Stern Mathematik: Differentialgleichungen
Released by matroid on Sa. 08. November 2003 12:56:28 [Statistics]
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Mathematik

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  Differentialgleichungen





Dieser, mein fünfter Artikel handelt von Differentialgleichungen. Ich möchte euch zeigen, wie man bestimmte Formen von Differentialgleichungen löst. Bevor man sich ans Lösen einer Differentialgleichung macht, sollte man die DGL erst einmal klassifizieren.
Dazu hat Eckard in seinem Readme.First etwas schönes geschrieben. Dort findet man auch Beispiele zu den in meinem Artikel behandelten Differentialgleichungen, aber auch ein Blick in das Forum Differentialgleichungen kann nicht schaden.

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Inhalt:



Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung

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Nichtlineare Differentialgleichungen erster Ordnung

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Parametrisierung

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Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung
Konstante Koeffizienten

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Eulersche Differentialgleichung

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Das alles war nur ein kleiner Teil aus der Welt der Differentialgleichungen.

Vielleicht werde ich einen Nachfolgeartikel schreiben, der über
Differentialgleichungssysteme, Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung
mit variablen Koeffizienten, numerische Lösungsverfahren von
Differentialgleichungen usw. handelt. Zum Lösen einer DGL ist es oft hilfreich
sich mit der Integralrechnung auszukennen. Mein zweiter Artikel "Ein paar Integrale..."
handelte davon. Nun hoffe ich, ihr konntet mit diesem Artikel etwas anfangen, und dass ihr nun auch etwas kompliziertere Differentialgleichungen lösen könnt :-)







Mit freundlichen Grüßen





Artur Koehler

(alias pendragon302)




Trennlinie

Artikel von pendragon302 zur Differential- und Integralrechnung:

  • Ganz genau: Potenzreihenentwicklung nach Taylor

  • Ganz genau: Gelöste Differentialgleichungen

  • Ganz genau: Krümmungskreise

  • Ganz genau: Das Problem der Traktrix

  • Ganz genau: Gelöste Standardintegrale

  • Ganz genau: Die Beziehungen vom Sinus und Cosinus




  •  
    Dieser Artikel ist in unserem Buch enthalten:
    Mathematisch für Anfänger
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    Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen:
    : Analysis :: Grundstudium Mathematik :: Mathematik :: Differentialgleichungen :
    Differentialgleichungen [von pendragon302]  
    Aufbauend auf den Artikel zu gelösten Standardintegralen ist dies der ultimative Artikel zum Lösen von Differentialgleichungen
    [Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

     
     
