Mathematik: Das Pendel (ohne Kleinwinkelnäherung)
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Physik

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Das Pendel (ohne Kleinwinkelnäherung)

SchaukelIch weiß nicht so recht, ob dieser Artikel in meine Reihe "Physikalisches Wissen, das keiner braucht" passt, denn tatsächlich kommt die Frage nach der Lösung der Pendelgleichung regelmäßig auf, wenn man die Historie des Matheplaneten durchblättert. Üblicherweise kommt als Antwort die Kleinwinkelnäherung wie aus der Pistole geschossen: $\sin\varphi\approx\varphi$ für $\varphi\approx 0$ und zack! Lineare Differentialgleichung, deren Lösung der ambitionierte Student im Schlaf aufsagen kann. Dabei gibt es eine exakte Lösung, und die Funktionen, die man dafür braucht, sind a) nicht gerade neu und b) in jeder gutsortierten Funktionenbibliothek vieler Programmiersprachen und erst recht in CAS-Systemen vorhanden. Warum also nicht exakt lösen? Weil es leider doch einen Wermutstropfen gibt. Wie könnte es anders sein... Schauen wir uns den Wermutstropfen und die "Workarounds" etwas genauer an.

$$\DeclareMathOperator{\am}{am}\\\DeclareMathOperator{\dn}{dn}\\\DeclareMathOperator{\K}{K}$$Bei einem ungedämpften Pendel läuft es immer auf die Differentialgleichung $$y''+q^2\sin y=0\tag1$$hinaus. In einer Variante hat ein Körper ein Trägheitsmoment $J$ und eine Masse $m$, deren Schwerpunkt sich im Abstand $l$ von der Drehachse befindet, auf die sich auch das Drehmoment bezieht ("physikalisches Pendel"). Die Differentialgleichung lautet dann $J\ddot\varphi+mgl\sin\varphi=0$. In einer anderen Variante ("mathematisches Pendel") wird die Masse als punktförmig betrachtet, woraus sich mit $J=ml^2$ die Gleichung $l\ddot\varphi+g\sin\varphi=0$ ergibt. Die Herleitung der beiden Varianten unterscheidet sich oft ein wenig, meist wird im letzteren Fall auf ein Trägheitsmoment gar nicht erst eingegangen, aber am Ende ergeben sie doch die gleiche, mit elementaren Funktionen nicht lösbare Differentialgleichung. Warum man das eine "mathematisches" und das andere "physikalisches" Pendel nennt, habe ich noch nie wirklich ergründen können. Ob Mathematiker sich lieber mit Punkten beschäftigen als mit realen Körpern? Wer weiß, jedenfalls würde man diese Gleichungen nun noch durch den Faktor vor $\ddot\varphi$ teilen, und würde eine Gleichung erhalten, die (1) entspricht, wenn man $q^2$ entsprechend definiert. An diversen Stellen, gut versteckt, kann man die exakte Lösung tatsächlich nachlesen, z.B. im Wikipedia-Artikel über das Mathematische Pendel. Eine Herleitung wird dort nicht gezeigt, und im Hinblick auf die maximalkomplizierte Darstellung möchte man sie wohl auch lieber gar nicht sehen. Besser ist in der Beziehung zwar die Digital Library of Mathematical Functions, die allerdings ebenfalls (und als Enzyklopädie zurecht) die Herleitung schuldig bleibt. Wir benötigen hier die Jacobischen elliptischen Funktionen, und davon vorrangig die Jacobi-Amplitude. Diese wird meist abgekürzt mit $\am(x,k)$, wobei $x$ das Funktionsargument und $k$ ein Parameter ist, der meist "Modul" genannt wird. Die Jacobi-Amplitude ist die Umkehrfunktion des unvollständigen elliptischen Integrals erster Art und hat die grandiose Eigenschaft, die Differentialgleichung (1) zu lösen - nur lesen kann man das so gut wie nirgendwo. Die allgemeine Lösung der Gleichung (1) lautet $$y(x)=2\,\am\left(p\,x+c,\frac qp\right)\tag2$$wobei $c$ eine Verschiebungskonstante und $p$ ein beliebiger Faktor ist, quasi auch eine Integrationskonstante. Die beiden Konstanten $c$ und $p$ müssen dann mit Anfangsbedingungen oder anderen bekannten Bedingungen bestimmt werden. Wenden wir uns nun dem konkreten Problem zu. Die Differentialgleichung für die Pendelbewegung ("Pendelgleichung") lautet: $$J\ddot\varphi+mgl\sin\varphi=0\tag3$$Mit (2) lautet die