Mathematik: (Einfach-)Integralberechnung mit Hilfe eines Doppelintegrals - ein Beispiel
Released by matroid on Fr. 27. Juni 2003 11:49:47 [Statistics]
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Mathematik

\(\begingroup\)
In seinem Artikel über Integrale hat pendragon
e^(-x^2)
als Beispiel für eine Funktion genannt, zu der man keine geschlossene Stammfunktion angeben kann.
Ich möchte im Folgenden zeigen, wie man den Wert des Integrals
int(e^(-x^2),x,-\inf,\inf)
dennoch erhält, und zwar über den Umweg eines Doppelintegrals.



Gesucht ist also der Wert des Integrals
int(e^(-x^2),x,-\inf,\inf)=int(e^(-x^2),x,\IR)


Zuerst schreibt man das Integral in folgendes Doppelintegral um:

int(e^(-x^2),x,\IR)=sqrt(int(e^(-x^2),x,\IR)*int(e^(-y^2),y,\IR))=sqrt(int(int(e^(-(x^2+y^2)),x),y,\IR\cross\IR)

\stress\Substitution
Durch Übergang zu Polarkoordinaten erhält man:
x=r*cos\phi
y=r*sin\phi
0<=r<\inf
0<=\phi<2\pi

x^2+y^2=r^2*cos^2 \phi+r^2*sin^2 \phi=r^2*(cos^2 \phi+sin^2 \phi)=r^2
e^(-(x^2+y^2))=e^(-r^2)

Mit Hilfe der Funktionalmatrix der partiellen Ableitungen nach r und \phi erhält man:
dx dy =det matrix(x_r,x_\phi;y_r,y_\phi) dr d\phi
=det matrix(cos\phi, -r*sin\phi;sin\phi,r*cos\phi) dr d\phi
=r*cos^2 \phi-(-r*sin^2 \phi) dr d\phi
=r*(cos^2 \phi+sin^2 \phi) dr d\phi
=r dr d\phi

und schließlich mit D=menge((r,\phi)|0<=r<\inf, 0<=\phi<2\pi):
int(int(e^(-(x^2+y^2)),x),y,\IR\cross\IR)
=int(int(e^(-r^2),r),\phi,D)
=int(int(e^(-r^2)*r,r,0,\inf),\phi,0,2\pi)
=int(stammf(-1/2*e^(-r^2),0,\inf),\phi,0,2\pi)
=int(1/2,\phi,0,2\pi)
=stammf(1/2 \phi,0,2\pi)
=\pi

Daraus folgt schlussendlich:
int(e^(-x^2),x,\IR)=sqrt(int(int(e^(-(x^2+y^2)),x),y,\IR\cross\IR))=sqrt(\pi)
\(\endgroup\)
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(Einfach-)Integralberechnung mit Hilfe eines Doppelintegrals - ein Beispiel [von cryptoworm]  
Hier wird das Integral von e-x2 von -oo bis +oo ausgewertet.
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"Mathematik: (Einfach-)Integralberechnung mit Hilfe eines Doppelintegrals - ein Beispiel" | 9 Comments
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Re: (Einfach-)Integralberechnung mit Hilfe eines Doppelintegrals - ein Beispiel
von: Spock am: Fr. 27. Juni 2003 12:06:07
\(\begingroup\)Hallo crypto,

in Deiner vierten Formel unter der ersten Wurzel sollte kein "+" stehen.
Erwähnenswert bei der Umwandlung in ein zweidimensionales Integral wäre noch der Satz von Fubini.

