Zerfällungsalgebren

Grundlagen über Algebren

Grundbegriffe

Sei $R$ ein kommutativer Ring. Eine kommutative $R$-Algebra ist ein kommutativer Ring $A$ zusammen mit einem Ringhomomorphismus $R \to A$. Diesen Homomorphismus schreibt man öfters nicht explizit hin, weil er sich in der Regel aus dem Kontext ergibt und sehr einfach zu definieren ist. Er muss nicht injektiv sein, die triviale $R$-Algebra $0$ ist ein Beispiel dafür. Für eine $R$-Algebra $A$ ist die additive Gruppe von $A$ auch ein $R$-Modul durch Einschränkung der Skalare. Ein typisches und wichtiges Beispiel ist die Polynomalgebra $A = R[X_1,\dotsc,X_n]$ in $n$ Variablen. Ein Homomorphismus von $R$-Algebren $A \to A'$ ist ein Homomorphismus von kommutativen Ringen, der mit dem Ringhomomorphismus von $R$ verträglich ist: Das Diagramm muss kommutieren. Diese Bedingung ist auch äquivalent zur $R$-Linearität, wenn wir die $R$-Modulstrukturen betrachten. Die Menge aller solchen Homomorphismen bezeichnen wir hier einfach mit $\mathrm{Hom}(A,A')$. Wir erhalten eine Kategorie $\mathbf{CAlg}_R$ kommutativer $R$-Algebren. Für diesen Artikel wichtige kategorielle Grundbegriffe sind: Kategorie, Funktor, Morphismus von Funktoren, darstellbarer Funktor, universelle Eigenschaft, Yoneda-Lemma. Wir bezeichnen mit $U : \mathbf{CAlg}_R \to \mathbf{Set}$ den Vergissfunktor. Anstelle von $a \in U(A)$ schreiben wir manchmal $a \in A$, wie es auch üblich ist.

Polynomalgebren

Sei $A$ eine kommutative $R$-Algebra. Die Polynomalgebra $A[X_1,\dotsc,X_n]$ ist definiert (die übliche Meinung hierzu ist, dass es eine Eigenschaft ist) als ein darstellendes Objekt des Funktors $\mathrm{Hom}(A,-) \times U^n : \mathbf{CAlg}_R \to \mathbf{Set}$. Man hat demnach einen universellen Homomorphismus $A \to A[X_1,\dotsc,X_n]$ und universelle Elemente $X_1,\dotsc,X_n \in U(A[X_1,\dotsc,X_n])$ derart, dass für jede kommutative $R$-Algebra $B$ die Abbildung $\mathrm{Hom}(A[X_1,\dotsc,X_n],B) \to \mathrm{Hom}(A,B) \times U(B)^n, \, \varphi \mapsto (\varphi|_A,\varphi(X_1),\dotsc,\varphi(X_n))$ bijektiv ist ("universelle Eigenschaft der Polynomalgebra"). Für einen Homomorphismus $\alpha : A \to A'$ bezeichnen wir den induzierten Homomorphismus $A[X_1,\dotsc,X_n] \to A'[X_1,\dotsc,X_n]$ mit $f \mapsto f^{\alpha}$, manchmal auch salopp einfach mit $f \mapsto f$.

