Mathematik: Hamilton's Traum - dreidimensionale komplexe Zahlen
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Mathematik

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ggT}{\mathbb{ggT}}\)

Hamilton's Traum - dreidimensionale komplexe Zahlen

Wir definieren "trikomplexe" Zahlen \(t\) der Form \(t = a + ib + jc\) mit reellen \(a,b,c\) und hyperkomplexen Einheiten \(i\) und \(j\) mit gewissen Eigenschaften. Wir diskutieren grundlegende Operationen (Addition/Subtraktion, Multiplikation/Division), Eigenschaften, etwa Kommutativität und Assoziativität. Ferner definieren wir exp(t) für trikomplexe Zalen und stoßen dabei auf natürliche Weise auf drei sog. "Cosexponentiale Funktionen", die in diesem Sinne den Part der zwei trigonometrischen Funktionen sin und cos einnehmen. Lassen sie sich durch elementare Funktionen darstellen? Wie sieht es mit Additionstheoremen aus? Gibt es eine Analogie zum "Satz von Pythagoras"? Dieser Artikel gibt einen kleinen Einblick in den Traum, den Hamilton zu seiner Zeit hatte. Voraussetzung: Grundlagen komplexe Zahlen, Reihendarstellungen exp, sin, cos

Einführung

Wir beginnen natürlich mit einer sauberen Definition und erklären Addition und Multiplikation. Definition 1:(trikomplexe Zahlen, Addition, Multiplikation, neutrale Elemente)
Eine Zahl \(t\) der Form \(t = a + ib + jc, a,b,c \in \mathbb{R}\) mit folgenden Hamilton-Regeln \(i^2 = j, j^2 = i, ij = ji = 1\) heißt trikomplexe Zahl. Die Zahlen \( a,b,c \in \mathbb{R}\) nennen wir Komponenten. Die Menge aller trikomplexen Zahlen bezeichnen wir mit \(T\). Für \(t_1, t_2 \in T\) erklären wir "+" und "*": \(t_1 + t_2 = (a_1 + ib_1 + jc_1) + (a_2 + ib_2 + jc_2) := (a_1 + a_2) + i(b_1 + b_2) + j(c_1 + c_2)\) \(t_1 * t_2 = t_1t_2 = (a_1 + ib_1 + jc_1)(a_2 + ib_2 + jc_2) := (a_1a_2 + b_1c_2 + c_1b_2) + i(a_1b_2 + a_2b_1 + c_1c_2) + j(a_1c_2 + a_2c_1 + b_1b_2)\) Wir definieren: \(0_T := 0 + i0 + j0\) \(1_T := 1 + i0 + j0\) Soweit die Definition. Welche Eigenschaften haben Addition und Multiplikation? Diese fassen wir in folgendem Lemma zusammen. Lemma 1: Addition und Multiplikatioin sind assoziativ und kommutativ. Beweis: Ass. und Komm. von "+" ist offensichtlich. Komm. von "*" folgt aus den Hamilton-Regeln. Ass. von "*" ist leicht nachzurechnen. Das ist auf jeden Fall eine gute Nachricht. Wie schaut es mit den Umkehrungen aus?

Inverse Elemente

Definition 2: (inverses Element) Falls für ein \( t \in T\) ein \( u \in T\) mit der Eigenschaft \(t + u = u + t = 0_T\) existiert, so heißt \( u \) (additives) Inverses und schreiben: \( u:=-t\) Falls für ein \( t \in T\) ein \( v \in T\) mit der Eigenschaft \(tv = vt = 1_T\) existiert, so heißt \( v \) (multiplikatives) Inverses und schreiben: \( v:=t^{-1}\) Lemma 2: (additives Inverses) \( \forall t \in T \exists ! u \in T : t + u = u + t = 0_T\) Solche Beweise laufen klassisch ab und Studienanfänger dürfen sich gerne daran versuchen! Übung 1: Untersuche, für welche \(t \in T\) multiplikative Inverse existieren. Lemma 3: (multiplikative Inverse) \(t = a + ib + ic \in T\) hat ein eindeutiges multiplikatives Inverses \(u \in T\), wenn für die Komponenten gilt: \( a + b + c \neq 0 \) oder \( a^2 + b^2 + c^2 -ab-ac-bc \neq 0\)

Exponential einer trikomplexen Zahl

Es bietet sich natürlich die Reihendarstellung an. Definition: (Exponential) \( exp(t):= \sum_{k=0}^{\infty} {\frac{t^k}{k!}} \) Lemma: Für \(t_1,t_2 \in T\) gilt: \(\exp(t_1+t_2) = \exp(t_1)\exp(t_2)\) Beweis: Ähnlich wie im reellen oder komplexen Fall. Wir sind nun auf der Suche nach Analogien zur Euler-Darstellung. Dazu definieren wir, motiviert durch die Hamilton-Regeln, folgende cosexponentiale Funktionen. Den Hintergrund des Namens klären wir noch. Sie spielen die Rolle von "sin" und "cos". Definition: (Cosexponential-Funktionen) Für \(y \in \mathbb{R}\) definieren wir: \( cx(y):= \sum_{k=0}^{\infty} {\frac{y^{3k}}{(3k)!}} \) \( mx(y):= \sum_{k=0}^{\infty} {\frac{y^{3k+1}}{(3k+1)!}} \) \( px(y):= \sum_{k=0}^{\infty} {\frac{y^{3k+2}}{(3k+2)!}} \)

Die Euler-Formeln

Satz 1: (Euler-Formeln) Seien \(i,j\) die imaginären Einheiten der trikomplexen Zahlen und \(y \in \mathbb{R}\) Dann gelten: \(\exp(iy) = cx(y) + imx(y) + jpx(y)\) \(\exp(jy) = cx(y) + ipx(y) + jmx(y)\) Beweis: Das folgt direkt aus den Hamilton-Regeln und den Definitionen der Cosexponential-Funktionen.

