Mathematik: Berechnung des Kreisinhalts und Kreisumfangs
Released by matroid on Sa. 14. Dezember 2002 17:23:32 [Statistics]
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Mathematik

\(\begingroup\) Obersummen am Viertelkreis Wie kann man den Flächeninhalt und den Umfang eines Kreises annähernd berechnen, wenn man aus dem Mathematik-Unterricht bislang nur
  • die Flächenberechnungen vom Rechteck, Parallelogramm und Dreieck sowie
  • den Satz von Pythagoras über die Quadrate des rechtwinkligen Dreiecks
kennt?



Berechnung des Kreisinhalts mit Ober- und Untersummen

Unser Ziel lautet:

Gegeben sei ein beliebiger Kreis mit Radius R.

Finde eine Berechnungsformel
für den Flächeninhalt F
des Kreises.

Zunächst teilen wir den Kreis in vier gleiche Teile, indem wir durch den Mittelpunkt zwei senkrecht aufeinander stehende Geraden zeichnen. Wir wollen zunächst nur den Flächeninhalt des Viertelkreises berechnen.

Auf der horizontalen Achse teilen wir den Radius in n gleiche Strecken auf (siehe Grafik für n=4) und zeichnen durch die Punkte Parallelen zur senkrechten Achse.

Diese Parallelen schneiden den Viertelkreis. Von den Schnittpunkten fällen wir das Lot auf die jeweils links daneben liegende Gerade. Mit dieser Konstruktion erhalten wir (n-1) Rechtecke R1, R2, ..., Rn-1.

Jedes Rechteck Ri hat eine Breite von R/n.

Die Höhe hi können wir für das i-te Rechteck (in der Grafik wird das 3. Rechteck gezeigt.) nach dem Satz von Pythagoras ausrechnen:


Ausklammern von R und n ergibt:

Den Flächeninhalt aller Rechtecke bei der Aufteilung der horizontalen Achse in n gleiche Teile bezeichnen wir mit Untersumme Un. Hierfür ergibt sich die Berechnungsformel:



Zur Vereinfachung der Schreibweise benutzen wir das große griechische Sigma als Summenzeichen


Verschieben wir nun die Rechtecke, die die Untersumme bilden, um eine Spaltenbreite nach rechts und fügen links in der freigewordenen Spalte ein Rechteck mit der Länge R/n und der Höhe R ein.

Die so entstandene Gesamtfläche bezeichnen wir als Obersumme On. Hierfür gilt:

On = Un + R2/n
Offensichtlich gilt:
  • die Untersumme ist kleiner als der Flächeninhalt des Viertelkreises
  • die Obersumme ist größer als der Flächeninhalt des Viertelkreises
  • die Differenz zwischen Ober- und Untersumme beträgt R2/n
Wir haben eine Einschachtelung des Flächeninhalts F für den Kreis gefunden:
4 * Un < F < 4 * ( Un + R2/n )
 

Da mit wachsendem n, d.h. mit einer höheren Anzahl an Unterteilungen der horizontalen Achse, die Differenz zwischen Ober- und Untersumme immer kleiner wird, konvergiert die Folge der Ober- und Untersummen gegen den Flächeninhalt des (Viertel-)kreises.

Berechnung von \big\pi

Als Näherungen für \pi kann man am Einheitskreis mit Radius R=1.0 für unterschiedliche Unterteilungen die Unter- und Obersummen sowie den maximalen Fehler berechnen:


Unabhängig vom Radius des Kreises, ist das Verhältnis des Flächeninhalts zum Flächeninhalt des umschreibenden Rechtecks konstant, wobei die Konstante F/ R2 mit dem griechischen Buchstaben PI gekennzeichnet wird:

Anzahl Unterteilungen
n

n*Untersumme

n*Obersumme
max. Fehler
On-Un
42.49570906810244083.49570906810244081.0
102.90451832624831853.30451832624831840.4
203.02846487975498143.22846487975498150.2
403.086947734217013.18694773421701030.1

nun folgende höhere Werte für n für max.
Fehler 1/100 1/1000 und 1/10000:
4003.13644566709219453.14644566709219430.01
40003.14108800514810673.14208800514810660.001
400003.1415425065921573.1416425065921570.0001

 

Berechnung Kreisumfangs durch Ausschöpfung mit n-Ecken

Unser Ziel lautet:

Gegeben sei ein beliebiger Kreis mit Radius R.

