Mathematik: Über Widerspruchsbeweise
Released by matroid on So. 27. Oktober 2002 08:40:33 [Statistics]
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Mathematik

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IX}{\mathbb{X}} \newcommand{\IW}{\mathbb{M}} \newcommand{\politician}[1]{\text{Ich habe die Frage nicht verstanden. #1}} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Varianten des Widerspruchsbeweises Es gibt zwei Arten des Widerspruchsbeweises.
Die Unterschiede möchte ich erklären.

Die beiden möglichen Varianten nenne ich die Echte und die Pseudo.
Die Unterscheidung zwischen Echt und Pseudo treffe ich anhand des Widerspruchs, der sich erweist.

Die Behauptung (A=>B) soll bewiesen werden.


Der Pseudo-Widerspruchsbeweis

Man setzt A voraus und nimmt an, daß ¬B gilt.
Durch geeignete Argumentation kommt man zu dem Ergebnis, daß dann A nicht gelten kann.

Eigentlich handelt es sich bei diese Variante aber nicht um einen Widerspruchsbeweis, sondern um den direkten Beweis der Kontraposition.
Denn hätte man A nicht vorausgesetzt, dann hätte man aus ¬B auch schon ¬A folgern können, und somit den direkten Beweis der Kontraposition (¬B=>¬A) gegeben.
Den 'direkten Beweis der Kontraposition' nennt man 'indirekten Beweis'.
[Die Kontraposition (Umkehrung) der Aussage (A=>B) lautet (¬B=>¬A), und beide Aussagen sind logisch äquivalent.]

Der echte Widerspruchsbeweis

Man setzt A voraus und nimmt an, daß ¬B gilt. Daraus folgert man durch geeignete Argumentation, daß auch B gilt. An diesem Widerspruch muß die Annahme ¬B schuld sein.
Wenn aber ¬B nicht gelten kann, dann muß (in einer zweiwertigen Logik) eben B gelten.

Beispiel Wurzel-2

Zur Verdeutlichung dieser Unterscheidung erinnere ich an den Beweis der Behauptung: '$\sqrt{2}$ ist irrational'.

Zunächst fällt auf, daß in der Behauptung keine Folgerung enthalten ist, wenigstens ist diese nicht deutlich.
Ich formuliere darum anders:

(x²=2) => x ist irrational
Beweisidee: Zeige (x²=2 Ù x ist rational => Widerspruch).
Der Widerspruch könnte darin bestehen, daß sich ergibt, daß dann x²¹2 ist (das wäre die erste, pseudo Variante), oder, daß x nicht rational sein kann (die zweite, echte Variante).
Im bekannten Beweis dieser Behauptung ergibt sich der Widerspruch gegen die Annahme, daß Wurzel 2 rational ist - der Wurzel-2-Beweis ist ein echter Widerspruchsbeweis.

Zusammenfassung

Wenn sich bei einem Widerspruchsbeweis der Behauptung (A=>B) ein Widerspruch (AÙ¬A) ergibt, dann handelt es sich im Grunde um einen direkten Beweis der Kontraposition (so etwas bezeichne ich als Pseudo-Widerspruchsbeweis).
Ergibt sich aber der Widerspruch (BÙ¬B), dann ist es ein echter Widerspruchsbeweis.

Kann man denn immer beide Wege gehen?

Nein, in den seltensten Fällen. Ein Widerspruchsbeweis ist unumgänglich, quasi obligatorisch, wenn gezeigt werden soll, daß eine bestimmte Eigenschaft nicht vorliegt. Es bleibt einfach keine Wahl, wenn man für die behauptete Eigenschaft keine positiven Kriterien kennt (Beispiel: irrational), aber das Gegenteil der Behauptung zuverlässig erkennen kann.

Nur in den wenigsten Fällen kann man beide Varianten an einer Behauptung vorführen.
Heute habe ich ein solches multiples Beispiel gefunden und werde nun beide Varianten ausführen.

Beispiel: "ungerade"

Behauptung: Wenn n³ durch 2 teilbar ist, dann ist auch n durch 2 teilbar

Zuerst der naheliegende

Pseudo-Widerspruchsbeweis

Sei n³ gerade.
Angenommen n ist ungerade, dann ist n = (2k+1), mit einem k aus IN.
Dann ist n³ = (2k+1)³ = 8k³ + 12k² + 6k + 1.
Die Summanden 8k³, 2k² und 6k sind alle gerade.
Eine gerade Zahl plus 1 ergibt eine ungerade Zahl, und das bedeutet einen Widerspruch zur Voraussetzung, daß n³ gerade ist.

