Das "entdeckte" ich im 15./16. Lebensjahr. Nachdem der Unterricht sich bei "Ortslinien" bezüglich 2er Punkte auf konstante Summe und Differenz beschränkt hatte, war ich neugierig wie's den für den konstanten Quotienten aussähe.
Also, paar Punkte konstruiert, das liess schnell einen Kreis vermuten, und die Vermutung rechnerisch überprüft.
Allerdings war ich seit mir die Verwendung eines Koordinatensystems bekanntgemacht worden war, nicht mehr besonders an geometrischen Methoden interessiert gewesen - Pythagoras und einfache Algebra reichten mir, so auch in diesem Fall.
Erst als ich kürzlich in der Strassenbahn im "dtv-Atlas zur Mathematik" (Taschenbuchformat) schmökerte, stiess ich auf den Hinweis, dass nicht nur die Symmetrale eines 3ecks-Innenwinkels die gegenüberliegende Seite im Verhältnis der anderen Seiten teilt (das hatte ich mir gemerkt), sondern auch der Schnitt der Seite mit der Symmetrale des zugehörigen Aussenwinkels dieselbe "äussere Teilung" bewirkt. (wenn uns das [bezüglich Aussenwinkel] gezeigt worden war, hatte es mich wohl zu wenig beeindruckt, um mir im Gedächtnis zu bleiben) .
Aus dem Bild lässt sich leicht ablesen, dass tatsächlich
b : a = b1 : a1 = b2 : a2 =b3 : a3
gelten. Somit ist der Apollonische Kreis wirklich einfach konstruierbar:
ein beliebiges 3eck mit den Seiten a,b im gewünschtem Verhältnis zeichnen und die beiden Winkelsymmtralen mit der Seite c schneiden gibt die Durchmesser-Endpunkte Ti, Ta.
Das Bild ist im "dtv-Atlas" nicht so ausführlich beschriftet, so dauerte es schon eine Weile, bis ich's begriff.
Im Internet (google "Apollonius", ca. 200 Treffer, zumindest alle Überschriften habe ich angesehen) fand ich leider kein entsprechendes statisches Bild, daher das eigene.
Ich veröffentliche das hier, statt bei Zahlreich, da dort alles nach paar Monaten "im Archiv versinkt" und dann Basic-Useren nicht mehr zugänglich ist, auch nicht durch "Links" sondern für diese von Berechtigten kopiert werden muss.
Hinterhergedacht
Übertragen in den R³, also konstante Verhältnisse der Abstände von 3 Punkten, ist es auch nur eine Linie, nicht eine Fläche, wie man vielleicht glauben könnte, und zwar ist es der Schnittkreis 2er Kugeln.
Aber wie ist es mit dem "Ort aller spitzen 3seitiger Pyramiden gleichen Basis3ecks, für die das Verhältnis der Flächeinhalte 2er Mantelflächen konstant ist"?
Ein kürzlicher Thread veranlasste mich, das Thema nochmals aufzugreifen, dabei ist ist dieses geogebra-Dokument entstanden. Im Übrigen siehe auch meine eigenen Kommentare zu meiner Jahre zurückliegenden Arbeit.
Ähnliche Gedanken hatte ich mir in dem Alter auch mal gemacht. Nachdem wir die Ellipse als Ortskurve mit konstanter Abstandssumme (von 2 Brennpunkten) kennen gelernt hatten, fragte ich mich, was wohl beim konstanten Abstandsprodukt rauskommt (ulkigerweise war das dann gerade die Prüfungsfrage im mündl. Abi; an alle Mathe-Minimalisten: weiter (mit)denken lohnt sich).\(\endgroup\)
\(\begingroup\)ich muß, nach diesen über 10 Jahren etwas betroffen feststellen, daß
sich mir
\[\mathbf{b : a = b_1 : a_1 = b_2 : a_2 = b_3 :a_3}\]
aus dem Bild
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads2/48_ApollonKrWinkSym.gif
nicht sogleich aufleuchtete, reiche also nach
\hideon
\[c = a_1+b_1=b_1\cdot\frac{a+b}{b}
\\
a_1 = c - b_1 = b_1\cdot\big( \frac{a+b}{b}-1 \big)
\\
a_1 = b_1\cdot \frac{a}{b}
\\
\mathbf{b : a = b_1 : a_1}
\\
\text{an dem Trapez mit den Parallelen }b_2,a_2\text{ und dessen Diagonalen sieht man }
\\
\mathbf{ b_2 : a_2 = b : a }
\\
\text{und schließlich ergibt sich aus }b_3 = a_3\cdot\frac{b_2}{a_2}
\\
\mathbf{b_3 : a_3 = b_2 : a_2}
\\ \\
\text{zusammen mit obigen Ergebnissen zu }b_1,b_2\text{ also}
\\
\mathbf{b : a = b_1 : a_1 = b_2 : a_2 = b_3 :a_3}
\]
\hideoff
\(\endgroup\)
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