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| "Mathematik: Drei wohlbegründete Lösungen für ein Problem" | 23 Comments | | The authors of the comments are responsible for the content. |
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\(\begingroup\)Da fällt mir doch glatt das schöne "Ziegenproblem" ein 😉\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Ich möchte selber eine Aufgarbe stellen und beantwortet bekommen wie z.B. :
(45-3x)-(3x-16)-(7-9x)=
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\(\begingroup\)Ja, dann mußt Du Dich anmelden. Danach kannst Du Deine Fragen im Forum Stellen.
Gruß
Matroid\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)www.sezampro.yu/~seik
der Antwort fur Bertrand's paradox ist hier!!! \(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Die Lösungen Nr.3 und 4 scheinen mir das Problem zu verharmlosen.
Zu Nr.4: Natürlich soll keine Sehnenlänge, sondern eine Sehne zufällig gewählt werden. Dass die Gleichwahrscheinlichkeit aller Sehnenlängen eine absurde Annahme ist, wird schon klar, wenn man gerade Schnitte durch eine beliebige andere Figur betrachtet, bei der es einen längsten Schnitt der Länge d gibt. Soll das Ergebnis wirklich unabhängig von der Form der Figur sein??
Zu Nr.3: Ebenso klar ist, dass man die Sehnenmittelpunkte innerhalb des halben Kreisradius´ "übergewichtet", wenn man ihrer Gesamtheit die gleiche Wahrscheinlichkeit einräumt wie den Sehnenmittelpunkten im flächenmäßig dreimal so großen äußeren Kreisring.
Dagegen kann man den beiden ersten Lösungen durchaus unterstellen, dass sie wirklich zufällig Sehnen eines gegebenen Kreises auszuwählen bemüht sind, wobei alle Sehnen die gleiche Wahrscheinlichkeit haben sollen. Bei der ersten Lösung sind die Sehnenendpunkte gleichmäßig über den Kreisrand verteilt, bei der zweiten die Sehnenmittelpunkte gleichmäßig über die Kreisfläche.
Hier ist sehr viel schwieriger zu entscheiden, welche Ansicht die sinnvollere ist und dem naiv gestellten Problem wirklich entspricht.\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)ich hätte gesagt das Flächenverhältnis kleiner zu großer Kreisabschnitt\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Schön, dass hier auf alte Artikel aufmerksam gemacht wird, sonst käme man gar nicht in den Genuss solch schöner (alter) Artikel! Danke, immer wieder schön, wenn man so etwas zu lesen bekommt.\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Die Lösungen 3 und 4 gehen beide davon aus, dass die Anzahl aller Sehnen einer bestimmten Länge gleich der Anzahl aller Sehnen einer bestimmten anderen Länge ist. Das wäre erstmal zu beweisen, was mich zur Frage führt: "Hat ein großer Kreis mehr Tangenten als ein kleiner oder haben beide gleichviele?"
In Lösung drei wird von der Anzahl der Punkte auf einer Strecke auf die Anzahl der dazugahörenden Sehnen geschlossen, die unendlich vielen Punkte werden zu einer Strecke aufaddiert, deren Länge nun für die Berechnung eines Mengenverhältnisses nutzbar sein soll, soweit so gut. Dann müsste man aber ebenso sagen können, dass ein großer Kreis mehr Tangenten hat als ein kleiner, da der große einen größeren Umfang hat, und für jeden Punkt des Umfangs auf eine Tangente, die den Kreis in diesem Punkt berührt, geschlossen werden kann.
