Mathematik: Über das Auswahlaxiom
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Mathematik

\(\begingroup\) Ein KönigStellt euch folgendes vor:
Ein König herrscht über ein Königreich mit 20 Provinzen.
In jeder Provinz gibt es einen Statthalter, der vom König ernannt wird.
Alle 5 Jahre werden alle Statthalter neu ernannt. Das ist natürlich kein Problem für den Köinig - er geht einfach alle Provinzen der Reihe nach durch und wählt aus jeder Provinz einen aus, der der neue Statthalter wird.
Jetzt dehnt sich das Königreich im Laufe der Jahre immer weiter aus - und bevor sich der König versieht, wird das Ernennen der Statthalter eine ziemlich langwierige Arbeit.
Schließlich (hier beginnt jetzt die Mathematik) hat das Königreich unendlich viele Provinzen.



Jetzt muss der König seine alte Arbeitsart aufgeben - er kann nicht mehr alle Provinzen einzeln durchgehen und einen Statthalter ernennen.
Stattdessen wird ab jetzt in jeder Provinz der älteste Mensch, der dort lebt, Statthalter.
Die Menschen in dem Königreich waren aber leider sehr vermehrungsfreudig und lebten immer länger, bis sie irgendwann unendlich lange lebten, und irgendwann - nach unendlicher Zeit - lebten in allen der unendlich vielen Provinzen unendlich viele Menschen, und es gab keinen ältesten Menschen mehr (es gab zu jedem Menschen immer noch einen älteren).

Der König musste jetzt also unendlich viele Entscheidungen treffen, und er konnte diese Entscheidungen nicht generalisieren - es gab also keine Möglichkeit, eine Voraussetzung für den Statthalterposten zu schaffen, die in jeder Provinz nur von einer Person erfüllt wird ( wie es z.B. das Alter bei den endlich vielen Einwohnern der Provinz war).

Mathematisch gesprochen, hat der König also folgendes Problem: Er hat unendlich viele Mengen (die Provinzen) mit je unendlich vielen Elementen (den Einwohnern).
Der König musste jetzt eine Funktion angeben, die jeder der unendlich vielen Mengen eins ihrer Elemente (den Statthalter) zuordnet, und es ist nicht möglich, eine echte Funktionsvorschrift anzugeben (wie es beispielsweise die Ernennung des Provinzältesten zum Statthalter wäre). Die Frage ist: Gibt es eine solche Abbildung?

Konkreter:
Gibt es zu jeder Familie I von nichtleeren Mengen Ai eine Abbildung

f: I->union(A_i)

mit

f(i)\el\A_i

für alle i?

Intuitiv denkt man, die Antwort wäre ein klares "ja", und so wurde diese Aussage auch lange Zeit von den Mathematikern behandelt - sie wurde einfach benutzt, ohne darüber nachzudenken.
Zu Beginn des 20. Jahrhunderts wurde dann jedoch versucht, die Mathematik - insbesondere die Mengenlehre - auf ein solides Axiomenfundament zu stellen. Dies gelang auch - zumindest scheinbar. Dann stellte sich heraus, dass aus diesen Axiomen nicht die Existenz einer Abbildung mit den obigen Eigenschaften folgt.

Von vielen Mathematikern wurde die Existenz einer solchen Abbildung jedoch als intuitiv einsichtig und wichtig angesehen (warum dieser Satz wichtig ist, werden wir später noch sehen), deshalb wurde dieser Satz in den Rang eines weiteren Axioms erhoben.
Dieses Axiom wurde Auswahlaxiom genannt (auf Englisch Axiom of Choice, die Abkürzung AC kommt häufig vor), da es besagt, dass man aus jeder Familie von Mengen zu jeder Menge einen Repräsentanten auswählen kann:

Auswahlaxiom:
Sei I eine Indexmenge und Ai (nichtleere) Mengen.
Dann gibt es eine Abbildung

f: I->union(A_i)

mit

f(i)\el\A_i

Das Auswahlaxiom ist sehr stark – es erlaubt, unendlich viele zufällige Entscheidungen auf einmal zu treffen (nämlich zu einer Menge einen zufälligen Repräsentanten auswählen zu können).

Es hat aber eine Schwäche:
Es ist nur eine Existenzaussage, keine Konstruktion einer solchen Abbildung.
Man kann also viele der Abbildungen, die aufgrund des Axioms existieren müssen, nie angeben. Dies führte dazu, dass einige Mathematiker das Auswahlaxiom ablehnten, besonders nachdem mithilfe des Auswahlaxioms der folgende Satz bewiesen wurde:

Wohlordnungsprinzip:
Jede Menge lässt sich wohlordnen

Dabei heißt eine Menge A wohlgeordnet, wenn es eine < - Relation gibt, so dass gilt:

1. für a,b aus A gilt entweder a < b oder b < a oder a = b
2. ist a < b und b < c, so ist a < c
3. Jede nichtleere Teilmenge von A enthält ein kleinstes Element

So sind z.B. die natürlichen Zahlen wohlgeordnet - jede Teilmenge der natürlichen Zahlen enthält ein kleinstes Element. Die reellen Zahlen sind jedoch mit der üblichen Ordnungsrelation nicht wohlgeordnet - z.B. enthält ]0,1] kein kleinstes Element.
Das Wohlordnungsprinzip besagt nun aber, dass es eine < - Relation auf R gibt (die nichts mit der üblichen Definition von kleiner zu tun haben muss), mit der R wohlgeordnet ist. Diese Ordnungsrelation ist aber bis heute noch nicht gefunden worden und wird wohl auch nie gefunden werden - weil das Auswahlaxiom nicht konstruktiv ist und man deshalb die Wohlordnung nicht konstruieren kann.

Gälte das Auswahlaxiom jedoch nicht, so gälte auch das Wohlordnungsprinzip nicht - und das Wohlordnungsprinzip ist keine besonders intuitiv einsichtige Aussage, sondern im Gegenteil sehr unanschaulich. Um diesen „schlechten“ Satz aus dem Weg zu räumen, sollte das Auswahlaxiom aus der Sicht von einigen Mathematikern (den "Konstruktivisten") wieder verworfen werden.