Lösung der Pendelgleichung (3) dementsprechend $$\varphi(t)=2\,\am\left(p\,t,\frac qp\right)\tag4$$wenn wir $$q=\sqrt{\frac{mgl}J}\tag5$$und $c=0$ setzen, um die Pendelbewegung bei $t=0$ aus der Ruhelage zu starten, denn es gilt $\am(0,k)=0$. $q$ ist laut Gleichung (5) eine Konstante, welche auf einfache Weise die physikalischen Eigenschaften des Pendels zusammenfasst. Um $p$ zu bestimmen, leiten wir die Gleichung (4) ab. Wie man dem oben verlinkten Artikel zur Jacobi-Amplitude entnehmen kann, ist die Ableitung darstellbar mithilfe der anderen Jacobischen elliptischen Funktionen, konkret der Funktion $\dn\left(x,k\right)$, auch (un)bekannt unter dem Namen "delta amplitudinis". Es ist dann $$\dot\varphi(t)=2p\dn\left(p\,t,\frac qp\right)\tag6$$Wir können somit $$2p=\omega_0\tag7$$setzen, wobei $\omega_0$ die Winkelgeschwindigkeit des Pendels im Moment des Durchquerens der Ruhelage ist. Damit lauten die Formeln für den Winkel und die Winkelgeschwindigkeit einfach nur $$\varphi(t)=2\,\am\left(\frac{\omega_0}2t, \,\frac{2q}{\omega_0}\right)\tag8$$und $$\dot\varphi(t)=\omega_0\,\dn\left(\frac{\omega_0}2t, \,\frac{2q}{\omega_0}\right)\tag9$$Die Winkelbeschleunigung lässt sich dann einfach mithilfe der Gleichung (3) angeben: $$\ddot\varphi(t)=-q^2\sin\left(2\,\am\left(\frac{\omega_0}2t, \,\frac{2q}{\omega_0}\right)\right)\tag{10}$$Man vergleiche diese schön einfachen Lösungen mit den Formelmonstern im Wikipedia-Artikel. Falls $\omega_0$ nicht bekannt ist, dann ist es in aller Regel leicht über den Energieerhaltungssatz auszurechnen, denn die Gesamtenergie im Pendel aus kinetischer und potentieller Energie ist $$E=\frac12J\omega_0^2=\frac12J\omega^2+mgl(1-\cos\varphi)\tag{11}$$Oder wenn man noch durch $J$ teilt: $$\frac12\omega_0^2=\frac12\omega^2+q^2(1-\cos\varphi)\tag{12}$$ Ist also zu irgendeinem Zeitpunkt ein Zustand angegeben aus Winkel und Winkelgeschwindigkeit, dann ist $\omega_0$ leicht auszurechnen. Zum Beispiel gilt für den Umkehrpunkt ($\varphi$ ist maximal und $\omega=0$): $$\frac12\omega_0^2=q^2(1-\cos\varphi_\max)\tag{13}$$Schauen wir uns nun anhand eines schön bunten Diagramms an, wie sich das ganze grafisch darstellt:
Pendel Winkel über Zeit
Dieses Diagramm zeigt den zeitlichen Verlauf des Ausschlagwinkels, ergo: Gleichung (8). Die kleinen Zahlen an den Kurven geben die Winkelgeschwindigkeit $\omega_0$ an, wobei hier willkürlich $2q=1$ gesetzt wurde. Wenn Startwinkelgeschwindigkeit und Energie klein sind (siehe blaue Kurve, "0.2"), dann ist der Verlauf sehr gut als sinusförmig zu bezeichnen. Auch bei "0.7" ist das noch gut der Fall, aber bei "0.98" wird die Kurve schon "bauchiger". Bei "0.999999" bleibt das Pendel lange senkrecht stehen, bevor es wieder zurückfällt, was sich in der ausgedehnten "Pause" bei $\varphi\approx\pi$ äußert. Natürlich ist es mathematisch auch möglich, dass das Pendel endgültig in einem labilen Gleichgewicht stehenbleibt ("1.00"). Erhöht man die Energie noch weiter, beginnt das Pendel zu rotieren, statt zurückzufallen. In diesem Fall ist $\varphi(t)$ quasi-periodisch, denn es braucht dann immer die gleiche Periodendauer, um einen Winkel von $2\pi$ zu überstreichen. Apropos Periodendauer. Ohne große Herleitung seien nachfolgend noch die Formeln für selbige angegeben. Für den klassischen, oszillierenden Fall gilt: $$T=\frac4q\K\left(\frac{\omega_0}{2q}\right)\tag{14}$$und für den rotierenden Fall: $$T=\frac4{\omega_0}\K\left(\frac{2q}{\omega_0}\right)\tag{15}$$Dabei ist $\K$ das vollständige elliptische Integral erster Art. Aufgetragen über die Amplitude der Winkelgeschwindigkeit sieht es wie folgt aus:
Periodendauer
