Mathematik: Lösungsformel für Polynome 4.Grades
Released by matroid on Fr. 26. Dezember 2003 22:50:14 [Statistics]
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Mathematik

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Nachdem schon die Lösungsformel von Cardano hergeleitet wurde, möchte ich mich der Formel von Ferrari zuwenden, die sich mit Kenntnis der Lösungformeln für quadratische und kubische Gleichungen erstaunlich einfach darstellt. (Zumindest die Grundidee ist sehr einfach, wenn man sie denn kennt. Die Umsetzung derselben ist verdammt aufwändig, wie man sehen wird ;-)

Nun dann: Wir wagen einfach den Sprung ins kalte Wasser:

0=x^4+ax^3+bx^2+cx+d

Wird dabei durch Substitution zuerst auf die reduzierte Normalform gebracht: x=z-a/4 => 0=(z-a/4)^4+a(z-a/4)^3+b(z-a/4)^2+c(z-a/4)+d Was mit Anwendung der binomischen Formeln zu Folgendem wird: 0=z^4+(b-3/8*a^2)z^2+(1/8*a^3-1/2*ab+c)z+(-3/256*a^4+1/16*a^2|b-1/4*ac+d) Wir führen für die Koeffizienten die Symbole p,q,r ein und erhalten: 0=z^4+pz^2+qz+r Für p=q=0 erhält man den Trivialfall eines Kreisteilungspolynoms, für q=0 eine biquadratische Gleichung. Mit diesen Spezialfällen will ich mich nicht aufhalten, da ich denke, dass die Lösungen dieser Gleichungen jedem ins Auge springen müssten. Also weiter im Text: Ferrari hatte seinerzeit eine geniale Idee, die uns hier auf direktem Wege zur gewünschten Lösungformel bringt: Wir formen die Gleichung in diese Form um: 0=(z^2+P)^2-(Qz+R)^2 Die Koeffizienten sind hier absichtlich groß geschrieben, da sie sich i.A. von den obigen unterscheiden. Diese Form hat Ferrari gewählt, da sich daraus praktisch sofort die Lösungen ergeben: (z^2+P)^2=(Qz+R)^2 => z_1^2+P=Qz_1+R sowie z_2^2+P=-Qz_2-R => z_1^2-Qz_1+P-R=0 sowie z_2^2+Qz_2+P+R=0 => z_(1,2)=+Q/2+-sqrt((Q/2)^2-P+R) z_(3,4)=-Q/2+-sqrt((Q/2)^2-P-R) Doch wie kommen wir von unserer reduzierten Normalform auf die Form, die uns die gewünschten Lösungen bringt? Das Ausmultiplizieren der Lösungsgleichung und anschließender Koeffizientenvergleich stellt den ersten Schritt dar: 0=z^4+2P*z^2+P^2 - (Q^2*z^2+2QR*z+R^2) =z^4+(2P-Q^2)z^2-2QR*z+(P^2-R^2) => I. p=2P-Q^2 II. q=-2QR III. r=P^2-R^2 Jetzt müssen wir diese Gleichungen so umformen, dass nur noch eine der drei (großgeschriebenen) Variablen in Abhängigkeit von p,q und r da steht. Das führt auf eine kubische Gleichung, die dann gelöst werden muss. Wenn wir beispielsweise nach P auflösen steht da: 8*P^3-4p*P^2-8r*P+4pr-q^2=0 =>P^3-p/2*P^2-r*P+pr/2-q^2/8=0 Wenn man diese Gleichung löst, kommt man nicht drum herum, die Lösungen der Reihe nach auszuprobieren, um festzustellen, welche der drei I,II und III erfüllt. Dann erhält nach einer Menge Rechnerei die Koeffizienten P,Q und R, woraus sich die 4 Lösungen der reduzierten Normalform ergeben \(siehe weiter oben\). Jetzt muss man nur noch zurück nach x substituieren und hat die Gleichung gelöst. Zugegeben: Es ist eine wahnsinnige Rechnerei und Approximationen führen deutlich schneller zu Ziel, dafür erhält man wenigstens genaue Werte.
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Lösungsformel für Polynome 4.Grades [von Gockel]  
Herleitung der Formel von Ferrari um Polynome 4.Grades aufzulösen.
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"Mathematik: Lösungsformel für Polynome 4.Grades" | 24 Comments
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Re: Lösungsformel für Polynome 4.Grades
von: Martin_Infinite am: Sa. 27. Dezember 2003 01:04:17
\(\begingroup\)Hi Gockel!