Nun aber zu den „guten“ Seiten des Auswahlaxioms:

Mithilfe des Auswahlaxioms kann man das (zumindest vom Namen) recht bekannte Zornsche Lemma beweisen.
Dazu zunächst einige Vorbereitungen:

\nogreeks\Eine Relationwenn gilt:

1. ist a<=b und b<=c, so ist a<=c
2. ist a<=b und b<=a, so ist a=b
3. a<=a

Der Unterschied zu einer vec(Totalordnung) ist, dass zwei Elemente
a und b überhaupt nicht in Relation stehen müssen, während bei
einer Totalordnung a
Eine halbgeordnete Menge kann jedoch eine total geordnete Teilmenge
enthalten.
So kann man z.B. auf der Potenzmenge von {1,2,3} eine Halbordnung
durch das Enthaltensein definieren:
A<=B<=>A\subset\B
So ist {1} 'kleiner' als {1,2}, während {1,3} und {1,2} überhaupt
nicht in Relation zueinander stehen.
Die zwei Mengen {1} und {1,2} bilden hier eine total geordnete
Teilmenge der Potenzmenge \- jedes Element steht in Relation zu
jedem anderen.

Diese total geordnete Menge hat eine obere Schranke, d.h. ein
Element, das größer oder gleich jedem Element aus der total
geordneten Menge ist.
Eine oberste Schranke von {{1},{1,2}} ist {1,2}, aber auch {1,2,3}
ist eine obere Schranke.
(Die Schranke muss nicht in der total geordneten Teilmenge liegen)

Und als letzten Begriff:
Ein Element a einer halbgeordneten Menge heißt vec(maximal), wenn es kein
b!=a gibt mit a<=b
Im obigen Beispiel wäre {1,2,3} ein maximales Element.

Und jetzt endlich das Zornsche Lemma:


Zornsches Lemma:

Gibt es zu jeder total geordneten Teilmenge einer halbgeordneten
Menge A eine obere Schranke, so enthält A ein maximales Element.

(Der Beweis folgt am Ende des Artikels)

Mit dem Lemma kann man einige sehr elementare Sätze beweisen, so z.B.:

Jeder Vektorraum hat eine Basis

Für endlich erzeugte Vektorräume ist das klar – man nimmt sich ein endliches Erzeugendensystem und lässt solange Vektoren herausfallen, dass sich das Erzeugnis nicht ändert, irgendwann kann man aber keinen mehr weglassen – dann ist die Menge linear unabhängig (d.h. die Vektoren in der Menge sind linear unabhängig) und damit eine Basis.
Für unendlichdimensionale Vektorräume sieht das ganze anders aus. Wie soll z.B. eine Basis des Vektorraums aller auf R stetigen Funktionen aussehen? Angeben kann man die wohl nicht, aber kann man wenigstens davon ausgehen, dass es eine gibt?

Hier kommt jetzt das Lemma ins Spiel:

\nogreeks\Sei V ein Vektorraum und A die Menge aller linear unabhängigen
Teilmengen von V.
Auf A definiert das Enthaltensein einer Menge eine Halbordnung:
U<=W->U\subset\W

Sind nämlich X,Y,Z Teilmengen von A, so gilt:

1. Ist X\subset\Y und Y\subset\Z, so ist X\subset\Z
2. Ist X\subset\Y und Y\subset\X, so ist X=Y
3. Es ist X\subset\X

Nun sei B eine total geordnete Teilmenge von A.
Wenn man nun zeigen kann, dass A eine obere Schranke zu B, also
eine Menge, die alle Mengen von B enthält, enthält, ist man fertig:
Nach dem Lemma hat dann A ein maximales Element X, es gibt also kein
Y mit X\subset\Y und X!=Y.

Angenommen, X erzeugte V nicht.
Dann gibt es einen Vektor v, der nicht im Erzeugnis von X liegt, und
X\union\{v} wäre dann linear unabhängig.
X wäre also nicht maximal.
X ist also eine Basis von V.


Sei B=menge(A_i|i\el\I) eine total geordnete Teilmenge von A,
wobei I eine Indexmenge ist.

Sei S=union(A_i)

Offensichtlich enthält S jede Menge aus B.
Wenn S in A wäre, wäre S also eine obere Schranke zu B.
Man muss also noch zeigen, dass S in A ist:
Angenommen, S wäre nicht in A.
Dann gibt es n Vektoren in S, die linear abhängig sind:

sum(a_i*v_i,i=1,n)=0

Sei v_i\el\A_i

Es ist A_1\subset\A_2 oder A_2\subset\A_1.
Entweder gilt also v_1\el\A_2 oder v_2\el\A_1.
Es gibt also eine linear unabhängige Menge (entweder A_1 oder A_2),
die sowohl v_1 als auch v_2 enthält.
So kann man fortsetzen:
Eine Menge aus B muss auch v_1, v_2 und v_3 enthalten ,... und eine
Menge aus B muss alle v_i enthalten.
Dann wäre diese Menge aber nicht linear unabhängig, sie ist aber
nach Voraussetzung in A und damit linear unabhängig.
Die v_i können also nicht linear abhängig sein, damit ist S linear
unabhängig und also eine obere Schranke zu B in A.

V enthält also nach dem Lemma ein maximales Element.
Q.e.d.

Auf ähnliche Weise kann man auch zeigen:

Sei R ein Ring. Dann ist jedes echte Ideal von R in einem maximalen
Ideal enthalten.

Diese Sätze wären ohne das Auswahlaxiom nicht zu beweisen, ohne das
Auswahlaxiom aber auch nicht zu widerlegen;
sie sind damit unabhängig von dem Axiomensystem der Mengenlehre ohne
das Auswahlaxiom \- das bedeutet, man kann das Auswahlaxiom nicht
aus den übrigen folgern.
Andererseits ergeben sich aber keine Widersprüche, wenn man das
Auswahlaxiom zulässt.

Das Auswahlaxiom macht es also möglich, mehr
Sätze zu beweisen, ohne daß es Schaden anrichtet.

Gödel konnte in seinem Unvollständigkeitssatz jedoch zeigen, dass es
über jedem Axiomensystem solche nicht-entscheidbaren Aussagen geben
muss \- Aussagen, die sich weder widerlegen noch beweisen lassen, so
wie eben das Auswahlaxiom über den übrigen Axiomen der Mengenlehre.