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    202009-09 (9x)https://google.de
    2020-2021 (8x)https://duckduckgo.com/
    2012-2014 (8x)http://de.wikipedia.org/wiki/Differentialgleichung#L.C3.B6sungsmethoden
    202001-01 (8x)http://google.de/search?q=Differentialgleichungen
    201301-05 (8x)http://www.readmore.de/index.php?cont=forum/thread&threadid=16047&pagenum=192
    2012-2013 (8x)http://www.schulseite.de/cms/modules/addresses/address_visit.php?cid=20&aid=6...
    201501-02 (8x)http://www.bing.com/search?q=differentialgleichungen&src=IE-TopResult&FORM=IE...
    201212-12 (7x)http://de.search.yahoo.com/search;_ylt=A03uvyneerpQi0gBuCUqrK5_;_ylc=X1MDMjE0...
    2013-2015 (7x)http://www.bing.com/search?q=differentialgleichungen lösen&FORM=AWRE
    2012-2015 (7x)http://www-user.rhrk.uni-kl.de/~huthmach/tutorium.html
    2014-2017 (7x)http://www.ecosia.org/search?q=Differentialgleichungen&addon=firefox
    2012-2015 (6x)http://www.bing.com/search?q=differentialgleichungen&FORM=AWRE
    2012-2015 (6x)http://de.m.wikipedia.org/wiki/Differenzialgleichung
    201410-11 (6x)http://lernportal.bbw-hochschule.de/course/view.php?id=2500
    2013-2019 (6x)http://www.schulseite.de/modules/addresses/visit.php?cid=20&lid=62
    2012-2014 (6x)http://de.search.yahoo.com/search?p=differentialgleichungen&ei=UTF-8&fr=moz35
    2012-2014 (6x)http://www.uniwissen.de/cms/modules/addresses/visit.php?cid=20&lid=62
    2016-2017 (5x)http://www.cosmiq.de/qa/show/3965603/y-y-2-0-Integrieren/
    201205-12 (5x)http://de.wikipedia.org/wiki/Differentialgleichung#Systeme_von_Differentialgl...
    2012-2013 (5x)http://ecosia.org/search.php?q=differentialgleichungen lösen
    201505-06 (5x)http://suche.t-online.de/fast-cgi/tsc?sr=ptoweb&q=eulersche differentialgleic...
    201306-07 (5x)http://de.search.yahoo.com/mobile/s?rewrite=72&.tsrc=apple&first=1&p=differen...
    2013-2014 (5x)http://www.bing.com/search?q=differentialgleichungen lösen&qs=HS&form=QBLH...
    201209-09 (5x)http://www.ecosia.org/search.php?q=differentialgleichungen lösen
    201405-05 (5x)http://www.ecosia.org/search?q=Ganz genau Differentialgleichung
    2012-2017 (5x)http://de.wikipedia.org/wiki/Dgl
    2014-2016 (5x)http://lernportal.bbw-hochschule.de/course/view.php?id=2709
    2014-2015 (5x)http://r.duckduckgo.com/l/?kh=-1
    2013-2014 (5x)http://www.physikerboard.de/topic,34799,-wer-kann-mir-diese-formel-erklaeren-...
    202011-12 (4x)https://www.bing.com/
    201407-07 (4x)http://de.wow.com/search?s_pt=aolsem&s_it=aolsem&s_chn=81&q=lösung dgl
    201301-01 (4x)http://de.search.yahoo.com/mobile/s;_ylc=X1MDMjE0MjQ3ODk0OARfcgMyBGZyMgNzYS1n...
    201208-11 (4x)http://www.ecosia.org/search.php?q=differentialgleichungen
    201211-11 (4x)http://de.search.yahoo.com/mobile/s;_ylt=A7x9QX4aBZRQM2cAgVMxLCM5?ei=UTF-8&fi...
    201309-10 (4x)http://lernportal.bbw-hochschule.de/course/view.php?id=1466
    2015-2017 (4x)http://lernportal.bbw-hochschule.de/course/view.php?id=3138
    2012-2013 (4x)http://ecosia.org/search.php?q=Differentialgleichung&addon=opensearch
    201301-02 (4x)http://suche.t-online.de/fast-cgi/tsc?sr=ptoweb&q=differentialgleichungen lÃ...
    2015-2017 (4x)http://www.bing.com/search?q=differentialgleichungen lösen&qs=OS&pq=differ...
    2012-2015 (4x)http://www.bing.com/search?q=differentialgleichungen&form=APIPA1
    2018-2020 (4x)http://www.uni-protokolle.de/

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    "Stern Mathematik: Differentialgleichungen" | 43 Comments
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    Re: Differentialgleichungen
    von: scorp am: Sa. 08. November 2003 13:48:06
    \(\begingroup\)
    Wow... danke fuer diesen Artikel, Artur!
    Damit kann Ana III ja kommen 😉\(\endgroup\)
     

    Re: Differentialgleichungen
    von: huseyin am: Sa. 08. November 2003 18:14:46
    \(\begingroup\)
    Hab zwar kein Wort verstanden, trotzdem Gratulation an deinen Fleiß ;)\(\endgroup\)
     

    Re: Differentialgleichungen
    von: buh am: Sa. 08. November 2003 20:49:23
    \(\begingroup\)
    .oO(Geil, das Teil)
    Wer das Mysthetikum löst, der hat was drauf.

    Sei ehrlich, am schlimmsten war das Eintippen(?).*g*

    Deine Parallel- und Vor-Dir-Studierenden werden es (hoffentlich) zu schätzen wissen.