Hey das gefällt mir!

Ich habe noch eine Frage. Du scheibst man müsse die gefundenen Werte für P ausprobieren. Aber mE müsste da doch jede Lösung für P passen, oder? Es gibt sicher in den meisten Fällen mehrere Darstellungen der Form
0=(z^2+P)^2-(Qz+R)^2
aber man bracuht doch nur eine, oder?

Gruß
Martin\(\endgroup\)
 

Re: Lösungsformel für Polynome 4.Grades
von: Gockel am: Sa. 27. Dezember 2003 13:22:05
\(\begingroup\)Nein eigentlich ist das so nicht korrekt. Es kann für die Koeffizienten P,Q und R ja nur eine Variante geben, da sonst die Lösungsmenge deutlich mehr als 4 komplexe Zahlen enthalten würde (nämlich 4 für jede Kombination aus verschiedenen P,Q und R).
Es ist in der Tat so, dass nur eine Lösung der kubischen Gleichung wirklich alle drei Gleichungen (I,II,III) löst. Bei den andern beiden Lösungen gehen die Gleichungen nicht auf.\(\endgroup\)
 

Re: Lösungsformel für Polynome 4.Grades
von: Martin_Infinite am: Sa. 27. Dezember 2003 13:52:27
\(\begingroup\)Aha - Danke.

Was sagst du eigentlich zu
x^4+x^3-3x^2-x+1=0
? Ich habe die richtigen P,Q,R gefunden, aber der Radikand in den LÖsungsformeln für z wird immer negativ - obwohl das Polynom sicher 4 reelle Nullstellen hat.

Wie würdest du in diesem Fall die Lösungen ermitteln?

Gruß
Martin\(\endgroup\)
 

Re: Lösungsformel für Polynome 4.Grades
von: Gockel am: Sa. 27. Dezember 2003 14:54:15
\(\begingroup\) Ich habe gerade gesehen, dass ich auch
einen schwerwiegenden Fehler gemacht habe: Die
Auflösung nach der Substitution war fehlerhaft:
Das Absolutglied der reduzierten Normalform muss
heißen:

r=-3/256*a^4+1/16*a^2|b-1/4*ac+d

Das heißt in deinem Fall
a=+1
b=-3
c=-2
d=+1
=>
p=-3-3/8=-27/8
q=1/8+3/2-1=5/8
r=-3/256-3/16+1/4+1=269/256

(Natürlich vorrausgesetzt, dass ich mich nicht
schon wieder verschrieben habe 😉
Vielleicht kommst du jetzt besser zur Lösung.

P.S. Könnte bitte jemand den Fehler in der Formel
beheben?
\(\endgroup\)
 

Re: Lösungsformel für Polynome 4.Grades
von: Gockel am: Do. 01. Januar 2004 20:55:43
\(\begingroup\)Ich habe, falls das noch jemanden interessiert, weiter über das Problem nachgedacht. Und habe folgende Erkentniss: Falls die entstehende kubische Gleichung für P,Q oder R nur eine reelle Nullstelle hat, ist diese Lösung der Gleichungen I,II und III, denn mit komplexen Nullstellen, wäre die Urspungsgleichung, die ja nur reele Koeffizienten hat, nicht erfüllt.
Wenn man allerdings auch komplexe Koeffiezienten zulassen will, muss man doch auf das Ausprobieren aller drei Lösungen für P,Q bzw. R zurückgreifen.\(\endgroup\)
 