Finde eine Berechnungsformel für den Umfang U und den Flächeninhalt F des Kreises.

Zunächst zeichnen wir ein einschliessendes Quadrat, dass den Kreis an genau vier Punkten berührt.

Bezeichnen wir allgemein mit sn die Kantenlänge, Fn den Flächeninhalt und mit Un den Umfang des regelmäßigen dem Kreis einbeschriebenen 2n-Ecks.

Nach dem Satz von Pythagoras gilt für die Kante s2, den Flächeninhalt F2 und den Umfang U2des Quadrates:


Berechnung der Kantenlängen eines einzelnen Segmentes

Nun beginnen wir einen iterativen Prozess, indem wir im Mittelpunkt jeder Sehne (=Kante sn) die Mittelsenkrechte errichten. Diese schneidet den Kreis. Den Schnittpunkt verbinden wir mit den Enden des Sehnenstückes sn und erhalten somit die Kanten sn+1 des 2n+1-Ecks.

Im ersten Schritt haben wir aus dem Quadrat ein Achteck gewonnen, das Achteck wird in ein Sechzehneck übergeführt, dann erhalten wir ein 32-Eck, ein 64-Eck usw.. Offensichtlich schmiegen sich die 2n-Ecke immer mehr dem Kreis an. Der Kreis wird von innen mehr und mehr ausgeschöpft.

Wir wollen eine Formel für die Berechnung des Flächeninhaltes und des Umfangs für solch ein 2n-Eck aufstellen: Es gelten nach Pythagoras folgende Gleichungen:

Setzen wir die zweite in die erste Gleichung ein, erhalten wir:
Nun können wir hintereinander die einzelnen Kantenlängen berechnen:

Berechnung der Umfänge

Nun können wir die Umfänge Un = 2n sn der regelmäßigen n-Ecke berechnen:

Berechnung der Flächeninhalte

Für die 2n einzelnen Dreieckssegmente (Grundfläche sn Höhe qn) können wir sofort die Flächeninhalte angeben.


Damit ergibt sich für die Flächeninhalte der regelmäßigen n-Ecke:

Interessanterweise treten beim Flächeninhalt die gleichen Zahlenfolgen, nämlich eine 2-er Potenz mit ineinandergeschachtelten Quadratwurzeln, auf wie bei der Umfangsberechnung.

Fn / R2 = Un-1 / 2R
Den Flächeninhalt des Kreises hatten wir bereits a.a.O. über Ober- und Untersummen berechnet. Von dort wissen wir, dass Fn / R2 gegen PI strebt.
Also muß genauso Un / 2R gegen PI streben.

F = PI * R2
U = PI * 2R

Von Rolf Schumann, Marl.

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Berechnung des Kreisinhalts und Kreisumfangs [von Rolf Schumann]  
Wie kann man den Flächeninhalt und den Umfang eines Kreises annähernd berechnen, wenn man aus dem Mathematik-Unterricht bislang nur die Flächenberechnungen vom Rechteck, Parallelogramm und Dreieck sowie den Satz von Pythagoras über die Quadrate des rechtwinkligen Dreiecks kennt?
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"Mathematik: Berechnung des Kreisinhalts und Kreisumfangs" | 10 Comments
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Re: Berechnung des Kreisinhalts und Kreisumfangs
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 15. Dezember 2002 13:50:10
\(\begingroup\)also ich finde deine berechnung ziehmlich unvollständig induktiv. Mit Grenzwerte könnte man das richtig biegen, es sei denn, du wolltest es "einfach" darstellen. Dann musst du aber zugeben, dass die hergeleiteten Forneln nicht beweisen sind.\(\endgroup\)
 

Re: Berechnung des Kreisinhalts und Kreisumfangs
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 15. Dezember 2002 15:54:59
\(\begingroup\)Du glaubst doch nicht im Ernst, dass sich jemand dieser Lösung bedienen wird, wenn er
"aus dem Mathematik-Unterricht bislang nur
die Flächenberechnungen vom Rechteck,[...]
kennt", oder?\(\endgroup\)
 

Re: Berechnung des Kreisinhalts und Kreisumfangs
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 26. Januar 2003 14:52:19
\(\begingroup\)Ich weiss ja nicht, aber ich check hier einfach gar nichts.\(\endgroup\)
 

