Mathematik: Rechtecke in quadratischem Gitter (Induktionsbeweis)
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Mathematik

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IX}{\mathbb{X}} \newcommand{\IW}{\mathbb{M}} \newcommand{\politician}[1]{\text{Ich habe die Frage nicht verstanden. #1}} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Beweise: In einem rechteckigen Gitter mit x Spalten und y Zeilen lassen sich auf den Gitterlinien zeichnend 1/2*x*(x+1)*1/2*y*(y+1) verschiedene Rechtecke einzeichnen.
Anzahl Rechtecke in quadratischen Gitter


Die Lösung für diese Aufgabe, nach der ich heute gefragt worden bin, ist hier
\(\endgroup\)
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Rechtecke in quadratischem Gitter (Induktionsbeweis) [von matroid]  
Anschaulicher Beweis des Satzes: In einem rechteckigen Gitter mit x Spalten und y Zeilen lassen sich auf den Gitterlinien zeichnend 1/2*x*(x+1)*1/2*y*(y+1) verschiedene Rechtecke einzeichnen.
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"Mathematik: Rechtecke in quadratischem Gitter (Induktionsbeweis)" | 3 Comments
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Re: Rechtecke in quadratischem Gitter (Induktionsbeweis)
von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 05. Mai 2001 11:48:04
\(\begingroup\) Also ich würde dieses Problem - wenn es nicht ausdrücklich
verlangt ist - nicht mit vollst. Induktion, sondern als
einfache Kombinatorikaufgabe lösen:

Ein mögliches Rechteck ist die Schnittfigur eines
waagrechten und eines senkrechten Streifens.

Um den waagrechten Streifen zu bestimmen, muss man von den
y+1 waagrechten Linien 2 auswählen, Reihenfolge
unwesentlich, ohne Wiederholungen. Dazu gibt es y(y+1)/2
Möglichkeiten (Formel für Kombinationen bzw. ungeordete
Stichproben).

Für den senkrechten Streifen erhält man analog x(x+1)/2
Möglichkeiten.

Also total das Produkt der beiden Zahlen.\(\endgroup\)
 

Re: Rechtecke in quadratischem Gitter (Induktionsbeweis)
von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 05. Mai 2001 11:56:45
\(\begingroup\)Ich kann nicht ganz glauben, dass man den Beweis so umständlich führen muss. Vielleicht irre ich mich aber auch. Ist vielleicht auch etwas anderes denkbar? Mir schwebte etwas in der Weise vor, dass man mit der Summenformel für die einzelnen Seitenlängen ja die Information über die einzeichenbaren Rechtecke der Form 1*x an beiden Seiten des Rechtecks erhält, un dann nur noch zeigen müsste, vielleicht mit Hilfe der Flächenberechnung eines Rechtecks (?), dass man durch die Multiplikation der beider Ergebnisse dann sämtliche Kombinationen erhält. Was sagst Du dazu?\(\endgroup\)
 

 
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