Mathematik: Aus einem Zahnrad entstehende Phantasiekurven
Released by matroid on Mo. 28. Juli 2003 19:56:49 [Statistics]
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\(\begingroup\) Aus einem Zahnrad entstehende Phantasiekurven

Mit dem fedgeo lassen sich bequem die Graphen vieler Funktionen und Relationen zeichnen, wenn diese in der expliziten Form y=f(x) oder als Parameterdarstellung gegeben sind. Manche, wie Kegelschnitte, Spiralen und Lissajousfiguren, haben besondere Namen; die meisten sind namenlos.

In einem früheren Beitrag bildeten Zykloiden den Ausgangspunkt; im vorliegenden soll es die Figur eines Zahnrades mit abgerundeten Zähnen sein:

\geo
xy(-6,6)
c(blue) f(0,0,white)
p(0,0,M,hide) kreis(M,0.5,,nolabel)
param(t,0,360,0.3,deg2rad)
kurve((5+0.2*sin(30*t))*cos(t),(5+0.2*sin(30*t))*sin(t),)
\geooff
geoprint(,)



Sie entsteht, wenn ein Punkt P einen festen Punkt M umkreist, wobei der Abstand von diesem mit einer höheren Frequenz als der Umlauffrequenz periodisch um einen kleinen Betrag zu- und abnimmt. Demgemäß läßt sich ansetzen:

x=(a+b*sin(nt))cos t
y=(a+b*sin(nt))sin t
0<=t<=2\pi.

a>0 ist der mittlere Radius des Zahnrades; b, ebenfalls positiv, aber klein gegen a, bestimmt die Größe der Zähne, und n ist ihre Anzahl.

Von dieser Grundform ausgehend, kann man nun zu verschiedenen anderen Kurven gelangen, bei denen bald nichts mehr an ihre Herkunft erinnert.

Als erstes setze ich a=0, mache b größer als 1 (im folgenden Beispiel gleich 5) und reduziere die Anzahl n der Zähne auf 6. Dann entsteht eine Figur mit 12 Flügeln:

\geo
xy(-6,6)
c(blue) f(0,0,white)
param(t,0,360,0.3,deg2rad)
kurve(5*sin(6*t)*cos(t),5*sin(6*t)*sin(t),)
\geooff
geoprint(,)

Soll eine gleich große Figur mit einer ungeraden Anzahl von Flügeln, beispielsweise 7, gezeichnet werden, wählen wir n=7, lassen aber den Parameter t nur noch im Bereich 0 bis Pi variieren:

\geo
xy(-6,6)
c(blue) f(0,0,white)
param(t,0,180,0.3,deg2rad)
kurve(5*sin(7*t)*cos(t),5*sin(7*t)*sin(t),)
\geooff
geoprint(,)

Nun wählen wir a wieder größer als Null und machen b erneut kleiner als 1, aber nicht so klein wie beim Zahnrad. Außerdem soll t wie dort wieder von 0 bis 2*Pi gehen:

\geo
xy(-6,6)
c(blue) f(0,0,white)
param(t,0,360,0.3,deg2rad)
kurve((5+0.5*sin(7*t))*cos(t),(5+0.5*sin(7*t))*sin(t),)
\geooff
geoprint(,)

Wird b weiter vergrößert, bleibt aber kleiner als a, ergibt sich z. B.
\geo
xy(-8,8)
c(blue) f(0,0,white)
param(t,0,360,0.3,deg2rad)
kurve((5+2*sin(7*t))*cos(t),(5+2*sin(7*t))*sin(t),)
\geooff
geoprint(,)

und wenn b deutlich größer als a wird, entstehen Schleifen auch im Innern der Figur:

\geo
xy(-8,8)
c(blue) f(0,0,white)
param(t,0,360,0.3,deg2rad)
kurve((2+5*sin(7*t))*cos(t),(2+5*sin(7*t))*sin(t),)
\geooff
geoprint(,)

Dies alles läßt sich verhältnismäßig leicht voraussagen. Was aber passiert, wenn wir n nicht mehr als natürliche Zahl wählen wie beim Zahnrad und den Flügelfiguren? Mit n=3,5 statt bisher 7 und b=a ergibt sich beispielsweise:

\geo
xy(-4,4)
c(blue) f(0,0,white)
param(t,0,360,0.3,deg2rad)
kurve((2+2*sin(3.5*t))*cos(t),(2+2*sin(3.5*t))*sin(t),)
\geooff
geoprint(,)

während man für n=3/4 erhält:

\geo
xy(-4,4)
c(blue) f(0,0,white)
param(t,0,720,1,deg2rad)
kurve((2+2*sin(0.75*t))*cos(t),(2+2*sin(0.75*t))*sin(t),)
\geooff
geoprint(,)

Was kann noch verändert werden? Eine Möglichkeit besteht darin, daß wir anstelle eines Wertes für n zwei verschiedene verwenden: n1 und n2, das eine bei x, das andere für y. So entsteht etwa mit n1=3 und n2=5 folgendes Gebilde, das nicht das Geringste mehr mit Zahnrädern und Flügelfiguren zu tun hat:
 
\geo
xy(-4,4)
c(blue) f(0,0,white)
param(t,0,360,1,deg2rad)
kurve((2+2*sin(3*t))*cos(t),(2+2*sin(5*t))*sin(t),)
\geooff
geoprint(,)

Entsprechend gehen wir auch mit a und b vor: jeweils zwei verschiedene Zahlen a1 und a2, b1 und b2 werden ausgewählt, ganzzahlig oder gebrochen, positiv, Null oder negativ. Dazu kann man noch sin und cos miteinander vertauschen oder höhere Potenzen von ihnen verwenden - der Phantasie sind keine Grenzen gesetzt.