Gruß
Juergen\(\endgroup\)
 

Re: (Einfach-)Integralberechnung mit Hilfe eines Doppelintegrals - ein Beispiel
von: Martin_Infinite am: Fr. 27. Juni 2003 12:31:15
\(\begingroup\)Leider kenne ich mich mit Doppelintegralen
nicht aus, aber es gilt doch
\label(1) lim(x->\inf,erf(x))=1
\label(2) erf(x)=erf(-x)
\label(3) int(f(x),x,a,b)=-int(f(x),x,b,a)
Nach (1) gilt 2/sqrt(\p)*int(\ee^(-t^2),t,0,\inf)=1 also
int(\ee^(-t^2),t,0,\inf)=sqrt(\p)/2
Substituiere t:=-x, um das Integral mit Hilfe
von (2) und (3) als int(\ee^(-t^2),t,-\inf,0) darzustellen.
Es gilt also sqrt(\p)=sqrt(\p)/2+sqrt(\p)/2
=int(\ee^(-t^2),t,-\inf,0)+int(\ee^(-t^2),t,0,\inf)=int(\ee^(-t^2),t,-\inf,\inf)
Ich bin mir aber nicht sicher, wie man jetzt
(1) beweisen kann.\(\endgroup\)
 

Re: (Einfach-)Integralberechnung mit Hilfe eines Doppelintegrals - ein Beispiel
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 27. Juni 2003 12:36:41
\(\begingroup\)hier wird das Integral genauso berechnet.\(\endgroup\)
 

Re: (Einfach-)Integralberechnung mit Hilfe eines Doppelinteg
von: matroid am: Fr. 27. Juni 2003 14:43:30
\(\begingroup\)Hi cryptoworm,

danke für die Herleitung dieses schönen Ergebnisses. Dieses Integral gefällt mir auch sehr.

Gruß
Matroid

@Spock: das + habe ich gegen ein * getauscht.
@MartinI: Ja, 'erf' ist wie ein Fernseher. Jeder benutzt ihn, aber keiner kann einen machen.\(\endgroup\)
 

Re: (Einfach-)Integralberechnung mit Hilfe eines Doppelintegrals - ein Beispiel
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 27. Juni 2003 16:09:43
\(\begingroup\)Hallo Cryptoworm,

hast bei dem ersten Doppelintegral mit Polarkoordinaten ein r vergessen.

Gruß Korinthenkacker.\(\endgroup\)
 

Re: (Einfach-)Integralberechnung mit Hilfe eines Doppelintegrals - ein Beispiel
von: cryptoworm am: Fr. 27. Juni 2003 18:14:51
\(\begingroup\)Stimmt. Danke!
@matroid: Bitte ausbessern.\(\endgroup\)
 

Re: (Einfach-)Integralberechnung mit Hilfe eines Doppelintegrals - ein Beispiel
von: Martin_Infinite am: Fr. 27. Juni 2003 20:37:55
\(\begingroup\)@matroid: Könntest du deinen Kommentar
zur Fehlerfunktion nochmal erläutern?
Ich weiß nicht, was du sagen willst.\(\endgroup\)
 

Re: (Einfach-)Integralberechnung mit Hilfe eines Doppelintegrals - ein Beispiel
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 06. Juli 2003 20:02:39
\(\begingroup\)Habt ihr dabei schonmal an die Gammafunktion gedacht?

hier eine Adresse:

http://www.mathematik-online.de/F106.htm#erf

Gruß N.\(\endgroup\)
 

Re: (Einfach-)Integralberechnung mit Hilfe eines Doppelintegrals - ein Beispiel
von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 12. Juli 2003 11:26:37
\(\begingroup\)Hallo Matroid,

ich gebe zu mein Kommentar war etwas kryptisch,
aber ich dachte mir das gefällt cryptoworm.
Die Stelle die ich meinte ist:

und schließlich mit D=menge((r,\phi)|0<=r<\inf, 0<=\phi<2\pi):
int(int(e^(-(x^2+y^2)),x),y,\IR\cross\IR)
=int(int(e^(-r^2)*r,r),\phi,D)

Um ehrlich zu sein war ich nur zu faul mit dem
Formeleditor die Formel hinzuschreiben.

Gruß Korinthenkacker.\(\endgroup\)
 

 
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