Nun muß man sehen, dass alle Sehnen einer ganz bestimmten Länge ebensogut als Tangenten eines ganz bestimmten konzentrischen Kreises betrachtet werden können. Der weitergehende Ansatz in Lösung 3 geht nun aber davon aus, dass man von der Betrachtung von parallelen in nur eine Richtung gehenden Sehnen durch Drehung auch auf alle anderen schliessen kann, was aber beinhaltet, dass man auch das Mengenverhältnis der Sehnen einer ganz bestimmten Länge in dieser Betrachtung (nämlich gleich viele, abgesehen vom Durchmesser selbst) beibehält. Das würde zu der Feststellung führen, dass es eben doch gleichviele Tangenten bei zwei unterschiedlich großen Kreisen gäbe. Da ist also schon im Ansatz ein Widerspruch.
Ganz ähnlich sehe ich in Lösung 1 einen Widerspruch: Dort wird bei der Betrachtung eines bestimmten Anfangspunktes von der Anzahl der im Kreisbogenabschnitt befindlichen Punkte (repräsentiert durch die Länge desselben) auf die Anzahl der entstehenden Sehnen geschlossen, was die Aussage "Der große Kreis hat mehr Tangenten als der kleine" beinhaltet. Nun entstehen aber bei einem festen Anfangspunkt immer genau zwei Sehnen gleicher Länge, eine rechts eine links, (abgesehen vom Durchmesser, der sich wieder daneben benimmt) also würde auch hier beim Schluss durch Drehung von der Einzelbetrachtung auf die Gesamtheit das Mengenverhältnis, dass jede Sehne einer bestimmten Länge genau gleichoft existiert, wie die Sehne einer bestimmten anderen Länge, mitgefolgert, was die Aussage "Der große Kreis hat gleichviele Tangenten wie der kleine" beinhaltet. Widerspruch.
Lösung 4 geht an der Aufgabenstellung vorbei, da (wie schon oben von Anonym erwähnt) nicht nach einer zufälligen Länge, sondern nach einer zufälligen Sehne die Rede war.
Mir persönlich gefällt Lösung 2 am besten, obwohl ich selbst auf Lösung 1 zuerst kam. Dumm nur, dass es auch da einen Haken gibt:
Sie ist nicht ganz korrekt, da man von der Anzahl der Punkte auf die Anzahl der Sehnen schließt, was nur ginge, wenn jeder Punkt zu genau einer Sehne führen würde. Das ist aber nicht bei JEDEM Punkt der Fall: Der Mittelpunkt des Kreises hat ja rotierend schon selbst unendlich viele Sehnen (Durchmesser). Das verfälscht doch das Ergebnis.
Dann verstehe ich nicht ganz die Wichtigkeit des verwendeten Terminus 'zufällige Sehne'. Wenn das nicht wohldefiniert genug ist, könnte man doch einfach die Frage umformulieren in
"Wieviel Prozent aller möglichen in einen Kreis gezeichneten Sehnen sind länger als die Seite des einbeschriebenen gleichseitigen Dreiecks? "
Dann hätte das Ganze nichts mehr mit Zufallsexperiment zu tun. Hätte man dann nicht trotzdem die gleichen unterschiedlichen Lösungsansätze bzw Lösungen?
So then, Llyle\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Hallo Llyle,
ich hab nur kurz Zeit, möchte Dir aber etwas dazu sagen:
Du hast eigentlich genau den Kern des Problems getroffen. Jede der Lösungen, mag sie noch so gut formuliert sein, wirft irgendwelche Probleme auf. Das ist auch der Sinn dieser Aufgabenstellung und sie ist auch sehr bekannt, so dass Du davon ausgehen kannst, dass man da nicht von Fehlern sprechen kann. Eher ist es so, dass man eben daran sieht, dass man erst ein ordentliches Wahrscheinlichkeitsmaß benötigt, bevor man sinnvoll von Wahrscheinlichkeiten sprechen kann.
Je nachdem was für ein solches Maß dann verwendet, kann dann die ein oder andere Lösung richtig sein.
Gruß,
Felix\(\endgroup\)
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Hi Felix,
schade, dass Du nur kurz Zeit hattest. Ja, klar, bevor man sinnvoll von Wahrscheinlichkeiten sprechen kann, benötigt man ein ordentliches Wahrscheinlichkeitsmaß. Dem Widerspreche ich nicht.