Quotienten von Algebren

Ist $I$ ein Ideal einer kommutativen $R$-Algebra, so ist $A/I$ als ein darstellendes Objekt des Unterfunktors $\{f \in \mathrm{Hom}(A,-) : f|_I = 0\}$ von $\mathrm{Hom}(A,-)$ definiert. Das bedeutet, wir haben einen Homomorphismus $p :A \to A/I$ mit $p|_I = 0$ (den wir mit $a \mapsto [a]$ notieren) derart, dass $\mathrm{Hom}(A/I,-) \to \{f \in \mathrm{Hom}(A,-) : f|_I = 0\},~ g \mapsto g \circ p$ ein Isomorphismus von Funktoren ist ("Homomorphiesatz"). Hierbei geht es also darum, auf universelle Weise die Elemente von $I$ zu Null zu machen. Die Konstruktion von $A/I$ über Restklassen spielt eine Nebenrolle. Wir können aber auch auf universelle Weise zwei Elemente von $A$ gleich machen: Wenn $a,b \in A$ zwei Elemente sind, so sei die kommutative $R$-Algebra $ A / ( a=b)$ ein darstellendes Objekt des Unterfunktors $\{f \in \mathrm{Hom}(A,-) : f(a)=f(b)\}$ von $\mathrm{Hom}(A,-)$ definiert. Weil dieser Unterfunktor mit dem obigen Funktor für das Ideal $I = \langle a - b \rangle$ übereinstimmt, lässt sich $A/(a=b)$ durch $A/ \langle a - b \rangle$ realisieren. Es gilt also $A/(a=0) = A/\langle a \rangle$ und $A/(a=b) = A/(a-b=0)$. Die Idee bei $A/(a=b)$ ist ganz einfach, eine Relation $a=b$ einzuführen, die in $A$ nicht unbedingt gelten muss. Es besteht kein Zwang, diese Relation als $a-b=0$ umzuschreiben. Zum Beispiel ist $\IZ[X] / (X^2 = X)$ ein Ring, den man einfach so stehen lassen kann (auch wenn er zu $\IZ[X] / \langle X^2 - X \rangle$ isomorph ist). Zudem sind solche Quotientenkonstruktionen in einem viel allgemeineren Rahmen möglich ("Erzeuger und Relationen"), als Beispiel sollen hier nur die Halbringe (in Halbringen gibt es keine Subtraktion) $\IN[X] / (X^2 = X)$ und $\IN / (2 = 3)$ genannt werden. Wir können natürlich auch mehrere Gleichungen erzwingen. Wenn $((a_i,b_i))_{i \in I}$ eine beliebige Familie von Paaren von Elementen in $A$ ist, dann definieren wir $ A / (a_i = b_i)_{i \in I}$ als ein darstellendes Objekt von $\{f \in \mathrm{Hom}(A,-) : \forall i \in I \, (f(a_i)=f(b_i))\}$, und können dies konstruieren als $A / I$, wobei $I$ das von allen Differenzen $a_i - b_i$, $i \in I$, erzeugte Ideal sei. Jetzt kommen wir zu etwas Neuem, aber das Konzept ist ganz einfach. Wir können nicht nur Elemente, auch Polynome universell gleich machen: Seien dazu $p,q \in A[X]$. Wir definieren die kommutative $R$-Algebra $A / (p = q)$ als ein darstellendes Objekt des Unterfunktors $ \{\alpha \in \mathrm{Hom}(A,-) : p^{\alpha} = q^{\alpha}\}$ von $\mathrm{Hom}(A,-)$. Schreiben wir $p = \sum_{n \geq 0} p_n X^n$, $q = \sum_{n \geq 0} q_n X^n$, so ist $p^{\alpha} = q^{\alpha}$ äquivalent zu $\alpha(p_n) = \alpha(q_n)$ für alle $n \geq 0$. Tatsächlich ist $A / (p = q)$ also nichts anderes als $A / (p_n = q_n)_{n \geq 0}$. Insbesondere wissen wir, dass diese kommutative Algebra existiert. Mit Polynomen $p,q \in A[X_1,\dotsc,X_n]$ in mehreren Variablen können wir genauso vorgehen. Beispiele:

• $\IZ / ( 3X^2 = 0 ) = \IZ / (3 = 0) = \IF_3$
• $\IZ / ((X+Y)^2 = X^2 + Y^2) = \IZ / (2XY = 0) = \IZ / (2 = 0) = \IF_2$

Nullstellenalgebra

Sei $f \in A[X]$ ein Polynom. Wir definieren die Nullstellenalgebra $N_A(f)$ als ein darstellendes Objekt des Unterfunktors $B \mapsto \{(\alpha,u) \in \mathrm{Hom}(A,B) \times U(B) : f^{\alpha}(u)=0\}$ von $\mathrm{Hom}(A,-) \times U$. Die Idee ist also, dass $N_A(f)$ universell aus $A$ durch Adjunktion einer Nullstelle von $f$ entsteht, und diese Idee gießen wir direkt in die Definition rein. Die Definition bedeutet konkret: es gibt einen Homomorphismus $A \to N_A(f)$ und ein Element $x \in N_A(f)$ mit $f(x)=0$ derart, dass für alle kommutativen $R$-Algebren $B$ die Abbildung $\mathrm{Hom}(N_A(f),B) \to \{(\alpha,u) \in \mathrm{Hom}(A,B) \times U(B) : f^{\alpha}(u)=0\},~ \beta \mapsto (\beta|_A, \beta(x))$ bijektiv ist. Beweisen wir, dass $N_A(f)$ tatsächlich existiert: Aus der Definition geht hervor, dass $N_A(f)$ ein Quotient von $A[X]$ sein muss (weil $A[X]$ ja den Funktor $\mathrm{Hom}(A,-) \times U$ darstellt). Wir müssen also aus $A[X]$ etwas herausteilen, und es liegt nahe, einfach die Nullstellengleichung $f(X)=0$ herauszuteilen. Und tatsächlich gilt $\mathrm{Hom}(A[X]/(f(X) = 0),B) \cong \{\beta \in \mathrm{Hom}(A[X],B) : \beta(f(X)) = 0 \} \cong \{(\alpha,b) \in \mathrm{Hom}(A,B) \times U(B) : f^{\alpha}(b) = 0\},$ womit also $A[X] / (f(X)=0)$ die Definition von $N_A(f)$ erfüllt. Soweit ist das zunächst einmal reiner abstract nonsense. Mehr kann man allerdings aussagen, wenn $f$ normiert ist (oder zumindest der Leitkoeffizient von $A$ eine Einheit ist, was aber auf dasselbe hinausläuft): Sei $n = \deg(f)$. Dann ist $\left\{[1],[X],\dotsc,[X]^{n-1}\right\}$ eine $A$-Modul-Basis von $N_A(f)$: Das ist aufgrund der expliziten Konstruktion von $N_A(f) = A[X] / \langle f \rangle$ eine Umformulierung des Satzes über die Existenz und Eindeutigkeit der Polynomdivison durch $f$. Übrigens gilt das natürlich auch für $n=0$ (also $f=1$) ohne einen anderen Beweis, siehe auch hier. Zum Rechnen in $N_A(f)$ muss man nur beachten, dass im Gegensatz zu $A[X]$ die Relation $f(X)=0$ eingeführt worden ist. Wenn also $f = a_0 + \cdots + a_{n-1} X^{n-1} + X^n$, so arbeitet man mit der Relation $X^n = - a_0 - \cdots - a_{n-1} X^{n-1}$; daraus folgt dann auch $X^{n+1} = - a_0 X - \cdots + a_{n-1} X^n$ (wo man wieder die Formel für $X^n$ einsetzen kann) usw. Zum Beispiel arbeitet man in $N_{\IR}(X^2+1) = \IR[X] / (X^2+1=0)$ mit der Relation $X^2=-1$, diese Algebra ist natürlich $\IC$. Wenn $f$ nicht normiert ist, besteht die Modulbasis nicht mehr. Zum Beispiel ist $N_{\IZ}(2X)=\IZ[X]/(2X)$ kein freier $\IZ$-Modul; er hat Torsionselemente und ist übrigens auch nicht endlich-erzeugt.

Zerfällungsalgebra

Mit der Nullstellenalgebra ist bereits das Problem universell gelöst, eine Nullstelle in einer Erweiterung zu finden. Wenn wir das Polynom vollständig in Linearfaktoren zerlegen wollen, könnten wir einen Linearfaktor abspalten und mit dem Quotienten das Prozedere wiederholen, und so weiter. Wir können uns es aber dank unserer Quotientenkonstruktionen auch sehr einfach machen: Sei $f \in A[X]$ ein normiertes Polynom vom Grad $n$. Wir definieren die Zerfällungsalgebra $Z_A(f)$ als ein darstellendes Objekt des Unterfunktors $B \mapsto \{(\alpha,s_1,\dotsc,s_n) \in \mathrm{Hom}(A,B) \times U(B)^n : f^{\alpha} = (X - s_1) \cdots (X - s_n)\}$ von $\mathrm{Hom}(A,-) \times U^n$. Sie ist also die universelle Lösung des Problems, (in einer Erweiterung von $A$) das Polynom $f$ als ein Produkt von Linearfaktoren zu schreiben. Eine konkrete Konstruktion ist $Z_A(f) = A[S_1,\dotsc,S_n] / \bigl(f(X) = (X - S_1) \cdots (X - S_n)\bigr).$ Die Idee ist hier ganz einfach: erst adjungieren wir $n$ Variablen $S_1,\dotsc,S_n$ zu $A$, die natürlich unsere Nullstellen werden sollen. Also erzwingen wir einfach die entsprechende Polynomgleichung. Wie man solche Polynomgleichungen erzwingt, hatten wir bereits behandelt. Es gibt keine Notwendigkeit, zumindest was die Definition angeht, diese Polynomgleichung auf die Koeffizienten herunterzubrechen, zumal dann die ganze Idee verwässert werden würde. (Das ist hier der wesentliche Unterschied zur in der Literatur üblichen Vorgehensweise.) Es gibt $n$ natürliche Homomorphismen $N_A(f) \to Z_A(f)$, $[X] \mapsto [S_i]$. Außerdem wirkt die symmetrische Gruppe $\Sigma_n$ offenbar auf $Z_A(f)$ mittels $\pi(S_i) = S_{\pi(i)}$.