In der linken Diagrammhälfte geht es um das oszillierende Pendel. Die gestrichelte Linie ergibt sich aus der klassischen Lösung und entspricht der Kleinwinkelnäherung. In der rechten ist die Periodendauer des rotierenden Pendels dargestellt. Hier stellt die gestrichelte Linie dar, was die Periodendauer des Pendels wäre, wenn sich das Pendel in Schwerelosigkeit befände und es mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $\omega_0$ um die Drehachse rotieren würde. Aber Moment, wieso denn eigentlich zwei unterschiedliche Formeln für die Periodendauer, wir haben doch nur eine Gleichung (8)? Hier kommen wir zu dem schon angekündigten Wermutstropfen... Für gewöhnlich wird für die Jacobischen elliptischen Integrale der Modul auf $0\leq k\leq1$ eingeschränkt. Der Grund dafür steckt in den elliptischen Integralen, deren Umkehrfunktion die Jacobi-Amplitude ja ist, und mit einem $k > 1$ verlässt das elliptische Integral die reelle Komfortzone. Einige Funktionsbibliotheken, wie zum Beispiel die wissenschaftliche Funktionsbibliothek "scipy" für Python, beschränken den Argumentebereich tatsächlich auf das reelle Intervall $[0,1]$, obwohl auch Module größer als 1 reelle Funktionswerte ergeben, wie zum Beispiel die Eingabe eines Testwertes bei WolframAlpha (also sozusagen Web-Mathematica) bestätigt. Die elliptischen Integrale und Funktionen sind doppeltperiodisch, was bedeutet, dass sie in der komplexen Ebene zwei linear unabhängige Periodenrichtungen haben. Das genauer zu erörtern würde hier viel zu weit führen, aber je nachdem, ob $k < 1$ oder $k > 1$ ist, ist die erste Periode reell und die zweite komplex, oder andersherum. In der praktischen Anwendung interessiert uns natürlich nur die reelle Periode, und die benötigt dann nun einmal zwei unterschiedliche Formeln. Der Kontext zu der praktischen Anwendung beim Pendel ist, dass $k=1$ bzw. hier speziell $\frac{2q}{\omega_0}=1$ die Grenze darstellt zwischen einem schwingenden und einem rotierenden Pendel. Obige Formeln (8) bis (10) gelten selbst dann, ja sogar besonders dann, wenn das Pendel mit einem so großen Schwung versehen wird, dass es über die senkrechte, der Ruhelage diametral gegenüberliegende Position hinweg rotiert, und nicht nur um die Ruhelage oszilliert. Dies ist auch der Grund, warum im Wikipedia-Artikel zwei Lösungen angegeben werden, wobei die erste für die Oszillation und die zweite, etwas stiefmütterlich behandelte Lösung für das rotierende Pendel gilt. Um mit einem Modul $k>1$ (also kleinen $\omega_0$) umzugehen, muss man die Gleichung (8) bis (10) transformieren, und zwar mithilfe der in der DLMF angegebenen Gleichungen 22.17.2 bis 22.17.4, woraus letztlich die erste Lösung des Wikipedia-Artikels resultiert - irgendwie. Was man anstellen muss, um die Gleichungen noch einmal deutlich mehr zu verkomplizieren als nötig, darf gerne das Geheimnis des Autors bleiben. Wenn man aber den Definitionsbereich der Jacobi-Amplitude auch auf Module $k > 1$ erweitert, stellen die Gleichungen (8) bis (10) eine allgemeine Lösung dar. Die Grafik des zeitlichen Verlaufs habe ich auf diese Art und Weise berechnet, wobei ich allerdings nicht auf eine bestehende Bibliothek zurückgegriffen habe, sondern die Funktionen mithilfe der Jacobischen Thetafunktionen, die problemlos komplexe Argumente verkraften, selbst in Python programmiert habe. Details dazu kann man in diesem Thread nachlesen. WolframAlpha berechnet die Jacobi-Amplitude auch für größere Module korrekt, so dass ich davon ausgehe, dass auch Mathematica das tut. Bei anderen CAS wird das ähnlich sein. Die Python Funktionsbibliothek "mpmath" berechnet die elliptischen Funktionen korrekt für Module größer als 1, stellt aber leider keine Funktion für die Jacobi-Amplitude zur Verfügung. Diese müsste man sich über die Definition mithilfe des "sinus amplitudinis", einer weiteren elliptischen Funktion, programmieren. "scipy" erlaubt keine Module größer als 1. Hier hilft nur eine Transformation und Aufspaltung auf zwei unterschiedliche Lösungen wie im Wikipedia-Artikel. Beschwingte Grüße, Thomas (MontyPythagoras)

