Mathematik: Über das Auswahlaxiom
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Über das Auswahlaxiom [von Fabi]  
Stellt euch folgendes vor: Ein König herrscht über ein Königreich mit 20 Provinzen. In jeder Provinz gibt es einen Statthalter, der vom König ernannt wird. Alle 5 Jahre werden alle Statthalter neu ernannt. Das ist natürlich kein Problem für den Köinig - er geht einfach alle Provinzen der Reihe
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"Mathematik: Über das Auswahlaxiom" | 38 Comments
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Re: Über das Auswahlaxiom
von: matroid am: Fr. 22. August 2003 23:26:19
\(\begingroup\)
Fabi, Du hast das Königsthema gewählt. Gratulation dazu und zu diesem Artikel insgesamt!

Viele Grüße
Matroid

PS: Ich habe unterdessen in fed noch die Option \nogreeks
eingebaut. Dann kann man schreiben:
fed-Code einblenden
ohne Leerzeichen vor dem y. Mit '\greeks' schaltet man ggf. zurück.
\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Martin_Infinite am: Sa. 23. August 2003 00:55:39
\(\begingroup\)
Ich bin echt beeindruckt! Der Artikel ist 1a,
einfach superspitze! Endlich mal eine klasse
Zusammenfassung über das Auswahlaxiom und alles,
was damit verbunden ist. LA rulez!

Gruß
Martin

PS: Würde mich über jeden weiteren Matheartikel
freuen! *träum*



\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Morris am: Sa. 23. August 2003 10:50:58
\(\begingroup\)
Hallo Fabi!
Gratulation, ein sehr schöner Artikel. Die Beweise zu b und c habe ich mir noch nicht angesehen, das wird aber noch kommen.

Einen Kritikpunkt habe ich: Mir haben ein paar Kommentare zu Abzählbarkeit gefehlt. Wenn ich zum Beispiel eine abzählbare Familie abzählbarer Mengen habe, dann ist auch die Vereinigung abzählbar, und ich kann ganz analog zu Deinem Beweis von a eine Auswahlfunktion finden. Wie sieht es aus mit einer überabzählbaren Familie abzählbarer Mengen oder einer abzählbaren Familie überabzählbarer Mengen? Das kann man natürlich beliebig weitertreiben, z.B. mit endlich vielen überabzählbaren Mengen in einer abzählbaren Familie usw.. Aber ein paar Kommentare dazu, wann man wirklich das Auswahlaxiom braucht, oder zumindest ein Hinweis, daß endlich/unendlich hier nicht das finale Entscheidungskriterium ist, sollte IMHO rein.

Das soll aber mein Gesamtlob nicht schmälern.
Viele Grüße
Morris\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Fabi am: Sa. 23. August 2003 12:53:57
\(\begingroup\)
Hi!
Schön, dass euch der Artikel gefällt.
@Morris: Ich nehme deine Kritik zur Kenntnis, hätte man noch etwas drüber schreiben können.
Andererseits kann man abzählbare Mengen ja auch ohne Auswahlaxiom als wohlgeordnet voraussetzen, da sind wir dann wieder in dem Fall, dass aus dem Wohlordnungsprinzip das Auswahlaxiom folgt (dann eben nur für abzählbare Mengen). Aber du hast recht: Das entscheidendere Kriterium ist abzählbar/überabzählbar.
@MartinInfinite Was meinst du mit "LA rulez"?\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Fabi am: Sa. 23. August 2003 13:00:43
\(\begingroup\)

Von dieser Seite
(englisch) habe ich die Beweise her. Es haben sich im Artikel ein paar Fehler eingeschlichen, wenn etwas unklar ist, kann man dort schauen.\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Martin_Infinite am: Sa. 23. August 2003 23:30:06
\(\begingroup\)
Naja, LA rulez ...
Weiß nicht, irgendwie wollte ich sagen, dass
Lineare Algebra doch viel mehr bietet, als
ich mir je hätte vorstellen können.

Gruß\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: matroid am: So. 24. August 2003 00:25:26
\(\begingroup\)
Lineare Algebra beschäftigt sich durchweg mit endlich dimensionalen Vektorräumen und drückt sich damit erfolgreich um das Auswahlaxiom herum.

Gruß
Matroid
\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Zahlenteufel am: So. 24. August 2003 12:53:03
\(\begingroup\)
Hallo Fabi.

Kaum aus dem Urlaub zurück und dann gleich so ein toller angehnem zu lesender Artikel . Kompliment.
Nur warum macht der König sich so viel Arbeit. Er müsste einfach nur die Demoktratie einführen und übergansgweise weiter regieren, bis alle Stimmen ausgezählt sind.

