Mathematik: Zykloiden und andere Parameterkurven
Released by matroid on Do. 24. Juli 2003 18:25:41 [Statistics]
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Mathematik

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Zykloiden und andere Parameterkurven

Wenn ein Kreis ohne zu gleiten auf einer Geraden abrollt, beschreibt ein mit ihm fest verbundener Punkt P eine Kurve, die man als gewöhnliche Zykloide bezeichnet (von lat. cyclus=Kreis).

Liegt der Punkt auf dem Kreisumfang, entsteht die spitze Zykloide (blau).
Liegt er innerhalb des Kreises, so ergibt sich eine Wellenlinie (rot, "gestreckte" Zykloide). P kann auch außerhalb des Kreises liegen, was sich technisch durch eine am Kreis befestigte Stange realisieren läßt. Dann entsteht eine "verschlungene" Zykloide (grün):

\geo
xy(-25,25)
c(blue)
param(t,-720,720,2,deg2rad)
kurve(3*t- 3*sin(t),3-3*cos(t),)
c(red)
kurve(3*t- 1.5*sin(t),3-1.5*cos(t),)
c(green)
kurve(3*t- 5*sin(t),3-5*cos(t),)
\geooff
geoprint(,)




Die gewöhnliche Zykloide wird in Parameterform durch das Gleichungspaar
x = a t - b sin t , y = a - b cos t

beschrieben. Dabei bedeuten a den Radius des Kreises, b den Abstand des Punktes P vom Kreismittelpunkt und t das Bogenmaß des Winkels, um den sich der Kreis dreht ("Wälzwinkel").

Läßt man einen Kreis K1 mit dem Radius a nicht auf einer Geraden, sondern an einem zweiten Kreis K2 mit dem Radius R abrollen, so gibt es dabei zwei Möglichkeiten:

  1. K1 rollt innen an K2;
  2. K1 rollt außen an K2 ab.
Im ersten Fall nennt man die entstehende Rollkurve "Epizykloide", im zweiten "Hypozykloide". Nachtrag: ich habe mich verschrieben - es ist gerade umgekehrt. Siehe Diskussionsbeitrag vom 26.10.,19:17:26. (Die griechischen Wörter "epi" und "hypo" bedeuten "auf" bzw. "unter".)

Die Bewegung des Punktes P wird durch die Gleichungspaare (*)

x = (R+a) cos t - b cos [t(R+a)/a] (Epizykloide)
y = (R+a) sin t - b sin [t(R+a)/a]
und
x = (R-a) cos t + b cos [t(R-a)/a] (Hypozykloide)
y = (R-a) sin t - b sin [t(R-a)/a]
beschrieben. Bei ganzzahligem Verhältnis R:a schließt sich die Kurve nach einem Umlauf, bei rationalem R:a nach endlich vielen Umläufen. Ist R:a irrational, erreicht der Punkt P seine Ausgangslage nicht wieder.

Einige Epi- bzw. Hypozykloiden tragen besondere Namen.

Die Kardioide ist eine Epizykloide mit R=a und b=a:

\geo
xy(-40,40)
c(blue)
param(t,0,360,1,deg2rad)
kurve(20*cos(t)-10*cos(2*t),20*sin(t)-10*sin(2*t),Kardioide)
\geooff
geoprint(,Kardioide)

"Kardioide" bedeutet "Herzkurve". Als man sie im 17. Jhdt. entdeckte und untersuchte, hatte man vom Herzen die Vorstellung eines rundlichen Beutels, der es ja im wesentlichen auch ist. Betrachtet man die Kardioide um -90° gedreht, wird verständlich, wie sie zu ihrem Namen kam. Erst später wurde bei der s y m b o l i s c h e n Darstellung des Herzens eine Spitze hinzugefügt. Die folgende "selbstgezüchtete" Kurve, die k e i n e Rollkurve ist, hat sie:

\geo
xy(-10,10)
c(blue)
param(phi,30,90,1)
kurve((-phi*phi+140*phi-3300)*cos(deg2rad(phi))/100,(-phi*phi+140*phi-3300)*sin(deg2rad(phi))/100-8,)
kurve((phi*phi-140*phi+3300)*cos(deg2rad(phi))/100,(-phi*phi+140*phi-3300)*sin(deg2rad(phi))/100-8,Herzkurve)
\geooff
geoprint(,Herzkurve)


Unter den Hypozykloiden ist die Astroide (Sternkurve) eine der bekanntesten. Bei ihr gilt R:a=4 und a=b:

\geo
xy(-5,5)
c(blue)
param(t,0,360,1,deg2rad)
kurve(3*cos(t)+cos(3*t),3*sin(t)-sin(3*t),Astroide)
\geooff
geoprint(,Astroide)