Re: Berechnung des Kreisinhalts und Kreisumfangs
von: th1908 am: Fr. 01. Juli 2005 17:50:33
\(\begingroup\)Schüler, die bisher im Unterricht "nur die Flächenberechnungen vom Rechteck, Parallelogramm und Dreieck sowie den Satz von Pythagoras über die Quadrate des rechtwinkligen Dreiecks" behandelt haben, werden mit diesem Artikel nicht viel anfangen können. Am Anfang hört es sich noch schön einfach an, aber sobald die Grenzwertbetrachtungen ins Spiel kommen wird sehr viel gerafft und gekürzt. "Normale" Schüler der 9.Klasse hätten hier keine Chance mehr, dem Geschehen zu folgen und die Herleitung zu verstehen. \(\endgroup\)
 

Re: Berechnung des Kreisinhalts und Kreisumfangs
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 25. Oktober 2005 20:38:33
\(\begingroup\)Also ehrlich gesagt, ich habs mir 10 mal durchgelesen und ich verstehe immer noch nicht alles. Außerdem haben wir das in der Schule vollkommen anders gemacht (ich bin in der 10. Klasse Gymnasium). Es wäre besser wenn es anschaulicher erklärt wird!\(\endgroup\)
 

Re: Berechnung des Kreisinhalts und Kreisumfangs
von: huepfer am: Di. 25. Oktober 2005 21:00:08
\(\begingroup\)Hallo Anonymer, es so gemacht zu haben wie "wir in der Schule" ist kein Qualitätsmerkmal. Und ehrlich gesagt, finde ich den Artikel sehr wohl anschaulich. Aber natürlich muss das auch nicht jeder verstehen, da jeder irgendwie anders tickt. Wenn Du allerdings etwas nicht verstehst, dann wäre es sinnvoller, konkrete Frage zu stellen. Dann können wir Dir evt. weiter helfen. Gruß, Felix\(\endgroup\)
 

Re: Berechnung des Kreisinhalts und Kreisumfangs
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 21. Januar 2007 20:29:16
\(\begingroup\)ich raff nix\(\endgroup\)
 

Re: Berechnung des Kreisinhalts und Kreisumfangs
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 18. Oktober 2007 12:31:51
\(\begingroup\)diese rechnung ist richtig aber mann sollte es auch so gerecht fertigen das auch kinder im alter von 10jahren diese rechnung verstehen!strengt euch doch bitte mal an!! 😛 \(\endgroup\)
 

Re: Berechnung des Kreisinhalts und Kreisumfangs
von: huepfer am: Do. 18. Oktober 2007 14:29:52
\(\begingroup\)@Anonymous (Do. 18.10.07, 13:31) schon mal was davon gehört, dass man den Schwierigkeitsgrad nach dem Adressaten richtet. Wenn Du meinst, dass es einen Artikel zu dem Thema geben sollte, den auch 10-jährige verstehen, dann schreib doch einen solchen. Ach ja, die Aussage von Dir mag in manchem Bereich ja nachvollziehbar sein, aber man sollte sie auch einigermaßen korrekt darstellen 😛 Gruß, Felix\(\endgroup\)
 

Re: Berechnung des Kreisinhalts und Kreisumfangs
von: lula am: Fr. 21. März 2008 15:58:08
\(\begingroup\)Hallo Dass der Zusammenhang zwischen Umfang und Flächeninhalt so kompliziert aussieht ist schade. Grade für Schüler ist der Zusammenhang über eine komplizierte Summenformel, die - 0h Wunder - gleich ist wirklich wie ein Wunder. dabei wussten die Griechen das schon viel einfacher. Teil den Kreis in n Sektoren, leg sie abwechselnd mit Spitze und Grundseite nebeneinander, es entsteht ein "beinahe" Rechteck mit dem Umfang 2*r+U_k und der Fläche A_k=r*U_K/2. Daraus hat man sofort A_k/U_k=r/2 An der Darstellung für 9-te bis 10te Klasse hab ich schon das Summenzeichen auszusetzen, viele Studis im ersten Semester haben damit noch Schwierigkeiten. die zweite Frage ist: warum über die ungeheuer schlechte Approximation a la Riemannsumme, wenn im zweiten Teil die viel bessere über n-Ecke gemacht wird. weiter . warum nicht die bessere Approx. durch Mittelung zw. Ober und Untersumme (was der Trapezregel entspräche). oder warum nicht gleich Trapeze? junge Schüler sind mit Approximationen, die erst bei n=4000 eine grobe Genauigkeit liefern enttäuscht. bis dann lula\(\endgroup\)
 

 
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