Man kann also niemals ein Axiomensystem finden,
über dem kein Satz existiert, der weder beweisbar noch negierbar ist.

Es kann auch gezeigt werden, dass das Auswahlaxiom, das
Wohlordnungsprinzip und das Zornsche Lemma äquivalent sind,
man also jedes aus jedem anderen folgern kann, man hätte also genauso
gut eine der anderen Aussagen in den Rang eines Axioms erheben können.

Diese Äquivalenz will ich hier noch zeigen, die Beweise sind zwar
schwierig, aber schön.

Es genügt, die folgenden drei Aussagen zu beweisen:

\boxon\stress a. Aus dem Wohlordnungsprinizp folgt das Auswahlaxiom.
b. Aus dem Auswahlaxiom folgt das Zornsche Lemma.
\boxoff c. Aus dem Zornschen Lemma folgt das Wohlordnungsprinzip.
!!!

a. ist noch einfach zu zeigen:

Sei A_i eine Familie von Mengen. Nach dem Wohlordnungsprinzip kann
union(A_i) wohlgeordnet werden, und nun hat man eine Möglichkeit,
eine Abbildung zu konstruieren:
Sei a_i das Minimum von A_i. Dann kann man f(A_i)=a_i setzen und hat
eine Abbildung, wie sie das Auswahlaxiom postuliert.
Das Auswahlaxiom ist also wahr.


\nogreeks
Nun b.:

Sei A eine halbgeordnete Menge, die den Bedingungen des Zornschen Lemmas
genügt.
Sei X die Menge aller total geordneten Mengen von A.
Auch X ist bezüglich der Inklusion von Mengen halbgeordnet.

Angenommen, wir könnten zeigen, dass X ein maximales Element C enthält.
C enthält nach den Voraussetzungen des Zornschen Lemmas eine obere
Schranke a.
Dann wäre auch C\union\{a} total geordnet, und da C eine maximale total
geordnete Kette ist, muss a in C liegen.
a ist aber nicht nur obere Schranke von C, sondern ein maximales
Element von A:
Wäre a<=b für ein b, so wäre auch C'=C\union\{b} total geordnet
und damit in X.
Es ist C<=C', und da C ein maximales Element ist, folgt daraus C=C'
und damit b\el\C.
a ist aber eine obere Schranke von C, also muss b<=a und damit b=a
gelten. a ist also maximal.

Es genügt also, die Behauptung für X zu zeigen.

Jetzt kommt das Auswahlaxiom ins Spiel:

Sei f eine Abbildung von der Potenzmenge von X nach A mit f(x)\el\x
für alle x\elP(X) (nach dem Auswahlaxiom existiert eine solche
Abbildung).
Sei
x\-=menge(a\el\A|x\union menge(a)\el\X)
also die Menge aller a, so dass auch x\union\menge(a) total geordnet ist.

Es ist x\subset\x\-. Gilt x=x\-, so ist x ein maximales Element.
Nun sei

g(x) = fdef(x,x=x\-;x\union\f(x\-(x\-)),sonst)

(x\-(x\-) steht für x ohne x\-)
\nogreeks
g lässt x fest, wenn x=x\-, also wenn x maximal ist, und fügt sonst
ein Element von x-(x\-) zu x dazu, so dass g(x) immer noch eine total
geordnete Menge ist.

Jetzt kann man zeigen, dass g einen Fixpunkt hat:

Eine Teilmenge T von X heiße vec(Turm), wenn gilt:

1. Die leere Menge ist in T enthalten
2. Mit x enthält T auch g(x)
3. Ist S eine total geordnete Menge in T, so ist die Vereinigung
\ aller Mengen, die S enthält, in T.

Man kann einfach zeigen, dass X ein Turm ist und das der Schnitt von
beliebig vielen Türmen wieder ein Turm ist. Schneidet man also alle
Türme von X miteinander, so erhält man einen kleinsten Turm T_0 in X.

Ein x aus T_0 heiße vec(vergleichbar), wenn für jedes y aus T_0\cross\subset\y
oder y\subset\x gilt.
Sei T die Menge der vergleichbaren Elemente in T_0 .
T ist offensichtlich total geordnet.
T ist aber auch ein Turm:
Da die leere Menge in allen Mengen von X enthalten ist, ist die leere
Menge auch in T.
Ist S eine total geordnete Menge in T
[und da alle Teilmengen von T total geordnet sind: irgendeine Teilmenge
von T], so muss gezeigt werden, dass auch union(S) vergleichbar ist:

Sei a aus T_0 .
Alle Elemente von S sind vergleichbar.
Es gibt nun zwei Möglichkeiten:

1. s\subset\a für alle s aus S

Dann ist auch union(s,s\el\S)\subset\a

2. a\subset\s für irgendein s aus S

Dann ist a\subset\union(s,s\el\S)

union(s,s\el\S) ist also auch vergleichbar.

Und schlussendlich noch Punkt 2 der Definition eines Turms:

Sei x aus T.
Sei y irgendeine echte Teilmenge von x.
x ist vergleichbar, liegt also entweder in g(y) oder ist eine Teilmenge
von g(y)
Da g zu y höchstens ein Element von A hinzufügt, ist g(y)\subset\x

Sei nun

U=menge(y\el\T_0|y\subset x\or\g(x)\subset\y)

Auch U ist ein Turm :
(1) und (3) sind einfach zu beweisen.
Wieder liegt die Schwierigkeit in (2):
Sei y aus U.
Es gibt drei Möglichkeiten:

1. y ist eine echte Teilmenge von x.

Wir haben oben gesehen, dass dann g(y) in x liegt,
damit ist auch g(y)\el\U

2. y=x
Dann ist y\el\x

3. y ist nicht in x enthalten

Da x vergleichbar ist, muss dann x\subset\y und damit x\subset\g(y)
gelten. Also ist auch dann g(y)\el\U.

U ist also ein Turm, der in T_0 enthalten ist, und damit ist U = T_0 .

Es gilt also für jedes Element von T_0 entweder y\subset\x und
damit y\subset\g(x) oder g(x)\subset\y, g(x) ist also vergleichbar.
Mit x ist also auch g(x) in T, T ist also auch ein Turm und damit T=T_0 .
T_0 ist also total geordnet.