Beschreibung des Ideals

Man kann $Z_A(f)$ als Quotienten der Polynomalgebra $A[S_1,\dotsc,S_n]$ nach einem Ideal beschreiben: Dafür müssen wir zunächst das Produkt $(X - S_1) \cdots (X - S_n)$ ausmultiplizieren. Der Koeffizient von $X^i$ ist gleich $(-1)^{n-i} e_{n-i}(S_1,\dotsc,S_n)$, wobei $e_j$ das $j$-te elementarsymmetrische Polynom in $n$ Variablen bezeichne. Jetzt müssen wir einen Koeffizientenvergleich mit $f$ machen. Wenn $f = a_0 + a_1 X + \cdots + a_{n-1} X^{n-1} + X^n$, lauten die Gleichungen also $\begin{align*} a_0 &= (-1)^n S_1 \cdots S_n \\ a_1 &= (-1)^{n-1} (S_2 \cdots S_n + S_1 S_3 \cdots S_n + \cdots + S_1 \cdots S_{n-1}) \\ & \vdots \\ a_{n-2} &= (S_1 S_2 + S_1 S_3 + \cdots + S_1 S_n + S_2 S_3 + \cdots + S_{n-1} S_n) \\ a_{n-1} &= - (S_1 + \cdots + S_n) \end{align*}$ Ist $I$ das von den Differenzen erzeugte Ideal in $A[S_1,\dotsc,S_n]$, so ist $A[S_1,\dotsc,S_n] / I$ also eine konkrete Realisierung der Zerfällungsalgebra $Z_A(f)$.

Rekursiver Aufbau

Wir geben jetzt eine rekursive Beschreibung der Zerfällungsalgebra an. Der Rekursionsanfang ist $n=0$, hier ist $f=1$ und $Z_A(f) = A$. Nun sei $n \geq 1$. Ein Vergleich der universellen Eigenschaften liefert uns natürliche Isomorphismen $\begin{align*} Z_A(f) & = A[S_1,\dotsc,S_n] / \bigl(f(X) = (X - S_1) \cdots (X - S_n)\bigr) \\ & = A[S_1,\dotsc,S_n] / \bigl(f(S_1)=0,\, f(X) = (X - S_1) \cdots (X - S_n)\bigr) \\ & = \bigl(A[S_1]/(f(S_1)=0)\bigr) [S_2,\dotsc,S_n] / \bigl( f(X) = (X - S_1) \cdots (X - S_n)\bigr) \end{align*}$ Über der Nullstellenalgebra $A[S_1]/(f(S_1)=0) = N_A(f)$ wissen wir, dass $f$ eindeutig durch $X - S_1$ teilbar ist (Satz von der Polynomdivision). Schreiben wir $g := f / (X - S_1) \in N_A(f)[X]$, so können wir also die Isomorphiekette fortsetzen mit $\begin{align*} & = N_A(f)[S_2,\dotsc,S_n] / \bigl( g(X) = (X - S_2) \cdots (X - S_n) \bigr)\\ & = Z_{N_A(f)}(g). \end{align*}$ Hierbei ist $g$ normiert vom Grad $n-1$. Die Koeffizientenalgebra von $g$ ist aber nicht $A$ wie bei $f$, sondern die Nullstellenalgebra $N_A(f)$ von $f$. Ein Nachteil dieser rekursiven Beschreibung ist, dass die Symmetrie in der Definition von $Z_A(f)$ verloren gegangen ist. Ein großer Vorteil ist aber, dass wir im nächsten Abschnitt etwas über die $A$-Modulstruktur von $Z_A(f)$ aussagen können.