Es folgen zwei weitere, auf diese Weise entstandene Figuren; die erste enthält zusätzlich einen Kreis wie das Zahnrad am Anfang.

\geo
xy(-1.25,1.25)
c(blue) f(0,0,white)
p(0.15,0.4,M,hide) kreis(M,0.06,,nolabel)
param(t,0,360,1,deg2rad)
kurve(1.1*sin(0.5*t)*cos(t)+0.3,sin(2.5*t)*sin(t),)
\geooff
geoprint(,)
 
\geo
xy(-2,2)
c(red) f(0,0,antique)
param(t,0,360,1,deg2rad)
kurve((1+cos(100*t))*cos(t),(1+sin(100*t))*sin(t),)
\geooff
geoprint(,)

Abschließend noch ein paar ergänzende Bemerkungen.

Rebecca hat mit dem fedgeo an anderer Stelle des Matheplaneten ein Zahnrad mit eckigen Zähnen gezeichnet und dazu auch von der hyperbolischen Tangensfunktion Gebrauch gemacht. Mit ihr habe ich ebenfalls ein wenig experimentiert und bin dabei auf das folgende Quadrat

\geo
xy(-1.5,1.5)
c(blue)
param(t,0,360,1,deg2rad)
kurve(tanh(5*sin(t)),tanh(5*cos(t)),)  
\geooff
geoprint(,)

gestoßen. Ohne tanh, nur mit sin und cos, entstehen lediglich "Quadrate" mit abgerundeten Ecken wie zum Beispiel dieses:

\geo
xy(-15,15)
c(blue)
param(t,0,360,1,deg2rad)
kurve(10*cos(t)-cos(3*t),10*sin(t)+sin(3*t),)  
\geooff
geoprint(,)

Hans-Jürgen

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: Matroids Matheplanet :: fedgeo :
Aus einem Zahnrad entstehende Phantasiekurven [von Hans-Juergen]  
Viele beispielhafte Parameterkurven mit dem fedgeo gezeichnet.
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"Mathematik: Aus einem Zahnrad entstehende Phantasiekurven" | 4 Comments
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Re: Aus einem Zahnrad entstehende Phantasiekurven
von: matroid am: Mo. 28. Juli 2003 23:08:13
\(\begingroup\)
\geo
xy(-8,8)
f(2,2,white)
param(xx,0,360,1,cosh)
c(red)
kurve(4*cos(xx),4*sin(xx))
#kurve(5*sin(xx)-4*sin(5*xx),5*cos(xx)-4*cos(5*xx))
pen(2)
param(z,0,10,0.1)
kurve(z,sin(z)/2-4)
print(\big Wollknäuel,-3,6)
\geooff
geoprint(,Creation Kiddycat 2003)

Gruß
Matroid\(\endgroup\)
 

Re: Aus einem Zahnrad entstehende Phantasiekurven
von: Rebecca am: Di. 29. Juli 2003 16:30:12
\(\begingroup\)Klasse, Hans-Juergen.
Du wirst lachen, aber die scheinbar einfachste Figur - das Quadrat - hat mich am meisten beeindruckt. Ich habe die gleich in meine Sammlung übernommen.

Gruß
Rebecca\(\endgroup\)
 

Re: Aus einem Zahnrad entstehende Phantasiekurven
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 01. November 2005 21:22:41
\(\begingroup\)Warum ist die Anzahl der Zähne bei vielen Zahnrädern wohl eine Primzahl?\(\endgroup\)
 

Re: Aus einem Zahnrad entstehende Phantasiekurven
von: matroid am: Mi. 02. November 2005 17:48:49
\(\begingroup\)Das hat einen technischen Grund. Wenn zwei Zahnräder ineinander greifen, dann möchte man gleichmäßigen Verschleiß. Darum soll jeder Zahn gleich oft in jeden anderen greifen. Wenn die Anzahl der Zähne der beiden Zahnräder verschiedene Primzahlen sind, ist das erfüllt, denn der ggT zweier Primzahlen ist 1. Es wäre auch mit Nicht-Primzahlen zu schaffen, z.B. 15 und 8 oder 9 und 14. Allerdings sind primzahlige Zahnräder einfach bedenkenloser mit anderen zu kombinieren. Gruß Matroid\(\endgroup\)
 

 
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