Doch trotzdem sehe ich in den Ansätzen Widersprüche und kann nicht akzeptieren, dass sie einzeln Lösungen sein sollen, für die entsprechenden Zufallsexperimente, wenn sie einen Widerspruch in sich selbst haben.
Später speche ich ja schon nicht mehr von Wahrscheinlichkeiten sondern von Prozent, was wohl nicht von einem ordentlichen Wahrscheinlichkeitsmaß abhängen dürfte und trotzdem auf das gleiche Paradoxon hinausläuft.
Für mich bleiben zwei Fragen:
1. "Hat ein großer Kreis mehr Tangenten als ein kleiner oder haben beide gleichviele?"
Da ich alle vier Lösungen als widerlegt betrachte:
2. "Wieviel Prozent aller möglichen in einen Kreis gezeichneten Sehnen sind länger als die Seite des einbeschriebenen gleichseitigen Dreiecks?"
So then, Llyle\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Hallo Llyle,
Zur ersten Frage kann ich Dir mit einem klaren "Nein" antworten. Das liegt daran, dass jeder Kreis, zumindest im Falle, dass man reell arbeitet überabzählbar viele Tangenten hat. Du kannst Dir das Ganze mit einfachen Mitteln bildlich begreifbar machen.
Wenn Du auf ein Blatt Papier nimmst, kannst Du Dir zwei Kreise mit gleichem Mittelpunkt und unterschiedlichem Radius aufzeichnen. Zu jedem Punkt auf den Kreislinien er hälst Du nun genau eine Tangente an den Kreis, die durch jenen Punkt läuft. Das ist soweit nicht schwer. Um jetzt zu sehen, ob der eine mehr oder weniger Tangenten hat betrachten wir uns die Verbindung von den Kreispunkten zum Mittelpunkt. Wenn wir uns einen Punkt auf dem größeren Kreis wählen und von diesem die Verbindungslinie zum Mittelpunkt zeichnen, erhalten wir immer einen Punkt auf dem kleineren Kreis, an den wir auch eine Tangente legen können. Für unterschiedliche Punkte auf dem äußeren Kreis erhalten wir auch unterschiedliche Punkte auf dem inneren Kreis, nur dass die näher beieinander liegen. Also hat der innere Kreis mindestens soviele Tangenten, wie der äußere. Das gleiche machst Du nun für die Punkte auf dem inneren Kreis und erhälst das gleiche Ergebnis. Also haben beide Kreise gleich viele Tangenten.
Um hier davon reden zu können, wie viele der Tangenten in dem Kreis länger als die Seitenlänge des einbeschriebenen gleichseitigen Dreiecks sind, brauchst Du auf jeden Fall ein Maß, also eine vorher definierte Mengengröße. Dadurch, dass Du von % sprichst, bin ich davon ausgegangen, dass das Ganze (also alle möglichen Sekanten) 100% entsprechen sollen. Damit erhälst Du ein normiertes Maß, welches wiederum direkt ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist, auch wenn Du kein Zufallsexperiment machst, sondern ganz gezielt alle Möglichkeiten aufmalst.
Sobald Du nun ein solches Maß hast, ob Wahrscheinlichkeitsmaß oder nicht, verschwinden auch die auftauchenden Widersprüche, die Du in den Ausführungen gefunden hast. Ohne das Maß macht es dagegen keinen Sinn.
Deshalb kann man Dir auf die so gestellte Frage auch keine Antwort geben, bevor Du ein Maß angegeben hast.
Vermutlich erscheint das spitzfindig, aber eine bessere Lösung habe ich nicht für dieses Problem und sie entspricht auch dem, was ich bisher an der UNi gelernt habe.
Gruß,
Felix \(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Hi Felix,
Ok, ich sehe ein, dass auch % eine Art Maß vorraussetzt.
