Physik: Transformationsgleichungen für die kinetische Energie
Released by matroid on So. 03. April 2022 11:13:07 [Statistics]
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Physik

\(\begingroup\) Betrachtet wird hier die klassische, nichtrelativistische kinetische Energie W_k = 1/2 m v^2. Zunächst ein Paradox (1): Abb. 1: Ein Pkw, ein Lkw und ein Güterzugwagen mit Pkw fahren nach rechts, abgebildet zu zwei Zeitpunkten; Draufsicht Ein Pkw mit der Masse m fährt auf einer geraden, ebenen Straße mit der Geschwindigkeit v_1=100 km/h (Abb. 1). Dabei hat er die kinetische Energie W_k1=1/2 m 100^2 [ohne (km/h)² ]. Dann beschleunigt er und fährt mit v_2 = 110 km/h auf den vor ihm mit 100 km/h fahrenden Lastwagen auf, also mit der kinetischen Energie W_k2=1/2 m 110^2 . Die Energiedifferenz \Delta W_k=W_k2 -W_k1 =1/2 m(110^2 -100^2)=1/2 m*2100 verrichtet an den beiden Wagen Verformungsarbeit. Parallel zu Straße verläuft eine Eisenbahnlinie (Abb. 1) und dort fährt gerade ein Güterzug mit ebenfalls v_1=100 km/h neben dem Personenwagen her. Auf einem seiner Wagen, der nur aus einer Plattform mit Wänden an den Enden besteht, steht am hinteren Ende auf gleicher Höhe wie der Pkw auf der Straße ein baugleicher Pkw, der parallel zu ersterem in gleicher Weise beschleunigt. Als er gegen die Wand am Ende der Plattform auf Höhe des Lkw prallt, hat er auch gerade die Geschwindigkeit v_2 = 110 km/h erreicht. Dort verrichtet er mit seiner kinetischen Energie die Verformungsarbeit \Delta W_k=W_k2 -W_k1 =1/2 m(10^2 -0^2)=1/2 m*100 . Warum wird beim Pkw auf der Straße scheinbar 21mal mehr Energie frei, obwohl beide ganz parallel nur um 10 km/h beschleunigt haben? Das ist doch paradox. Zur Auflösung des Paradoxes betrachte man zur Vereinfachung ein einziges Fahrzeug, das seine Geschwindigkeit nur verdoppelt. Es habe im mit der Straße verbundenen Bezugs- bzw. Inertialsystem I zunächst die Geschwindigkeit v_1 . Mit ihm sei dann das Inertialsystem I´ verbunden, welches sich gegenüber I mit v_1 bewegt (Abb. 2).

Abb. 2: Ein Fahrzeug zu zwei Zeiten in zwei Bezugssystemen In I hat das Fahrzeug dann die kinetische Energie W_k1 = 1/2 m v_1 ^2 , in I´ die kinetische Energie W_k1 = 0 , da es momentan in ihm ruht. Nun beschleunigt das Fahrzeug und hat in einem zweiten Zeitpunkt in I die Geschwindigkeit v_2 und die kinetische Energie W_k2 . Zum Widerspruch kommt es, wenn man wie in obigem Beispiel unwillkürlich annimmt, es gelte W_k ´= W_k2 - W_k1 Wenn die Geschwindigkeit verdoppelt wird, also v_2=2 v_1 , gilt in I : \ W_k2 = 1/2 m v_2 ^2 = 1/2 m (2 v_1)^2 = 1/2 m 4 v_1 ^2 = 4 W_k1 Damit gälte W_k ´= 4 W_k1 - W_k1 = 3 W_k1 . Wenn man aber die kinetische Energie in I´ berechnet, ergibt sich mit v´= v_1 : W_k ´=1/2 m v´^2 =1/2 m v_1^2 = W_k1 , also nur ein Drittel des zuvor berechneten Wertes. Dann ist also die kinetische Energie bei gleichen Relativgeschwindigkeiten in beiden Bezugssystemen gleich, wie es klassisch sein soll. Offenbar gilt für die Berechnung der kinetischen Energie beim Wechsel des Bezugssystems eine andere Transformationsgleichung als W_k ´= W_k2 - W_k1 . Anstelle der Energien sind nämlich die Geschwindigkeiten zu subtrahieren: \v´=v_2 - v_1 , also W_k ´=1/2 mv´^2=1/2 m(v_2-v_1)^2=1/2 m(v_2^2-2v_1 v_2+v_1^2) W_k ´=1/2 mv_2^2-m v_2 v_1+1/2 mv_1^2 Die Transformationsgleichung für die klassische kinetische Energie lautet mithin: \ W_k ´=W_k2-m v_2 v_1+W_k1 \label(1) Dabei ist v_1 die Geschwindigkeit des neuen Bezugssystems I´ in I und v_1 und v_2 werden in I gemessen. Für v_2 = 2 v_1 ergibt sich daraus W_k ´= 4 W_k1-m 2v_1 v_1+W_k1=5 W_k1-4 W_k1=W_k1 , was richtig ist, denn die Relativgeschwindigkeiten sind in beiden Systemen gleich. Für das scheinbare Paradox mit v_1=100 , v_2=110 und v´=v_2-v_1=10 folgt: \ W_k ´=1/2 m 110^2-m 110*100+1/2 m 100^2=1/2 m(110^2-2*110*100+100^2 ) W_k ´=1/2 m*100=1/2 m*10^2
