Stern Mathematik: Über Parkettierungen
Released by matroid on So. 13. Juli 2003 21:00:08 [Statistics]
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Mathematik

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Über Parkettierungen

Als Parkettierung bezeichnet man die lückenlose Auslegung einer Ebene mit Flächenstücken, sogenannten Kacheln oder Fliesen. Sind diese gleich geformt, gleich groß und außerdem regelmäßige Polygone, gibt es nur drei Möglichkeiten: Quadrate, Dreiecke und Sechsecke.

Läßt man die Verwendung verschiedener regulärer Polygone zu, dann ist zum Beispiel mit Achteck und Quadrat folgendes Parkett möglich:

    

Es findet sich auf alten Steinfußböden wie auf modernen Hausterassen und in Badezimmmern. Das rechte Bild nach einem Zeitungsfoto [1] zeigt es an der Fassade einer italienischen Kirche aus dem 15. Jhdt.



Beschränkt man sich wiederum auf eine Sorte von Kacheln und verzichtet auf ihre Regelmäßigkeit, so entstehen zum Beispiel mit Rechtecken Parkette wie die beiden folgenden:

  

Sie werden, zusammen mit zahlreichen anderen, oft bei Mauerwerken und Holzfußböden angewendet.

Auch mit Parallelogrammen, Trapezen, ja sogar mit beliebig geformten Polygonen kann man Parkette erzeugen [2]:



(Heinrich Heesch, 1935)

Nicht einmal geradlinig begrenzt müssen die Kacheln sein. Dies zeigen zwei Parkette des berühmten niederländischen Graphikers M. C. Escher:

    

Während bei dem linken Bild, wie bei dem Heesch-Parkett, die Hälfte der Kacheln umgedreht ist, haben sie bei dem rechten alle die gleiche Orientierung. Beide Bilder werden mit vielen weiteren im Mathematischen Café der TU Bergakademie Freiberg zitiert [3a,b].

*

Allen bisher gezeigten Parketten ist gemeinsam, daß sie periodisch sind. Jedes Detail wiederholt sich in der gleichen Weise; es existiert ein genauer Verlegungsplan, und man weiß an jeder Stelle, wie es weitergeht.

Dies ist nicht mehr der Fall bei dem von Roger Penrose entdeckten Parkett,



das in [4] gezeigt wird. Zwar wiederholen sich aus der schmaleren Raute gebildete, flügelartige Strukturen und ebenso Sterne und Rosetten, die die breitere Raute enthalten, doch ist ein einheitliches Schema, nach dem dies geschieht, nicht ohne weiteres zu erkennen. Es ist deshalb auch nicht einfach, etwa ein Grundstück in der Art des Penrose-Parketts zu pflastern.

Trotzdem gibt es, zumindest bei der obigen Internet-Abbildung, gewisse Regelmäßigkeiten, die das Verlegen der Penrose-Kacheln erleichtern können. Man erkennt sie, wenn das ursprüngliche Bild gegen den Uhrzeiger um 90° gedreht und in Teilen anders einfärbt wird:


(gedreht)




Die hier sichtbar werdenden Achsensymmetrien fallen bei der Originalfärbung kaum auf. Die schräg verlaufenden Symmetrieachsen deuten die beiden Penrose-Rauten an; die betreffenden Bereiche enthalten weitere Symmetrien.

*

Unperiodisch ist auch ein von Robert Ammann und Frans P. M. Beenker entdecktes Parkett, das in [5] wiedergeben wird:



Bei ihm verteilen sich ebenfalls Sterne, Rosetten und anderes ohne klar erkennbares System, doch gibt es auch hier Regelmäßigkeiten, die durch Umfärben besser sichtbar werden. Der im folgenden Bild scherzhaft ausgewählte Teilbereich wiederholt sich durch einfache Translation,



und Achsensymmetrien in dem Bild von [5] sind hier zu sehen:



Der kreuzförmige Mittelteil ist, wie die ganze Figur, symmetrisch zur Winkelhalbierenden des ersten Quadranten. (Betrachtet man die obige Originalfigur des Ammann-Beenker-Parketts ein paar Sekunden lang, am besten mit leicht zusammengekniffenen Augen, werden in Wirklichkeit nicht vorhandene, gerade Linien vorgetäuscht. Sie kommen nur teilweise als Symmetrieachsen in Frage und sind nicht identisch mit den Geraden im letzten Bild.)

Abschließend der Anfang eines eigenen, unregelmäßigen Parketts,



das, soweit ich sehe, in der Literatur nicht erwähnt wird.

