Mathematik: Drei kleine Sätze über Primzahlen
Released by matroid on Fr. 23. Mai 2003 22:00:09 [Statistics]
Written by hansibal - 5318 x read [Outline] Printable version Printer-friendly version -  Choose language   
Mathematik

\(\begingroup\) In diesem Artikel möchte ich drei kleine Sätze über Primzahlen vorstellen.
Der Erste beantwortet die Frage: "Wann gibt es drei Primzahlen mit einer konstanten Differenz a, x, x+a und x+2a?". Der Zweite klärt eine Frage zur Faktorenzerlegung und der Dritte, das eigentliche Juwel, beinhaltet eine Verbesserung der Technik zur Auffindung von Primzahlenlücken.



Der erste Satz beantwortet eine Frage die mir beim Programmieren vor drei Monaten gekommen ist. Ich programmierte zur Übung ein Programm welches mir drei aufeinanderfolgende Primzahlen ausgeben sollte zwischen denen immer eine konstante bestimmbare Differenz a liegt.
Als ich das Programm testete fiel mir auf, dass es nur eine Lösung für a=2 ausgab. (3,5,7)
Man kann leicht zeigen, dass dies die einzige Lösung ist:
x ist eine Primzahl, also nicht durch 3 teilbar. Also gilt x mod 3 = 1 oder 2. Betrachten das den ersten Fall und Glied x+2 . x hat die Form 3n+1. Die zweite Zahl wäre dann 3n+1+2 oder 3(n+1) was sicher keine Primzahl ist, da es durch 3 teilbar ist.
Also gilt x mod 3=2. x=3n+2. betrachten x+2a oder x+4. x=3n+2+4 was 3n+6 oder 3(n+2) ist. Wiederum keine Primzahl.
Die einzige Ausnahme ist wenn eine Zahl durch 3 teilbar ist und dann geht das ganze nur wenn 3n eine Primzahl ist, was nur bei n=1 vorkommt.

Es gibt für solche Fälle zumindest keinen Wiederspruch in sich, wie der eben gezeigte, wenn a eine Zahl der Form 6n ist.  Der Beweis ist langweilig und hat keine zündenden Ideen. Wer ihn wiederfinden möchte soll das ganze mit mod 3 zeigen.

Der zweite Satz wurde von mir gefunden als ich versuchte den dritten, die Technik zum Auffinden von Primzahlenlücken, zu beweisen. Man könnte den dritten Satz damit beweisen, aber dies würde langweilig werden, da es viel leichter geht.
 Gibt es eine Zahl n>4 für die gilt, dass sie mehr Faktoren hat, als die Anzahl der Primzahlen bist inklusive n? (1 ausgennommen)
Man nehme beispielsweise 5. 5 hat nur einen Faktor nämlich 5 selber, da es eine Primzahl ist. Die Primzahlen bis 5 sind aber 2,3 und 5. Die Anzahl der Primzahlen bis inklusive 6 ist 3 und größer wie 1, die Anzahl der Faktoren von 5.

Der Beweis erfolgt in zwei Teilen, wie auch der des dritten Satzes.
(i) Die Zahl ist Primzahl.
In diesem Fall gibt es fast nichts zu beweisen. Die Zahl ist größer wie 4 also kommen in die Liste der Primzahlen sicher 2 und 3. In der Liste der Faktoren kommt aber nur die Zahl selber.
(ii) Die Zahl ist zusammengesetzt. n=a*b. n kann noch mehr Faktoren haben, aber dies ist in diesem Fall egal. Dann gibt es sicher einen kleinsten Faktor a. Wir nehmen am Anfang a=2 und es wird nachher klar sein, dass man den Beweis auch auf alle anderen Zahlen annehmen kann.
Dann gilt n=2*b. Ob b Primzahl ist oder das Produkt weiterer Primzahlen ist, ist egal. Hier hilft nun der Satz des Tschebyscheff, der besagt, dass zwischen n (n>1) und 2n immer eine Primzahl liegt. Also liegt zwischen b und 2b sicher eine Primzahl liegt, die in der Liste der Primzahlen liegt, keinesfalls aber ein Faktor von n ist.

 Der dritte Satz  stellt eine  Verbesserung der Technik dar, die einst Matroid vorgestellt hat:
Man nehme n!. n! ist sicher durch 2 teilbar, da n!= 1*2*3*4.. Also ist auch n!+2 durch 2 teilbar. n! ist sicher durch 3 teilbar, da n!=1*2*3*4... also auch n!+3....n! ist sicher auch durch n teilbar, also auch n!+n. Somit hat man eine Primzahlenlücke der Länge n-1 gefunden.
Meine Verbesserung bewirkt dasselbe, liefert aber  viel  kleinere Zahlen.
Bsp. um eine Primzahlenlücke der Länge 9 zu finden nehme man 10!=3.628.800. Tatsächlich sind 10!+(2 oder 3 oder 4 oder 5 oder 6 oder 7 oder 8 oder 9 oder 10) zusammengesetzt. Meine Verbesserung liefert 210. Auch in diesem Fall sind 210+(2 oder 3 oder 4 oder 5 oder 6 oder 7 oder 8 oder 9 oder 10 zusammengesetzt.

