Mathematik: Anteiliges Kegelvolumen
Released by matroid on Mi. 09. Mai 2001 11:34:13 [Statistics]
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Mathematik

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IX}{\mathbb{X}} \newcommand{\IW}{\mathbb{M}} \newcommand{\politician}[1]{\text{Ich habe die Frage nicht verstanden. #1}} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Wie tief taucht ein Holzkegel (Grundkreisradius r, Höhe h) mit der Spitze nach unten in Wasser ein, wenn seine Dichte 0,8kg/dm³ beträgt?
Drücke die Eintauchtiefe angenähert als Bruchteil der Kegelhöhe aus!

Dazu eine Skizze:
Holzkegel im Wasser
Eine Aufgabe aus der Klasse 10.

Ich mag diese Aufgabe, ich mag alle Aufgaben, die mit scheinbar zu wenig Angaben gestellt werden.
Die Lösung ist unter "Mehr..."


Wie tief taucht ein Gegenstand, der ein Volumen von 1 dm3 hat und eine Dichte von 0.8?
Überlegen wir uns das mal so: Wenn er eine Dichte von 1 hätte, würde der Gegenstand ganz eintauchen, also zu 100%. Hätte der Gegenstand eine Dichte von 0, dann würde er gar nicht eintauchen = 0%.
Ich würde also sagen, daß der Kegel zu 80% eintaucht.
Dabei bezieht sich 80% auf das Volumen.
Man muß nun bestimmen, bis zu welcher Höhe (von der Spitze aus gemessen) der Kegel eintaucht.
Wenn der Kegel (kopfüber) eintaucht, und wir nur den unter Wasser befindlichen Teil des Kegels betrachten, dann ist das wieder ein Kegel, aber ein kleinerer. Die Grundfläche des ursprünglichen Kegels ist pr2.

Wenn die Höhe des Kegels h ist, dann ist eine Zahl h1 gesucht, sodaß das Volumen des Kegels mit Höhe h1 genau 80% des Volumens des gegebenen Kegels ist. Außerdem kennen wir den Radius der Grundfläche des Unterwasser-Kegels nicht, aber wir wollen ihn r1 nennen.
=> 0.8 * 1/3*pr2*h = 1/3*pr12*h1
Abgesehen von p und 1/3 ergibt das:
=> 0.8 * r2*h = r12*h1

Nun haben wir hier dummerweise 2 Unbekannte r1 und h1. Um da weiter zu kommen, schauen wir uns den Querschnitt des Kegels genau an. Da die Seitenlinien geradlinig verlaufen, ist r1/h1 = konstant = r/h, d.h. bei halber Höhe auch nur halber Radius, und ebenso umgekehrt - und das Verhältnis von Radius zu Höhe ist immer r/h
Indem wir diese Proportionalitätsbedingung nach r1 auflösen, erhalten wir:
r1 = h1 * r/h.
Und das setzen wir als Nebenbedingung ein
Aus 0.8 * r2*h = r12*h1
bilden wir
0.8 = (r12*h1)/(r2*h )
= ((h1 * r/h)2*h1)/(r2*h )
= h13 / h3
Also ist das Verhältnis von h1 zu h gleich dritte Wurzel aus 0.8, das ist ungefähr 0.928

Ergebnis: Etwas 92,8 % des Kegels sind unter Wasser.

\(\endgroup\)
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Anteiliges Kegelvolumen [von matroid]  
Wie tief taucht ein Holzkegel (Grundkreisradius r, Höhe h) mit der Spitze nach unten in Wasser ein, wenn seine Dichte 0,8kg/dm³ beträgt? Drücke die Eintauchtiefe angenähert als Bruchteil der Kegelhöhe aus!
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"Mathematik: Anteiliges Kegelvolumen" | 1 Comment
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Re: Anteiliges Kegelvolumen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 21. Februar 2006 19:30:28
\(\begingroup\)Also ich persönlich finde diese art von Aufgaben ziemlich schwierig... Generell alle Mathematikaufgaben find ich schwer...\(\endgroup\)
 

 
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