Mit der Differenzgeschwindigkeit ergibt sich wie erwartet ebenfalls: \ W_k ´ = 1/2 m v´^2=1/2 m (v_2-v_1)^2=1/2 m 10^2 Man darf also beim Wechsel des Bezugssystems nicht wie eingangs mit der Differenz der kinetischen Energien \ W_k ´=W_k2-W_k1 rechnen; das darf man nur im selben Bezugssystem. Die kinetische Energie eines Körpers hängt sowieso von der Wahl des Bezugssystems ab (s.o. W_k1 ´= 0 ). Das gilt aber wie gezeigt auch für Energiedifferenzen. Das wird noch deutlicher, wenn in ein Inertialsystem mit beliebiger Geschwindigkeit v_0 gewechselt wird, d.h. wenn es nicht notwendig die Geschwindigkeit v_1 hat wie bisher. Ein Körper beschleunige in I von v_1 auf v_2 und ändert seine kinetische Energie dadurch um \Delta W_k=W_k2 -W_k1 . Das Inertialsystem I´ bewege sich parallel dazu mit v_0 (z.B. 0 < v_0 < v_01 \Delta W_k ´=W_k2-m v_2 v_0-W_k1+m v_1 v_0 = W_k2-W_k1-m v_0 (v_2-v_(1)) , also \Delta W_k ´=\Delta W_k - m v_0*\Delta v \label(2) Zwei Beispielrechnungen dazu finden sich im Anhang. Es ist noch anzumerken, dass durch den Wechsel des Bezugssystems weder Energie verschwindet noch aus dem Nichts entsteht. Wegen der Impulserhaltung wird beim Beschleunigen nach vorne die Unterlage nämlich nach hinten beschleunigt. Eine ausführlichere Betrachtung (1) zeigt, dass die Summen der (aus dem Treibstoff) auf die beiden Körper übertragenen Energien in beiden Bezugssystemen gleich sind. In obigem Paradox z.B. wird der Güterzug beim Beschleunigen des Pkw ein wenig abgebremst, und zwar in I´ mit dem 20fachen der vom Pkw gewonnenen kinetischen Energie. Zusammen ist das deren 21fache Energie, so wie bei dem Pkw auf der Straße. Auch die Rotation der Erde wird von letzterem unmerklich verlangsamt; dabei wird aber wie beim elastischen Stoß gegen eine Wand wegen des extrem ungleichen Massenverhältnisses praktisch keine Energie auf die Erde übertragen. Führe dieser Pkw zentral und ungebremst gegen einen Brückenpfeiler, so würde bei 110 km/h wirklich das 21fache der Energie frei wie bei 10 km/h und 21 % mehr Energie als bei 100 km/h. Der entscheidende Unterschied ist, dass das Hindernis dann in I ruht, während es im Paradox voranfährt und nur in I´ ruht. Die Voraussetzungen sind also nicht gleich. Gl. 1 ist ein Sonderfall von Gl. 2 für v_0 =v_1 : \Delta W_k ´=\Delta W_k- m v_0*\Delta v=1/2 m (v_2^2-v_1^2)-m v_1(v_2-v_1) =1/2 m v_2^2-1/2 m v_1^2-m v_1 v_2+m v_1^2=1/2 m v_2^2-m v_1 v_2+1/2 m v_1^2 \Delta W_k ´=W_k2-m v_2 v_1+W_k1 Wenn Δv und damit auch \Delta W_k konstant sind, ist Gl. 2 für die unabhängige Variable v_0 eine linear fallende Funktion (Abb. 3). Der Variablenwert v_0=0 bedeutet, dass I´ sich nicht von I entfernt, dass also für die kinetische Energie kein Systemwechsel stattfindet. Dann gilt \Delta W_k ´(0)=\Delta W_k . Die Nullstelle der Funktion liegt bei v_0=1/2 (v_1+v_2) (Berechnung s. Anhang). Das bedeutet z.B. in obigem Paradox, dass dem Pkw auf dem Güterzugwagen gegenüber dem auf der Straße mit 105 km/h fahrenden Pkw zu Anfang beim Beschleunigen von 100 km/h aus Energie aus seinem Akku zugeführt werden muss, dass ihm also kinetische Energie fehlt und er in diesem Sinne in I´ negative kinetische Energie hat. Ab 105 km/h hat er gegenüber dem Pkw auf der Straße mehr kinetische Energie, die er beim Abbremsen von 110 auf 105 km/h mit einer Wirbelstrombremse theoretisch wieder seinem Akku zuführen könnte, so dass Akku und Fahrzeug weder Energie verloren noch gewonnen haben, also die Energieänderung Null beträgt.