    Gruß von buh,
    der pendragon302 lobt\(\endgroup\)
     

    Re: Differentialgleichungen
    von: DaMenge am: So. 09. November 2003 00:37:53
    \(\begingroup\)
    hi, ich glaube ich hab ein Tippo gefunden : in zeile 845 sollte es wohl e²x heißen und nicht e^(2x) ...

    Nee, im ernst : riesig, ach, was sag ich : gigantisch !!!EinsEins
    Bei mir hört's zwar nach der zweiten Form von DGLen auf bzw. verlässt mich mein Interesse, aber nun weiß ich ja, wo ich nach schauen muss, wenn ich jemals wieder eine DGL lösen muss ...\(\endgroup\)
     

    Re: Differentialgleichungen
    von: Seb am: So. 09. November 2003 15:07:22
    \(\begingroup\)
    King Artur, meinen Respekt,



    ein Klasse Übersichtsartikel. Ich wusste gar nicht mehr, was es alles an Einteilungen für DGL's gab. Sehr gut und übersichtlich, auch die Anleitungen zur Lösung. Und die paar Tippos bei so einem langen Artikel ;)...

    Gesamturteil: Empfehlenswert



    Seb\(\endgroup\)
     

    Re: Differentialgleichungen
    von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 09. November 2003 19:55:25
    \(\begingroup\)
    Woooow!! Super!


    Auf so einen  Artikel habe ich schon
    lange gewartet!
    Dieses Forum ist einfach eine Schatzkiste!!


    Mach weiter so!!!!!



    Vielen Dank!\(\endgroup\)
     

    Re: Differentialgleichungen
    von: Martin_Infinite am: Mo. 10. November 2003 17:09:00
    \(\begingroup\)
    Einsame Spitze!
    Wow wow wow!

    \(\endgroup\)
     

    Re: Differentialgleichungen
    von: TobiPfanner am: Mo. 10. November 2003 21:54:51
    \(\begingroup\)
    Da war wieder jemand fleißig!
    \(\endgroup\)
     

    Re: Differentialgleichungen
    von: pendragon302 am: Mi. 12. November 2003 12:10:16
    \(\begingroup\)
    Ich danke euch allen!!

    Gruß\(\endgroup\)
     

    Re: Differentialgleichungen
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 13. Dezember 2003 18:04:13
    \(\begingroup\)
    Applaus!

    Roland\(\endgroup\)
     

    Re: Differentialgleichungen
    von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 15. Februar 2004 13:26:39
    \(\begingroup\)
    Hallo !

    Sehr schön ausführlich, aber eine Sache stimmt doch nicht oder irre ich mich ?

    Bei DGL der Form .... = g(x)
    Sagst du die Lösung für das Gleichungssystem :

    u1'(x) *   cos(x)  + u2'(x) * sin(x) = 0
    u1'(x) * (-sin(x)) + u2'(x) * cos(x) = 0

    wäre : u1'(x) = -2 * tan(x)  und  u2'(x) = 2

    Aber 1. verstehe ich leider nicht wie du darauf
    kommst und 2. haut es auch nicht hin wenn ich diese Lösungen in die zweite Gleichung des Gleichungssystems einsetze =(.
    Da kommt dann nämlich 2sin²(x) + 2cos²(x) = 0
    raus was soviel wie 2*(sin²(x) + cos²(x)) = 0
    ist, also 2 = 0

    Schöne Grüße,
    venom

    \(\endgroup\)
     

    Re: Differentialgleichungen
    von: pendragon302 am: Mi. 12. Mai 2004 18:15:01
    \(\begingroup\)
    Sorry das ich mich erst jetzt melde. ICh hab es wohl irgendwie verschwitzt. Das GLeichungssystem sollte lauten

    u1'(x) * cos(x) + u2'(x) * sin(x) = 0
    u1'(x) * (-sin(x)) + u2'(x) * cos(x) = 2/cos(x)

    Gruß\(\endgroup\)
     

    Re: Differentialgleichungen
    von: jaronimo am: Mo. 14. Februar 2005 13:29:10
    \(\begingroup\)
    Sehr schön geschrieben, auch mit den Beispielen.
    Ich habe noch einen kleinen Fehler gefunden:
    bei Ricatti DGL beim Beispiel muss es nach der Transformation
    statt
    fed-Code einblenden

    sein.