Und nun der finale Streich für diesen Teil des Beweises:

Sei x_0=union(t,t\el\T_0)

Nach der 3. Eigenschaft eines Turms und da T_0 total geordnet ist,
ist x_0\el\T_0
Nach der 2. Eigenschaft ist aber auch g(x_0) in t_0 , und es gilt
x_0\subset\g(x_0).
Nach Definition von x_0 ist aber auch g(x_0)\subset\x_0, also ist
x_0=g(x_0).

G hat bei x_0 also einen Fixpunkt, und das ist nur möglich, wenn x
ein maximales Element von X ist, und dessen Existenz war zu zeigen.
Q.e.d.
Und zum letzten:
\nogreeks
c:

Es gelte das Zornsche Lemma.
Sei A eine Menge und X die Menge aller Wohlordnungsrelationen auf
Teilmengen von A.
X ist nicht leer, da sich jede endliche Menge wohlordnen lässt.
Seien (C,R) und (B,S) zwei Wohlordnungen R,S auf Teilmengen C,B von A;
S und R als Teilmengen von C x C bzw. B x B aufgefasst
(S und R sind ja Relationen, lassen sich also so darstellen);
in dieser Darstellung ist C die Operationsmenge von R
(also die Teilmenge, die R ordnet).
S heißt vec(Ausdehnung) von R, wenn C\subset\B und R\subset\S und zusätzlich,
wenn c aus C, b aus B und (b,c)\el\S gilt, b in C liegt
(wenn also alle Elemente von B-C bzgl. S größer sind als die von C).

X wird durch die Relation

\ S<=R->R ist eine Ausdehnung von S

halbgeordnet.


Nun sei D eine total geordnete Teilmenge von X und sei Y=union(O,O\el\D)

Y ist auch eine Totalordnung:
Sind a, b aus Y, so ist (a,b) oder (b,a) in irgendeinem O aus D,
es gilt also entweder a
Aber viel wichtiger für uns ist nun, dass Y auch eine Wohlordnung ist:
Y operiere auf A_0.
Sei T eine Teilmenge von A_0.
Sei t\el\T. Dann ist t in der Operationsmenge irgendeiner der
Wohlordnungsrelationen O enthalten
Nach der Definition der Ausdehnung ist auch T_0 = menge(t'\el\T|t',t\el\C)
in der Operationsmenge von O, und da O eine Wohlordnung ist, enthält T_0
ein kleinstes Element s.
Da Y eine Ausdehnung von O auf T ist, ist t>s für alle T-T_0 , damit
ist s das minimale Element von T.
Y ist also eine Wohlordnung und eine obere Schranke von D.
Es gibt also nach dem Zornschen Lemma eine maximale Wohlordnung R.
Angenommen, diese operiere nicht auf ganz A, sondern nur in einer Menge B.
Dann fügt man ein Element, das in A \\ B liegt, zu B hinzu, und erweitert
die Relation R so, dass a größer ist als alle Elemente von B.
R bleibt dadurch eine Wohlordnung, dieser Vorgang ist aber auch eine echte
Ausdehnung von R, R ist also nicht maximal - Widerspruch.
R muss somit auf ganz A operieren, A wird also durch R wohlgeordnet.
Q.e.d.




 
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Über das Auswahlaxiom [von Fabi]  
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201510-10 (11x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=1&rct=j&q=auswahlaxiom einfach erklÃ...
2020-2021 (10x)https://duckduckgo.com/
2013-2018 (9x)http://scienceblogs.de/mathlog/2011/03/17/wahrscheinlichkeit-null/
201605-05 (8x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=6&rct=j&q=auswahlfunktion beweis
201511-11 (6x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=3&rct=j&q=was ist ein auswahlaxiom
202006-07 (6x)https://ilias3.uni-stuttgart.de/goto_Uni_Stuttgart_fold_2050044.html
201601-01 (5x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=3&rct=j&q=auswahlaxiom
201705-05 (5x)http://google.de/search?q=beweis auswahlaxiom
201701-12 (5x)http://google.de/
201702-02 (5x)http://google.de/search?source=android-home&site=webhp&source=hp&ei=Q2GTWLKeO...
201807-11 (4x)http://google.com/
2014-2016 (4x)http://suche.aol.de/aol/search?s_chn=hp&enabled_terms=&s_it=aolde-homePage50&...
201608-08 (4x)http://google.de/search?q=mathematik ohne auswahlaxiom
201805-05 (4x)http://google.de/search?q=auswahlaxiom beispiel
201706-06 (4x)http://google.de/search?q=auswahlaxiom einfach erklärt

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"Mathematik: Über das Auswahlaxiom" | 38 Comments
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Re: Über das Auswahlaxiom
von: matroid am: Fr. 22. August 2003 23:26:19
\(\begingroup\)Fabi, Du hast das Königsthema gewählt. Gratulation dazu und zu diesem Artikel insgesamt!

Viele Grüße
Matroid

PS: Ich habe unterdessen in fed noch die Option \nogreeks
eingebaut. Dann kann man schreiben:
\nogreeks\x\el\y
ohne Leerzeichen vor dem y. Mit '\greeks' schaltet man ggf. zurück.
\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Martin_Infinite am: Sa. 23. August 2003 00:55:39
\(\begingroup\)Ich bin echt beeindruckt! Der Artikel ist 1a,
einfach superspitze! Endlich mal eine klasse
Zusammenfassung über das Auswahlaxiom und alles,
was damit verbunden ist. LA rulez!

Gruß
Martin

PS: Würde mich über jeden weiteren Matheartikel
freuen! *träum*



\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Morris am: Sa. 23. August 2003 10:50:58
\(\begingroup\)Hallo Fabi!
Gratulation, ein sehr schöner Artikel. Die Beweise zu b und c habe ich mir noch nicht angesehen, das wird aber noch kommen.

