Rätsel und Spiele: Ortskurve die 2.
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Spiele+Rätsel

\(\begingroup\) Sei P ein beliebiger Punkt auf dem Einheitskreis. Dessen Projektion auf die y\-Achse sei Q. Die Mittelsenkrechte durch QS mit S(1\|0) schneidet den Einheitskreis in T^\+ und T^\-. Der Mittelpunkt von T^\+\.S sei N^\+, der von T^\-\.S sei N^\-. Durch welche Relationen R(x,y) werden die Ortskurven von N^\+, N^\-, von deren Mittelpunkt M sowie vom Mittelpunkt T von T^\+ und T^\- beschrieben? \geo konst(w,-60) e(570,342) x(-2,2) y(-1.2,1.2) p(0,0,U,hide) k(U,1,K,nolabel) p(0,1,R,hide) p(1,0,S) g(U,R,y) g(U,S,x) c(red) form(*) p(K,w,P) c(black) form(+) parallele(x,P,par,hide) sp(par,y,Q) strecke(Q,S,s,nolabel) mitte(Q,S,m,nolabel) senkrechte(s,m,sk,nolabel) sp(K,sk,T) form(o) c(blue) mitte(T+,T-,T) mitte(S,T+,N+) mitte(S,T-,N-) mitte(N+,N-,M) form(+) c(black) strecke(T-,S,s-,nolabel) strecke(T+,S,s+,nolabel) strecke(N+,N-,n,nolabel) \geooff geoprint()

Zu Ortskurve 1


\(\endgroup\)
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: Spiele+Rätsel :: Analytische Geometrie :: Geometrie :: Tangente :: Schüler aufwärts :
Ortskurve die 2. [von Martin_Infinite]  
Sei P ein beliebiger Punkt auf dem Einheitskreis. Dessen Projektion auf die y-Achse sei Q. Die Mittelsenkrechte durch QS mit S=(1,0) schneidet den Einheitskreis in T+ und T-. Der Mittelpunkt von T+S sei N+, der von T-S sei N-.
Durch welche Relationen R(x,y) werden die Ortskurven von N+, N-, von deren Mittelpunkt M sowie vom Mittelpunkt T von T+ und T- beschrieben?
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"Rätsel und Spiele: Ortskurve die 2." | 8 Comments
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Re: Ortskurve die 2.
von: Martin_Infinite am: So. 29. Juni 2003 13:43:09
\(\begingroup\)Noch ein paar auffällige Sachen:

Man vergleiche die Ortskurven von N+ und N- mit der vom Mittelpunkt von PS.
Sehr interessant sehen auch die Ortskurven der Mittelpunkte von P und T-
bzw. P und T+ in Kombination mit der von T aus, ebenso die Ortskurven der
Mittelpunkte von P und N+ bzw. von P und N-. Die Ortskurve vom Mittelpunkt
von Q und T- scheint die von N+ zu tangieren, ebenso scheint die Ortskurve
von Q und T+ die von N- zu tangieren. Alle Ortskurven zeigen überraschende
Symmetrien zur x-Achse. Zur Dynageo Datei gehts HIER\(\endgroup\)
 

Re: Ortskurve die 2.
von: Martin_Infinite am: Di. 01. Juli 2003 18:22:55
\(\begingroup\)Ist das Problem unlösbar? Hat keiner
Interesse? Oder sind es nur die vielen
neueren Artikel, die diesen erdrücken?\(\endgroup\)
 

Re: Ortskurve die 2.
von: Hans-Juergen am: Do. 03. Juli 2003 10:00:40
\(\begingroup\)Hallo Martin_Infinite,

unlösbar ist das Problem natürlich nicht, nur
aufwendiger als Deine letzte Ortskurvenaufgabe.

Ich fang' 'mal mit N- an:
Bild
Wenn sich P auf dem unteren rechten Viertel des
Einheitskreises bewegt, bewegt sich N-
auf der oberen Hälfte des Kreises m. d. Gl.
x2+y2-x=0.

MfG Hans-Jürgen\(\endgroup\)
 

Re: Ortskurve die 2.
von: Martin_Infinite am: Do. 03. Juli 2003 16:04:43
\(\begingroup\)Ja Hans-Jürgen - Genau richtig.
Bloß viel interessanter ist natürlich
der Weg zu dieser Gleichung. :)
Du hast auch recht mit der Lösbarkeit.
Im Grunde genommen ist es nur reine
Algebra. Aber Vektoriell bin ich es
noch nicht angegangen.\(\endgroup\)
 

Re: Ortskurve die 2.
von: Hans-Juergen am: Do. 03. Juli 2003 22:33:30
\(\begingroup\)Hallo Martin,

der Lösungsweg ist nicht so kurz wie bei Deiner letzten
Aufgabe; deshalb habe ich darauf verzichtet, den meinen
hier aufzuschreiben, zumal jeder, der sich damit beschäftigt,
ein wenig anders vorgehen wird.

