(i) N besitzt ein erstes Element, genannt 0. (ii) zu jedem Element gibt es genau einen Nachfolger . (iii) 0 besitzt keinen Vorgänger. (iv) zu jedem , gibt es einen Vorgänger , so dass: (v) Wenn eine Teilmenge ist, für die gilt: und: , so ist .
Bezeichnungen:
usw. Definition: Addition in N:
Definition Multiplikation in N:
Schaukel-Lemma: Beweis durch Induktion nach .
Induktionsanfang: Induktionsschluss von
Beweise:
Lemma 1:
Beweis durch Induktion nach : Induktionsanfang: Induktionsschluss von
Korollar 1: Aus der Definition von '+' (,in der gesagt wird, dass ,) und Lemma 1 folgt:
zu I: Beweis durch Induktion nach m: Induktionsschluss:
zu II: Beweis durch Induktion nach m: Induktionsschluss:
Lemma 2: Beweis durch Induktion nach :
ist wahr (Def. von '' ) Induktionsschluss:
Korollar 2: Aus der Definition von '' (,in der gesagt wird, dass ,) und Lemma 2 folgt:
zu III: Beweis durch Induktion nach m:
zu IV: (Induktion nach a)
Korollar 3: Aus dem Kommutativgesetz der Multiplikation und dem Distributivgesetz folgt:
\(\begingroup\)Uups , der Tippo sollte natürlich nicht so sein!
Das passiert, wenn man beim Schreiben bzw. TeXen "The very Best of Beach Boys" hört!
Da kann man sich nicht 100%ig konzentrieren !
thx for correction.
DaMenge\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo !
Grossen Dank zuerst mal an DaMenge für die ausführlichen und klar verfassten Beweise !
Bei der Definition der Multiplikation hab ich ein seltsames Gefühl. Wird da nicht indirekt die Assoziativität der Addition vorausgesetzt, wenn man mehr als 2 Terme addiert ohne Klammern?
Könnte man die Multiplikation nicht anders definieren, z.B.:
n.0=0.n:=0
n.1:=n
n.k*:=(n.k)+n \(\endgroup\)
Erstens muss ich sagen, dass mein Prof die Multiplikation so eingeführt hat, ich das aber eher begrüße, denn die obige Definition ist ja gerade die einleuchtende, die wir seit Kinder-Tagen haben : wenn ich 3 Äpfel habe, dann sind das so viel wie 3 mal einen Apfel (wenn man von idealen Äpfeln ausgeht).
Und zum Thema Assoziativgesetz : Versuch es doch mal mit den obigen Definitionen zu beweisen, ohne Distributivgesetze etc. zu verwenden - ich meine damit, dass gerade das Assoziativgesetz schwierig aus den Definitionen folgt, weil man alles Andere vorher noch beweisen musste !
Ich werde mir mal Gedanken zu "deiner" Definition der Multiplikation machen..
Aber es ist schön zu hören, dass dieser Artikel geholfen hat
MFG
DaMenge\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Ich finden die Beweise gut und einleuchtend. Jedoch konnte ich damit nicht so viel anfangen, da ich die Beweise im Hinblick auf die reelen Zahlen suche!\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Diesen Artikel habe ich beim Durchstöbern gefunden und muss sagen, dass er sehr ausführlich und gut verständlich geschrieben ist. \(\endgroup\)
\(\begingroup\)
Hi, Anonymous !
Es gelten ja die Definitionen__:
2:=1^\*
3:=2^\*
4:=3^\*
Damit und mit den im Artikel angegebenen Rechenregeln folgt
2+2=2+1^\*=(2+1)^\*=(2^\*)^\*=3^\*=4
Liebe Grüße, Franz
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)
Axiom (iv) besagt: es gibt nur ein Element, das nicht der Nachfolger eines anderen ist, und das ist (bzw. nennt man) 0.
(0)* ist der Nachfolger der 0.
((0)*)* ist einerseits der Nachfolger des Nachfolgers der 0 und andererseits der Nachfolger von (0)*.
Evtl. mußt Du die Frage genauer stellen?
Gruß
Matroid\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Genauere Formulierung
Wie hindert mich Axiom (iv) daran alle Nachfolger der Null
gleichzusetzen.
So dass letztlich die Menge N nur die Elemente {0,(0)*}
enthält?\(\endgroup\)
\(\begingroup\)
Stimmt, das scheint nicht ausgeschlossen zu sein. Müßte man also in (iv) ergänzen: 'gibt es genau ein'?
Ich frage mal in die Runde!
Gruß
Matroid
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Ja. Bei einer Peano-Stuktur fordert man die Injektivität der Nachfolgerfunktion. Ansonsten erhält man, wie du schon gesehen hast, den pathologischen Fall {0,0*}, und die Isomorphie der Peano-Strukturen ist auch nicht mehr gegeben.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)
Hallo, Anonymer!
Du hast Recht, \IN:=menge(0,1) wäre ein Modell des Axiomensystems
aus dem Artikel, wenn man 0^\*=1^\*=1 und natürlich 0!=1 setzt.
Denn das dortige Axiom \(iv) besagt nur,
daß die Nachfolgerfunktion \* : \IN->\IN array(nicht surjektiv)__ ist,
sondern die Wertemenge \IN \\ menge(0) hat.