[1] S. Sebastiano, Mantua (Restaurierungsvorschlag), F.A.Z. vom 19.3.02
[2] http://www2.spsu.edu/math/tiling/17.html
[3a] www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/mce/symm67.html
[3b] www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/mce/symm105.html
[4] http://tech-www.informatik.uni-hamburg.de/Personal/hendrich/penrose/penrose.html
[5] www.math.uni-bielefeld.de/~gaehler/tilings/oct.html

Hans-Jürgen

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Über Parkettierungen [von Hans-Juergen]  
Als Parkettierung bezeichnet man die lückenlose Auslegung einer Ebene mit Flächenstücken, sogenannten Kacheln oder Fliesen. Sind diese gleich geformt, gleich groß und außerdem regelmäßige Polygone, gibt es nur drei Möglichkeiten: Quadrate, Dreiecke und Sechsecke.
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"Stern Mathematik: Über Parkettierungen" | 7 Comments
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Re: Über Parkettierungen
von: Spock am: Fr. 18. Juli 2003 20:49:41
\(\begingroup\)Hallo Hans Jürgen,

sollte ich jemals einen Parkettierung unter meinen Füßen benötigen (und bei den vielen Möglichkeiten, die Du uns hier aufzeigst, denk ich ernsthaft darüber nach), weiß ich jetzt, an wen ich mich wenden werde.
Dein "abschließender Anfang" sieht vielversprechend aus. Hast Du Dein eigenes Parkett mittlerweile vollendet, und wenn ja, blieb die Unregelmäßigkeit erhalten?

Viele Grüße
Juergen\(\endgroup\)
 

Re: Über Parkettierungen
von: Hans-Juergen am: Di. 22. Juli 2003 18:16:41
\(\begingroup\)Hallo Jürgen, danke für Dein Interesse.



Periodische Parkette kann man beliebig fortsetzen; da gibt's kein Ende. Ob es bei unperiodischen auch so ist (die von manchen als
"quasiperiodisch" bezeichnet werden), weiß ich nicht. Auch nicht, ob sich bei meinem angefangenen Parkett bestimmte Bereiche wiederholen können wie beim Penrose- und Ammann-Beenker-Quartett. Es mit dem Computer weiterzuführen, ist recht mühselig. Was man tun
könnte, ist, sich eine größere Anzahl der dabei verwendeten "Kacheln" aus Pappe oder Holz herzustellen und damit zu experimentieren, um die
Eigenschaften dieses Parketts genauer kennzulernen. (Aber dazu ist es mir im Moment zu heiß; außerdem gibt es auf dem Matheplaneten inzwischen neue Beiträge, die ich als erstes studieren muß. 😄 )



Herzliche Grüße,

Hans-Jürgen
\(\endgroup\)
 

Re: Über Parkettierungen
von: Hans-Juergen am: Di. 22. Juli 2003 18:50:30
\(\begingroup\)Nachtrag: Natürlich muß es "Parkett" und nicht "Quartett" heißen - die Hitze!

H.-J.\(\endgroup\)
 

Re: Über Parkettierungen
von: Hans-Juergen am: Do. 07. August 2003 23:53:34
\(\begingroup\)Nachtrag:

Der fedgeo wird immer besser und angenehmer zu handhaben. Mit ihm kann man hübsche regelmäßige Muster wie die folgenden erzeugen. Sie erinnern zum Teil eher an feine Häkel- und Spitzenarbeiten als an Parkette für Fußböden und Wände:

\geo
e(350,350)xy(-5,5)
nolabel()replace()
for(nn,1,5,1,\
konst(ra,1+0.3*nn)name(Bild nn)\
for(xx,-6,6,1,f(0,0,white)\
konst(ze,xx)\
for(yy,-6,6,1,\
konst(sp,yy)p(xx,yy,pk,hide)k(pk,ra))))
\geooff
for(nn,1,5,1,geoprint(Bild nn,)%n%n)


Hans-Jürgen\(\endgroup\)
 

Re: Über Parkettierungen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 05. November 2003 14:12:45
\(\begingroup\)Voll cool\(\endgroup\)
 

Re: Über Parkettierungen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 22. September 2006 23:32:43
\(\begingroup\)Hallo, ich möchte einen Raum mit einer nicht periodischen Parkettierung fliesen. Mein Favorit ist die Amann-Beenker-Parkettierung. Mich würden die Anlegereglen interessieren. Gruss Ludwig Danninger\(\endgroup\)
 

Re: Über Parkettierungen
von: PeterKepp am: Do. 20. Juli 2017 20:07:51
\(\begingroup\)Hallo, zu Quadraten, Dreiecken und Sechsecken dürften sich wohl gerne noch die Rechtecke gesellen, oder (Schiffsdielenparkett, Fischgrätparkett z. B.)? Von einem abschließend geradlinigen Rand war nicht die Rede. Es lassen sich aber auch Rechtecke solange nebeneinander platzieren, bis sie zusammen ein Quadrat ergeben => Untermuster. Viele Grüße, PeterKepp\(\endgroup\)
 

 
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