Einen Kritikpunkt habe ich: Mir haben ein paar Kommentare zu Abzählbarkeit gefehlt. Wenn ich zum Beispiel eine abzählbare Familie abzählbarer Mengen habe, dann ist auch die Vereinigung abzählbar, und ich kann ganz analog zu Deinem Beweis von a eine Auswahlfunktion finden. Wie sieht es aus mit einer überabzählbaren Familie abzählbarer Mengen oder einer abzählbaren Familie überabzählbarer Mengen? Das kann man natürlich beliebig weitertreiben, z.B. mit endlich vielen überabzählbaren Mengen in einer abzählbaren Familie usw.. Aber ein paar Kommentare dazu, wann man wirklich das Auswahlaxiom braucht, oder zumindest ein Hinweis, daß endlich/unendlich hier nicht das finale Entscheidungskriterium ist, sollte IMHO rein.

Das soll aber mein Gesamtlob nicht schmälern.
Viele Grüße
Morris\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Fabi am: Sa. 23. August 2003 12:53:57
\(\begingroup\)Hi!
Schön, dass euch der Artikel gefällt.
@Morris: Ich nehme deine Kritik zur Kenntnis, hätte man noch etwas drüber schreiben können.
Andererseits kann man abzählbare Mengen ja auch ohne Auswahlaxiom als wohlgeordnet voraussetzen, da sind wir dann wieder in dem Fall, dass aus dem Wohlordnungsprinzip das Auswahlaxiom folgt (dann eben nur für abzählbare Mengen). Aber du hast recht: Das entscheidendere Kriterium ist abzählbar/überabzählbar.
@MartinInfinite Was meinst du mit "LA rulez"?\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Fabi am: Sa. 23. August 2003 13:00:43
\(\begingroup\)
Von dieser Seite
(englisch) habe ich die Beweise her. Es haben sich im Artikel ein paar Fehler eingeschlichen, wenn etwas unklar ist, kann man dort schauen.\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Martin_Infinite am: Sa. 23. August 2003 23:30:06
\(\begingroup\)Naja, LA rulez ...
Weiß nicht, irgendwie wollte ich sagen, dass
Lineare Algebra doch viel mehr bietet, als
ich mir je hätte vorstellen können.

Gruß\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: matroid am: So. 24. August 2003 00:25:26
\(\begingroup\)Lineare Algebra beschäftigt sich durchweg mit endlich dimensionalen Vektorräumen und drückt sich damit erfolgreich um das Auswahlaxiom herum.

Gruß
Matroid
\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Zahlenteufel am: So. 24. August 2003 12:53:03
\(\begingroup\)Hallo Fabi.

Kaum aus dem Urlaub zurück und dann gleich so ein toller angehnem zu lesender Artikel . Kompliment.
Nur warum macht der König sich so viel Arbeit. Er müsste einfach nur die Demoktratie einführen und übergansgweise weiter regieren, bis alle Stimmen ausgezählt sind.

Gruß
Christoph \(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Fabi am: So. 24. August 2003 13:34:11
\(\begingroup\)Tja, es gibt nur ein kleines Problem: Wer zählt die unendlich vielen Stimmen aus?
Da regiert der König dann unendlich lange übergangsweise...außerdem: Welcher König führt freiwillig die Demokratie ein?
\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Siah am: So. 24. August 2003 19:53:23
\(\begingroup\)Ich spreche Dir persönlich ein grosses Dankeschön für diesen tollen Artikel aus!

beste Grüsse
Siah\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Ottosmops am: Mo. 25. August 2003 11:21:34
\(\begingroup\)Schön geschrieben und für mich auch ganz nützlich als Erinnerung an ZFC im Zuge der Vorbereitung auf die LA Prüfung\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: marvinius am: Mi. 27. August 2003 14:56:18
\(\begingroup\)@Fabi
Schön, daß offenbar auch Interesse für die Grundlagen der heutigen Methematik besteht - und hübsch geschrieben 😄 Die Beweise sind im wesentlichen Standard (man findet kaum je andre - wär freilich mal reizvoll) und eigentlich auch nicht zu schwierig. Umso erstaunlicher, daß nach meinem Eindruck die meisten späteren Diplommathematiker damit im Studium nie in Berührung kommen ... und umso verdienstvoller, diese Sachen hier mal auszubreiten 😄

@Morris
In Hinblick auf Vereinigungen unendlicher Familien unendlicher Mengen folgt alles wesentliche aus dem Umstand, daß für JEDE unendliche Menge M das cartesische Produkt MxM gleichmächtig zu M ist.
(siehe auch S. 33-36 in http://math.marvinius.net/allgtop1.pdf )\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 14. November 2003 15:49:23
\(\begingroup\)@Morris Der Beweis, dass die Vereinigung abz. vieler abz. Mengen wieder abzbar ist, benötigt das Auswahlaxiom. Denn man muss dazu zu jeder der abz. Mengen eine Abzählung wählen. Es ist konsistent (ohne AC), dass die Menge der reellen Zahlen Vereinigung abzählbar vieler abzb. Mengen ist. Auch M x M gleichmächtig zu M geht nur mit AC, obwohl man es für N und R auch ohne zeigen kann. Gruß Herbert\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Diffform am: Mo. 19. April 2004 17:21:38
\(\begingroup\)Hallo Fabi,

jetzt hab ich endlich nach langer Zeit auch diesen Artikel entdeckt, und ich find ihn super! Er fasst bereits weit in meinem Hirn verstreutes Wissen (-; zusammen und zwar so, dass man es auch verstehen kann!!