Interessanter als die ganze Rechnerei finde ich das Ergebnis.
Nicht unbedingt zu erwarten ist zum Beispiel, daß einer der
vielen, in der Aufgabe genannten Punkte, nämlich N-,
auf einem Kreis liegt. Nicht alle tun das, vgl. folgende
Figur, die das Verhalten von T zeigt:

Bild

Welche Gleichung die Ortskurve von T hat, habe ich
bisher nicht herausbekommen und möchte, weil es
für mich Wichtigeres gibt, dabei auch nicht weitermachen.

Mit freundlichen Grüßen,
Hans-Jürgen\(\endgroup\)
 

Re: Ortskurve die 2.
von: Martin_Infinite am: Sa. 05. Juli 2003 21:27:14
\(\begingroup\)Hier meine Lösung für T:
\geo
konst(w,-60)
e(570,342) x(-2,2) y(-1.2,1.2) p(0,0,U,hide) k(U,1,K,nolabel)
p(0,1,R,hide) p(1,0,S) g(U,R,y) g(U,S,x) c(red) form(*) p(K,w,P)
c(black) form(+) parallele(x,P,par,hide) sp(par,y,Q) strecke(Q,S,s,nolabel)
mitte(Q,S,m,nolabel) senkrechte(s,m,sk,nolabel) sp(K,sk,T) form(o) c(blue) mitte(T+,T-,T)
\geooff
geoprint()
Da P nur Q beeinflusst und den Rest der Konstruktion nicht verändern
kann, ist nur q - die Ordinate von Q und P - von Belang. Die
Gerade durch Q und S wird durch y=q(1-x) beschrieben,weil
für x=1 y=0 und für x=0 y=q ist. Der Mittelpunkt der Strecke
QS liegt bei R(0.5\|(q/2)). Somit muss für die Gerade, die
durch f(x)=mx+b beschrieben wird, auf der die Mittelsenkrechte
durch QS im Punkt R liegt, gelten: m=-1/(-q)=1/q , denn die Steigung
der oberen Gerade war -q, und f(1/2)=q/2 , also q/2=1/2*1/q+b
\mixoff=>b=q/2-1/(2q)=(q^2-1)/(2q)=>\blue f(x)=1/q|x+(q^2-1)/(2q)
Um T- und T+ zu bestimmen, muss man alle (x,y) finden,
die sowohl x^2+y^2=1 als auch f(x)=y,also x^2+f^2(x)=1 erfüllen.
Es ergibt sich eine quadratische Gleichung in x:
x^2+(1/q|x+(q^2-1)/(2q))^2=1
x^2+1/q^2*x^2+2*1/q|x*(q^2-1)/(2q)+((q^2-1)/(2q))^2=1
(1+1/q^2)*x^2+(1-1/q^2)*x+((q^2-1)/(2q))^2-1=0
x_(1,2)=(-(1-1/q^2)+-sqrt((1-1/q^2)^2-4*(1+1/q^2)*(((q^2-1)/(2*q))^2-1)))/(2*(1+1/q^2))
=(1-q^2+-q^2*sqrt(R))/(2q^2+2)
Vereinfachen wir zunächst den Radikanten R:
R=(1-1/q^2)^2-4*(1+1/q^2)*(((q^2-1)/(2*q))^2-1)
=1-2/q^2+1/q^4-4(((q^2-1)/(2*q))^2-1+1/q^2*((q^2-1)/(2*q))^2-1/q^2)
=1-2/q^2+1/q^4-(q^2-1)^2/q^2+4-(q^2-1)^2/q^4+4/q^2
=5+2/q^2+1/q^4-(q^4-2q^2+1)/q^2-(q^4-2q^2+1)/q^4
=5+2/q^2+1/q^4-q^2+2-1/q^2-1+2/q^2-1/q^4
=6+3/q^2-q^2=(6q^2+3-q^4)/q^2
#Wir erhalten also für die Abszissen von T+ und T-
x_(1,2)=(1-q^2+-q^2*sqrt((6q^2+3-q^4)/q^2))/(2q^2+2)
=(1-q^2+-q^2/abs(q)*sqrt(6q^2+3-q^4))/(2q^2+2) Nun ist aber
+-q^2/abs(q)=fdef(+-q^2/q,q>0;+-q^2/(-q),q<0)=fdef(+-q,q>0;+-q,q<0)=+-q , also
\mixoff\blue x_(1,2)=(1-q^2+-q*sqrt(6q^2+3-q^4))/(2q^2+2)
Die Ordinaten sind dann y_(1,2)=f(x_(1,2))=1/q*x_(1,2)+(q^2-1)/(2q)
\mixoff=(1-q^2+-q*sqrt(6q^2+3-q^4))/(2q^3+2q)+((q^2-1)*(q^2+1))/(2q*(q^2+1))
=(q^4-q^2+-q*sqrt(6q^2+3-q^4))/(2q^3+2q)=\blue(q^3-q+-sqrt(6q^2+3-q^4))/(2q^2+2)