Gruß
Christoph\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Fabi am: So. 24. August 2003 13:34:11
\(\begingroup\)
Tja, es gibt nur ein kleines Problem: Wer zählt die unendlich vielen Stimmen aus?
Da regiert der König dann unendlich lange übergangsweise...außerdem: Welcher König führt freiwillig die Demokratie ein?
\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Siah am: So. 24. August 2003 19:53:23
\(\begingroup\)
Ich spreche Dir persönlich ein grosses Dankeschön für diesen tollen Artikel aus!

beste Grüsse
Siah\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Ottosmops am: Mo. 25. August 2003 11:21:34
\(\begingroup\)
Schön geschrieben und für mich auch ganz nützlich als Erinnerung an ZFC im Zuge der Vorbereitung auf die LA Prüfung\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: marvinius am: Mi. 27. August 2003 14:56:18
\(\begingroup\)
@Fabi
Schön, daß offenbar auch Interesse für die Grundlagen der heutigen Methematik besteht - und hübsch geschrieben 😄 Die Beweise sind im wesentlichen Standard (man findet kaum je andre - wär freilich mal reizvoll) und eigentlich auch nicht zu schwierig. Umso erstaunlicher, daß nach meinem Eindruck die meisten späteren Diplommathematiker damit im Studium nie in Berührung kommen ... und umso verdienstvoller, diese Sachen hier mal auszubreiten :-)

@Morris
In Hinblick auf Vereinigungen unendlicher Familien unendlicher Mengen folgt alles wesentliche aus dem Umstand, daß für JEDE unendliche Menge M das cartesische Produkt MxM gleichmächtig zu M ist.
(siehe auch S. 33-36 in math.marvinius.net/allgtop1.pdf )\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 14. November 2003 15:49:23
\(\begingroup\)
@Morris

Der Beweis, dass die Vereinigung abz. vieler abz. Mengen wieder abzbar ist, benötigt das Auswahlaxiom. Denn man muss dazu zu jeder der abz. Mengen eine Abzählung wählen.

Es ist konsistent (ohne AC), dass die Menge der reellen Zahlen Vereinigung abzählbar vieler abzb. Mengen ist.

Auch M x M gleichmächtig zu M geht nur mit AC, obwohl man es für N und R auch ohne zeigen kann.

Gruß
Herbert\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Diffform am: Mo. 19. April 2004 17:21:38
\(\begingroup\)
Hallo Fabi,

jetzt hab ich endlich nach langer Zeit auch diesen Artikel entdeckt, und ich find ihn super! Er fasst bereits weit in meinem Hirn verstreutes Wissen (-; zusammen und zwar so, dass man es auch verstehen kann!!

Bastl\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Cerebus am: Fr. 17. Juni 2005 21:30:33
\(\begingroup\)
Ein schöner Artikel der eine verbreitete Wissenslücke schließt.  

Das Auswahlaxiom war von Anfang an Teil der axiomatischen Mengenlehre, genau so wie der Wohlordnungssatz. Zermelo hat 1908 seine Axiome der Mengenlehre eingeführt- in einem Beweis des Wohlordnungssatzes. Der Artikel heißt "Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung" (sein erster Beweis war nicht axiomatisch).

Dass auf R keine Wohlordnung existiert falls AC nicht gilt ist übrigens beweisbar.

lg. Michael

P.S.: Bei der Definition der Wohlordnung fehlt die Irreflexitivität. Sonst wäre "=" eine Wohlordnung auf jeder Menge.
\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 16. Juli 2006 11:25:14
\(\begingroup\)
Wie kann man mit dem Auswahlaxiom rechtfertigen, dass man mit den Kardinalzahlen jede beliebige Menge abzählen kann?

Vielen Dank\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Gockel am: So. 16. Juli 2006 14:18:43
\(\begingroup\)
@Anonymous:

Gar nicht. Es gibt beliebig viele überabzählbare Mengen.

Meinst du vielleicht etwas anders? Beziehst du dich vielleicht auf die Möglichkeit, auf jeder Menge eine Wohlordnung zu definieren? Dies geht mit Hilfe des Auswahlaxioms sicher.
Oder meinst du die Tatsache, dass jede Menge eine zu ihr gleichmächtige Kardinalzahl besitzt? Dies wäre dann eine Konsequenz des Wohlordnungssatzes, denn da jede Menge zu einer wohlgeordneten Menge gleichmächtig ist, ist jede Menge zu einer Ordinalzahl gleichmächtig, also gibt es auch eine kleinste Ordinalzahl, zu der eine Menge gleichmächtig ist. Und diese ist per Definition (zumindest ist die übliche Definition wohl so) eine Kardinalzahl.

mfg Gockel.