Basis der Zerfällungsalgebra

Mit der rekursiven Beschreibung von $Z_A(f)$ können wir nun induktiv zeigen, dass $\left\{ [S_1^{k_1} \cdots S_n^{k_n}] : 0 \leq k_1 < n,\, 0 \leq k_2 < n-1,\, \dotsc, 0 \leq k_n < 1 \right\}$ eine $A$-Modulbasis von $Z_A(f)$ ist. Insbesondere ist $Z_A(f)$ ein freier $A$-Modul vom Rang $n! = n \cdot (n-1) \cdots 1$. Der Induktionsanfang mit $n=0$ ist klar. Sei nun $n \geq 1$, und es gelte die Behauptung für $n-1$ und alle $A$. Wir wissen $Z_A(f) = Z_{N_A(f)}(g)$, wobei $g$ normiert vom Grad $n-1$ ist. Nach Induktionsannahme ist $Z_A(f)$ also ein freier $ N_A(f)$-Modul mit der Basis $\left\{[S_2^{k_2} \cdots S_n^{k_n}] : 0 \leq k_2 < n-1,\, \dotsc, 0 \leq k_n < 1\right\}.$ Nun hatten wir bereits gemerkt, dass $N_A(f)$ ein freier $A$-Modul mit der Basis $\left\{[S_1^{k_1}] : 0 \leq k_1 < n\right\}$ ist. Mit dem folgenden einfachen Lemma, welches man in der Körpertheorie in einem Spezialfall als "Gradsatz" kennenlernt, folgt nun die Behauptung. Lemma. Sei $A \to B$ ein Ringhomomorphismus und $M$ ein $B$-Modul. Wenn $M$ ein freier $B$-Modul mit Basis $\{m_i : i \in I\}$ ist und $B$ ein freier $A$-Modul mit Basis $\{b_j : j \in J\}$ ist, dann ist $M$ ein freier $A$-Modul mit der Basis $\{b_j m_i : i \in I,\, j \in J\}$. Beachte, dass das Einselement ebenfalls zur genannten Basis von $Z_A(f)$ gehört. Insbesondere ist der natürliche Homomorphismus $A \to Z_A(f)$ injektiv. Wir dürfen uns daher $A$ als eine Unteralgebra von $Z_A(f)$ vorstellen (was aus der Definition nicht direkt ersichtlich ist). Insbesondere gilt: Wenn $A \neq 0$, dann ist auch $Z_A(f) \neq 0$. Das ist nun insofern bemerkenswert, dass natürlich $f$ immer über der trivialen Algebra aus trivialen Gründen in ein Produkt von Linearfaktoren zerfällt, wir uns aber natürlich für eine nicht-triviale Lösung interessieren. Mithilfe der Basis kann man die Invariantenalgebra $Z_A(f)^{\Sigma_n} = \bigl\{w \in Z_A(f) : \forall \sigma \in \Sigma_n \, ( \sigma(w)=w) \bigr\}$ ausrechnen (siehe Proposition 4 in A. D. Barnard, Commutative Rings with Operators, Proc. Lon. Math. Soc. s3-28 (2)): $\displaystyle Z_A(f)^{\Sigma_n} = \begin{cases} A & n \neq 2 \\ \{a + b [S_1] : a,b \in A,\, pb=0,\, 2b=0\} & f = X^2 + pX + q \end{cases}$ Falls $2 \in A^{\times}$ gilt also immer $Z_A(f)^{\Sigma_n}=A$.

Lineare Polynome

Für lineare Polynome $f = X + p \in A[X]$ ist natürlich $Z_A(f) = A$, was sofort aus der Definition folgt, andererseits aber auch aus der rekursiven Beschreibung und $Z_A(1)=A$ folgt.

Quadratische Polynome

Wenden wir die allgemeine Theorie einmal auf den Fall $\deg(f)=2$ an. Hier ist also $f = X^2 + pX + q$ mit $p,q \in A$, und die Zerfällungsalgebra ist $Z_A(f) = A[S,T] / \bigl( f = (X - S)(X - T) \bigr) = A[S,T] / \bigl(S + T = -p,\, ST = q\bigr).$ Außerdem wissen wir, dass $\{1,S\}$ eine $A$-Modul-Basis von $Z_A(f)$ ist. Die rekursive Beschreibung sagt uns außerdem $Z_A(f) = N_A(f) = A[S]/\bigl(S^2+pS+q=0\bigr)$, was natürlich einfach die Tatsache wiederspiegelt, dass ein normiertes quadratisches Polynom bereits dann zerfällt, wenn es eine Nullstelle besitzt. Beachte, dass der Rang hier immer zwei ist, auch wenn zum Beispiel $f = X^2$ und somit $f$ bereits über $A$ zerfällt.

Kubische Polynome

Im Fall $\deg(f)=3$ schreiben wir $f = X^3+pX^2 + qX + r$ mit $p,q,r \in A$. Dann ist die Zerfällungsalgebra $Z_A(f) = A[S,T,U] / \bigl( f = (X-S)(X-T)(X-U) \bigr) = A[S,T,U] / \bigl(S+T+U = -p,\, ST+SU+TU = q,\, STU = -r \bigr)$ mit der $A$-Basis $\{1,S,S^2,T,ST,S^2 T\}$. Die rekursive Beschreibung sagt uns hier $Z_A(f) = A[S]/\bigl(f(S)=0\bigr)[T]/\bigl(f(T)/(T-S) = 0\bigr),$ wobei man etwas konkreter $f(T)/(T-S) = (f(T)-f(S))/(T-S) = (T^2+TS+S^2) + p(T+S) + q = T^2 + (S+p)T + (S^2+pS + q)$ schreiben kann. Für $f = X^3$ bekommt man zum Beispiel $A[S,T] / \bigl(S^3=0,\, T^2+ST+S^2=0\bigr)$. Und für $f = X^3 + X + 1$ bekommt man $A[S,T] / \bigl(S^3+S+1=0,\, T^2+ST+S^2+1=0\bigr)$.