Bastl\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Cerebus am: Fr. 17. Juni 2005 21:30:33
\(\begingroup\)Ein schöner Artikel der eine verbreitete Wissenslücke schließt. Das Auswahlaxiom war von Anfang an Teil der axiomatischen Mengenlehre, genau so wie der Wohlordnungssatz. Zermelo hat 1908 seine Axiome der Mengenlehre eingeführt- in einem Beweis des Wohlordnungssatzes. Der Artikel heißt "Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung" (sein erster Beweis war nicht axiomatisch). Dass auf R keine Wohlordnung existiert falls AC nicht gilt ist übrigens beweisbar. lg. Michael P.S.: Bei der Definition der Wohlordnung fehlt die Irreflexitivität. Sonst wäre "=" eine Wohlordnung auf jeder Menge. \(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 16. Juli 2006 11:25:14
\(\begingroup\)Wie kann man mit dem Auswahlaxiom rechtfertigen, dass man mit den Kardinalzahlen jede beliebige Menge abzählen kann? Vielen Dank\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Gockel am: So. 16. Juli 2006 14:18:43
\(\begingroup\)@Anonymous: Gar nicht. Es gibt beliebig viele überabzählbare Mengen. Meinst du vielleicht etwas anders? Beziehst du dich vielleicht auf die Möglichkeit, auf jeder Menge eine Wohlordnung zu definieren? Dies geht mit Hilfe des Auswahlaxioms sicher. Oder meinst du die Tatsache, dass jede Menge eine zu ihr gleichmächtige Kardinalzahl besitzt? Dies wäre dann eine Konsequenz des Wohlordnungssatzes, denn da jede Menge zu einer wohlgeordneten Menge gleichmächtig ist, ist jede Menge zu einer Ordinalzahl gleichmächtig, also gibt es auch eine kleinste Ordinalzahl, zu der eine Menge gleichmächtig ist. Und diese ist per Definition (zumindest ist die übliche Definition wohl so) eine Kardinalzahl. mfg Gockel. P.S. @Cerebus: "=" kann schon deshalb keine allgemeine Wohlordnung sein, weil nicht alle Elemente vergleichbar sind. Die Forderung, dass jede nichtleere Teilmenge ein kleinstes Element hat, verhindert, dass bei Mengen mit mehr als zwei Elementen "=" zu einer Totalordnung (und damit zu einer Wohlordnung) wird.\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Cerebus am: So. 16. Juli 2006 17:18:27
\(\begingroup\) Du hast natürlich recht. Allerdings brauchst du die Irreflexivität trotzdem. Sonst ist X\cross\ X für jede nichtleere Menge X eine Wohlordnung bei der jedes Element einer Teilmenge kleinstes Element ist und unendlich absteigende Folgen existieren. lg. Michael \(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 16. Juli 2006 18:07:08
\(\begingroup\)@Gockel Vielen Dank für die schnelle Antwort. Ich soll ein Referat über folgendes Thema halten: Um den Bogen zurück zur Klassifikation verschiedener Kardinalitäten zu schlagen, führen wir Kardinalzahlen ein. Um zu rechtfertigen, daß dies tatsächlich zum Abzählen jeder beliebigen Menge verwendet werden können, lernen wir außerdem das Auswahlaxiom kennen. Naja, ich weiß zwar so in etwa, was Kardinalzahl und Auswahlaxiom ist, aber was haben die beiden miteinander zu tun? Gruß Anonymous\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Gockel am: So. 16. Juli 2006 20:30:48
\(\begingroup\)Hi Anonymous. Das ist der von mir erwähnte Zusammenhang: Wenn man das AC zur Verfügung hat, kann man beweisen, dass jede Menge zu einer Kardinalzahl gleichmächtig ist (Ich gehe einmal von der Definition aus, dass eine Kardinalzahl als Ordinalzahl definiert ist, die zu keiner echt kleineren Ordinalzahl gleichmächtig ist) Man kann ebenfalls (auch ohne den obigen Satz) beweisen, dass die Kardinalitäten zweier Mengen miteinander vergleichbar sind, d.h. dass es zu je zwei Mengen A und B eine injektive Abbildung A->B oder B->A gibt. Solche Sachen machen das Arbeiten mit Kardinalzahlen erst richtig gemütlich. Ohne das Auswahlaxiom bekommt man viele unschöne Dinge, z.B. kann man dann nicht beweisen, dass AxA zu A gleichmächtig ist für alle unendlichen A (denn dieser Satz ist äquivalent zum AC). Die Vergleichbarkeit aller Mengen kann man ebenfalls nicht zeigen (auch dies ist äquivalent zum AC), ebenso fällt das Zuordnen einer Kardinalzahl in obigem Sinne weg (auch dies ist... na denks dir 😉 ) @Cerebus: Da hast du natürlich auch wieder Recht... mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 17. Juli 2006 16:10:15
\(\begingroup\)Hi Gockel Ist A kartesisch multipliziert mit A nicht die Potenzmenge P(A)? Wie funktionieren aber eigentlich die ganzen Beweise mit dem AC, also z.B:, dass jede Menge zu einer Kardinalzahl gleichmächtig ist oder die Vergleichbarkeit aller Mengen? Wo benötigt man dabei das AC? Irgendwie habe ich das noch nicht verstanden. Also das AC sagt, dass es für jede Menge von nichtleeren Mengen eine Auswahlfunktion gibt, die von den nichtleeren Mengen ein Element herausnimmt. Dabei weiß man nicht, wie die Funktion genau ausschaut. Stimmt das so in etwa? Vielen Dank für Deine Mühe Gruß Anonymous\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Gockel am: Mo. 17. Juli 2006 18:25:06
\(\begingroup\)Hi. Nein, wie kommst du darauf? Das ist ganz offensichtlich nicht der Fall. Sie sind weder gleich noch gleichmächtig: A\cross\ A ist definiert als menge((a,a') | a,a'\el\ A), als Menge von Paaren__ von Elementen von A eben. \calP(A) ist hingegen die Menge der Teilmengen__ von A: \calP(A):=menge(B | B\subseteq\ A) Die Grundaussage des ACs hast du richtig verstanden: Egal wieviele und welche Mengen man hat, sobald sie alle nichtleer ist, kann ich aus allen je ein Element auswählen. Wie die Beweise genau ausschauen, ist unterschiedlich. Eine Möglichkeit wäre z.B., dass man zeigt, dass das AC den Wohlordnungssatz (jede Menge kann wohlgeordnet werden) impliziert. Dann hat man nämlich zu jeder Menge auch mindestens eine isomorphe Ordinalzahl (Jede Wohlordnung ist auch ohne AC zu genau einer Ordinalzahl isomorph). Und von all den Ordinalzahlen, zu denen eine feste Menge X gleichmächtig ist, kann man demzufolge auch eine Kleinste auswählen (Die Ordinalzahlen sind selbst wohlgeordnet). Diese ist dann eine Kardinalzahl. Die Vergleichbarkeit folgt bereits daraus, denn die Ordinalzahlen (und speziell die Kardinalzahlen) sind auch ohne AC immer miteinander vergleichbar. Ein alternativer Beweis nutzt das Zorn'sche Lemma aus (was sehr oft vorkommt bei solchen Beweisen, die das AC involvieren). Ich kann das ja mal kurz von der Idee her demonstrieren: Man hat zwei Mengen A und B und betrachtet dann die Menge M:=menge((T,f,S) | T\subseteq\ A, S\subseteq\ B und f: T->S bijektiv) Auf M definiert man sich eine partielle Ordnung "||opimg(<=)" wie folgt: (T,f,S)<=(T',f',S') :<=> T\subseteq\ T', S\subseteq\ S' und f'_\|T = f Das heißt also, dass man diese Ordnung im Sinne der Fortsetzbarkeit der Abbildungen betrachtet. Zwei solcher Tripel sind vergleichbar, wenn sich die Abbildungen mit einander vertragen und die eine die Fortsetzung der anderen ist. Mit Hilfe des Zorn'schen Lemmas zeigt man nun, dass es ein maximales Element in M gibt. Wir könnten es z.B. (T^~, f^~, S^~) nennen. Dann gibt es mehrere Fälle: array(Fall 1)__: T^~=A Dann ist f^~ eine bijektive Abbildung A->S^~\subseteq\ B, also gibt es eine injektive Abbildung A->B und genau das ist die Definition abs(A)<=abs(B). array(Fall 2)__: S^~=B Dann ist f^~^(-1) eine bijektive Abbildung B->T^~\subseteq\ A, also folgt hier wieder abs(A)>=abs(B) array(Fall 3)__: T^~\subsetnoteq\ A und S^~\subsetnoteq\ B Dann gibt es ein Element t_0\el\ A\\||T^~ und ein Element s_0\el\ B\\||S^~. Dann können wir f^~ fortsetzen zu einer Abbildung f^\*, die wir durch f^\*(t)=cases(f^~(t), falls t\el\ T^~;s_0, falls t=t_0) definieren. Dies ist dann eine Bijektion T^~\union\ menge(t_0) -> S^~\union\ menge(s_0), was der Maximalität von (T^~, f^~, S^~) widerspricht. Also gilt in jedem Fall entweder abs(A)<=abs(B) oder abs(A)>=abs(B). mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Cerebus am: Mo. 17. Juli 2006 18:33:14