#Für den Mittelpunkt T(x|y) von T- und T+ gilt
x=(x_1+x_2)/2 und y=(y_1+y_2)/2 , also konkret
x=(1-q^2+q*sqrt(R)+1-q^2-q*sqrt(R))/(2*(2q^2+2))=(1-q^2)/(2q^2+2) und
y=(q^3-q+sqrt(6q^2+3-q^4)+q^3-q-sqrt(6q^2+3-q^4))/(2*(2q^2+2))=(q^3-q)/(2q^2+2)
Um nun die Ortskurve von T zu finden, muss man in den Gleichungen
x=x(q) und y=y(q) das q eliminieren. Dazu löst man erst
x=(1-q^2)/(2q^2+2) nach q auf: (2q^2+2)x=1-q^2 <=> 2xq^2+2x=1-q^2
<=> (2x+1)q^2=1-2x <=> q=+-sqrt((1-2x)/(2x+1)) und setzt q in y(q) ein:
y=((+-sqrt((1-2x)/(2x+1)))^3-(+-sqrt((1-2x)/(2x+1))))/(2*(+-sqrt((1-2x)/(2x+1)))^2 + 2)=+-(sqrt((1-2x)/(2x+1))*(1-2x)/(2x+1)-sqrt((1-2x)/(2x+1)))/(2((1-2x)/(2x+1))+2)
=+-(sqrt((1-2x)/(2x+1))*((1-2x)/(2x+1)-1))/(2((1-2x)/(2x+1))+2)=+-(sqrt((1-2x)/(2x+1))*(1-2x-(2x+1)))/(2(1-2x)+2(2x+1))
=+-(sqrt((1-2x)/(2x+1))*(-4x))/(4)=+-x|sqrt((1-2x)/(2x+1))
Um die Relation R_T(x,y), die die Ortskurve von T beschriebt, noch zu
verschönern, quadriert man: y^2=x^2*(1-2x)/(2x+1) . Doch nun ist immer
noch zu untersuchen, welche Werte x bzw. y überhaupt annehmen können.
Dazu muss man für x ein bisschen die Funktion g:A->\IR,q->(1-q^2)/(2q^2+2)
untersuchen. Es kann q nur aus A:=[-1,1] sein, da Q innerhalb des
Einheitskreises liegen muss. Es ist g(q)=(1-q^2)/(2q^2+2)>=(wegen q^2<=1)
(q^2-q^2)/(2q^2+2)=0 ; es ist außerdem g(q)<=(wegen -q^2<=q^2) (1+q^2)/(2q^2+2)=1/2 .
Wegen g(0)=1/2 und g(+-1)=0 ist sup(g(A))=1/2 und inf(g(A))=0, also
g(A)=[0,0.5], was genau die Menge aller x mit -1<=q<=1 ist,
das was wir suchten. Um die Werte zu berechnen, die y annehmen kann
muss man nun genauso h:A->\IR,q->(q^3-q)/(2q^2+2) untersuchen. Es ist
h(-q)=((-q)^3-(-q))/(2(-q)^2+2)=(-q^3+q)/(2q^2+2)=-(q^3-q)/(2q^2+2)=-h(q)
Deshalb kann man direkt mit der Untersuchung mit A=[0,1] Rückschlüsse
auf die mit A=[-1,1] ziehen. Sei also A=[0,1]. Es ist h'(q)
=1/2*((3q^2-1)(q^2+1)-(q^3-q)(2q))/(q^2+1)^2
=(3q^4+3q^2-q^2-1-2q^4+2q^2)/(2(q^2+1)^2)=(q^4+4q^2-1)/(2(q^2+1)^2)=0 <=>
q^4+4q^2-1=0 <=> q^2=(-4+-sqrt(4^2-4(1)(-1)))/(2(1))=(-4+-sqrt(4*5))/2
=-2+-sqrt(5) . Wegen q^2>=0 bleibt q^2=-2+sqrt(5) <=> q=+-sqrt(sqrt(5)-2).
Wegen q>=0 bleibt schließlich q=sqrt(sqrt(5)-2) ~= 0.49.
define(s,sqrt(5))
Wegen h'(0)=-1/2 und h'(1)=1/2 tritt bei x=sqrt(\s-2)
ein Vorzeichenwechsel von - nach + auf. Es ist h(sqrt(\s-2))
=sqrt(\s-2)*(sqrt(\s-2)^2-1)/(2*(sqrt(\s-2)^2+2))=sqrt(\s-2)*(\s-2-1)/(2*(\s-2)+2)
=sqrt(\s-2)*(\s-3)/(2*\s-2)=sqrt(\s-2)*((\s-3)(2*\s+2))/((2*\s)^2-2^2)
=sqrt(\s-2)*(2*5+2*\s-6*\s-6)/(4*5-4)=sqrt(\s-2)*(4-4*\s)/16
=-sqrt(\s-2)*sqrt(((\s-1)/4)^2)=-1/4*sqrt((\s-2)|(\s^2-2*\s+1))
=-1/4|sqrt((\s-2)|(6-2*\s))=-1/4|sqrt(6*\s-2*5-2*6+4*\s)
=-1/4|sqrt(10\s-22)~=-0.15 . Es liegt somit ein Minimum bei
(sqrt(\s-2)\|-1/4|sqrt(10\s-22)) und wegen h(-q)=-h(q) ein
Maximum bei (-sqrt(\s-2)\| 1/4|sqrt(10\s-22)) vor. Damit ist

