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| "Rätsel und Spiele: Quadratzahlen" | 19 Comments | | The authors of the comments are responsible for the content. |
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\(\begingroup\)Die Aufgaben laufen alle nach dem gleichen Schema ab: allgemeine Form einer Zahl aufschreiben und noch ein bißchem umformen...
z.B. die erste Zahl:
1·(10n-1)/9·10n+5·(10n-1-1)/9·10+6=((10n+2)/3)2
Gruß
Dietmar\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Das mag sein, aber viele wie ich müssen sich da
erstmal die Reihen hinschreiben und dann Index-
verschiebung usw.. Und wie sehen dann die Wurzeln
aus?\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Aha. Wir sollen also nachweisen, dass es möglich mehrere Quadratzahlen untereinander zu schreiben? Oder wurden die Zahlenreihen nach einem festen Schema gebildet? Ich vermute eher nicht. Selbst wenn es bei den beiben ersten Zahlengroppen gewisse übereinstimmungen gibt, so ist die dritte Gruppe jedenfalls ganz anders.\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Hmm - Dann ist das noch nicht klar. Ok.
Betrachten wir z.B. die erste Pyramide.
16
1156
111556
11115556
1111155556
Sie wird regelmäßig gebildet - Jedes mal kommen
eine 1 und eine 5 dazu.
Genauso regelmäßig ist die dritte:
64
9604
996004
99960004
9999600004
Jedes mal kommen eine 9 und eine 0 dazu.
Die erste Zahl hat halt noch keine. Aber 64=8²
wäre ja kein Problem. Was eher ein Problem zu
sein scheint, ist diese Zahlen nur mit einem
Parameter auszudrücken. 😉
Gruß
Martin\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Also wenn niemand Lust hat, das zu lösen ...\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)------------------------------------------------
1. Aufgabe
Die x-te Zeile läst sich darstellen als:
f(x)=(100^x/9)+((4*10^x)/9)+4/9
=> sqrt( f(x) )=((10^x)+2)/3
------------------------------------------------
2. Aufgabe
Die x-te Zeile läst sich darstellen als:
f(x)=((4*100^x)/9)+((4*10^x)/9)+1/9
=> sqrt( f(x) )=((2*10^x)+1)/3
------------------------------------------------
3. Aufgabe
Die x-te Zeile läst sich darstellen als:
f(x)=(100^x)-(4*10^x)+4
=> sqrt( f(x) )=10^x-2
------------------------------------------------
(PS: interessante Aufgaben !)\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Ich weiß nicht, wie ihr darauf kommt 😉
Also so habe ich das bei der ersten gemacht:
\stopalign 16=10^1+6=sum(10^k,k=1,1)+6
1156=10^3+10^2+5*10^1+6=sum(10^k,k=2,3)+5*sum(10^k,k=1,1)+6
111556=10^5+10^4+10^3+5*10^2+5*10^1+6=sum(10^k,k=3,5)+5*sum(10^k,k=1,2)+6
11115556=10^7+10^6+10^5+10^4+5*10^3+5*10^2+5*10^1+6=sum(10^k,k=4,7)+5*sum(10^k,k=1,3)+6
#Also lautet die n-te Zahl:
sum(10^k,k=n,2n-1)+5*sum(10^k,k=1,n-1)+6=((sum(10^k,k=1,2n-1)-sum(10^k,k=1,n-1)))+5*sum(10^k,k=1,n-1)+6
=10*sum(10^(k-1),k=1,2n-1)+4*10*sum(10^(k-1),k=1,n-1)+6
=10*(10^(2n-1)-1)/(10-1)+40*(10^(n-1)-1)/(10-1)+6=(10^(2n)-10+4*10^n-40+6*9)/9
=(10^(2n)+4*10^n+4)/9=((10^n)^2+2*2*10^n+2^2)/3^2=((10^n+2)/3)^2
#Die Wurzel daraus ist also
(10^n+2)/3=(3*10^n+3*2)/(3*3)=(30*10^(n-1)-30+36)/9
=30*(10^(n-1)-1)/(10-1)+36/9=30*sum(10^(k-1),k=1,n-1)+4
=3*sum(10^k,k=1,n-1)+4=3*10^1+3*10^2+...+3*10^(n-1)+4
Also besteht die Wurzel der n-ten Zahl aus
(n-1) Dreien und einer 4 am Ende.
(doofe Formulierung, ich weiß)
sqrt(16)=4
sqrt(1156)=36
sqrt(1115566)=334
...\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Wenn man auf
"Lesen Sie den Rest des Kommentars..."
klickt, sieht man die Formel richtig.
Ansonsten dachte ich mir, dass man die anderen
Zahlen auch so auseinandernimmt. 😉\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Dann skizzier ich mal den Weg.