Worin besteht die Verbesserung?
Anstatt um eine Lücke der Länge n-1 zu finden n! zu berechnen, berechnet man das Produkt aller Primzahlen kleiner gleich n.
Um eine Primzahlenlücke der Länge 9 zufinden multipliziert man die Primzahlen kleiner 10. 2*3*5*7 was 210 ergibt.

Nun gilt es dieses noch zu beweisen:

Wir definieren das Produkt aller Primzahlen kleiner-gleich n als g.
Jetzt müssten g+2,g+3,g+4..bis g+n alle zusammengesetzt sein.
Man betrachte g+a. Dann gibt es zwei Fälle:

(i) a ist eine Primzahl.
Da a <= n  (kleiner gleich) ist a sicher ein Faktor von g da g alle Primzahlen kleiner gleich n enthält. Man schreibe g anders auf:

#g = a*(alle übrigen Primzahlen kleiner gleich n)
#g + a = a*(alle übrigen Primzahlen kleiner gleich n + 1)

und erhält bereits den Beweis.

(ii) a ist zusammengesetzt.
Also ist a in das Produkt von zwei oder mehreren Primzahlen zerlegbar.
#g = Alle Primfaktoren von a*(alle übrigen Primzahlen kleiner gleich n)
#g + a = Alle Primfaktoren von a*(alle übrigen Primzahlen kleiner gleich n + 1)

Und das war's auch schon....
\(\endgroup\)
Get link to this article Get link to this article  Printable version Printer-friendly version -  Choose language     Kommentare zeigen Comments  
pdfFür diesen Artikel gibt es keine pdf-Datei


Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen:
: Algorithmen :: Primzahlen :: Reine Mathematik :: Mathematik :
Drei kleine Sätze über Primzahlen [von hansibal]  
In diesem Artikel möchte ich drei kleine Sätze über Primzahlen vorstellen. Der Erste beantwortet die Frage: "Wann gibt es drei Primzahlen mit einer konstanten Differenz a, x, x+a und x+2a?". Der Zweite klärt eine Frage zur Faktorenzerlegung und der Dritte, das eigentliche Juwel, beinhaltet eine Ver
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
 
Aufrufzähler 5318
 
Aufrufstatistik des Artikels
Insgesamt 354 externe Seitenaufrufe zwischen 2012.01 und 2021.11 [Anzeigen]
DomainAnzahlProz
https://google.com308.5%8.5 %
https://google.de3810.7%10.7 %
http://google.de25170.9%70.9 %
https://www.bing.com72%2 %
https://www.ecosia.org41.1%1.1 %
https://duckduckgo.com30.8%0.8 %
http://google.com20.6%0.6 %
http://www.bing.com82.3%2.3 %
http://search.softonic.com10.3%0.3 %
http://google.at10.3%0.3 %
http://search.conduit.com20.6%0.6 %
https://www.qwant.com10.3%0.3 %
https://search.yahoo.com10.3%0.3 %
http://de.search.yahoo.com20.6%0.6 %
http://www.windowssearch.com:8010.3%0.3 %
http://www1.search-results.com10.3%0.3 %
http://cse.google.com10.3%0.3 %

Aufrufer der letzten 5 Tage im Einzelnen
Insgesamt 3 Aufrufe in den letzten 5 Tagen. [Anzeigen]
DatumAufrufer-URL
2021.11.01-2021.11.25 (3x)https://google.com/

Häufige Aufrufer in früheren Monaten
Insgesamt 315 häufige Aufrufer [Anzeigen]
DatumAufrufer-URL
2013-2018 (122x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=
2012-2014 (28x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=sätze über primzahlen
2020-2021 (27x)https://google.de/
2020-2021 (25x)https://google.com/
2012-2013 (17x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=sätze zu primzahlen
201207-07 (12x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zwischen a und 2a liegt immer eine primzahl
201307-07 (10x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=satz von tschebyscheff primzahl
201301-01 (8x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=sätze für primzahlen
201210-10 (8x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=tschebyscheff primzahl
201206-08 (8x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=sätze mit zahlen
201204-04 (8x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=sätze über prinzahlen
201306-08 (8x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=primzahlen sätze
2020-2021 (8x)https://google.de
202104-06 (7x)https://www.bing.com/
201601-01 (6x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=1&rct=j&q=sätze über primzahlen
201309-09 (5x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=mathe sätze mit primzahlen
2020-2021 (4x)https://www.ecosia.org/
201203-03 (4x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=wichtige sätze primzahlen

[Top of page]

"Mathematik: Drei kleine Sätze über Primzahlen" | 7 Comments
The authors of the comments are responsible for the content.