P.S.
@Cerebus: "=" kann schon deshalb keine allgemeine Wohlordnung sein, weil nicht alle Elemente vergleichbar sind. Die Forderung, dass jede nichtleere Teilmenge ein kleinstes Element hat, verhindert, dass bei Mengen mit mehr als zwei Elementen "=" zu einer Totalordnung (und damit zu einer Wohlordnung) wird.\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Cerebus am: So. 16. Juli 2006 17:18:27
\(\begingroup\)
fed-Code einblenden \(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 16. Juli 2006 18:07:08
\(\begingroup\)
@Gockel
Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Ich soll ein Referat über folgendes Thema halten:
Um den Bogen zurück zur Klassifikation verschiedener Kardinalitäten zu schlagen, führen wir Kardinalzahlen ein. Um zu rechtfertigen, daß dies tatsächlich zum Abzählen jeder beliebigen Menge verwendet werden können, lernen wir außerdem das Auswahlaxiom kennen.

Naja, ich weiß zwar so in etwa, was Kardinalzahl und Auswahlaxiom ist, aber was haben die beiden miteinander zu tun?

Gruß Anonymous\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Gockel am: So. 16. Juli 2006 20:30:48
\(\begingroup\)
Hi Anonymous.

Das ist der von mir erwähnte Zusammenhang: Wenn man das AC zur Verfügung hat, kann man beweisen, dass jede Menge zu einer Kardinalzahl gleichmächtig ist (Ich gehe einmal von der Definition aus, dass eine Kardinalzahl als Ordinalzahl definiert ist, die zu keiner echt kleineren Ordinalzahl gleichmächtig ist)
Man kann ebenfalls (auch ohne den obigen Satz) beweisen, dass die Kardinalitäten zweier Mengen miteinander vergleichbar sind, d.h. dass es zu je zwei Mengen A und B eine injektive Abbildung A->B oder B->A gibt.
Solche Sachen machen das Arbeiten mit Kardinalzahlen erst richtig gemütlich. Ohne das Auswahlaxiom bekommt man viele unschöne Dinge, z.B. kann man dann nicht beweisen, dass AxA zu A gleichmächtig ist für alle unendlichen A (denn dieser Satz ist äquivalent zum AC). Die Vergleichbarkeit aller Mengen kann man ebenfalls nicht zeigen (auch dies ist äquivalent zum AC), ebenso fällt das Zuordnen einer Kardinalzahl in obigem Sinne weg (auch dies ist... na denks dir 😉 )


@Cerebus:
Da hast du natürlich auch wieder Recht...

mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 17. Juli 2006 16:10:15
\(\begingroup\)
Hi Gockel

Ist A kartesisch multipliziert mit A nicht die Potenzmenge P(A)?
Wie funktionieren aber eigentlich die ganzen Beweise mit dem AC, also z.B:, dass jede Menge zu einer Kardinalzahl gleichmächtig ist oder die Vergleichbarkeit aller Mengen? Wo benötigt man dabei das AC?

Irgendwie habe ich das noch nicht verstanden.

Also das AC sagt, dass es für jede Menge von nichtleeren Mengen eine Auswahlfunktion gibt, die von den nichtleeren Mengen ein Element herausnimmt. Dabei weiß man nicht, wie die Funktion genau ausschaut.           Stimmt das so in etwa?

Vielen Dank für Deine Mühe
Gruß Anonymous\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Gockel am: Mo. 17. Juli 2006 18:25:06
\(\begingroup\)
Hi.

Nein, wie kommst du darauf? Das ist ganz offensichtlich nicht der Fall. Sie sind weder gleich noch gleichmächtig:
fed-Code einblenden

Die Grundaussage des ACs hast du richtig verstanden: Egal wieviele und welche Mengen man hat, sobald sie alle nichtleer ist, kann ich aus allen je ein Element auswählen.

Wie die Beweise genau ausschauen, ist unterschiedlich.
Eine Möglichkeit wäre z.B., dass man zeigt, dass das AC den Wohlordnungssatz (jede Menge kann wohlgeordnet werden) impliziert. Dann hat man nämlich zu jeder Menge auch mindestens eine isomorphe Ordinalzahl (Jede Wohlordnung ist auch ohne AC zu genau einer Ordinalzahl isomorph). Und von all den Ordinalzahlen, zu denen eine feste Menge X gleichmächtig ist, kann man demzufolge auch eine Kleinste auswählen (Die Ordinalzahlen sind selbst wohlgeordnet). Diese ist dann eine Kardinalzahl.