Soweit ich die Peano\-Axiome kenne, sollte es aber die Injektivität__
der Nachfolgerfunktion fordern, daß also voneinander verschiedene
natürliche Zahlen auch unterschiedliche Nachfolger haben:
(iv'): a^\*=b^\* => a=b
Liebe Grüße, Franz
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Mir kommt es so vor, als würde für den Induktionsschluss zum Beweis von
$n + 0 = 0 + n$
unter anderem Folgendes als wahr angenommen:
$(n + 0)* = (0 + n)*$
Aber dann bräuchte man doch keine Induktion für den Beweis?
Das folgt doch direkt aus den Axiomen.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Anonymer!
(n+0)*=(0+n)* ist an dieser Stelle nur eine einfache Folgerung aus der Induktionsannahme n+0=0+n.
Diese Folgerung gründet sich darauf, daß die Nachfolgerfunktion eine Funktion ist (sodaß also durch sie jeder natürlichen Zahl genau eine natürliche Zahl zugeordnet wird:
Aus a=b folgt dann a*=b*.
Liebe Grüße, Franz
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi DaMenge,
ich bin kein großer Freund von solchen ausgedehnten Beweisen (bin auch kein Mathematiker); doch wenn einer wie dieser hier präsentiert wird, seien folgende Fragen erlaubt:
Was bedeutet in (i) "ein erstes Element"?
N ist nach der Notation eine Menge, und bei dieser kommt es nicht auf die Reihenfolge ihrer Elemente an. Man könnte also z. B. auch {5,10,2,1,3, ...} schreiben, ganz abgesehen davon, daß die anschließende Verwendung der drei Punkte, die wohl andeuten sollen, daß es sinngemäß "immer so weiter geht", in anderen Bereichen der Mathematik nicht gern gesehen ist.
Wenn (i) gilt: warum ist dann noch (iii) nötig?
Und was heißt überhaupt "Vorgänger" und "Nachfolger": wo werden diese Begriffe definiert/erklärt?
Ich bitte, mir das Vorstehende und mein Unverständnis nicht übelzunehmen.
Viele Grüße,
Hans-Jürgen
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@Hans-Jürgen:
@i "erstes" ist hier dekorativ. 0 ist zwar das kleinste Element von IN (und daher tatsächlich das erste in der natürlichen Ordnung), aber das ist nicht Teil der Definition.
@iii "Nachfolger" wird in ii definiert. Die Funktion, die dort mit * bezeichnet wird, ist die Nachfolgerfunktion. n ist umgekehrt der Vorgänger von m, wenn m*=n ist.
mfg Gockel.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Gockel!
Ich bin auch erst jetzt auf diesen Artikel gestoßen und will noch eine Frage zu Deiner Antwort auf Hans-Jürgen anschließen.
Könnte man nicht die Definitionen i) und iii) zusammenzufassen und nach der Erklärung der Nachfolgefunktion in ii) zu schreiben:
\"Es gibt ein Element n_0 in \IN das nicht selbst Nachfolger eines (anderen) Elements aus \IN ist."
Das müßte doch genügen, oder?
Viele Grüße, Bernhard\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Nein, das wäre ja noch schwächer. iii fordert wenigstens, dass genau ein Element ohne Vorgänger existiert, deine Formulierung lässt beliebig viele solcher Elemente zu.
mfg Gockel.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Gockel!
Wieso?
Vorher steht doch:
(ii) zu jedem Element n\el\ \IN gibt es genau einen Nachfolger.
Ist hiermit dasselbe gemeint wie:
Zu jedem Element n\el\ \IN gibt es genau einen Nachfolger \red\ in \IN\black\?
So hatte ich es jedenfalls verstanden.
Damit wäre die - ununterbrochene - Kette der Elemente definiert und daraus ergibt sich, daß es nur ein Element geben kann, das nicht selbst Nachfolger ist.
Viele Grüße, Bernhard \(\endgroup\)
\(\begingroup\)Dann hast du es falsch verstanden. Der Punkt ii meint genau das, was da steht und nichts anderes. Dass es genau einen Nachfolger für jedes Element gibt, heißt nichts anderes als dass die Nachfolgerfunktion eben wirklich eine Funktion ist. Wie diese Funktion aussieht, wird (noch) nicht gesagt.
iii fordert z.B., dass 0 nicht im Bild ist. iv fordert, dass ihr Bild genau $\mathbb{N}\setminus\lbrace 0\rbrace$ ist.
Mit dem Induktionsaxiom kann man beweisen, dass das Bild der Nachfolgerfunktion $\mathbb{N}$ oder eben $\mathbb{N}\setminus\lbrace 0\rbrace$ ist. (Insbesondere ist Axiom iv überflüssig, wenn man das Induktionsaxiom hat)
mfg Gockel.\(\endgroup\)
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2023-03-27 00:20 U <
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gibt es genau einen Nachfolger 
. 
, gibt es einen Vorgänger 
, so dass: 
eine Teilmenge ist, für die gilt: 
und: 
, 
. 
usw. 
. 
: 
,) und Lemma 1 folgt: 
ist wahr (Def. von '
' ) 
,) und Lemma 2 folgt: 
(Induktion nach a) 
(Induktion nach b) 
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