Quellen

[1] Weisstein, Eric W. "Jacobi Elliptic Functions." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com/JacobiEllipticFunctions.html [2] NIST Handbook of mathematical functions, Reinhardt, Walker: Chapter 22 Jacobian Elliptic Functions [3] Wikipedia, Mathematisches Pendel
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"Mathematik: Das Pendel (ohne Kleinwinkelnäherung)" | 10 Comments
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Re: Das Pendel (ohne Kleinwinkelnäherung)
von: Delastelle am: So. 16. Oktober 2022 21:34:02
\(\begingroup\)Hallo MontyPythagoras! Dein Eingangsbild (Filmchen) schwingt etwa 11x in einer Minute. (Wissen das man braucht!) Viele Grüße Ronald\(\endgroup\)
 

Re: Das Pendel (ohne Kleinwinkelnäherung)
von: Qing am: Mo. 17. Oktober 2022 09:09:56
\(\begingroup\)Kurzer Kommentar zum Gif. Ich finde das auf der Startseite etwas ablenkend, weil es auch so komisch ruckelt. Ist ja cool, dass man sowas hier einfügen kann, aber ich kriege da gerade dezente Kopfschmerzen, wenn ich auf der Startseite bin (ja wirklich). ich finde es schön, wenn man das Gif etwas tiefer im Artikel integrieren könnte.\(\endgroup\)
 