Die Vergleichbarkeit folgt bereits daraus, denn die Ordinalzahlen (und speziell die Kardinalzahlen) sind auch ohne AC immer miteinander vergleichbar. Ein alternativer Beweis nutzt das Zorn'sche Lemma aus (was sehr oft vorkommt bei solchen Beweisen, die das AC involvieren).
Ich kann das ja mal kurz von der Idee her demonstrieren:

fed-Code einblenden


mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Cerebus am: Mo. 17. Juli 2006 18:33:14
\(\begingroup\)
fed-Code einblenden \(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 07. Oktober 2007 02:27:56
\(\begingroup\)
Sehr schöner Artikel!

Wenn auch keine leichte Kost um 2:38 Uhr!
  😄\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 20. Dezember 2007 08:43:16
\(\begingroup\)
Hi.

Dies ist ein Gegenbeispiel fuer das Auswahlaxiom.
Sei D (definierbar) die Menge konstrueirt wie folgt:
Addiere zu Q (quotient Zahlen) alle bisherigen und kuenftigen explizit definierten Zahlen (nur einzelne Zahlen, keine Klassen oder Familien von Zahlen) und mache den algebraischen Abschluss. Die Menge D ist abzaehlbar, weil nur abzaehlbare viele Zahlen zu der Menge addiert wurden und der algebraische Abschluss auch nur abzaehlbar viele Zahlen dazu addiert.

Sei M die Menge R (reele Zahlen) ohne D. M ist ueberabzaehlbar,

Wir koennen aber keine Zahl aus M auswaehlen, denn wenn wir eine Zahl aus M auswaehlen dann ist sie definiert (Definition: Zahl die wir ausgewaehlt haben) und somit Element aus D. Widerspruch zu der Definition von M.

mfg.

Martinus Ngantung
thungdt#cbn.net.id\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: huepfer am: Do. 20. Dezember 2007 09:24:32
\(\begingroup\)
Hallo Martinus,

bei Deinem Vorgehen übersiehst Du allerdings, dass man mit dem Auswahlaxiom keine Elemente explizit wählt. Es würde also wieder funktionieren.
Außerdem bin ich der Ansicht, dass durch die Konstruktion der reellen(!) Zahlen über Dedekindschnitte (z.B.) jede Zahl bereits explizit konstruiert ist und M damit leer wäre.
Andererseits ist, wenn man obiges Argument nicht akzeptiert, M überhaupt keine Menge. Denn genau mit Deinem letzten Abschnitt zeigt man, dass sie den Gesetzen der Mengenlehre widerspricht und man damit auch das Auswahlaxiom für Mengen nicht anwenden kann.

Gruß,
   Felix\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 20. Dezember 2007 13:02:33
\(\begingroup\)
Hallo Felix.

Ich meinte alle bisherigen und kuenftigen(!!!) explizit definierten Zahlen, das sind sehr viele aber noch immer nur endlich viele (sicherlich fuer di nexten 1000000 Jahre weniger als 10**1000000); und fuer endliche Mengen brauche ich das Auswahlaxiom nicht. In dem Augenblick wo eine Zahl ausgewaehlt wurde (auch wenn mittels des Auswahlaxioms, die Zahl ist definiert), gehoert sie zu D.

Danke, mfG
Martinus Ngantung\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: huepfer am: Do. 20. Dezember 2007 17:26:17
\(\begingroup\)
Hallo Martinus,

hatte ich mir es doch gedacht. Das, was Du hier definierst, ist keine Menge.

Gruß,
   Felix

PS: Hab jetzt keine Zeit, das näher zu erläutern.\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: akira78 am: Sa. 09. Februar 2008 09:27:15
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Super Artikel!! Vielen Dank!! Wenn Mathematik immer so gut vermittelt werden würde..träum
LG akira\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 26. Januar 2011 18:16:34
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Hi!

Ich glaube im Beweis des Zornschen Lemmas muss es anstatt falsch
fed-Code einblenden
korrekt
fed-Code einblenden
heißen.

Begründung: Alle Elemente aus x sind auch in x-, wenn ich also x- von x abziehe bleibt nichts übrig. Umgekehrt bleiben aber alle Elemente übrig, die ich zu x hinzufügen kann, so dass die resultierende Menge total geordnet bleibt.

Stimmt das, oder hab ich da einen Denkfehler drin?

Grüße,
  Geggo
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Re: Über das Auswahlaxiom
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 26. Januar 2011 18:26:26
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Hallo!