Anwendungen

Zerfällungskörper

Sei $K$ ein Körper und $f \in K[X]$ normiert vom Grad $n$. Die Zerfällungsalgebra $Z_K(f) = K[S_1,\dotsc,S_n]/\bigl(f = (X-S_1) \cdots (X-S_n)\bigr)$ wird (a) als $K$-Algebra von den Nullstellen erzeugt und (b) $f$ zerfällt über ihr vollständig. Das ist also fast alles, was man von einem Zerfällungskörper von $f$ erwarten würde. Der einzige Unterschied ist, dass $Z_K(f)$ im Allgemeinen kein Körper sein muss. Betrachte etwa $f = X(X-1)$, hier ist $Z_K(f) = N_K(f) = K[X]/(X^2=X) \cong K \times K$ kein Körper. Nun gibt es ein allgemeines Verfahren, wie man aus einem kommutativen Ring einen Körper machen kann: man teilt ein maximales Ideal heraus. Ein maximales Ideal existiert immer dann, wenn der Ring $\neq 0$ ist. Und Zerfällungsalgebren haben diese Eigenschaft, das hatten wir gesehen. Durch diese Quotientenbildung bleiben zudem die beiden Eigenschaften (a),(b) offensichtlich erhalten. Wir haben damit bewiesen, dass $f$ einen Zerfällungskörper besitzt, nämlich $Z_K(f) / \mathfrak{m}$ für irgendein maximales Ideal $\mathfrak{m}$. Aber auch umgekehrt: Wenn $E/K$ ein Zerfällungskörper von $f$ ist, etwa $E = K(\alpha_1,\dotsc,\alpha_n)$ mit den Nullstellen $\alpha_1,\dotsc,\alpha_n$ von $f$, so erhalten wir aufgrund der universellen Eigenschaft der Zerfällungsalgebra einen surjektiven Homomorphismus von $K$-Algebren $Z_K(f) \to E$, und der Homomorphiesatz sagt uns nun $E \cong Z_K(f)/\mathfrak{m}$ für ein Ideal $\mathfrak{m}$. Dieses Ideal ist maximal, weil $E$ ein Körper ist. Die Zerfällungskörper von $f$ sind also genau die Quotienten der Zerfällungsalgebra $Z_K(f)$ nach ihren maximalen Idealen. Weil die Zerfällungsalgebra ein $K$-Vektorraum der Dimension $n!$ ist, haben die Zerfällungskörper Grad $\leq n!$. Nun ist es aber so, dass es keine kanonische (oder gar eindeutige) Wahl des maximalen Ideals gibt. Das ist aber tatsächlich ein Feature von Zerfällungskörpern. Auch in der üblichen Konstruktion von Zerfällungskörpern gibt es unkanonische Wahlen. Die geht ja so: Wenn $f$ irreduzibel ist, ist $N_K(f)=K[S]/(f(S)=0)$ ein Körper, und wir bilden rekursiv einen Zerfällungskörper von $f / (X - [S])$ über $N_K(f)$. Wenn $f$ reduzibel ist, gibt es einen irreduziblen Faktor $p \mid f$ kleineren Grades. Dann bilden wir zunächst einen Zerfällungskörper von $p$ und anschließend darüber einen Zerfällungskörper vom Quotienten $f/p$. Beachte, dass man hier also eine Fallunterscheidung machen musste, ob $f$ irreduzibel ist oder nicht, was a priori nicht einmal entscheidbar ist, und die Wahl des irreduziblen Faktors $p$ im zweiten Fall ist überhaupt nicht kanonisch. Das ist also vollkommen analog zur unkanonischen Wahl des maximalen Ideals oben. Trotz der unkanonischen Wahl des maximalen Ideals sind je zwei Zerfällungskörper von $f$ zueinander isomorph (aber auch nicht auf eindeutige Weise; der Grad der Uneindeutigkeit wird eben durch die Galoisgruppe von $f$ gemessen). Einen eleganten Beweis dafür hat Keith Conrad hier aufgeschrieben. Bezeichnen wir einmal irgendeinen Zerfällungskörper mit $L_K(f)$. Daraus ergibt sich eine bemerkenswerte Eigenschaft von $Z_K(f)$: egal, welches maximale Ideal man herausteilt, der Quotient ist bis auf Isomorphie $L_K(f)$. Nun hat bekanntlich jede (als $K$-Vektorraum) endlich-dimensionale kommutative $K$-Algebra $B$ nur endlich viele Primideale $\mathfrak{p}_1,\dotsc,\mathfrak{p}_s$, und diese sind allesamt maximal. Außerdem impliziert der chinesische Restsatz $ B/ \sqrt{0} \cong B/\mathfrak{p}_1 \times \cdots \times B/\mathfrak{p}_s,$ wobei $\sqrt{0} = \mathfrak{p}_1 \cap \cdots \cap \mathfrak{p}_s$ das Nilradikal von $B$ ist. Wenden wir das auf die Zerfällungsalgebra $Z_K(f)$ an, so gibt es also ein $s \in \IN$ mit $Z_K(f) / \sqrt{0} \, \cong \, L_K(f)^s.$ Die Zerfällungsalgebra "ohne die nilpotenten Elemente" ist also einfach ein Produkt von Kopien "des" Zerfällungskörpers. Die Algebra selbst lässt sich nicht immer in ein Produkt von Körpern zerlegen, weil diese sie nicht immer reduziert ist (betrachte $f = X^2$). Beachte, dass der Zerfällungskörper im Gegensatz zur Zerfällungsalgebra gar keine kanonische Wirkung von $\Sigma_n$ hat, weil nicht jede Permutation der Nullstellen sich zu einem Automorphismus fortsetzen lässt. Das sind nur die Permutationen, die in der Galoisgruppe von $f$ enthalten sind.