Zum Tangentenproblem: Für mich ist gerade die Dichte dort der springende Punkt. Auf dem kleinen Kreis sind die Punkte dichter, wenn es gleichviele gibt.
Wenn es nun so ist, dass der kleinere Kreis die gleiche Anzahl von Punkten und somit Tangenten hervorbringt, dadurch dass sie dichter liegen, dann könnte man doch auch in Lösung 1 sagen, dass der rot markierte Kreisbogen gegenüber des Sehnenanfangspunktes gleichviele Punkte und somit gleichviele Sehnen hervorbringt, wie die beiden gelb markierten Kreisbögen neben dem Anfangspunkt zusammen, und dass die Punkte auf dem roten Bogen nur eben dichter liegen.
Auch das kann man sich leicht mit einfachen Mitteln bildlich begreifbar machen.
Wenn Du ein Blatt Papier nimmst und die Skizze für die erste Lösung abzeichnest, dann die Tangenten an die zwei dem Anfangspunkt gegenüberliegenden Dreieckspunkte anzeichnest, ergibt sich ein Schnittpunkt direkt gegebüber des Anfangspunktes ausserhalb des Kreises. Wenn man von dort aus nun den Kreis schneidet ergeben sich immer zwei Schnittpunkte: einer auf dem roten Kreisbogen und einer dahinter auf einem gelben. Also gibt es gleichviele Punkte im roten Bereich und im gelben. (Nur dass die Punkte auf dem roten Kreisbogen eben dichter liegen). Dann müsste also das Verhältnis der günstigen und ungünstigen Fälle nicht 1:2 sondern 1:1 sein.
Ich sehe ja ein, dass man es eben so aber auch so betrachten kann. Was ich nicht einsehe ist, dass man es in Lösung 1 (und in Lösung 3) zunächst so vorraussetzt und im gleichen Gedankengang später anders vorraussetzt.
Einmal wird die Betrachtung der Unendlichkeitsichte als Mittel für den Ansatz benutzt und drei Zeilen später wird vorrausgesetzt, dass es sie nicht gibt. Für mich ist das ein Widerspruch in sich.
So then, Llyle\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Hallo Llyle,
die Ansätze von Dir sind sehr interessant. Da die hier nötige Maßtheorie alles andere als mein Spezialgebiet ist, benötige ich doch einiges an Zeit um eine sinnvolle Diskussion führen zu können. Zeit, die ich momentan nicht habe. Deshalb muss ich die Diskussion an dieser Stelle leider unterbrechen oder weiter geben.
Gruß,
Felix\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Ich glaube, hier wird zu kompliziert gedacht. Meine Idee wird das Problem zwar nicht lösen, aber trotzdem eine Erklärung für den Unterschied der ersten beiden Lösungen geben.
Im ersten Beispiel werden die Sekanten über zwei Punkte definiert, die auf dem Kreis liegen. Zu zwei Punkten gibt es genau eine Sekante. Ich gehe mal davon aus, dass die Rechnung im ersten Beispiel tatsächlich stimmt.
Im zweiten Beispiel wird eine Sekante über ihren Mittelpunkt definiert. Liegt dieser innerhalb des kleinen Kreises, so ist sie länger als eine Dreiecksseite. Indirekt wird davon ausgegangen, dass eine Sekante über ihren Mittelpunkt eindeutig definiert ist. Und hier ist der Fehler:
Der gemeinsame Mittelpunkt beider Kreise ist der Mittelpunkt unendlich vieler Sekanten, wird aber im zweiten Beispiel nur "einmal gezählt". Es mag sein, dass jeder andere Punkt des Inkreises genau eine Sekante definiert, aber beim Mittelpunkt ist das nicht so.