Abb. 3: Abhängigkeit der kinetischen Energie im Bezugssystem I´ von dessen Geschwindigkeit v_0 im Bezugssystem I. Wenn v_0=v_2 gilt, I´ also in obigem Beispiel die Geschwindigkeit 110 km/h hat (I ist mit der Straße verbunden), ein mit 110 km/h auf der Straße fahrender Pkw demnach in I´ ruht und ein zweiter Pkw von v_1=100 km/h aus auf ebenfalls 110 km/h beschleunigt, so dass er auch in I´ ruht, so muss letzterer dafür seinem Brennstoff Energie entnehmen. Ihm fehlt zu Anfang in I´ diese kinetische Energie. Sie ist demnach negativ. Ihr Betrag ist gleich groß, als wäre dabei v_0=v_1 . (s. Abb. 3, gestrichelte Linien; Berechnung s. Anhang). Wenn v_0>v_2 gilt, fehlt dem zweiten Pkw zu Anfang zusätzlich die kinetische Energie, um nach dem Erreichen von v_2 noch auf v_0 zu beschleunigen, sie ist also noch negativer als wenn v_0=v_2 gilt (s. Abb. 3). Negative kinetische Energie ist fehlende kinetische Energie. Wenn man negative Energie wie üblich als von einem Körper abgegebene Energie begreift, so muss man statt des Beschleunigens das entsprechende Abbremsen betrachten. Literatur: (1) K. Matthes: Energie aus dem Nichts? – Vorsicht mit Energiebetrachtungen beim Wechsel des Bezugssystems; Praxis der Naturwissenschaften (Erscheinen 2017 eingestellt), Heft 1, Jahrgang 46 (1997); Aulis Verlag Deubner & Co KG, Köln
Anhang: Beispiel 1: In I sei v_0 gegeben ; v_1=2v_0 ; v_2=4v_0 \Delta W_k=W_k2-W_k1=1/2 m 16v_0^2-1/2 m 4v_0^2=6 m v_0^2 In I´ gilt dann: \Delta W_k ´=6 m v_0^2-m v_0 2v_0=4 m v_0^2 , also ein kleinerer Wert. Beispiel 2: Zur Probe gelte v_0=v_1 ; v_2=2 v_1 \Delta W_k=1/2 m 4v_1^2-1/2 m v_1^2=3/2 m v_1^2=3/2 m v_0^2 \Delta W_k ´=3/2 m v_0^2-m v_0 v_0=1/2 m v_0^2=1/2 m v_1^2 Das ist richtig, denn in I´ hat der Körper die Geschwindigkeit v_1 . Auch ist in I´ die gewonnene kinetische Energie wieder kleiner.
Berechnung der Nullstelle von \Delta W_k ´(v_0) : \Delta W_k- m v_0*\Delta v=0 v_0=(\Delta W_k)/(m*\Delta v)=(1/2 m (v_2^2-v_1^2))/(m (v_2-v_1))=(1/2 m (v_2-v_1)(v_2+v_1))/(m (v_2-v_1)) v_0=1/2 (v_1+v_2) Berechnung von \Delta W_k ´ für v_0=v_2 : Aus Gl. 2 folgt \Delta W_k ´=1/2 m (v_2^2-v_1^2 )-m v_2 (v_2-v_1 ) =1/2 m v_2^2-1/2 m v_1^2-m v_2^2+m v_2 v_1=-1/2 m v_2^2-1/2 m v_1^2+m v_2 v_1 \Delta W_k ´=-W_k2+m v_2 v_1-W_k1 Laut Gl. 1 ist damit \Delta W_k ´ negativ gleich der Energiedifferenz im nach v_0=v_1 transformierten Bezugssystem (s. Abb. 3, gestrichelte Linien), jedenfalls also kleiner Null. Für v_2=2v_0 ergibt sich z.B. \Delta W_k ´=-1/2 m v_1^2=-W_k1 , weil die Geschwindigkeitsänderungen entgegengesetzt gleich sind.