Soweit der Pseudo-Widerspruchsbeweis. Nun ein

Echter Widerspruchsbeweis

Sei n³ gerade. Angenommen n ist nicht gerade.
(Diesmal will ich folgern, daß die Annahme nicht haltbar ist.)

Es ist n³ gerade, wenn es durch 2 teilbar ist (= beim Teilen durch 2 den Rest 0 läßt).
Also ist n³/2 eine ganze Zahl, und darum kann man eine ganze Zahl k finden, mit der gilt: n³ = 2k.

Es ist

n³ = n*n² = 2k

<=> (n*n²)/2 = k

Das k ist eine ganze Zahl. n ist nach Annahme ungerade, darum nicht durch 2 teilbar. Also ist n² durch 2 teilbar, denn wenn ein Produkt durch 2 teilbar ist, dann muß einer der Faktoren durch 2 teilbar sein.

Wenn n² durch 2 teilbar ist, dann gibt es eine ganze Zahl m, für die gilt: n² = 2m. Somit ist n² = n*n = 2m.

<=> (n*n)/2 = m. Das m ist eine ganze Zahl. n ist nach Annahme ungerade, darum nicht durch 2 teilbar. Da nun aber keiner der beiden Faktoren (n und n) durch 2 teilbar ist, erweist sich, daß die Annahme, daß n nicht durch 2 teilbar ist, nicht zu halten ist.

In diesem Beispiel sind beide Varianten des Widerspruchsbeweisen möglich, weil sowohl die positive Eigenschaft (gerade) als auch die negative Eigenschaft (nicht gerade = ungerade) genau erkannt und charakterisiert werden können.

Ist der Pseudo-Widerspruchsbeweis denn kein Beweis?

Doch, es ist ein Beweis - kein Zweifel. Kann man die Kontraposition beweisen, dann ist die ursprüngliche Behauptung damit bewiesen.

Oft enthält ein mathematischer Beweis mehrere Beweistechniken in bunter Mischung.
Manchmal sind die Übergänge fließend, vielleicht auch, weil der Autor nicht beabsichtigt hat, eine reine Anwendung der einen oder anderen Technik vorzuführen.

Nun gilt für Beweise in der Mathematik (möglichst) das KUSS-Ideal (Kurz Und Sehr Schön), und es bleibt dem Leser überlassen, kurz und schön gegeneinander abzuwägen und seine persönliche Entscheidung zu treffen.

Matroid 2002

PS: Auch der echte Widerspruchsbeweis macht keinen Gebrauch von Sätzen der Zahlentheorie über Primfaktorzerlegungen.

\(\endgroup\)
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Widerspruchsbeweise [von Matroid ]  
Über Widerspruchsbeweise. Arten des Widerspruchsbeweises und Darstellung der Unterschiede.
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"Mathematik: Über Widerspruchsbeweise" | 8 Comments
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Re: Über Widerspruchsbeweise
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 28. Oktober 2002 23:45:28
\(\begingroup\)nice!\(\endgroup\)
 

Re: Über Widerspruchsbeweise
von: Grussmonster am: Di. 05. November 2002 01:15:24
\(\begingroup\)Gibt es eigentlich eine abgeschlossene Gruppe von Beweismethoden oder ist man da so variabel dass einfach anhand einer Basis nach dem KUSS-Ideal alles als Beweis gilt, was gültig und nachvollziehbar ist und man letztenendes dann dem "Kind einen Namen gibt", dass es z.B. ein Widerspruchsbeweis ist o.Ä.?\(\endgroup\)
 

Re: Über Widerspruchsbeweise
von: matroid am: Di. 05. November 2002 09:39:00
\(\begingroup\)Die Unterscheidung der Beweisarten: direkt, indirekt, induktiv ist zunächst für Erstsemester, die sich fragen: "Was mache ich hier eigentlich, und warum darf man das?".

Später, wenn die Beweise länger und aufwendiger werden, ist es guter Stil, mit einem einleitenden Wort oder geeigneten Zwischenbemerkungen dem Leser/Hörer zu helfen zu verstehen, wo man ist und was gerade gemacht wird oder werden soll. Etwa: "Der Beweis von Lemma 1 erfolgt mit Induktion", oder: "Unter der Annahme X werden wir einen Widerspruch zeigen".