Durch diese Betrachtung fallen also einige Sekanten beim zweiten Beispiel raus, die beim ersten Beispiel mitgezählt werden. Nun könnte man sagen, gut, dann zählen wir eben den Mittelpunkt nicht mit, dann haben wir immer noch ein Viertel, weil die Fläche des Punktes gleich Null ist. Dann müsste man aber im ersten Beispiel die unendlich vielen Durchmesser, die man dort mitgezählt hat, wieder abziehen, um gleiche Bedingungen für die Experimente zu schaffen.
Ich persönlich weiß nicht, wie man ausrechnen könnte, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Durchmesser als Sekante gewählt wird. Vielleicht fällt ja einem von euch etwas dazu ein.
Viele Grüße,
Christian.\(\endgroup\)
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\(\begingroup\) Ich möchte die Diskussion hier nochmal aufnehmen, unter anderem weil ich jetzt ein wenig mehr Ahnung von Maßtheorie habe und auch weil ich glaube, dass mittlerweile mehr Leute da sind, die sich damit weiter auskennen.
Zunächst möchte ich einmal Christians Problem anerkennen und die Frage aufgreifen: Gibt es eine Sekantenlänge die sich durch die Anzahl der Sekanten dieser Länge den anderen gegenüber auszeichnet?
Nehmen wir den Ansatz mit den Mittelpunkten auf und sagen, dass jeder Punkt eindeutig eine Sekante bestimmt, deren Mittelpunkt er ist. Dadurch bekommen wir das Problem, dass das mit dem Mittelpunkt (des Kreises) nicht funktioniert, da dieser der Mittelpunkt von sogar überabzählbar vielen Sekanten ist. Es zeigt sich nun aber, dass alle Mittelpunkte zu Sekanten gleicher Länge auf einer Kreislinie, die zum ursprünglichen Kreis konzentrisch ist. (Ausnahme Mittelpunkt)
Bilden wir nun eine Strecke vom Mittelpunkt zum Kreisrand. Wir erhalten so einen Mittelpunkt zu einer Sekante jeder möglichen Länge. Lassen wir diese Strecke nun einmal rotieren, so erhalten wir jede Sekante einmal, bis auf die Sekanten durch den Mittelpunkt. Die bekommen wir doppelt. Dies hieße also dass es zu beliebiger Länge ]0,d[ doppelt so viele Sekanten gäbe, wie zur Länge d.
Nehmen wir nun an, dass die Punkte in ]0,d] gleichverteilt sind, jeder Punkt also mit der gleichen Wahrscheinlichkeit getroffen wird. Das heißt wir bekommen nun jede Länge aus ]0,d[ mit gleicher Wahrscheinlichkeit, nur die Länge d mit halber Wahrscheinlichkeit. So könnten wir aus Lösung vier auch noch eine Lösung 5 machen:
Der Einfachheit setze ich d=1, denn was für Tangenten gilt, gilt auch für Sekanten, ich kann zu jeder Sekante im kleineren Kreis eine eindeutig bestimmte Sekante im größeren Kreis finden (z.B. Verhältnis von Abstand des Mittelunkts zum Rand zu Radius).
Wir betrachten die Gleichverteilung auf ]0,2[ und ordnen jedem Punkt x eine bestimmte Länge zu. Und zwar auf folgende Weise: x<=1 impliziert Sekantenlänge=x und x>1 impliziert Sekantenlänge=2-x (x-1 würde zu einem äquivalenten Ergebnis führen). So bekommen wir also jede Länge mit der vorher bestimmten Wahrscheinlichkeit.
Die Wahrscheinlichkeit für Sekantenlänge>sqrt(3)/2 ((größer als die Seite des gleichseitigen Dreiecks)) ist dann 2*(1-sqrt(3)/2)\approx 0.266
Auch bleibe ich dabei, dass die oben genannten Lösungen in sich stimmig sind. Der Widerspruch, der scheinbar in ihnen auftaucht entsteht erst, wenn man die einzelnen Varianten miteinander vermixt und die Kriterien der einen Lösungsvariante auf die der anderen anwendet.
Gruß,
Felix\(\endgroup\)
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