Eine Hypozykloide mit R:a=3 und b=a heißt Steinersche Kurve:

\geo
xy(-3,3)
c(blue)
param(t,0,720,1,deg2rad)
kurve(2*cos(t)+cos(2*t),2*sin(t)-sin(2*t),Steinersche Kurve)
\geooff
geoprint(,Steinersche Kurve)

Ebenfalls dreiecksförmig, aber mit abgerundeten Ecken, ist eine Hypozykloide mit R:a=3, b:a=1:2, die auch Hypotrochoide genannt wird:
\geo
xy(-12,12)
c(blue)
param(t,0,360,1,deg2rad)
kurve(8*cos(t)+2*cos(2*t),8*sin(t)-2*sin(2*t),Hypotrochoide 1)
\geooff
geoprint(,Hypotrochoide 1)

Bleibt man bei R:a=3 und wählt b:a=3:2, entstehen Schleifen:

\geo
xy(-7,7)
c(blue)
param(t,0,360,1,deg2rad)
kurve(4*cos(t)+3*cos(2*t),4*sin(t)-3*sin(2*t),Hypotrochoide 2)
\geooff
geoprint(,Hypotrochoide 2)

Trochoiden (die deutsche Bedeutung dieses Ausdrucks ist mir nicht bekannt) sind diejenigen Epi- bzw. Hypozykloiden, bei denen b ungleich a ist. Technische Bedeutung haben E p i trochoiden mit R:a=2, b:a=2:3; sie bestimmen die Gehäuseform von Rotationskolbenmaschinen wie dem Wankelmotor. Bei der folgenden ist a=3:

\geo
xy(-15,15)
c(blue)
param(t,0,360,1,deg2rad)
kurve(9*cos(t)-2*cos(3*t),9*sin(t)-2*sin(3*t),Epitrochoide)
\geooff
geoprint(,Epitrochoide)

Wählt man bei einer H y p otrochoide R:a=2, dann ist im zweiten Gleichungspaar von (*) (R-a)/a=1, und es ergeben sich Ellipsen wie etwa die folgende mit b:a=3:5:

\geo
xy(-6,6)
c(blue)
param(t,0,360,1,deg2rad)
kurve(5*cos(t),3*sin(t),Ellipse als Hypozykloide (-trochoide))
\geooff
geoprint(,Ellipse als Hypozykloide (-trochoide))


Nicht nur Kurven mit d r e i "Flügeln" lassen sich zeichnen wie die obige Schleifenzykloide, sondern auch solche mit fünf oder mehr. Ein Beispiel ist die folgende:

\geo
xy(-2,2)
c(blue)
param(t,0,360,1,deg2rad)
kurve(sin(2*t)-cos(3*t),cos(2*t)-sin(3*t),Fünfflügelform)
\geooff
geoprint(,Fünfflügelform)

Da sie durch das Gleichungspaar

x = sin(2*t)-cos(3*t), y = cos(2*t)-sin(3*t)
beschrieben wird, bei dem Sinus- und Kosinusterme g e m i s c h t auftreten, handelt es sich bei ihr weder um eine Epi- noch um eine Hypozykloide (vgl. die obigen Definitionsgleichungen (*)).

Zum Abschluß noch ein paar weitere Kurven:

\geo
xy(-50,50)
c(blue)
param(t,0,360,1,deg2rad)
kurve(30*cos(t)+6*cos(4*t),30*sin(t)-6*sin(4*t),Fünfeckfigur)
\geooff
geoprint(,Fünfeckfigur)

\geo
xy(-20,20)
c(blue)
param(t,0,360,1,deg2rad)
kurve(10*cos(t)-5*cos(8*t),10*sin(t)-5*sin(8*t),)
\geooff
geoprint(,)

\geo
xy(-6,6)
c(blue)
param(t,0,1440,1,deg2rad)
kurve(4*cos(t)+cos(2.5*t),4*sin(t)-sin(2.5*t),)
\geooff
geoprint(,)

\geo
xy(-6,6)
c(blue)
param(t,0,720,1,deg2rad)
kurve(4*cos(t)+cos(3.5*t),4*sin(t)+sin(3.5*t),)
\geooff
geoprint(,)

Mit einem früher recht bekannten Kinderspielzeug namens "Spirograph" ließen sich Zykloiden sehr schön auf Papier zeichnen. Der Computer bietet weit mehr Möglichkeiten: löst man sich von der ursprünglichen kinematischen Entstehung dieser Kurven, indem man in die erzeugenden Gleichungen irgendwelche frei gewählten Zahlen einsetzt, Plus und Minus sowie Sinus und Kosinus willkürlich vertauscht, so entsteht eine unübersehbare Vielfalt einfacher und komplizierter, symmetrischer und unsymmetrischer, zum Teil verwirrend ineinander verschlungener Figuren. Manche sind auch ästhetisch reizvoll, vor allem, wenn Farben verwendet werden. Auch kann man, wie bei der obigen Herzkurve, außer sin t und cos t noch andere Funktionen des Parameters t mit hinzunehmen.

