Stern Mathematik: Die Kettenlinie als Minimalproblem
Released by matroid on Mi. 24. September 2003 18:50:24 [Statistics]
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Mathematik

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Die Kettenlinie als Minimalproblem

Im folgenden wird die Gleichung der Kettenlinie hergeleitet. Diese parabelähnliche Kurve hat ihren Namen von einer unter ihrem Eigengewicht durchhängenden Kette, doch tritt sie auch bei Seilen in Erscheinung und läßt sich zum Beispiel an Hochspannungsleitungen beobachten.
Kettenlinie
Hängt man ein Seil locker zwischen zwei Punkten P und Q auf (s. Abb.) und läßt es dann los, kommt es nach einigen unregelmäßigen Bewegungen zur Ruhe. Seine potentielle Energie wird dabei minimal. Begründung: Solange Teile des Seils noch fallen, nimmt deren potentielle Energie ab, und wenn sich nichts mehr bewegt, kann sie sich nicht weiter verringern.




Ein kleines Seilstück der Masse dm an der Stelle x hat die Höhe y und somit die potentielle Energie dW = g y dm (g = Erdbeschleunigung). Das ganze Seil enthält also die potentielle Energie

.
Wenn das Seil aus homogen verteiltem Material besteht, ist der Quotient dm/ds=γA konstant; ds bedeutet dabei das Linienelement
√(1+y'²)dx, γ die Massendichte und A die Querschnittsfläche des Seils. Seine potentielle Energie ist damit


Von allen Kurven gleicher Länge, die zwischen den Punkten P und Q verlaufen können und durch Gleichungen der Form y = F(x) beschrieben werden, soll nun diejenige gefunden werden, bei der der Wert des Integrals W minimal wird. Diese Aufgabe aus der Variationsrechnung, symbolisch durch δW = 0 abgekürzt, führt auf die Euler-Lagrangesche partielle Differentialgleichung



mit F(x,y,y')=y√(1+y'²) in unserem Fall.

(Anmerkung: Über die Entstehung dieser berühmten partiellen Differentialgleichung berichtete vor kurzem ausführlich SplendourMN im Zusammenhang mit der Brachistochrone.)

Aus (1) ergibt sich die gewöhnliche Differentialgleichung (Rechnung s. u.)

1 + y'² - y y'' = 0 (2)

Wegen (sinh x)' = cosh x, (cosh x)' = sinh x und cosh²x - sinh²x = 1 wird sie durch y = cosh x erfüllt. Die allgemeine Lösung mit zwei Integrationskonstanten a, b lautet y = a cosh (x/a+b). Für b=0 wird daraus, anders geschrieben,

y = a (ex/a+e-x/a)/2. (3)

Dies ist die Gleichung der Kettenlinie, wie sie nach [1] zuerst von Leibniz angegeben wurde.

Vor Leibniz hatten sich andere namhafte Mathematiker und Physiker darum bemüht, unter ihnen Galilei, Jakob und Johann Bernoulli, Huygens und Pascal. Wie Leibniz zu seiner Lösung kam, konnte ich nicht feststellen. In [1] gibt es lediglich den kurzen Hinweis, er hätte dazu die "logarithmische Kurve" benutzt, mit dem man nicht viel anfangen kann.

Die Anwendung der Variationsrechnung auf die Kettenlinie ist "schweres Geschütz". Vielfach findet man statt dessen einen Ansatz mit Kräftezerlegung, z. B. in [2]. Dort ist ohne Begründung von einer konstanten, in waagerechter Richtung wirkenden Kraftkomponente die Rede, die ich nicht verstehe. Auch ergibt sich dabei eine andere Differentialgleichung, nämlich


die allerdings ebenfalls die Lösung (3) hat.

Anmerkung: in [3] wird die Konstanz der Horizontalkomponente verständlich erklärt.

Literatur:

[1] Hartmut Hecht: Gottfried Wilhelm Leibniz, Mathematik und Naturwissenschaften im Paradigma der Metaphysik, B. G. Teubner, Stuttgart/Leipzig, 1992, S. 58

[2] http://mathsrv.ku-eichstaett.de/MGF/homes/grothmann/Projekte/Kettenlinie/loesung.html

[3] http://www.mathe-seiten.de/kettenlinie.pdf


Herleitung von (2) aus (1):



Hans-Jürgen

P. S. Jemand schrieb mir per PN, die oben angegebene Gleichung für die Kettenlinie, y=a cosh(x/a+b), sei quasi "vom Himmel gefallen"; deshalb hole ich die Begründung für sie hier nach.
fed-Code einblenden fed-Code einblenden
Der Betreffende wies darauf hin, daß die Dgl. y''=Cy mehrere Lösungen hat, darunter den hyperbolischen Sinus und die e-Funktion. Ich weiß nicht, was er damit sagen wollte. Im vorliegenden Fall leistet wegen der Form der Kettenlinie der Hyperbelkosinus das Gewünschte, so man sich um weitere Möglichkeiten nicht zu kümmern braucht.
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Die Kettenlinie als Minimalproblem [von Hans-Juergen]  
Im folgenden wird die Gleichung der Kettenlinie hergeleitet. Diese parabelähnliche Kurve hat ihren Namen von einer unter ihrem Eigengewicht durchhängenden Kette, doch tritt sie auch bei Seilen in Erscheinung und läßt sich zum Beispiel an Hochspannungsleitungen
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"Stern Mathematik: Die Kettenlinie als Minimalproblem" | 7 Comments
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Re: Die Kettenlinie als Minimalproblem
von: shadowking am: Mi. 24. September 2003 23:25:48
\(\begingroup\)
Hallo Hans-Jürgen,

