Apollonischer Kreis / Dreiecks Winkelsymmetralen
Released by matroid on Di. 08. Juli 2003 18:34:28 [Statistics]
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Mathematik

\(\begingroup\) Hier auf dem Planeten und kürzlich auch da bei Zahlreich gab/gibt es öfter Aufgaben, für die die Kenntnis des Themas nützlich ist.

Ort aller Punkte, für die das Verhältnis der Abstände von 2 Punkten konstant ist, ist ...
 Na rechnet/ratet erst mal selbst..


Lösung


ein Kreis.

Das "entdeckte" ich im 15./16. Lebensjahr. Nachdem der Unterricht sich bei "Ortslinien" bezüglich 2er Punkte auf konstante Summe und Differenz beschränkt hatte, war ich neugierig wie's den für den konstanten Quotienten aussähe.

Also, paar Punkte konstruiert, das liess schnell einen Kreis vermuten, und die Vermutung rechnerisch überprüft.

Allerdings war ich seit mir die Verwendung eines Koordinatensystems bekanntgemacht worden war, nicht mehr besonders an geometrischen Methoden interessiert gewesen - Pythagoras und einfache Algebra reichten mir,
so auch in diesem Fall.

Erst als ich kürzlich in der Strassenbahn im "dtv-Atlas zur Mathematik" (Taschenbuchformat) schmökerte, stiess ich auf den Hinweis, dass nicht nur die Symmetrale eines 3ecks-Innenwinkels die gegenüberliegende Seite im Verhältnis der anderen Seiten teilt (das hatte ich mir gemerkt), sondern auch der Schnitt der Seite mit der Symmetrale des zugehörigen Aussenwinkels dieselbe "äussere Teilung" bewirkt. (wenn uns das [bezüglich Aussenwinkel] gezeigt worden war, hatte es mich wohl zu wenig beeindruckt, um mir im Gedächtnis zu bleiben) .

Aus dem Bild lässt sich leicht ablesen, dass tatsächlich

b : a = b1 : a1 = b2 : a2 =b3 : a3



gelten. Somit ist der Apollonische Kreis wirklich einfach konstruierbar:

ein beliebiges 3eck mit den Seiten a,b im gewünschtem Verhältnis zeichnen und die beiden Winkelsymmtralen mit der Seite c schneiden gibt die Durchmesser-Endpunkte Ti, Ta.

Das Bild ist im "dtv-Atlas" nicht so ausführlich beschriftet, so dauerte es schon eine Weile, bis ich's begriff.

Im Internet (google "Apollonius", ca. 200 Treffer, zumindest alle Überschriften habe ich angesehen)  fand ich leider kein entsprechendes statisches Bild, daher das eigene.


Ich veröffentliche das hier, statt bei Zahlreich, da dort alles nach paar Monaten "im Archiv versinkt" und dann Basic-Useren nicht mehr zugänglich ist, auch nicht durch "Links" sondern für diese von Berechtigten kopiert werden muss.

Hinterhergedacht



Übertragen in den R³, also konstante Verhältnisse der Abstände von 3 Punkten, ist es auch nur eine Linie, nicht eine Fläche, wie man vielleicht glauben könnte,
und zwar ist es der Schnittkreis 2er Kugeln.

Aber wie ist es mit dem "Ort aller spitzen 3seitiger Pyramiden
gleichen Basis3ecks, für die das Verhältnis der Flächeinhalte 2er Mantelflächen konstant ist"?  

Ein kürzlicher Thread
veranlasste mich, das Thema nochmals aufzugreifen, dabei ist ist dieses geogebra-Dokument entstanden. Im Übrigen siehe auch meine eigenen Kommentare zu meiner Jahre zurückliegenden Arbeit.
\(\endgroup\)
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Apollonischer Kreis / Dreiecks Winkelsymmetralen [von FriedrichLaher]  
Der Ort aller Punkte, für die das Verhältnis der Abstände von 2 Punkten konstant ist, ist ...
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2012-2013 (8x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=c-symmetrale
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201312-12 (5x)http://google.de/search?q=konstantes abstandsprodukt

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"Apollonischer Kreis / Dreiecks Winkelsymmetralen" | 3 Comments
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Re: Apollonischer Kreis / Dreiecks Winkelsymmetralen
von: viertel am: Di. 08. Juli 2003 22:17:06
\(\begingroup\)Verblüffendes Ergebnis.

Ähnliche Gedanken hatte ich mir in dem Alter auch mal gemacht. Nachdem wir die Ellipse als Ortskurve mit konstanter Abstandssumme (von 2 Brennpunkten) kennen gelernt hatten, fragte ich mich, was wohl beim konstanten Abstandsprodukt rauskommt (ulkigerweise war das dann gerade die Prüfungsfrage im mündl. Abi; an alle Mathe-Minimalisten: weiter (mit)denken lohnt sich).\(\endgroup\)
 

Re: Apollonischer Kreis / Dreiecks Winkelsymmetralen
von: matroid am: Di. 08. Juli 2003 22:32:55
\(\begingroup\)Man weiß eben nie, wann eine geistige Investition sich auszahlt, aber oft tut sie es irgendwann.

Gruß
Matroid\(\endgroup\)
 

Re: Apollonischer Kreis / Dreiecks Winkelsymmetralen
von: FriedrichLaher am: Mo. 29. Oktober 2018 10:48:17
\(\begingroup\)ich muß, nach diesen über 10 Jahren etwas betroffen feststellen, daß sich mir \[\mathbf{b : a = b_1 : a_1 = b_2 : a_2 = b_3 :a_3}\] aus dem Bild https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads2/48_ApollonKrWinkSym.gif nicht sogleich aufleuchtete, reiche also nach \hideon \[c = a_1+b_1=b_1\cdot\frac{a+b}{b} \\ a_1 = c - b_1 = b_1\cdot\big( \frac{a+b}{b}-1 \big) \\ a_1 = b_1\cdot \frac{a}{b} \\ \mathbf{b : a = b_1 : a_1} \\ \text{an dem Trapez mit den Parallelen }b_2,a_2\text{ und dessen Diagonalen sieht man } \\ \mathbf{ b_2 : a_2 = b : a } \\ \text{und schließlich ergibt sich aus }b_3 = a_3\cdot\frac{b_2}{a_2} \\ \mathbf{b_3 : a_3 = b_2 : a_2} \\ \\ \text{zusammen mit obigen Ergebnissen zu }b_1,b_2\text{ also} \\ \mathbf{b : a = b_1 : a_1 = b_2 : a_2 = b_3 :a_3} \] \hideoff \(\endgroup\)
 

 
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