h([-1,1])=[-1/4|sqrt(10\s-22)\| 1/4|sqrt(10\s-22)] ~=[-0.15,0.15]
Endlich ist die Untersuchung der Ortskurve von T fertig.
\big Die Ortskurve von T wird durch die Relation
\big y^2=x^2*(1-2x)/(2x+1) mit 0<=x<=1/2 und
\big-1/4|sqrt(10|sqrt(5)-22)<=y<=1/4|sqrt(10|sqrt(5)-22) beschrieben.
Es folgen ein paar Bilder, die die Berechnungen verdeutlichen
(nicht aber erklären!) und mit \red fed \blue geo \black\auch noch verschönern!

\big 1.
\geo
e(480,360) x(-1.6,1.6) y(-1.2,1.2) p(0,0,U,hide) k(U,1,K,nolabel) p(0,1,R,hide) p(1,0,S,hide) g(U,R,y,nolabel) g(U,S,x,nolabel) c(000099) plot(x*sqrt((1-2*x)/(2*x+1)))
plot(-x*sqrt((1-2*x)/(2*x+1))) c(black)

makro(aa, konst(w,%1) c(red) form(*) p(K,w,P%1,nolabel) c(black) form(+) parallele(x,P%1,par%1,hide) sp(par%1,y,Q%1,hide) strecke(Q%1,S,s%1,hide) mitte(Q%1,S,m%1,hide) senkrechte(s%1,m%1,sk%1,hide) sp(K,sk%1,T%1,hide) form(x) c(blue) mitte(T%1+,T%1-,T%1,nolabel) )
aa(0) aa(10) aa(20) aa(30) aa(40) aa(50) aa(60) aa(70) aa(80)
aa(90) aa(100) aa(110) aa(120) aa(130) aa(140) aa(150)
aa(160) aa(170) aa(180) aa(190) aa(200) aa(210) aa(220)
aa(230) aa(240) aa(250) aa(260) aa(270) aa(280) aa(290)
aa(300) aa(310) aa(320) aa(330) aa(340) aa(350)
\geooff
Alle 10° ein \red P \black , der dazugehörige \blue T \black und die \darkblue Ortskurve,
aber ohne Beschränkungen wegen T für x oder y.
geoprint()
\big 2.
\geo
e(500,300) x(-2,2) y(-0.6,0.6)
f(0,0,333333)
p(1,0.6,p1,hide) p(1,-0.6,p2,hide) p(-1,0.6,p3,hide) p(-1,-0.6,p4,hide) f(p1,p2,p4,p3,beige)
plot((1 - x^2)/(2*(x^2 + 1)))
p(1,0.5,q1,hide) p(-1,0.5,q2,hide)
p(1,0,q3,hide) p(-1,0,q4,hide)
c(blue) strecke(q1,q2,sup,nolabel) strecke(q3,q4,inf,nolabel)
print(y=sup(g(A))=0.5,0.1,0.565)
print(y=inf(g(A))=0,0.1,0)
f(q1,q2,q4,q3,ffffff)
\geooff
Untersuchung von g(q)=(1-q^2)/(2(q^2+1))
#(der Bereich für sinnlose q qurde abgedunkelt, das
#oben gesuchte Intervall wurde weiß angestrichen)
geoprint()


