 \(\begingroup\)\(\newcommand{\IX}{\mathbb{X}}
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\newcommand{\politician}[1]{\text{Ich habe die Frage nicht verstanden. #1}}
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 Dies wirft natürlich von neuem die Rätselfrage auf, warum das Publikum zwar gotische Kathedralen, Mozarts Opern und Kafkas Erzählungen, nicht jedoch die Methode des unendlichen Abstiegs oder die Fourier-Analyse zu schätzen weiß.
H.M. Enzensberger Bereits die Pythagoräer nutzten die Beweismethode des unendlichen Abstiegs um Unmöglichkeitsbeweise zu führen. Der Grundgedanke ist folgender: um zu zeigen, dass eine Gleichung keine Lösung in natürlichen Zahlen hat, nimmt man an, es gäbe eine solche. Dann konstruiert man kleinere natürliche Zahlen (das ist der schwierige Teil), die die gestellte Gleichung ebenfalls lösen. Diesen Prozess kann man wiederholen und erhält immer kleinere Lösungen in natürlichen Zahlen. Ein Widerspruch. Im folgenden werden 2 einfache Beispiele für die Anwendung der Beweismethode des unendlichen Abstiegs gegeben.
\stress\ sqrt(2) ist irrational
Der Beweis, dass die Quadratwurzel aus 2 irrational ist, wird als
Widerspruchsbeweis geführt.
In der üblichen Form dieses Beweises nimmt man an, dass sqrt(2) rational ist und daher eine Darstellung von sqrt(2) als rationale Zahl p\/q mit positiven ganzen Zahlen p und q existiert. Die Kürzungseigenschaft ausnutzend, können p und q so gewählt werden, dass sie keinen gemeinsamen Teiler haben.
Schließlich gelangt man zu dem Ergebnis, dass sowohl p als auch q durch 2 teilbar sein müssen. Ein Widerspruch, der nur vermieden werden kann, wenn man die getroffene Annahme, dass sqrt(2) eine rationale Zahl ist, aufgibt.
\stress\ sqrt(2) ist irrational mit unendlichem Abstieg
Angenommen sqrt(2) wäre rational. Dann gäbe es eine Darstellung
\ |sqrt(2) = x/y
mit ganzen Zahlen x, y und x > 0 und y > 0.
Wir werden zeigen, dass es dann auch einen anderen Bruch x_1/y_1 gibt, mit positiven ganzen Zahlen x_1 und y_1 und y_1 < y, der gleich x/y ist.
Sobald das erwiesen wäre, dann könnten wir die gleiche Argumentation erneut und wieder und wieder auf jede erreichte Darstellung von sqrt(2) anwenden.
Die Folge der Nenner y, y_1, y_2, ... wäre eine (streng) absteigende Folge positiver ganzer Zahlen. Und das ist unmöglich, denn jede positive ganze Zahl hat nur endlich viele Vorgänger.
\stress\ Konstruktion des unendlichen Abstiegs
Nimm an, dass sqrt(2) = x\/y. Durch Quadrieren ergibt sich
\ x^2 = 2*y^2.
Setze x_1 = 2y - x und y_1 = x - y.
Es ist x_1/y_1 = (2y - x) / (x - y) und damit ist x_1/y_1 eine andere Darstellung von sqrt(2).
\small\ Rechne nach: x*(x-y) = x^2-xy und (2y-x)*y = 2y^2-xy. Gleichheit gilt, weil x^2 = 2y^2 .
Gemäß der oben besprochenen Idee dieses Beweises ist nun zu zeigen, dass
\ 0 < y_1 < y.
Wir wissen \(oder rechnen nach), dass
\ 1 < 2 < 4
\ <=> 1 < sqrt(2) < 2
\ <=> 1 < x/y < 2
\ <=> y < x < 2y
\ <=> y-y < x-y < 2y -y
\ <=> 0 < y_1 < y
Wir haben also \(unter der Annahme, dass sqrt(2) rational ist) einen anderen Bruch mit kleinerem Nenner konstruiert, der ebenfalls gleich sqrt(2) ist.
\ |sqrt(2) = x/y = (2y-x)/(x-y)
\small x, y sind positive ganze Zahlen.
\small x-y ist eine positive ganze Zahl und x-y < y.
Diesen Prozess können wir beliebig oft wiederholen und Brüche x_i/y_i konstruieren, die gleich sqrt(2) sind, und für deren Nenner y_i gilt, dass alle y_i positive ganze Zahlen sind und y_(i+1) < y_i (für alle i\in\IN).
Nun hat jede natürliche Zahl nur endlich viele Vorgänger \(Peano\-Axiome). Die konstruierte Folge positiver ganzer Zahlen y_i kann es nicht geben, denn sie wäre 'unendlich absteigend'.
Die einzige Annahme, die wir getroffen hatten, war, dass sqrt(2) rational ist. Diese Annahme ist darum falsch. Wir haben damit gezeigt, dass sqrt(2) irrational ist.
\stress\ Ist auch sqrt(9) irrational?
Dieser Beweis \(und der übliche ebenso) wirft die Frage auf, ob nach dem gleichen Muster bewiesen werden kann, dass sqrt(9) irrational ist?
Wo ist denn die Stelle, an der der Beweis dafür 'versagt'? Das muss er schließlich, denn sqrt(9) = 3 ist eine rationale Zahl.
Sehen wir es uns genau an:
Angenommen sqrt(9) = x\/y, mit positiven ganzen Zahlen x und y.