Diese Ankündigung beeinflußt die Erwartungshaltung in vorteilhafter und entscheidender Weise.
Ich stelle mir das lustig vor, wenn der Beweis von "Wurzel(2) ist irrational" vorgeführt wird, aber die Hörer einen direkten Beweis erwarten.
Es müßte sich schon nach wenigen Worten jemand melden und den Dozenten darauf hinweisen, daß er da eine offensichtlich unbegründete und anscheinend falsche Aussage an der Tafel hat, nämlich 'Wurzel(2) = p/q'.

Ich könnte mir folgendes mathe-psychologisches Experiment vorstellen:
  1. Drei Gruppen von Versuchspersonen wird ein indirekter mathematischer Beweis vorgeführt.
  2. Der Gruppe 1 wird vor dem Vortrag gesagt, daß es sich um einen indirekten Beweis handeln wird.
  3. Der Gruppe 2 wird gesagt, daß ein Induktionssbeweis folgt.
  4. Der Gruppe 3 wird nichts gesagt.
  5. Allen Gruppen wird der gleiche Beweis von der gleichen Person vorgetragen.
  6. Die Aussage des Satzes ist (möglichst) allen Personen unbekannt und der Vortrag des Beweises erfordert etwa 10 Minuten.
  7. Es wird ein korrekter und vollständiger Beweis vorgetragen.
  8. Eine Diskussion während der Veranstaltung ist unzulässig.
  9. Nach der Veranstaltung beantworten alle Personen die Fragen in einem vorbereiteten Fragebogen.

Ich wette 100 Epsilon, daß die Personen in Gruppe 2 überwiegend unzufrieden sein werden, entweder haben sie Zweifel an der angeblich bewiesenen Aussage, oder sie haben das Gefühl, den Beweis nicht verstanden zu haben.

Man kann sagen: Beweise folgen vielfach erprobten und anerkannten Vorgehensmodellen.
Wenn unter Mathematikern gesagt wird: "indirekt", dann haben alle (ungefähr) die gleiche Vorstellung.

Vergleichbar ist das einem guten Freundeskreis, in dem die Witze bekannt und durchnumeriert sind.
Sagt einer "17", lachen alle.

Gruß
Matroid
\(\endgroup\)
 

Re: Über Widerspruchsbeweise
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 22. November 2002 16:13:38
\(\begingroup\)Gerald Irsigler:

Ich moechte ein wenig ueber Widerspruchsbeweise diskutieren, habe eine eigene "Theorie" dazu !

Zuerst aber mal eine (via Widerspruchsbeweis loesbare) Aufgabe:

1) Der Graph eines geschlossenen Roesselsprunges auf dem 8x8 Schachbrett kann nicht so dargestellt werden, dass der Graph des Weges bei jeder 90 Grad-Drehung drehsymmetrisch bleibt.













\(\endgroup\)
 

Re: Über Widerspruchsbeweise
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 17. Dezember 2002 20:02:36
\(\begingroup\)Wer kann diese Aufgabe lösen: "Beweise das die Wurzel aus 5 nicht rational ist"\(\endgroup\)
 

Re: Über Widerspruchsbeweise
von: matroid am: Di. 17. Dezember 2002 23:40:55
\(\begingroup\)Siehe Der unendliche Abstieg oder allgemein für Primzahlen hier.

Gruß
Matroid\(\endgroup\)
 

Re: Über Widerspruchsbeweise
von: Martin_Infinite am: Sa. 18. Oktober 2003 17:00:38
\(\begingroup\)Super Artikel Matroid!

Habe die beiden Widerspruchsbeweistypen
neulich selbst zu spüren bekommen *g*

Es ging um die Injektivität einer Abbildung. Ich
ging von F(x)=F(y) aus und erhielt nicht x=y,
sondern einen Widerspruch! Bloß wie komme ich
von einem Widerspruch zu x=y? Gar nicht, man
muss den Beweis anders denken. Sei x ungleich y.
Nun angenommen es ist F(x)=F(y). Tja und daraus
habe ich ja einen Widerspruch schließen können,
womit die Annahme von F(x)=F(y) falsch sein muss.
Also hat man direkt die Kontraposition gezeigt,
man muss bloß drauf kommen! 😄

Gruß
Martin\(\endgroup\)
 

Re: Über Widerspruchsbeweise
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 21. März 2014 14:36:02
\(\begingroup\)Erstmal danke ich finde das sehr gut beschrieben ich habe eine Frage weil mir was nicht klar ist Du sagst n ist nach Annahme ungerade, darum nicht durch 2 teilbar. Also ist n² durch 2 teilbar, nun meine Frage wenn n=3 dann ist 3*3=9 und 9 ist nicht durch 2 teilbar kannst du mir sagen wo mein denkfehler ist \(\endgroup\)
 

 
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