\big 3.
\geo
e(500,300) x(-1.2,1.2) y(-0.2,0.2)
f(0,0,333333)
konst(sup,0.1501415529)
konst(inf,-0.1501415529)
p(1,0.2,p1,hide) p(1,-0.2,p2,hide) p(-1,0.2,p3,hide) p(-1,-0.2,p4,hide) f(p1,p2,p4,p3,beige)
plot((x^3-x)/(2*x^2+2)))
p(1,sup,q1,hide) p(-1,sup,q2,hide)
p(1,inf,q3,hide) p(-1,inf,q4,hide)
c(blue) strecke(q1,q2,sup,nolabel) strecke(q3,q4,inf,nolabel)
f(q1,q2,q4,q3,ffffff)
print(y=inf(h(A))~=-0.15,-0.8,-0.125)
print(y=sup(h(A))~=0.15,0.1,0.15)
\geooff
Untersuchung von h(q)=(1-q^2)/(2(q^2+1))
#(der Bereich für sinnlose q qurde abgedunkelt, das
#oben gesuchte Intervall wurde weiß angestrichen)
geoprint()

\big 4.

\geo
e(480,360) x(-0.1,0.6) y(-0.3,0.3) p(0,0,U,hide) k(U,1,K,nolabel) p(0,1,R,hide) p(1,0,S,hide) g(U,R,y,nolabel) g(U,S,x,nolabel)
makro(aa, konst(w,%1) c(red) form(*) p(K,w,P%1,nolabel) c(black) form(+) parallele(x,P%1,par%1,hide) sp(par%1,y,Q%1,hide) strecke(Q%1,S,s%1,hide) mitte(Q%1,S,m%1,hide) senkrechte(s%1,m%1,sk%1,hide) sp(K,sk%1,T%1,hide) form(x) c(blue) mitte(T%1+,T%1-,T%1,nolabel) )
aa(0) aa(5) aa(10) aa(15) aa(20) aa(25) aa(30) aa(35) aa(40)
aa(45) aa(50) aa(55) aa(60) aa(65) aa(70) aa(75) aa(80)
aa(85) aa(90) aa(95) aa(185) aa(190) aa(195) aa(200) aa(205)
aa(210) aa(215) aa(220) aa(225) aa(230) aa(235) aa(240) aa(245)
aa(250) aa(255) aa(260) aa(265) aa(270)
c(red) p(0.5,0.1501,p1,nolabel) p(0.5,-0.1501,p2,nolabel)
p(0,-0.1501,p3,nolabel) p(0,0.1501,p4,nolabel)
fill(p1,p2,p3,p4,D1E0D1)
\geooff
Eine Art Vergrößerung vom 1. Bild, hier sind aber die#mögli-
chen x und y für T farbig hervorgehoben. Alle T können durch
obige Berechnungen mit einem Rechteck abgegrenzt werden.
geoprint()\(\endgroup\)
 

Re: Ortskurve die 2.
von: Hans-Juergen am: Di. 08. Juli 2003 00:51:00
\(\begingroup\)Hallo Martin_Infinite,


die von Dir mit viel Ausdauer gefundene Kurve (ich gratuliere!)

mit der Gleichung


y^2=x^2*(a+x)/(a-x)


heißt Strophoide (im vorliegenden Fall ist a=-0.5):


Bild

Herzliche Grüße,

Hans-Jürgen

\(\endgroup\)
 

Re: Ortskurve die 2.
von: Martin_Infinite am: Di. 08. Juli 2003 01:35:30
\(\begingroup\)Danke für den Hinweis. Egal was für bizarre
Geister da rauskommen, sie tragen bestimmt
schon einen Namen. 😄\(\endgroup\)
 

 
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