Mathematik: Goldstück
Released by matroid on Sa. 10. Mai 2003 21:18:24 [Statistics]
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Mathematik

\(\begingroup\)

Das arithmetische Mittel von n postiven Elementen wird definiert durch

Eine Anwendung sehe ich immer besonders bei Klassenarbeiten, von denen
man den Durchschnitt berechnen will. Hat man z.B. diesen Zensurenspiegel:
dann ist n=1+3+9+7+2+1=23 und somit das arithmetische Mittel
Das geometrische Mittel von n postiven Elementen wird definiert durch


Um z.B. die durchschnittliche Wachstumsrate einer Fichte zu berechnen, die in
3 Jahren um 1, 2 und 4 Prozent wächst, muss man das geometrische Mittel
benutzen. Hier ist n=3 und damit das gesuchte geometrische Mittel:

Dagegen liefert das arithmetische Mittel 2,333 ... , was aber nicht die gesuchte
durchschnittliche Wachstumsrate ist. Nimmt man z.B. {1,2,3,4} als Elemente, so
erhält man als A.M. 2.5 und als
G.M. 2,213... . Es fällt auf, dass das A.M. in
beiden Fällen größer als das G.M. ist. Und bevor ich zu sehr zur Statistik über-
schweife, geht es nun nur um den allgemeinen Beweis dafür, was sich mit der
vollständigen Induktion machen lässt, allerdings hier mal nicht mit den Schluss
von n auf n+1, sondern von n auf 2n und von n auf n-1. Damit sind alle natürliche
Zahlen mit Hilfe ihrer Additivität abgedeckt, sofern der Induktionsanfang stimmt:

Ich setze zur Abkürzung:

Induktionsanfang: (für n größergleich 2, alles dadrunter ist unlogisch)

Damit ist gezeigt.

Induktionsvoraussetzung:

Induktionsbehauptung:

Induktionsschritt für (1):

Induktionsschritt für (2):

Ich setze


Das ist doch mal eine extraordinäre Anwendung für die vollständige
Induktion, die mich hier mal wieder fasziniert hat.
Dieser trickreiche
Beweis stammt von Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857). Sein
Goldstück musste sich mal auf dem Matheplaneten niederlassen ...

Quelle: H. Bachmann: Einführung in die Analysis 1; Diesterweg-Salle-Verlag


\(\endgroup\)
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Goldstück [von Martin_Infinite]  
Das arithmetische Mittel von n postiven Elementen wird definiert durch Eine Anwendung sehe ich immer besonders bei Klassenarbeiten, von denen man den Durchschnitt berechnen will. Hat man z.B. diesen Zensurenspiegel: dann ist n=1+3+9+7+2+1=23 und somit das arithmetische
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"Mathematik: Goldstück" | 5 Comments
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Re: Goldstück
von: Martin_Infinite am: Sa. 10. Mai 2003 21:23:44
\(\begingroup\)Erst der vergoldete Arcussinus und jetzt Goldstück.
Eigentlich sollte der Titel ja anders lauten ...\(\endgroup\)
 

Re: Goldstück
von: Plex_Inphinity am: Sa. 10. Mai 2003 23:57:34
\(\begingroup\)Fürwahr ein schöner Beweis :). Hier ist noch einer (Quelle: H. Heuser: Einführung in die Analysis I (das Buch kann ich übrigens sehr empfehlen!))

#Beweis durch Induktion in der äquivalenten Form:
a_1*a_2*...*a_n <= ((a_1+a_2+...+a_n)/n)^n

#Um Triviales zu vermeiden, nehmen wir a_1,a_2,...a_n > 0 an

\big Induktionsanfang n=1
versteht sich von selbst.

\big Induktionsschritt n->n+1
#Sei o.B.d.A.
a_(n+1) = max(a_1,a_2,...,a_(n+1))

#Dann ist
(a_(n+1)*(n+1))/(n+1) = a_(n+1) >= ((a_1+a_2+...+a_(n+1))/(n+1))

#Setzen wir
\alpha := ((a_1+a_2+...+a_(n+1))/(n+1))
#Dann ist also
x := ((a_(n+1)-\alpha)/((n+1)*\alpha)) >= 0

#Die Bernoullische Ungleichung liefert nun:
((a_1+a_2+...+a_(n+1))/((n+1)*\alpha))^(n+1) =
(1+x)^(n+1) >= 1+(n+1)*x = a_(n+1)/\alpha

#Mit der Induktionsvoraussetzung folgt daraus
((a_1+a_2+...+a_(n+1))/(n+1))^(n+1) >= \alpha^(n+1)*a_(n+1)/\alpha = \alpha^n*a_(n+1) >= a_1*a_2*...*a_(n+1)


\(\endgroup\)
 

Re: Goldstück
von: Martin_Infinite am: Mo. 12. Mai 2003 19:04:03
\(\begingroup\)Vielen Dank Plex->inf !\(\endgroup\)
 

Prozentrechnung
von: LutzL am: Mo. 19. Mai 2003 20:58:35
\(\begingroup\)Hi,

wenn mann schon Zuwaechse akkumuliert, dann bitte richtig. 1% Wachstum ergibt sich durch Multiplikation der Ausgangsgroesse mit 1,01, etc., was fuer die durchschnittliche Wachstumsrate, die sich korrekt durch das geometrische Mittel ergibt, nach Abzug der 1,00=100% der Ausgangsgroesse, 1,996731...% ergibt.

Sonst landet man bei Meldungen, die ein Abnehmen des Verlustwachstums als Erfolg darstellen.

Ciao Lutz\(\endgroup\)
 

Anm.: Prozentrechnung
von: LutzL am: Mo. 19. Mai 2003 21:01:44
\(\begingroup\)Und wenn man den Text korrekt liest, ist der mittelwert bei 1,2 und 4 (nicht 3) Prozent Zuwachs 2,325756 %, was schon ziemlich nah beim arithmetischen Mittel liegt, bei so kleinen Zuwaechsen (unter 6%) auch nicht verwunderlich.

Lutz\(\endgroup\)
 

 
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