Re: Das Pendel (ohne Kleinwinkelnäherung)
von: Hans-Juergen am: Mo. 17. Oktober 2022 10:35:35
\(\begingroup\)Hallo Thomas, vielen Dank für den sehr interessanten Artikel mit der Darstellung der mathematischen Schwierigkeiten, die sich bei dem Problemen ergeben. Wie immer beweist Du auch hier großes pädagogisch-didaktisches Geschick, so dass es (mir) ein Vergnügen ist, wieder von Dir zu lesen. Mit herzlichen Gruß Hans-Jürgen \(\endgroup\)
 

Re: Das Pendel (ohne Kleinwinkelnäherung)
von: MontyPythagoras am: Mo. 17. Oktober 2022 10:51:53
\(\begingroup\)Hallo Hans-Jürgen, vielen Dank. Freut mich, dass Dir der Artikel gefällt. @Qing: Die Bildwiederholrate und die Farbauflösung musste ich stark runtersetzen, damit das GIF unter 500kB Dateigröße bleibt. Größere Dateien kann man nicht hochladen. Mir gefällt das GIF an der Stelle, wo es ist, aber Vorschlag zur Güte: Ich werde heute Abend das GIF so abändern, dass es nach einer Handvoll Schleifendurchläufen stoppt. Ciao, Thomas\(\endgroup\)
 

Re: Das Pendel (ohne Kleinwinkelnäherung)
von: Qing am: Mo. 17. Oktober 2022 13:18:59
\(\begingroup\)@MontyPythagoras: Mit dieser Änderung bin ich auch zufrieden. :)\(\endgroup\)
 

Re: Das Pendel (ohne Kleinwinkelnäherung)
von: Dixon am: Mi. 19. Oktober 2022 03:31:00
\(\begingroup\)Hallo MontyPythagoras, mal ganz ehrlich: ein wenig ist es Augenwischerei. Der ganze komplizierte Teil steckt natürlich in den Formeln für am, dn und K. Dafür gibt es fertige numerische Programme, die man nur noch anwenden braucht, aber da dürfte viel Arbeit drin stecken. Grüße Dixon\(\endgroup\)
 

Re: Das Pendel (ohne Kleinwinkelnäherung)
von: MontyPythagoras am: Mi. 19. Oktober 2022 11:07:29
\(\begingroup\)Hallo Dixon, ich weiß nicht, ob ich Dich richtig verstehe. Die Herleitung oben, wenn man sie denn überhaupt so nennen will, ist mehr als einfach. DA ist eine Differentialgleichung, HIER ist die allgemeine Lösung. Das war der Plan. Die Funktionen wie die Jacobi-Amplitude haben zwei Argumente, die man eingeben muss, während ein Sinus halt nur ein Argument hat. Ist das dann schon kompliziert, nur weil es zwei Argumente gibt statt einem? Ein (angehender) Naturwissenschaftler sollte das ja wohl hinbekommen. Das einzige, was man noch tun muss, ist halt den Parameter $p$ zu bestimmen, und dass auch das einfach ist, habe ich versucht aufzuzeigen. Ich wollte nicht mehr und nicht weniger, als in das Bewusstsein zu rücken, dass es eine exakte und dennoch überschaubare Lösung gibt, während oft genug die Frage von Oberstufenschülern oder Studenten, wie man die DGL löst, mit der Kleinwinkelnäherung abgekanzelt wird, was in mir den Eindruck erweckt, dass die Antwortenden sich vielleicht auch nicht immer darüber im Klaren sind, dass es eine exakte Lösung gibt. Ich habe während meines Schreibens des Artikels irgendwo gelesen, dass die Jacobischen elliptischen Funktionen inzwischen "an Bedeutung verlieren". Hää??? Können Funktionen an Bedeutung verlieren? Haben sie eine Halbwertszeit? Die elliptischen Integrale und Funktionen sind meines Erachtens DIE Klasse an Funktionen, die in der Physik und Mechanik allgegenwärtig sind: nichtlineare Biegung (siehe meinen Artikel dazu), Pendel, astronomische Berechnungen, Wärmeausbreitung, die Liste ist endlos. Und dennoch wird in den Studiengängen diesen Funktionen so wenig Beachtung geschenkt, dass sie "an Bedeutung verlieren". Weil man heute einfach einen numerischen DGL-Löser draufhetzt und fertig. Ja, viele ihrer Eigenschaften sind "kompliziert", die effiziente Programmierung ggf. auch, und wer sich in der Tiefe mit diesen Funktionen auseinandersetzt, kann Monate und Jahre damit verbringen. Vielleicht ist der schwierige Teil im Hinblick auf die exakte Lösung, nicht den Überblick zu verlieren. 🙂 Ciao, Thomas\(\endgroup\)
 