\(\begingroup\) \light\ Ist A kartesisch multipliziert mit A nicht die Potenzmenge P(A)?\white\ Nein. Sei A={\0}, eine einelementige Menge. Aber A\cross\ A={(\0,\0)}!={\0,{\0}}=P(A). \light\Wie funktionieren aber eigentlich die ganzen Beweise mit dem AC, also z.B:, dass jede Menge zu einer Kardinalzahl gleichmächtig ist oder die Vergleichbarkeit aller Mengen? Wo benötigt man dabei das AC? \white\ Das Auswahlaxiom ist äquivalent dazu dass jede Menge wohlgeordnet werden kann \(du kannst die Begriffe in Wikipedia nachschlagen\). Nun lässt sich \(durch transfinite Induktion\) zeigen dass alle wohlgeordneten Mengen vergleichbar sind. Ordinalzahlen sind einfach bestimmte Mengen die als Platzhalter für wohlgeordnete Mengen genommen werden können. Jede wohlgeordnete Menge ist ordnungsisomorph zu einer Ordinalzahl \(ist ohne AC beweisbar\). Da jede Menge unter AC wohlgeordnet werden kann, existiert zu jeder Menge \(mindestens\) eine gleichmächtige Ordinalzahl. Nun ist auch die Klasse aller Ordinalzahlen \(ist zwar keine Menge mehr, aber das Problem kann leicht umgangen werden\) wohlgeordnet, so dass es eine kleinste Ordinalzahl gibt, welche zu dieser Menge gleichmächtig ist. \light\Also das AC sagt, dass es für jede Menge von nichtleeren Mengen eine Auswahlfunktion gibt, die von den nichtleeren Mengen ein Element herausnimmt. Dabei weiß man nicht, wie die Funktion genau ausschaut. Stimmt das so in etwa?\white\ Genau. Und du brauchst das Auswahlaxiom auch nur wenn du nicht weist wie die Auswahlfunktion aussehen könnte. P.S.: Bitte stell solche Fragen in Zukunft im Forum. lg. Michael \(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 07. Oktober 2007 02:27:56
\(\begingroup\)Sehr schöner Artikel! Wenn auch keine leichte Kost um 2:38 Uhr! 😄 \(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 20. Dezember 2007 08:43:16
\(\begingroup\)Hi. Dies ist ein Gegenbeispiel fuer das Auswahlaxiom. Sei D (definierbar) die Menge konstrueirt wie folgt: Addiere zu Q (quotient Zahlen) alle bisherigen und kuenftigen explizit definierten Zahlen (nur einzelne Zahlen, keine Klassen oder Familien von Zahlen) und mache den algebraischen Abschluss. Die Menge D ist abzaehlbar, weil nur abzaehlbare viele Zahlen zu der Menge addiert wurden und der algebraische Abschluss auch nur abzaehlbar viele Zahlen dazu addiert. Sei M die Menge R (reele Zahlen) ohne D. M ist ueberabzaehlbar, Wir koennen aber keine Zahl aus M auswaehlen, denn wenn wir eine Zahl aus M auswaehlen dann ist sie definiert (Definition: Zahl die wir ausgewaehlt haben) und somit Element aus D. Widerspruch zu der Definition von M. mfg. Martinus Ngantung thungdt#cbn.net.id\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: huepfer am: Do. 20. Dezember 2007 09:24:32
\(\begingroup\)Hallo Martinus, bei Deinem Vorgehen übersiehst Du allerdings, dass man mit dem Auswahlaxiom keine Elemente explizit wählt. Es würde also wieder funktionieren. Außerdem bin ich der Ansicht, dass durch die Konstruktion der reellen(!) Zahlen über Dedekindschnitte (z.B.) jede Zahl bereits explizit konstruiert ist und M damit leer wäre. Andererseits ist, wenn man obiges Argument nicht akzeptiert, M überhaupt keine Menge. Denn genau mit Deinem letzten Abschnitt zeigt man, dass sie den Gesetzen der Mengenlehre widerspricht und man damit auch das Auswahlaxiom für Mengen nicht anwenden kann. Gruß, Felix\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 20. Dezember 2007 13:02:33
\(\begingroup\)Hallo Felix. Ich meinte alle bisherigen und kuenftigen(!!!) explizit definierten Zahlen, das sind sehr viele aber noch immer nur endlich viele (sicherlich fuer di nexten 1000000 Jahre weniger als 10**1000000); und fuer endliche Mengen brauche ich das Auswahlaxiom nicht. In dem Augenblick wo eine Zahl ausgewaehlt wurde (auch wenn mittels des Auswahlaxioms, die Zahl ist definiert), gehoert sie zu D. Danke, mfG Martinus Ngantung \(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: huepfer am: Do. 20. Dezember 2007 17:26:17
\(\begingroup\)Hallo Martinus, hatte ich mir es doch gedacht. Das, was Du hier definierst, ist keine Menge. Gruß, Felix PS: Hab jetzt keine Zeit, das näher zu erläutern.\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: akira78 am: Sa. 09. Februar 2008 09:27:15
\(\begingroup\)Super Artikel!! Vielen Dank!! Wenn Mathematik immer so gut vermittelt werden würde..träum LG akira\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 26. Januar 2011 18:16:34
\(\begingroup\)Hi! Ich glaube im Beweis des Zornschen Lemmas muss es anstatt falsch \ g(x) = fdef(x,x=x\-;x\union f(x\-(x\-)),sonst) korrekt \ g(x) = fdef(x,x=x\-;x\union f((x\-)\-x),sonst) heißen. Begründung: Alle Elemente aus x sind auch in x-, wenn ich also x- von x abziehe bleibt nichts übrig. Umgekehrt bleiben aber alle Elemente übrig, die ich zu x hinzufügen kann, so dass die resultierende Menge total geordnet bleibt. Stimmt das, oder hab ich da einen Denkfehler drin? Grüße, Geggo \(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 26. Januar 2011 18:26:26
\(\begingroup\)Hallo! Mir ist noch ein Punkt aufgefallen: Die Funktion f aus dem Beweis des Lemmas von Zorn müsste doch entweder vom Typ \ P(A) -> A oder \ X -> A sein, aber nicht wir im Text beschrieben vom Typ \ P(X) -> A. ("Sei f eine Abbildung von der Potenzmenge von X nach A"). X Enthält ja bereits Teilmengen von A, aus denen dann mit Hilfe des Auswahlaxioms ein Element von A ausgesondert werden soll. Ansonsten ergibt die Verwendung in g keinen rechten Sinn. Grüße, Geggo\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 22. Februar 2011 12:37:28
\(\begingroup\)Hey , also ich hab da eine Frage und zwar müsste es nicht heißen ein Element a einer TOTAL GEORDNETEN MENGE heißt maximal wenn, ... denn in dem Beispiel beziehst du dich ja auf die total geordnete Menge ({1},{1,2}), oder versteh ich das falsch? Lg \(\endgroup\)
 