Die Idee des Beweises für sqrt(2) wiederholend, wollen wir eine Folge absteigender positiver ganzer Zahlen y_i konstruieren. Die Wahl von x_1 und y_1 in Abhängigkeit von x und y muss so erfolgen, dass 0 < y_1 < y erfüllt wird.
In Analogie schreiben wir:
\ 4 < 9 < 16
\ <=> 2 < sqrt(9) < 4
\ <=> 2 < x/y < 4
\ <=> 2y < x < 4y
\ <=> 2y-2y < x-2y < 4y -2y
\ <=> 0 < y_1 < 2y
Anders als bei sqrt(2), folgt hier nicht, dass y_1 := x-2y kleiner als y ist.
Der Beweis ist auf den Fall sqrt(9) nicht übertragbar, denn es gelingt uns nicht eine streng absteigende Folge positiver ganzer Zahlen zu konstruieren. Wir finden nur: y_1 < 2y, doch das genügt nicht für einen Widerspruch. Beispielsweise ist sqrt(9) = 3/1 = 3/1 = 3/1, also 0 < y_(k+1) = y_k < 2y_k
Die Abschätzung von y_1 gegen y kann ja auch nicht möglich sein, denn sqrt(9) ist__ rational.
Wir erfahren damit nichts Neues über sqrt(9), sondern wissen nun besser, dass der heikle Punkt die Konstruktion der absteigenden Folge ist.
\stress\ Ist sqrt(5) irrational?
Das Entscheidende beim Beweis ist die Konstruktion der Folge y_i.
Wir haben gesehen, dass bei sqrt(2) eine solche Folge konstruiert werden konnte.
Wir haben gesehen, dass es für sqrt(9) so nicht funktioniert.
Kann man den Beweis denn überhaupt übertragen, z.B. auf sqrt(5)?
Wir versuchen das Bildungsgesetz einer geeigneten Folge aus den notwendigen Ungleichungen zu ermitteln:
\ 4 < 5 < 9
\ <=> 2 < sqrt(5) < 3
\ <=> 2 < x/y < 3
\ <=> 2y < x < 3y
\ <=> 2y-2y < x-2y < 3y -2y
\ <=> 0 < y_1 < y
Man kann hier y_1 = x-2y und x_1 = -2x + 5y setzen.
Auf x_1 kommt man, wenn man löst:
\ |x/y = (ax+by)/(x-2y)
\stress\ n ist irrational, wenn n nicht das Quadrat einer ganzen Zahl ist
Als Konstruktionsprinzip für die Folge ergibt sich:
sqrt(n)=x/y=(ny-kx)/(x-ky)
mit k = gauss(sqrt(n)), der größten ganzen Zahl kleiner gleich sqrt(n).
Weitere Anwendung
Die Argumentation mit einer unendlichen Folge positiver ganzer Zahlen ist eine besondere Form der mathematischen Induktion und beruht auf der Tatsache, dass jede nicht leere Teilmenge der natürlichen Zahlen ein kleinstes Element hat. Ein Beweis in Die Wohlordnung der natürlichen Zahlen.
Im Altertum wurde damit von den Pythagoräern u.a. bewiesen, dass Seitenlänge s und Diagonale d des regelmäßigen Fünfecks inkommensurabel sind, d.h. kein gemeinsames Maß habe. Das war deren Ausdruck dafür, dass es kein u,v\el\IN gibt mit u*s = v*d. Heute sagen wir dazu: d\/s ist irrational.
Man hatte erkannt, dass man eine unendlich fortsetzbare Folge immer kleiner werdender Fünfecke konstruieren kann, und in jedem ist das Verhältnis von Diagonale zu Seitenlänge gleich. Die Abbildung zeigt, wie es gemacht wird. Das große Fünfeck hat die Seitenlänge s und die Diagonalenlänge d. Das kleine Fünfeck hat die Seitenlänge d-s und die Diagonalenlänge s.
Es gilt
\ |d/s=s/(d-s)
Da außerdem 0 < d-s < s, kann man durch Wiederholung dieser Verschachtelung eine absteigende Folge natürlicher Zahlen erzeugen. Da das aber aufgrund der Eigenschaften der natürlichen Zahlen (kleinstes Element) nicht möglich ist, ist gezeigt, dass d/s irrational ist.
In der Neuzeit wurde diese Beweismethode von Fermat \(1601\-1665)
wiederentdeckt und erhielt ihren heutigen Namen.
Mit dem 'unendlichen Abstieg' zeigte Fermat u.a. dass x^4 + y^4 = z^4 nur Lösungen mit xyz=0 hat.
Referenzen
Das Zitat in der Überschrift stammt aus dem Essay
Zugbrücke außer Betrieb, Die Mathematik im Jenseits der Kultur
Eine Außenansicht von Hans Magnus Enzensberger
Zitiert aus dem Web-Angebot im Mathematischen Café am Ende des Internet .
Anregungen für diesen Artikel habe ich erhalten durch:
Vorlesung "Einführung in die Zahlentheorie",
Alexander Schmidt, Heidelberg 2001,
Kap. 7: Der große Fermatsche Satz.
Denkweisen großer Mathematiker. Ein Weg zur Geschichte der Mathematik, Meschkowski, Herbert
Irrationality by Infinite Descent,
Web-Site by Mudd Math Fun Facts, Harvey Mudd College, California
Matroid 2002
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