Re: Das Pendel (ohne Kleinwinkelnäherung)
von: Dixon am: Fr. 21. Oktober 2022 03:26:28
\(\begingroup\)Hallo MontyPythagoras, es geht mir um den Rechenaufwand, um den Unterschied zwischen einer elementar lösbaren Funktion (händisch ausrechnen) und einer komplizierteren. Die Funktionen am, dn und K eignen sich wunderbar, um Eigenschaften des Pendels bzw. der dahinter steckenden DGL herauszufinden. Man kann, wie von Dir beabsichtigt, zeigen, daß es einen allgemeine Lösung gibt. Im praktischen besteht aber ein Unterschied zwischen einem Pendel in Kleinwinkelnäherung (Kreide auf Schiefertafel) und einem von mir aus 1 m langen Pendel, daß waagerecht losgelassen wird. Grüße Dixon\(\endgroup\)
 

Re: Das Pendel (ohne Kleinwinkelnäherung)
von: MontyPythagoras am: So. 23. Oktober 2022 15:53:56
\(\begingroup\)Hi Dixon, sorry, aber ich verstehe immer noch nicht, worauf Du hinaus willst. Die Kleinwinkelnäherung ist natürlich eine valide Möglichkeit, wesentliche Eigenschaften des Pendels zu berechnen, wie z.B. die Periodendauer, worin sich der Oberstufenstoff meist erschöpft. Das soll gerne auch so bleiben. Für etwas fortgeschrittenere Anwender ist meines Erachtens die Jacobi-Amplitude genauso einfach wie der Sinus. Bei der Kleinwinkelnäherung muss ich genauso wie bei der exakten Lösung eine Anfangsbedingung einsetzen, um die Lösung zu bestimmen, z.B. den Startwinkel, und die Eigenschaften des Pendels bestimmen die Periodendauer. Das ist bei der exakten Lösung mit der Jacobi-Amplitude genauso. Einziger Unterschied: die Anfangsbedingung geht bei der Jacobi-Amplitude auch in die Formel für die Periodendauer mit ein. Ich sehe da praktisch keinen Mehraufwand. Das Problem scheint mir eher die Trägheit des Anwenders zu sein, bekanntes Terrain zu verlassen, weil die Jacobi-Amplitude "exotischer" ist als der allgegenwärtige Sinus, und man erstere nicht vom Taschenrechner kennt. Verfügt man dagegen über entsprechende Tools wie Mathematica, Maple und Co., ist es ein Klacks. Ciao, Thomas\(\endgroup\)
 

Re: Das Pendel (ohne Kleinwinkelnäherung)
von: Roland17 am: Mo. 24. Oktober 2022 13:57:54
\(\begingroup\)Hallo Thomas, danke für den interessanten, gut dargestellten Artikel. Er schließt für mich ehemaligen Physiklehrer eine Wissenslücke, auch wenn ich die mathematischen Feinheiten (elliptische Funktionen) nicht alle nachvollziehen kann. Roland\(\endgroup\)
 

 
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