Ganze Elemente

Sei $A$ eine kommutative $R$-Algebra. Ein Element von $A$ heißt bekanntlich ganz über $R$, wenn es Nullstelle eines normierten Polynoms über $R$ ist. Wenn $a,b \in A$ ganz über $R$ sind, dann sind auch $a + b$ und $a \cdot b$ ganz über $R$. (Folglich bilden die ganzen Elemente eine Unteralgebra.) Üblicherweise wird dazu modultheoretisch mit Endlichkeitsargumenten oder mit Resultanten argumentiert. Wir geben hier einen alternativen Beweis, der mit Zerfällungsalgebren arbeitet, was auch den Vorteil hat, dass wir das Polynom mit $a + b$ bzw. $a \cdot b$ als Nullstelle konkret hinschreiben können: Seien $f,g \in R[T]$ normiert mit Nullstelle $a$ bzw. $b$ in $A$. Zunächst einmal entspricht $a$ einem Homomorphismus von $R$-Algebren $N_R(f) \to A$, und wir haben die Inklusion $N_R(f) \hookrightarrow Z_R(f)$, die als $N_R(f)$-Modul-Homomorphismus spaltet (das geht aus der Basis hervor). Daraus folgt, dass der Homomorphismus $A \to Z_R(f) \otimes_{N_R(f)} A =: A'$ injektiv ist. Über $A'$ zerfällt $f$ vollständig. Wir dürfen daher annehmen, dass $f$ vollständig über $A$ zerfällt, wobei eine der Nullstellen $a$ ist. Ganz analog können wir annehmen, dass auch $g$ vollständig über $A$ zerfällt (betrachte dazu $A' \otimes_{N_R(g)} Z_R(g)$). Schreibe $f = (T - a_1) \cdots (T - a_n)$ in $A[T]$ mit $a_1,\dotsc,a_n \in A$ und $a = a_1$. Für $h := \prod_{i=1}^{n} g(T - a_i) \in A[T]$ gilt $h(a+b) = \prod_{i=1}^{n} g(a+b-a_i)=0$ wegen $g(a+b-a_1)=g(b)=0$. Etwas konkreter kann man auch $h = \prod_{i=1}^{n} \prod_{j=1}^{m} (T - (a_i + b_i))$ schreiben, wenn $g = (T - b_1) \cdots (T - b_m)$. Wir müssen $h \in R[T]$ zeigen. Die Koeffizienten von $h$ sind offenbar polynomielle Ausdrücke in $R[a_1,\dotsc,a_n,b_1,\dotsc,b_m]$. Sie sind zudem symmetrisch in den $a_1,\dotsc,a_n$ (und analog $b_1,\dotsc,b_m$), weil $h$ unter allen Permutationen der $a_1,\dotsc,a_n$ invariant ist (und analog der $b_1,\dotsc,b_m$). Nach dem Hauptsatz über symmetrische Polynome lassen sich die Koeffizienten von $h$ daher als Polynome in den elementarsymmetrischen Polynomen schreiben, welches aber gerade die Koeffizienten von $f$ bzw. $g$ sind, die nach Annahme in $R$ liegen. Das zeigt $h \in R[T]$. Wir illustrieren das mit einem Beispiel. Es sei $\deg(f)=\deg(g)=2$. Hier hat man also Nullstellen $a_1,a_2,b_1,b_2$ mit $a_1 + a_2, a_1 a_2, b_1 + b_2 , b_1 b_2 \in R$ und muss zeigen, dass das Polynom $h = (T-(a_1+b_1))(T-(a_1+b_2))(T-(a_2+b_1))(T-(a_2+b_2))$ Koeffizienten in $R$ hat. Die Koeffizienten muss man dazu als Polynome in $a_1 + a_2, a_1 a_2, b_1 + b_2, b_1 b_2$ ausdrücken. Dass das geht, liegt am Hauptsatz über symmetrische Polynome, aber man kann es auch direkt nachrechnen. Der $T^0$-Koeffizient ist zum Beispiel $(a_1 + b_1)(a_1 + b_2)(a_2 + b_1)(a_2 + b_2)$ und nach Ausmultiplizieren und geschickten Zusammenfassen ergibt sich ${\small (a_1 a_2)^2 + (b_1 b_2)^2 + (a_1 a_2 + b_1 b_2) (a_1+a_2) (b_1+b_2) + (a_1+a_2)^2 (b_1 b_2) + (a_1 a_2)(b_1+b_2)^2 - 2 (a_1 a_2) (b_1 b_2) \in R.}$ Für den Nachweis, dass auch $a \cdot b$ ganz ist, geht man ähnlich vor: Schreibe $f = (T - a_1) \cdots (T - a_n)$ und $g = (T - b_1) \cdots (T - b_m)$ in $A[T]$. Setze $h := \prod_{i=1}^{n} \prod_{j=1}^{m} (T - (a_i \cdot b_j))$ Dann gilt $h(ab)=0$ und mit dem Hauptsatz über symmetrische Polynome zeigt man $h \in R[T]$.