Re: müsste es nicht total heißen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 13. September 2011 16:39:56
\(\begingroup\)partiell geordnet stimmt schon. In einer total geordneten Menge gibt es keinen Unterschied zwischen maximales Element und dem (eindeutigen) Maximum. In einer partiellen Ordnung sind sie zu unterscheiden, i.A. gibt es mehrere maximale Elemente. anonym@\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: BlakkCube am: Di. 13. Dezember 2011 11:18:16
\(\begingroup\)Bei der Formulierung des Auswahlaxioms: Wenn ich eine Abbildung $f:I\rightarrow\bigcup_{i\in I} A_i$ betrachte, müsste es dann nicht in der Forderung $f(i)\in A_i$ heißen und nicht $f(A_i )\in A_i$?\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Gockel am: Di. 13. Dezember 2011 17:06:29
\(\begingroup\)Hi BlakkCube. Ja, du hast Recht, das sollte geändert werden. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 04. Februar 2013 14:48:33
\(\begingroup\)Hi zusammen, bin gerade dabei den Beweis zum Zornschen Lemma zu verstehen. Da kam mir dieser Artikel auf jeden Fall wie gerufen. :) Eine Sache fiel mir allerdings sofort auf und hat mich stutzig gemacht. Bei der Frage: "Gibt es zu jeder Familie I von nichtleeren Mengen A_i eine Abbildung f: I->union(A_i) mit f(A_i)\el\A_i für alle i?" I im obigen Beispiel ist doch die Indexmenge und nicht das, was wir allgemein unter einer Familie verstehen. Jedenfalls bin ich bislang immer davon ausgegangen, dass es die Abbildung f selber ist, welche als Familie bezeichnet wird. Ist das oben in der Tat falsch, oder hab ich da gerade einen Denkfehler oder womöglich eine andere Definition von Familie vorliegen? Vielen Dank für den tollen Artikel und auf eine womögliche Antwort. Viele Grüße Michael \(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 15. Februar 2014 17:38:09
\(\begingroup\)Perfekt :) nur fehlt die syntaktische Ausformulierung des Axioms in Prädikatenlogik erster Stufe (bitte ohne Eindeudigkeitsalquantor ;) \(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: sbechtel am: Di. 03. Februar 2015 22:40:55
\(\begingroup\)Der Artikel ist zwar schon ein gutes Jahrzehnt alt, aber troztdem noch eine Korrektur und eine interessante Anmerkung: Der Hinweis auf den ersten gödelschen Unvollständigkeitssatz ist wohl etwas arg lax. Lassen wir mal die hinreichende Stärke des Axiomensystems weg (Repräsentierbarkeit) so gibt es da immernoch die Voraussetzungen Konsistenz und Rekursivität. In ersterem kann man alles beweisen, letztere Theorie ist vollständig, jedoch hilfreich als Axiomatisierungen sind sie beide nicht ;) Dann noch die Anmerkung, weil ja geschrieben wurde, dass Konstruktivisiten das Auswahlaxiom ablehnen - unter anderem wegen dem Wohlordnungssatz: Der natürliche Feind des Konstruktivisten ist das "law of the excluded middle", das besagt, dass eine Aussage oder ihre Negation wahr ist, etwas, was wir in klassischer Logik als Selbstverständlichkeit bis Axiom ansehen würden, ist Konsequenz des Auswahlaxioms (und der Beweis ist toll, da man ihn selbst auf einem Bierdeckel aufschreiben kann).\(\endgroup\)
 

 
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