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"Physik: Transformationsgleichungen für die kinetische Energie" | 2 Comments
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Re: Transformationsgleichungen für die kinetische Energie
von: zippy am: So. 03. April 2022 15:11:55
\(\begingroup\)Ich habe den Artikel nur bis zu der Aussage "Das ist doch paradox" gelesen, denn dieses scheinbare Paradoxon beruht lediglich auf einem Fehler bei der Berechnung eines inelastischen Stoßes. Ich sehe keinen Sinn darin, mit einem Fehler zu starten, um diesen eigenen Fehler dann unter Trommelwirbel wieder zu beseitigen. In beiden Fällen (also Stoß des PKW gegen den LKW und Stoß des PKW gegen die Wand der Plattform) wird die Masse des Stoßpartners des PKW als unendlich gegenüber der Masse des PKW angenommen. Diese Idealisierung führt dazu, dass der PKW nach dem Stoß die Geschwindigkeit seines Stoßpartners annimmt (also $100\,\rm km/h$ bzw. $0\,\rm km/h$). Soweit ist alles richtig. Nun wird weiter angenommen, dass der Stoßpartner des PKW keine kinetische Energie aufnimmt, da sich seine Geschwindigkeit ja nicht ändert, und dass sich somit die gesamte Änderung der kinetischen Energie des PKW als Verformungsenergie wiederfindet. Diese Annahme beruht aber auf einem "$0\cdot\infty=0$"-Argument (Geschwindigkeitsänderung $=0$, Masse $=\infty$), das bei genauerem Hinsehen nur im Ruhesystem des Stoßpartners korrekt ist. Folglich wird für den Stoß gegen die Wand der Plattform die Verformungsenergie korrekt berechnet, für den Stoß gegen den LKW aber nicht. Wenn man für den Stoß gegen den LKW die üblichen Formeln für einen inelastischen Stoß heranzieht und dann die Masse des LKW gegen unendlich gehen lässt, erhält man genau die gleiche Verformungsenergie wie für den Stoß gegen die Wand der Plattform. Mit anderen Worten: Ursache des scheinbaren Paradoxons ist lediglich ein zu leichtfertiger Umgang mit der Idealisierung "die Masse des Stoßpartners ist unendlich". --zippy\(\endgroup\)
 

Re: Transformationsgleichungen für die kinetische Energie
von: Roland17 am: Do. 07. April 2022 09:45:28
\(\begingroup\)An zippy von Roland17: In der Tat habe ich einen alten, nicht veröffentlichten Aufsatz zu dem Thema ohne das einführende Paradox. Als ehemaliger Lehrer habe ich dann aber dieses Motivationsbeispiel vorangestellt. Es hat bei Ihnen ja auch gewirkt - nur leider nicht so weit wie gewünscht. Bei künftigen Artikeln werde ich darauf verzichten. Hätten Sie weitergelesen, hätten Sie gesehen, dass auch ich das Massenverhältnis der beteiligten Körper anspreche - bezüglich des Beschleunigungsvorganges, nicht bzgl. der Abbremsung beim unelastischen Stoß wie Sie. Ich habe darauf verzichtet, den Artikel noch länger zu machen, indem ich eine ebenfalls alte Untersuchung der Geschwindigkeiten und kinetische Energien unter Berücksichtigung der Massen der beteiligten Körper anhänge. Für einen Pkw A, der auf einem Güterzug B anfährt, habe ich folgende Gleichungen gefunden (Ansatz: Impulserhaltung), wobei mit ´ die Größen im Bezugssystem des Güterzuges vor der Beschleunigung und mit ´´ die Größen im Bezugssystem des Güterzuges nach der Beschleunigung bezeichnet werden (Indizes nicht tief gestellt): vB2 = vB1 (1 - mA/mB) im Sonderfall vA2´=vB1 (Verdoppelung der Geschw.) und vA2´´=vB1 (1 + mA/mB) und WkA2´´=WkA1 (1 + 2 mA/mB + (mA/mB)²) wobei k für kinetisch steht und 1 und 2 vor bzw. nach der Beschleunigung. Man sieht, dass das Massenverhältnis entscheidend ist, dass trotz gleicher Relativgeschwindigkeit die kinetische Energie in I´´ größer als in I ist, weil der Zug nach hinten beschleunigt wurde. Für mB = Erdmasse sind die Energien aber praktisch gleich, d.h. dann wird auf Körper B (die Erde) praktisch keine Energie übertragen. \(\endgroup\)
 

 
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