Absolut ganz abgeschlossene Ringe

Ähnlich wie bei Zerfällungskörpern hat jeder Körper gleich mehrere algebraische Abschlüsse, die zwar zueinander isomorph sind, aber nicht auf kanonische Weise. Dennoch sind sie allesamt Quotienten eines kanonischen "ringtheoretischen algebraischen Abschlusses", den wir jetzt kurz besprechen werden. Sei $R$ ein kommutativer Ring. Wir nennen $R$ absolut ganz abgeschlossen (engl. absolutely integrally closed), wenn jedes normierte Polynom über $R$ in Linearfaktoren über $R$ zerfällt. Offenbar ist das damit äquivalent, dass jedes normierte Polynom über $R$ eine Nullstelle in $R$ besitzt (mache dann eine Induktion nach dem Grad für eine vollständige Zerlegung). Im Falle von Körpern ist das der übliche Begriff der algebraischen Abgeschlossenheit. Andere Verallgemeinerungen dieses Begriffs auf kommutative Ringe werden in dem Artikel R. Raphael, On algebraic closures, Publ. Mate. 36(2b) zusammengefasst. Weitere Fakten über absolut ganz abgeschlossene Ringe gibt es bei Stacks/0DCK. Ich behaupte, dass es es für jeden kommutativen Ring $R$ eine ganze Ringerweiterung $R \hookrightarrow T^{\infty}(R)$ gibt, für die $T^{\infty}(R)$ absolut ganz abgeschlossen ist. Sei dazu zunächst $T(R)$ das (unendliche) Tensorprodukt der Zerfällungsalgebren $Z_R(f)$ über $R$, wobei $f \in R[T]$ alle normierten Polynome durchläuft. Dann ist $R \hookrightarrow T(R)$ ganz, und jedes normierte Polynom über $R$ zerfällt über $T(R)$. Es sei $T^{\infty}(R)$ der Kolimes der Folge $R \hookrightarrow T(R) \hookrightarrow T^2(R) \hookrightarrow \cdots$ in der Kategorie der kommutativen Ringe. Dann hat $R \hookrightarrow T^{\infty}(R)$ die gewünschten Eigenschaften: Jedes Element von $T^{\infty}(R)$ liegt in einem $T^n(R)$, ist also ganz über $R$ (weil Ganzheit transitiv ist). Jedes normierte Polynom über $T^{\infty}(R)$ hat Koeffizienten in einem $T^n(R)$, zerfällt also über $T^{n+1}(R)$ und damit erst recht über $T^{\infty}(R)$. Im Falle eines Körpers $K$ ist $T^{\infty}(K)$ kein Körper, aber wir können ein maximales Ideal herausteilen (welches nicht kanonisch ist!) und erhalten damit einen algebraischen Abschluss von $K$ im Sinne der Körpertheorie. Wir haben damit diese bekannte Konstruktion des algebraischen Abschlusses noch ein bisschen besser verstanden. Wenn $R \hookrightarrow S$ eine weitere ganze Erweiterung ist, für die $S$ absolut ganz abgeschlossen ist, dann gibt es mit der obigen Konstruktion immer einen surjektiven Homomorphismus $T^{\infty}(R) \to S$, der aber nicht injektiv sein muss. Tatsächlich ist für jedes Ideal $I \subseteq T^{\infty}(R)$ mit $I \cap R = 0$ auch $R \hookrightarrow T^{\infty}(R) / I$ eine ganze Erweiterung und $T^{\infty}(R) / I$ absolut ganz abgeschlossen. Es gibt also zumindest mit der obigen Definition keine Eindeutigkeit. Wie und ob man die Definition abändern kann, damit eine Eindeutigkeit besteht, wurde kürzlich auf MO/434038 diskutiert, woraus das Paper Absolute integral closures of commutative rings von Matthé van der Lee entstanden ist.