    Aber wirklich super!\(\endgroup\)
     

    Re: Differentialgleichungen
    von: pendragon302 am: Mo. 14. Februar 2005 20:48:18
    \(\begingroup\)
    @jaronimo Danke, war nur ein Rechtschreibfehler denn die folgende DGl u'+u²=0 ist ja richtig oder?

    Gruß\(\endgroup\)
     

    Wie kann ich nen Beitrag ins Forum schreiben?
    von: Cocktailgirl16 am: Di. 22. Februar 2005 15:33:46
    \(\begingroup\)
    Kannst du mir vllt. sagen, wie ich nen Beitrag ins Forum schreiben kann? bzw. nen neues Thema erstellen kann? Danke >:)\(\endgroup\)
     

    Re: Differentialgleichungen
    von: matroid am: Di. 22. Februar 2005 15:53:06
    \(\begingroup\)
    Hi Cocktailgirl,

    klicke auf Frage stellen.
    Dieser Link ist auch links im Seitenmenü, in der Box 'Neues im Forum', der dritte von oben.
    Außerdem findest Du auf allen Forum-Seiten einen Button 'Neues Thema'

    Neues Thema.


    Wenn Du weitere Fragen zum Forum hast, dann schau mal ins Forum-FAQ
    Den Link zum FAQ findest Du auch an mehreren Stellen auf der Seite.

    Gruß
    Matroid\(\endgroup\)
     

    Re: Differentialgleichungen
    von: Disruptive am: Mi. 02. März 2005 13:34:59
    \(\begingroup\)
    Ich glaube ich hab' nen Fehler entdeckt. Also du schreibst bei "linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung". Bei der Herleitung der partikulären Lösung: u'(x) = g(x)/ e^(Integral von -F(x))
    Im Beispiel schreibst du ebenfalls g(x)/e^(Integral von -F(x)
    aber rechnest g(x)/e^(Integral von -f(x))

    Also mit klein f statt F. Kann das jemand bestätigen? Ich glaube mit klein f(x) ist auch richtig oder? Dann stimmt die Formel nicht, es wurde aber im Beispiel richtig gerechnet.
    Aber wie gesagt mag mich auch irren :).\(\endgroup\)
     

    Re: Differentialgleichungen
    von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 24. Juli 2005 19:21:10
    \(\begingroup\)
    Hallo zusammen

    Kleiner Tipp-Fehler: Die Form der linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung sollte lauten:
    fed-Code einblenden

    Und beim Beispiel mit komplexen Nullstellen entsprechend:
    fed-Code einblenden

    Analog bei der homogenen Eulerschen Differentialgleichung:
    fed-Code einblenden
    \(\endgroup\)
     

    Re: Differentialgleichungen
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 15. September 2005 14:14:07
    \(\begingroup\)
    Schließe mich Disruptive an,
    hab mich schon gewundert...
    Kann man das im Artikel korrigieren?

    Aber sonst 1000 Dank für diesen Artikel!
    Großes Tennis!\(\endgroup\)
     

    Re: Differentialgleichungen
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 07. Oktober 2005 16:41:51
    \(\begingroup\)
    Was bedeutet ein punkt über einer Variablen????\(\endgroup\)
     

    Re: Differentialgleichungen
    von: Martin_Infinite am: Fr. 07. Oktober 2005 16:43:20
    \(\begingroup\)
    Dasselbe wie ein Strich daneben. 😉\(\endgroup\)
     

    Re: Differentialgleichungen
    von: cow_gone_mad am: Fr. 07. Oktober 2005 19:19:14
    \(\begingroup\)
    Hallo Maddin und andere,

    das ist nicht die Konvention:
    mit einem Punkt bezeichnet man die Ableitung nach der Zeit (normalerweise t)
    und mit einem Strich die Ableitung nach dem Raum, normalerweise x.