danke für die Würdigung meines Artikels.
Ich habe erst auch überlegt, ob ich über das
Brachistochronenproblem oder über die Kettenlinie
schreiben sollte. Offenbar beschäftigen sich viele
Leute zugleich mit beiden Problemen, bei meinen
Recherchen fiel mir auch auf, dass manche glauben,
die cosh-Kurve (oder die Hälfte davon) wäre auch
die Lösung der Rutschbahn-Aufgabe.

Ich kannte für die Kettenlinie auch nur die
Herleitung mit der waagerechten Kraft, die "vom
Himmel fällt". Mit der Variationsrechnung gibt es
also einen nicht mehr so elementaren, aber auch
nicht "esoterischen" Lösungsweg. Ich habe mir das
mit der Kraft so erklärt: Schneidet man das Seil
in der Mitte durch, fehlt der rechten Hälfte die
Gewichts- und die Seilkraft der linken, deren
Resultierende durch das Seil nur in die
Waagerechte umgelenkt, nicht geändert wird. Als
Konsequenz hängt die rechte Hälfte senkrecht
herunter, also wirken keine weiteren horizontalen
Kräfte. Wäre die waagerechte Komponente der
Seilkraft nicht konstant, also etwa an zwei
verschiedenen Punkten des Seils unterschiedlich
groß, so müssten diese beiden Punkte sich relativ
zueinander in waagerechter Richtung beschleunigen.
Teile des Seils wären in Bewegung und die
endgültige Form nicht erreicht. Diese zeichnet
sich also durch eine konstante waagerechte Kraft
aus. Außer dieser wirken in jedem Punkt P noch die
ortsabhängige Gewichtskraft der Seilteile zwischen
Scheitelpunkt und P nach unten sowie die Seilkraft
in tangentialer Richtung. Die Horizontalkraft
hängt nicht nur von der Seillänge l, sondern auch
vom Abstand der beiden Aufhängepunkte d ab, und
zwar gemäß

fed-Code einblenden

dabei ist

fed-Code einblenden

die längenbezogene Seildichte und x erfüllt die
transzendente Gleichung

fed-Code einblenden

Möglicherweise gibt es aber Einwände gegen diese
Erklärung.

Gruß, Norbert\(\endgroup\)
 

Re: Die Kettenlinie als Minimalproblem
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 13. Oktober 2003 14:00:18
\(\begingroup\)
wie gelangt man denn überhaupt zu (1) und vorher noch: wie kommt man auf ds=√(1+y'²)dx?

vielen dank schon mal im voraus...
\(\endgroup\)
 

Re: Die Kettenlinie als Minimalproblem
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 14. Oktober 2003 21:20:50
\(\begingroup\)
Hallo Anonymous,



(1) ist die Euler-Lagrangesche Differentialgleichung.

Ihre Herleitung ist nicht eben elementar, aber eine schöne Anwendung

der Differentialrechnung. shadowking hat hier in seinem Artikel

"Von Lichtwegen und optimalen Rutschbahnen"

darüber geschrieben.

Dort kannst Du auch ds = sqrt(1+y'²) hergeleitet finden.

(Natürlich steckt der Satz des Pythagoras dahinter.)\(\endgroup\)
 

Re: Die Kettenlinie als Minimalproblem
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 04. Januar 2004 16:09:49
\(\begingroup\)
ich bekomme folgende herleitung nicht auf die reihe. vlt kann mir ja jmd behilflich sein. az'=wurzel aus (1+z²) soll ln(z+wurzel aus (1+z²)=x/a ergeben.bitte für blöde erklären...\(\endgroup\)
 

Mmmh, und wie kann man das auf ein konkretes Seil anwenden?
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 26. Januar 2004 21:00:56
\(\begingroup\)
...verzeiht die unmathematische Fragestellung, aber wie ermittele ich a aus dem vertikalen und horizontalen Abstand der Punkte P und Q und einer gegebenen Seillänge?

Vielen Dank!

Klaus\(\endgroup\)
 

Re: Die Kettenlinie als Minimalproblem
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 02. Dezember 2005 14:31:02
\(\begingroup\)
Schön Vorgelöst, jedoch für mich etwas  zu kompakt geraten, habe Mühe zu folgen.\(\endgroup\)
 

Re: Die Kettenlinie als Minimalproblem
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 23. Mai 2006 08:12:52
\(\begingroup\)
Hallo,
die allgemeine Lösung hat zwei Parameter, die ja schon durch die beiden Aufhängepunkte bestimmt sind. Die vorgegebene Seillänge wäre ja noch eine dritte Bedingung. Wie kriegt man diese in die Rechnung ein? Evtl. müsste man die Bedingung Integral über y ds = l einbringen (isoperimetrische Problem?).
Hat jemand hierzu noch eine Idee?\(\endgroup\)
 

 
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