Re: Drei kleine Sätze über Primzahlen
von: FriedrichLaher am: So. 25. Mai 2003 18:56:43
\(\begingroup\)Ich bin nicht sicher, wie Du das mit der Primzahllücke meinst -
sicher zeigst Du, daß die Differenzen beliebig groß werden müssen -
aber
was wäre Deiner Meinung nach z.B. die 1te Primzahl p
so
daß erst p+20 wieder eine Primzahl ist?
\(\endgroup\)
 

Re: Drei kleine Sätze über Primzahlen
von: Fabi am: So. 25. Mai 2003 19:34:12
\(\begingroup\)Darüber sagt der Satz nichts aus. Er sagt nur, an welcher Stelle spätestens eine solche Primzahllücke kommt.
Das ist spätestens zwischen 2*3*5*7*11*13*17*19+2 = 9699692 und 9699711 der Fall - keine der 20 Zahlen dazwischen kann eine Primzahl sein.
Es kann aber durchaus bereits vorher Primzahllücken dieser Länge geben (ob es die gibt, weiß ich nicht; vielleicht kann man zusätzlich noch zeigen, dass dies die minimale Primzahllücke ist, das glaube ich jedoch nicht)
Gruß
Fabi\(\endgroup\)
 

Re: Drei kleine Sätze über Primzahlen
von: FriedrichLaher am: So. 25. Mai 2003 19:46:17
\(\begingroup\)ja, das wollte ich klargestellt sehen,
denn schon vor der 20erLücke 1637,1657 gibt es die 34erLücke 1327,1361\(\endgroup\)
 

Re: Drei kleine Sätze über Primzahlen
von: hansibal am: Mo. 26. Mai 2003 10:35:44
\(\begingroup\)Ja, ihr habt beide recht.
Ich hab keine Ahnung ob es später noch weitere derartige Lücken derselben Länge gibt, vermute aber, dass es meistens früher auch schon eine gibt.

Grüße
Stefan\(\endgroup\)
 

Re: Drei kleine Sätze über Primzahlen
von: arbol01 am: Di. 22. März 2005 15:29:36
\(\begingroup\)"Ja, ihr habt beide recht. Ich hab keine Ahnung ob es später noch weitere derartige Lücken derselben Länge gibt, vermute aber, dass es meistens früher auch schon eine gibt." Klar gibt es Später noch derartige Lücken. Das läßt sich sehr einfach zeigen. Wenn n!+2 bis n!+n eine Lücke darstellt, dann stellt mit k >= 2 das Intervall k*n!+2 bis k*n!+n natürlich wiederum eine Primzahllücke dar. Das gleiche gilt für kgV(1,..,n)+2 bis kgV(1,..,n)+n, die sich zu k*kgV(1,..,n)+2 bis k*kgV(1,..,n)+n erweitern läßt. Und schließlich gilt es auch noch für die Primorials (pn# = p1*p2*p3*...*pn).\(\endgroup\)
 

Re: Drei kleine Sätze über Primzahlen
von: arbol01 am: Sa. 19. November 2005 03:35:42
\(\begingroup\)Die Produkte solcher dreier Primzahlen x, x+a und x+2a mit a=6n sind Carmichael-Zahlen nach Chernick (Formel: C=(6n+1)*(12n+1)*(18n+1) = p+(2p-1)*(3p-2) Ausserdem handelt es sich bei den Produkten um Zeisel-Zahlen, die aus den Startbedingungen a=1 und b=6n erzeugt werden: p0 = 1 p1 = p0*a + b p2 = p1*a + b p3 = p2*a + b Z = p1*p2*p3\(\endgroup\)
 

Re: Drei kleine Sätze über Primzahlen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 10. Oktober 2014 13:57:57
\(\begingroup\)zu Satz 1: Nur für a=2 hast Du was bewiesen. 47, 53 und 59 sind aufeinander folgende Primzahlen mit Abstand a=6. zu Satz 2: Zu den Faktoren einer Zahl zählt eigentlich auch die 1. So sind 1, 2, 3, 4, 6 und 12 die Faktoren der 12. Und es zählen auch nicht prime Zahlen, wie 4, 6 und 12 dazu. Die 12 hat 6 Faktoren und bis zur 12 existieren nur 5 Primzahlen. Es könnte sein, dass Du mit der Frage recht hast, weil Du die 1 nicht berücksichtigt haben willst. Nur Dein Beweis scheint mir trotzdem ein Trugschluss zu sein. zu Satz 3: (schöne Erkenntnis) Aber es gibt immer schon kurz davor eine gleich lange Primzahllücke: z.B. 2*3*5*7*11*13*17*19-22 bis 2*3*5*7*11*13*17*19-2, also von 9699668 bis 9699688 gibt es keine Primzahlen. Die Teilbarkeitseigenschaft gilt auch immer in der anderen Richtung. Das soll nicht heißen, dass es nicht vorher schon größere Lücken gibt. Gruß somi \(\endgroup\)
 

 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]