Wie kann man 5 Einsen (also die Zahl 11111) erhalten? Das ist ganz einfach:
(10^5-1)/9=99999/9=11111
bzw
(10^n-1)/9=999...999/9=111...111 # jeweils n 9-er bzw. 1-er
Wenn ich nun die Zahl 11115556 darstellen will, besteht die aus 4 1-en, die um 4 Stellen nach links verschoben sind, also 11110000=1111*104, 3 5-en und einer 6. Kann man auch so schreiben:
11115556=1*(10^4-1)/9*10^4+5*(10^3-1)/9*10+6
oder allgemein für die n-te Zeile der Pyramide:
(10^n-1)/9*10^n+5*(10^(n-1)-1)/9*10+6=(10^2n-10^n+5*10^n-50+9*6)/9
=((10^n)^2+2*2*10^n+4)/9
=((10^n+2)/3)^2
Und das ist zweifelsohne eine Quadratzahl.
Gruß
Dietmar
\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Aha! Also was findest du denn besser?
Deine Rechnung oder meine? Offensichtlich
musstest du dir ja nicht so viel Mühe machen!
😉
Naja und ich mache das wohl alles ein bisschen
zu kompliziert, kann das sein? Und wie würdest
du nun was über die Wurzel aussagen? Das ist
z.B. schon in meiner Rechnung miteinbegriffen.\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Naja bei ihm ist das mit der Wurzel ja nun noch offensichtlicher:)
Er muss einfach nur das Quadrat weglassen:)
Faust\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Den (offensichtlichen) Wert der Wurzel hat Martin ja auch drin und formt ihn dann um, so daß er was über die Ziffern aussagen kann (mit dem kleinen Schönheitsfehler, daß 36 nicht auf 4 endet :)
Ich würde anders argumentieren. Wenn ich das ()2 weglasse, habe ich
(10^n+2)/3=(10^n-1)/3+1=999...999/3+1=333...333+1 ## n 9er bzw 3er
also auch n-1 3er und eine 4.\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Jetzt hast du mich aber davon überzeugt,
dass dein Weg viel schneller ist, dafür
auch mehr den Geist fordert/fördert.
Und du schaffst es auch so elegant für die anderen?\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Bitteschön:
444..444888..889=(10^n-1)*9/4*10^n+(10^n-1)*8/9+1
=(4*10^n^2-4*10^n+8*10^n-8+9)/9
=((2*10^n)^2+2*2*10^n+1)/9
=((2*10^n+1)/3)^2
Ziffernfolge der Wurzel:
(2*10^n+1)/3=(6*10^n-6+9)/9
=(10^n-1)*6/9+1
also n 6er +1, macht (n-1) 6er und eine 7: 666...6667
999..996000..004=(10^n-4)*10^n+4
=10^n^2-4*10^n+4
=(10^n-2)^2
Ziffernfolge der Wurzel:
10^n-2=(10^n-1)-1
also n 9er -1, macht (n-1) 9er und eine 8: 999...9998
Gruß
Dietmar\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Wow! Also diese Tricks sind echt gut - Ich würde
das nur wie oben machen können, was natürlich
viel zu stupide und lang ist. 😉\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Der ganze Trick ist 30 Jahre Übung im Umformen, genannt Erfahrung.
Die Technik hier baut immer auf dem Gleichen auf. Eine Zahl mit n gleichen Ziffern a kann man so darstellen:
aaa...aaa=a*(10^n-1)/9
Daß man das variieren kann ist klar.
Wie würdest Du z.B. eine (2n)-stellige Zahl abab....abab, die aus n a's und n b's besteht, darstellen?
Übrigens: wenn Du genau hinsiehst, sind Deine Summen nix anderes als meine Darstellung. Nur hab ich direkt die Summe der geometrischen Reihe hingeschrieben, und Du kommst im Zuge Deiner Umformungen irgendwann dann auch drauf.\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Nach ein bisschen Rumwuseln mit den
sum()#komme ich auf
10a(100^n-1)/99+100b(100^(n-1)-1)/99+b
=(a*10^(2n+1)-10a+b*100^n-b)/99
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\(\begingroup\)Du hast es wieder über Summen gemacht?
Wenn man mal drauf gekommen ist, daß 999999/99=10101 ist, dann kann man mit der entsprechenden 10-er Potenzschreibweise die Zahl zusammen setzen:
abab..abab=a*(10^2n-1)/99*10+b*(10^2n-1)/99
=(10a+b)*(10^2n-1)/99
Dabei finde ich die letzte Form die einleuchtendste (gibt's das Wort überhaupt?). Die 2-stellige Zahl ab wird durch den Faktor n-fach hintereinander gestellt.\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Ich bin 15 - du bist ? Auf jeden Fall hattest
du schon viel mehr Zeit, dir sowas anzueignen
*ggg*\(\endgroup\)
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