Nur mit sin t und cos t, aber der 3. und 4. Potenz davon erhält man das "falsche Kepler-Ei":

\geo
xy(-1,1)
c(blue)
param(t,0,720,1,deg2rad)
kurve(power(cos(t),4),power(cos(t),3)*sin(t),Falsches Ei (Kepler))
\geooff
geoprint(,Falsches Ei (Kepler))

Ganz allgemein (und von Ausnahmen abgesehen) eignet sich zum Zeichnen von Parameterkurven sehr gut der fedgeo, wie inzwischen mehrere Beispiele an verschiedenen Stellen des Matheplaneten zeigen; der Schreibaufwand ist bei ihm angenehm gering.

\geo
xy(-2.5,2.5)
f(1,1,white)
c(blue)
param(t,0,360,1,deg2rad)
kurve(cos(3*t)+sin(4*t),cos(3*t)-sin(5*t),bye!)
\geooff
geoprint(,bye!)



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Zykloiden und andere Parameterkurven [von Hans-Juergen]  
Wenn ein Kreis ohne zu gleiten auf einer Geraden abrollt, beschreibt ein mit ihm fest verbundener Punkt P eine Kurve, die man als gewöhnliche Zykloide bezeichnet (von lat. cyclus=Kreis).
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201209-09 (20x)http://google.fr/url?sa=t&rct=j&q=kurve einer zykloide
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201302-02 (12x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=trochoide konstruieren
2016-2017 (11x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=vektorgleichung für epitrochoide
201509-09 (8x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zykloide kurve
2013-2015 (8x)http://www.hjcaspar.de/mpart/dateien/textdateien/zahnrad.htm
2016-2019 (8x)http://google.de/search?um=1&q=zykloiden zeichnen
201507-07 (7x)http://google.se/url?sa=t&rct=j&q=
2013-2016 (4x)http://www.mathe-spass.de/dm2004/dm04_l02.htm
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"Mathematik: Zykloiden und andere Parameterkurven" | 12 Comments
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Re: Zykloiden und andere Parameterkurven
von: FriedrichLaher am: Do. 24. Juli 2003 18:52:12
\(\begingroup\)Werden eigentlich, bei irrationalem Verhältnis der Radien, ALLE Punkte eines Kreisringes irgendwann einmal erreicht?\(\endgroup\)
 

Re: Zykloiden und andere Parameterkurven
von: Rebecca am: Do. 24. Juli 2003 20:11:24
\(\begingroup\)Hallo Hans-Juergen,

das gefällt mir sehr gut.
Kleiner Tipp für deine bye-Figur: das mühsame "Weißen" des Koordinatensystem mit 13 fill-Befehlen kannst du durch ein einziges fill zu Beginn deiner Konstruktion ersetzen:
Hinter xy(-2.5,2.5) einfach f(0,0,white) einbauen und weg ist das Koordinatensystem.

Gruß
Rebecca

\(\endgroup\)
 

Re: Zykloiden und andere Parameterkurven
von: Hans-Juergen am: Do. 24. Juli 2003 20:36:17
\(\begingroup\)Hallo Rebecca,
danke für den Hinweis; darauf hätte ich eigentlich selber kommen müssen. (Mich ärgern die vielen Farbbefehle am Ende, und vielleicht hat Martin/Matroid die Möglichkeit, dies nachträglich zu korrigieren.)
Übrigens gefallen mir Deine Parameterkurven und sonstigen Graphiken ebenfalls sehr, und ich bin gespannt, was Du Dir noch alles ausdenken wirst.
Herzliche Grüße,
Hans-Jürgen
\(\endgroup\)
 

Re: Zykloiden und andere Parameterkurven
von: matroid am: Do. 24. Juli 2003 20:59:44
\(\begingroup\)Jetzt habe ich das Füllen an den Anfang gestellt, so daß niemand mehr versteht, wovon hier die Rede ist.

Jedenfalls gibt der Artikel einen sehr guten Überblick über die Kurven, deren Namen man schon oft gehört hat, aber sich nie hat merken können, welche wie aussieht.

Ist nicht die Kardioide bei geeigneter Beleuchtung am Boden einer Kaffeetasse zu sehen?
Ich habe sie selbst schon gesehen. Man darf dabei aber nicht verkrampfen.