    Liebe Grüsse,
    cow_\(\endgroup\)
     

    Re: Differentialgleichungen
    von: clown163 am: Sa. 05. November 2005 12:44:17
    \(\begingroup\)
    hallo
    echt klasse!!danke für die Bemühung!!

    lg
    clown163\(\endgroup\)
     

    Re: Differentialgleichungen
    von: braindead am: Do. 24. November 2005 16:58:40
    \(\begingroup\)
    fed-Code einblenden \(\endgroup\)
     

    Re: Differentialgleichungen
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 15. Dezember 2005 19:13:12
    \(\begingroup\)
    Bin zwar noch Gymnasiastm (8.Klasse), aber ich habe mein Interesse an DGL schon gefunden. Nach diesem Artikel werde ich DGL als mein Spezialgebiet wählen, was die mündliche Matura betrifft.\(\endgroup\)
     

    Re: Differentialgleichungen
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 10. April 2006 20:11:05
    \(\begingroup\)
    meine facharbeit ist über differentialgleichungen, definition und lösung einiger lösbarer typen.ist diese seite geeignet für mathefacharbeiten?\(\endgroup\)
     

    Re: Differentialgleichungen
    von: Gockel am: Mo. 10. April 2006 20:44:56
    \(\begingroup\)
    Ich hab mir sagen lassen, dass Lesen diese Frage beantworten könnte...\(\endgroup\)
     

    Re: Differentialgleichungen
    von: Martin_Infinite am: Di. 11. April 2006 06:45:53
    \(\begingroup\)
    @Anonymous: Ich denke schon. Du musst halt nur darauf achten, nicht  alles wortwörtlich zu übernehmen 😄 Und der MP ist ja längst nicht die einzige Quelle.\(\endgroup\)
     

    Re: Differentialgleichungen
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 27. April 2006 21:23:06
    \(\begingroup\)
    Danke\(\endgroup\)
     

    Re: Differentialgleichungen
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 06. Januar 2007 21:43:40
    \(\begingroup\)
    danke, super seite, sehr hilfreich.
    ich glaube aber einen weiteren fehler gefunden zu haben:
    bei y'=g(y) beim beispiel heisst es
    arctan(y)=x+c
    y=tan(y+c)  !! das ist doch falsch oder? es muss doch y=tan(x+c) heissen.\(\endgroup\)
     

    Re: Differentialgleichungen
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 06. Januar 2007 21:49:08
    \(\begingroup\)
    @braindead
    ich glaub du hast recht. ich bin auch darüber gestolpert. im beispiel ist aber mit den richtigen zahlen gerechnet.\(\endgroup\)
     

    Re: Differentialgleichungen
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 29. Mai 2007 08:50:36
    \(\begingroup\)
    eine wichtige frage:

    wo finde ich denn information zur Vollständigen Differentialgleichung?..ist wirklich dringend\(\endgroup\)
     

    Re: Differentialgleichungen
    von: Greenhorn am: So. 02. März 2008 10:24:42
    \(\begingroup\)
    fed-Code einblenden


    Hallo!
    Ich verstehe das ab dem "Nun ist" nicht. Wenn ich nach Variation der Konstanten das y_p in die DGL einsetze, wird das u(x) doch nach der Produktregel abgeleitet? Kann mir das jemand erklären welchen Schritt ich hier nicht finde/ verstehe?

    Danke\(\endgroup\)
     

    Re: Differentialgleichungen
    von: KingGeorge am: So. 02. März 2008 12:25:13
    \(\begingroup\)
    Hallo Greenhorn,

    deine Vorgehensweise ist ok.

    fed-Code einblenden

    lg
    Georg\(\endgroup\)
     

    Re: Differentialgleichungen
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 28. März 2008 00:03:10
    \(\begingroup\)
    Super Seite! 😄 :-)

    Anonymus wrote:

    danke, super seite, sehr hilfreich.
    ich glaube aber einen weiteren fehler gefunden zu haben:
    bei y'=g(y) beim beispiel heisst es
    arctan(y)=x+c
    y=tan(y+c)  !! das ist doch falsch oder? es muss doch y=tan(x+c) heissen.


    Er hat doch recht oder??\(\endgroup\)
     

    Re: Differentialgleichungen
    von: fru am: Fr. 28. März 2008 01:16:57
    \(\begingroup\)
    Hallo Anonymous!