Eigenschaften der Cosexponentialfunktionen

Die Cosexponential-Funktionen nehmen also ähnliche Rollen ein, wie die "klassischen" trigonometrischen Funktionen sin und cos. Es ist daher naheliegend nach Analogien Ausschau zu halten. Mit den Euler-Formeln erhält man direkt: Lemma: (Additionstheoreme) Für \(y,z \in \mathbb{R}\) gilt: \( cx(y+z) = cx(y)cx(z) + mx(y)px(z) + px(y)mx(z) \) \( mx(y+z) = px(y)px(z) + cx(y)mx(z) + mx(y)cx(z) \) \( px(y+z) = mx(y)mx(z) + cx(y)px(z) + px(y)cx(z) \) Denken wir an trigonometrische Identitäten, so fällt uns sofort der Pythagoras ein. Es hängt wohl davon ab, was wir von einem "Pythagoras" erwarten. Ist es die konstante 1 auf der einen Seite? Ist es die Summe der Quadrate? Das überlasse ich Euch. Lemma: (Sätze vom Pythagoras) Für \(y \in \mathbb{R}\) gilt: \( cx^2(y) + mx^2(y) + px^2(y) = \frac{1}{3} e^{2y} + \frac{2}{3} e^{-y} \) \( cx^3(y) + mx^3(y) + px^3(y) - 3cx(y)mx(y)px(y) = 1 \) Ich persönliche tendiere zur zweiten Gleichung. Es gibt natürlich noch weitere Identitäten, aber das soll es hier erstmal gewesen sein. Wir möchten nun die Bezeichnungen "cx", "mx" und "px" klären. Lemma: (elementare Darstellungen) \(cx(y)= \frac{1}{3} e^y + \frac{2}{3} \cos(\frac{\sqrt{3}}{2}y) e^{-\frac{y}{2}} \) \(mx(y)= \frac{1}{3} e^y + \frac{2}{3} \cos(\frac{\sqrt{3}}{2}y - \frac{2\pi}{3}) e^{-\frac{y}{2}} \) \(px(y)= \frac{1}{3} e^y + \frac{2}{3} \cos(\frac{\sqrt{3}}{2}y + \frac{2\pi}{3}) e^{-\frac{y}{2}} \) cx = cosexponential mx = minus cosexponential px = plus cosexponential Man beachte die Verschiebung im cos. Diese drei Funktionen sind spezielle Lösungen der Differentialgleichung \( y''' = y \). Das alles ist freilich nicht von mir und hiermit lade ich herzlich ein, selbst weiter damit herumzuspielen. Folgender Artikel liefert weitere Einblicke, etwa trikomplexe Funktionen, trikomplexe Ableitung, Riemann-Gleichungen, Integral Ich selbst habe als Abiturient damals über dreidimensionale Zahlen nachgedacht und darüber philosophiert, woran Hamilton gescheitert ist. Demnach fand ich es umso genialer auf diesen Artikel gestoßen zu sein und hoffe, dass sich auch andere über diese Einblicke erfreuen. Hier wie angekündigt der Link: Quelle: arxiv.org/abs/math/0008120
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"Mathematik: Hamilton's Traum - dreidimensionale komplexe Zahlen" | 3 Comments
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Re: Hamilton´s Traum - dreidimensionale komplexe Zahlen
von: Delastelle am: Do. 30. Dezember 2021 02:29:47
\(\begingroup\)Hallo easymathematics! Du darfst ruhig eine Rechtschreibprüfung über den Artikel starten. So habe ich das immer gemacht. In der Kurzfassung steht noch "Zalen" - es sind doch eher Zahlen? Oder? Viele Grüße Ronald\(\endgroup\)
 

Re: Hamilton´s Traum - dreidimensionale komplexe Zahlen
von: Diophant am: Do. 30. Dezember 2021 10:27:06
\(\begingroup\)Hi easymathematics, ich finde die Idee gut, ein solches Randthema mit einigen lockeren, sporadischen Gedankengängen versehen, einfach hier mal in Artikelform vorzustellen. In der Fachliteratur findet sich ja der eine oder andere Hinweis auf die Überlegungen Hamiltons, die ja dann letztendlich in der Entdeckung der Quaternionen mündeten. Aber mehr eben meist nicht. Auf jeden Fall ist dein Artikel eine Anregung, einmal selbst über diese Problematik nachzudenken. Vielen Dank dafür! Gruß, Diophant\(\endgroup\)
 

Re: Hamilton´s Traum - dreidimensionale komplexe Zahlen
von: easymathematics am: Do. 30. Dezember 2021 16:26:04
\(\begingroup\)Hallo Roland, ja, da hast Du natürlich recht. Meine Augen spielen mir da oft Streiche... ich werde in Zukunft genauer darauf achten. :) Hallo Diophant, das freut mich. Ich war am Überlegen noch bissi mehr Stoff reinzupacken, aber ich denke, dass hätte den eigentlichen Zweck nicht so ganz erfüllt. Über eine Matrixdarstellung hätte man noch sprechen können. Die geometrische Anschauung ist auch ganz interessant, aber das wäre fast selbst ein Artikel wert. Man kann ja selbst weiter lesen. ;) Es soll von meiner Seite aus bei einem kleinen Einblick bleiben. Man muss ja nicht immer ganze Geschütze auffahren. :D\(\endgroup\)
 

 
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