Viele Grüße
Matroid\(\endgroup\)
 

Re: Zykloiden und andere Parameterkurven
von: Hans-Juergen am: Do. 24. Juli 2003 22:24:23
\(\begingroup\)Danke, Martin, für die Änderung.

In der Tat läßt sich die Kardioide auch bei einer Tasse Kaffee beobachten. Meistens wird sie dabei "Katakaustik" (Brennlinie) genannt, weil sie die Hüllkurve parallel einfallender, reflektierter Lichtstrahlen ist. Im Internet kann man bei den Bildern von google und mit dem Suchwort "katakaus" eine solche Kurve auch sehr schön an einem Ring sehen.

Beste Grüße,
Hans-Jürgen
\(\endgroup\)
 

Re: Zykloiden und andere Parameterkurven
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 25. Juli 2003 10:33:41
\(\begingroup\)Ich als Zyklop bin sehr angetan von Eurem Wissen, v.a. der immerwiederkehrende Bezug zur "Natur u. Technik"(Kaffeetasse, Wankelmotor) begeistert mich. \(\endgroup\)
 

Re: Zykloiden und andere Parameterkurven
von: Hans-Juergen am: Sa. 26. Juli 2003 10:48:27
\(\begingroup\)DieKardioide tritt auch beim "Apfelmännchen"
in Erscheinung:
Bild

Wie das zustande kommt und sich rechnerisch
begründen läßt, weiß ich nicht.

Für die eingezeichnete Kurve gilt:

x=1/4*(2cos t - cos 2t)
y=1/4*(2sin t - sin 2t),
0<=t<=2\pi

Hans-Jürgen\(\endgroup\)
 

Re: Zykloiden und andere Parameterkurven
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 31. Juli 2003 03:20:53
\(\begingroup\)Ist noch die Frage von Friedrich offen: "Werden eigentlich, bei irrationalem Verhältnis der Radien, ALLE Punkte eines Kreisringes irgendwann einmal erreicht?"
Nein, die transzendenten Punkte können nicht mit einem irrationalen Verhältnis erreicht werden (dazu sind sie nicht dicht genug), wenn nicht gerade auf einem transzendenten Punkt gestartet wird (aber auch dann werden nicht alle erreicht, und schon gar keine rationalen).
Wobei, zugegeben, transzendenter Punkt eine dämliche Formulierung ist. Gemeint ist natürlich ein Punkt mit einer transzendenten Maßzahl, gemessen auf dem Umfang vom Startpunkt aus.
Oder wie war das: schließen die irrationalen die transzendenten mit ein?
1/4\(\endgroup\)
 

Re: Zykloiden und andere Parameterkurven
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 01. August 2003 22:52:02
\(\begingroup\)Irrationale Zahlen sind die, die sich nicht als Bruch p/q mit p e Z, q e Z/{0} schreiben lassen. Das trifft auch auf die transzendenten (über Q) zu.
Besten Gruß!
Jochen Gerhard\(\endgroup\)
 

Re: Zykloiden und andere Parameterkurven
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 26. Oktober 2003 19:17:26
\(\begingroup\)Läßt man einen Kreis K1 mit dem Radius a nicht auf einer Geraden, sondern an einem zweiten Kreis K2 mit dem Radius R abrollen, so gibt es dabei zwei Möglichkeiten:
K1 rollt innen an K2;
K1 rollt außen an K2 ab.
Im ersten Fall nennt man die entstehende Rollkurve "Epizykloide", im zweiten "Hypozykloide". (Epi (gr.) = auf, hypo = unter)

Ich glaube hier haben Sie sich verschrieben. Wenn k1 innen an k2 rollt = Hypozykloide rollt k1 um k2 so spricht man von der Epizykloide.

MFG \(\endgroup\)
 

Re: Zykloiden und andere Parameterkurven
von: Hans-Juergen am: Do. 30. Oktober 2003 21:27:07
\(\begingroup\)Hallo Anonymus,

Sie haben recht: ich habe mich geirrt, und es ist so, wie Sie schreiben. Vielen Dank für den Hinweis.

MfG Hans-Jürgen\(\endgroup\)
 

Re: Zykloiden und andere Parameterkurven
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 05. Januar 2015 12:51:44
\(\begingroup\)Hallo zusammen. Mich würde es ja sehr interessieren, wie man gleitende Zyklodien beschreibt und Abbildet. Ich habe mir schon Gedanken darüber gemacht ob man es mit einer gestrackten Zyklodie nachbilden kann. Wie man dann noch mit fortschreitender Zeit (t) das Gleiten, oder Rutschen abstellen kann verstehe ich auch noch nicht. :-? Viele Grüße :-) \(\endgroup\)
 

 
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