Mir ist noch ein Punkt aufgefallen: Die Funktion f aus dem Beweis des Lemmas von Zorn müsste doch entweder vom Typ
fed-Code einblenden
oder
fed-Code einblenden
sein, aber nicht wir im Text beschrieben vom Typ
fed-Code einblenden
("Sei f eine Abbildung von der Potenzmenge von X nach A"). X Enthält ja bereits Teilmengen von A, aus denen dann mit Hilfe des Auswahlaxioms ein Element von A ausgesondert werden soll.
Ansonsten ergibt die Verwendung in g keinen rechten Sinn.

Grüße,
  Geggo\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 22. Februar 2011 12:37:28
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Hey ,
also ich hab da eine Frage und zwar müsste es nicht heißen ein Element a einer TOTAL GEORDNETEN MENGE heißt maximal wenn, ...
denn in dem Beispiel beziehst du dich ja auf die total geordnete Menge ({1},{1,2}), oder versteh ich das falsch?
Lg
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Re: müsste es nicht total heißen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 13. September 2011 16:39:56
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partiell geordnet stimmt schon. In einer total geordneten Menge gibt es keinen Unterschied zwischen maximales Element und dem (eindeutigen) Maximum. In einer partiellen Ordnung sind sie zu unterscheiden, i.A. gibt es mehrere maximale Elemente.



anonym@\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: BlakkCube am: Di. 13. Dezember 2011 11:18:16
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Bei der Formulierung des Auswahlaxioms:
Wenn ich eine Abbildung <math>f:I\rightarrow\bigcup_{i\in I} A_i</math> betrachte, müsste es dann nicht in der Forderung <math>f(i)\in A_i</math> heißen und nicht <math>f(A_i )\in A_i</math>?\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Gockel am: Di. 13. Dezember 2011 17:06:29
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Hi BlakkCube.

Ja, du hast Recht, das sollte geändert werden.

mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Über das Auswahlaxiom
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 04. Februar 2013 14:48:33
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Hi zusammen,

bin gerade dabei den Beweis zum Zornschen Lemma zu verstehen. Da kam mir dieser Artikel auf jeden Fall wie gerufen. :)

Eine Sache fiel mir allerdings sofort auf und hat mich stutzig gemacht. Bei der Frage:

"Gibt es zu jeder Familie I von nichtleeren Mengen fed-Code einblenden
eine Abbildung

fed-Code einblenden

mit

fed-Code einblenden

für alle i?"

I im obigen Beispiel ist doch die Indexmenge und nicht das, was wir allgemein unter einer Familie verstehen. Jedenfalls bin ich bislang immer davon ausgegangen, dass es die Abbildung f selber ist, welche als Familie bezeichnet wird. Ist das oben in der Tat falsch, oder hab ich da gerade einen Denkfehler oder womöglich eine andere Definition von Familie vorliegen?

Vielen Dank für den tollen Artikel und auf eine womögliche Antwort.

Viele Grüße

Michael

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Re: Über das Auswahlaxiom
von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 15. Februar 2014 17:38:09
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Perfekt :) nur fehlt die syntaktische Ausformulierung des Axioms in Prädikatenlogik erster Stufe (bitte ohne Eindeudigkeitsalquantor ;)
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Re: Über das Auswahlaxiom
von: sbechtel am: Di. 03. Februar 2015 22:40:55
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Der Artikel ist zwar schon ein gutes Jahrzehnt alt, aber troztdem noch eine Korrektur und eine interessante Anmerkung:

Der Hinweis auf den ersten gödelschen Unvollständigkeitssatz ist wohl etwas arg lax. Lassen wir mal die hinreichende Stärke des Axiomensystems weg (Repräsentierbarkeit) so gibt es da immernoch die Voraussetzungen Konsistenz und Rekursivität. In ersterem kann man alles beweisen, letztere Theorie ist vollständig, jedoch hilfreich als Axiomatisierungen sind sie beide nicht ;)

Dann noch die Anmerkung, weil ja geschrieben wurde, dass Konstruktivisiten das Auswahlaxiom ablehnen - unter anderem wegen dem Wohlordnungssatz: Der natürliche Feind des Konstruktivisten ist das "law of the excluded middle", das besagt, dass eine Aussage oder ihre Negation wahr ist, etwas, was wir in klassischer Logik als Selbstverständlichkeit bis Axiom ansehen würden, ist Konsequenz des Auswahlaxioms (und der Beweis ist toll, da man ihn selbst auf einem Bierdeckel aufschreiben kann).\(\endgroup\)
 

 
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