    Ja er hatte natürlich Recht (Du meinst den Kommentar vom 6.1.2007, 21:43), da ist dem Autor ein Tippfehler unterlaufen.

    Damit Dein Hinweis nicht wieder unberücksichtigt in den Tiefen des Planeten verschwindet, habe ich die nötige Änderung bereits in die Wege geleitet.

    Herzlichen Dank Euch beiden für Eure Aufmerksamkeit und die Hinweise!

    Liebe Grüße, Franz
    \(\endgroup\)
     

    Re: Differentialgleichungen
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 30. April 2008 18:51:52
    \(\begingroup\)
    Hallo,

    total geile Seite!! Hilft mir sehr viel weiter beim Verständnis über Differentialgleichungen!
    Habe da noch was gefunden, was mir nicht so richtig erscheint.
    Bei der inomogenen linearen DGL 1. Ordnung und partikulären Lösung steht, dass die Lösung der homogenen Gleichung

    fed-Code einblenden
    fed-Code einblenden

    ist. Müsste das nicht
    fed-Code einblenden
    fed-Code einblenden

    heißen?


    MfG\(\endgroup\)
     

    Re: Differentialgleichungen
    von: da_bounce am: Fr. 26. September 2008 14:01:24
    \(\begingroup\)
    Hey,

    er hat es eben nur anders geschrieben.
    y_h(x)=A*e^(-F(x))
    fed-Code einblenden

    das wird bei langen Gleichungen einfach unübersichtlich, deswegen schreibt man gerne auch

    y_h(x)=A*exp(-F(x))

    fed-Code einblenden

    y_h(x)=A*exp(-F(x))

    es ist also gleich

    Ich denke er hat da " ^ " vergessen.

    lg\(\endgroup\)
     

    Re: Differentialgleichungen
    von: Diophant am: Mo. 29. September 2008 22:59:30
    \(\begingroup\)
    Hallo pendragon302,

    das ist einsame Spitze! Bei DGL's ist es ja so, dass auch wenn man sich damit schon beschäftigt hat, nach einer gewissen Zeit dann doch das eine oder andere wieder in Vergessenheit gerät. Das i-Tüpfelchen sind daher die sehr gut nachvollziehbaren Beispiele.

    Dein Artikel leistet auf hervorragende Art und Weise zwei Dinge:

    - Er ist sehr gut geeignet, sich in die Thematik von der rechnerischen Seite her einzuarbeiten.
    - Er ist ein Nachschlagewerk, welches jedes Lehrbuch alt aussehen lässt!


    Gruß, Diophant\(\endgroup\)
     

    Re: Differentialgleichungen
    von: Elvis am: Mo. 11. Mai 2009 19:20:04
    \(\begingroup\)
    Hi!
    In der pdf Version ist auf Seite 5 in der letzten Zeile ein Fehler:
    Es muss tan(x+C) heißen.
    Grüße, Elvis\(\endgroup\)
     

    Re: Differentialgleichungen
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 11. Februar 2011 16:53:29
    \(\begingroup\)
    u'(x)*e^int(-f(x),x)=g(x)
    daraus folg:
    u'(x)=g(x)/e^int(-F(x),x)
    sollte das nicht
    u'(x)=g(x)/e^int(-f(x),x)
    bzw
    u'(x)=g(x)/e^(-F(x),x)
    sein
    vor allem wird auf die F(x) schreibweise erst dannach hingewiesen
    Edit: wurde schon ein paar mal gesagt\(\endgroup\)
     

    Re: Differentialgleichungen
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 23. März 2012 22:21:34
    \(\begingroup\)
    fed-Code einblenden

    Im letzten Term auf der linken Seite der Gl. fehlt y bzw. y(x).
    Siehe oben: a0⋅y\(\endgroup\)
     

    Re: Differentialgleichungen
    von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 06. April 2014 20:41:57
    \(\begingroup\)
    Danke für diese gute Zusammenfassung. Die PDF Version macht aber aus irgendeinem Grund einige Fehler rein, zum Beispiel werden aus den f(x), dort bei variation der Konstanten F(x).(was dann natürlcih falsch ist)

    \(\endgroup\)
     

     
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