellenlänge, entsprechend 16 cm, fortbewegt, schafft die w-Welle 5,67 Wellenlängen. Dafür braucht sie in der Abbildung die Strecke 16 cm : 5,67 = 2,82 cm ≈ 2,8 cm . Diese Strecke sechs Mal aneinandergesetzt ergibt ein deutlich anderes Bild der Phasenwellen als das Foto. Ergebnis: Diese Hypothese über die Natur von Wasserwellengruppen trifft so nicht zu. Aus diesem Verfahren ist die Formel \beta=arctan(2 tan\alpha) abgeleitet (Gl. 4.II). Sie ist damit ebenso falsch und auch f(\alpha)=sin\alpha/sin(arctan(2 tan\alpha)) ist damit falsch. Dies wird auch durch die Tendenzen in den Fehlerverteilungen von arctan⁡(2 tanα) gegenüber β und sinα/sin⁡(arctan⁡(2 tanα)) gegenüber sinα/sinβ – jeweils in Abhängigkeit von α – bestätigt.
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Zur Gruppengeschwindigkeit von Wasserwellen [von Roland17]  
Einleitung Dieser Artikel ist eine Ergänzung des bei Matroids-Matheplanet am 8.12.20 veröffentlichten Artikels „ Die Gruppengeschwindigkeit von Wasserwellen“ (1) und ein Widerruf des am 13.12.20 auch dort veröffentlichten Artikels „Die Entstehung und Natur von Wasserwellengruppen“(2).
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