Re: Lösungsformel für Polynome 4.Grades
von: flop am: Mi. 28. Januar 2004 18:05:47
\(\begingroup\)hallo
erstmal danke für die tolle beschreibung :
Nun zu meinem Problem :
Im Rahmen meiner Facharbeit muss ich auch die Nullstellen einer Gleichung vierten Grades berechnen,die befindet sich aber schon in der Form 0=z^4+pz^2+qz+r, außerdem bei dieser p=r.
Durch Umformen in 0=(z^2+P)^2-(Qz+R)^2,(z^2+P)^2=(Qz+R)^2, Wurzelziehen und Anwenden der quadratischen Lösungsformel bin ich sehr schnell auf die richtigen Lösungen gekommen.
Nun aber zu meiner Frage : Hab ich díe Formel von Ferrari angewendet oder einfach umgeformt, oder mit anderen Worten : muss ich angeben dass ich die Formel von Ferrari angewendet habe?
Schon mal vielen Dank\(\endgroup\)
 

Re: Lösungsformel für Polynome 4.Grades
von: Martin_Infinite am: Mi. 28. Januar 2004 20:29:04
\(\begingroup\)Ja, ich denke das musst du.\(\endgroup\)
 

Re: Lösungsformel für Polynome 4.Grades
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 26. Februar 2004 17:26:52
\(\begingroup\)Bei der Suche nach einer Methode zum Lösen von Polynome 4. Grades bin ich auf diese Seite gestoßen.
Mein Problem ist die Berechnung der Temperatur anhand dem Widerstandswert eines PT100 Sensors. Für Temperaturen im Bereich -200°C<=t<0°C ist folgenedes Polynom auszuwerten:
Rt=R0*(1+A*t+B*t^2+100*C*t^3+C*t^4)
Meine Unbekannte ist nun "t". Die Koeffizienten A,B und C sind gegeben, sowie Rt und auch R0.
Wer kann mir ein wenig auf die Sprünge helfen? Vielen Dank!
Gruß Alex\(\endgroup\)
 

Re: Lösungsformel für Polynome 4.Grades
von: Gockel am: Do. 26. Februar 2004 18:21:52
\(\begingroup\)Ich glaube du bist deutlich besser mit einer Nährungslösung bedient, als mit der Lösungsformel, die ja doch sehr kompliziert werden kann...
Willst du denn wirklich die Nullstellen dieses Polynoms haben? Oder wilst du nur den Verlauf kennen?\(\endgroup\)
 

Re: Lösungsformel für Polynome 4.Grades
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 01. März 2004 14:20:50
\(\begingroup\)Wie aufwendig ist die lösungsformel bzw. wie genau ist die Näherung und wie kommt man zu dieser Näherung?

Gruß Alex\(\endgroup\)
 

Re: Lösungsformel für Polynome 4.Grades
von: Gockel am: Mo. 01. März 2004 16:32:24
\(\begingroup\)Hey Alex.
Erkundige dich am besten mal über Das "Newton-Verfahren" so heißt nämlich das Näherungsverfahren, dass ich meine. Hier im Forum wurden schon etliche Threads deswegen aufgemacht, wo immer fachkundig geholfen wurde und auch bei google wirst du sehr viel finden.

Allgemein kann ich dir sagen, dass das Newton-Verfahren beliebig genau annähern kann und du in Glücksfällen damit sogar den korrekten Wert bekommen kannst.

Es ist ein iteratives Verfahren. Du kannst aus einen Wert den folgenden Wert mit dieser Formel berechnen:
x_(n+1)=x_n-f(x_n)/f'(x_n)

Für dieses Beispiel kannst mit einem beliebigen
Startwert x_0 anfangen und dann solange die
nächsten Werte errechnen, bis die Genauigkeit
erreicht ist, die du für die Lösung deiner Aufgabe
brauchst.\(\endgroup\)
 

Re: Lösungsformel für Polynome 4.Grades
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 09. März 2004 17:00:48
\(\begingroup\)Hi Gockel!

Neben der schon angesprochenen Iterationsmethode nach Newton gibt es auch noch die Möglichkeiten, wenn die Bedingungen günstig sind, die Nullstellen mit Regula falsi oder Tayler-Verfahren zu ermitteln. Diese sind zusammen mit dem Newton-Verfahren meiner Meinung nach wesentlich unkompliezierter und übersichtlicher.

\(\endgroup\)
 

Re: Lösungsformel für Polynome 4.Grades
von: schrei am: So. 23. Mai 2004 11:38:46
\(\begingroup\)Eins verstehe ich nicht. Am Anfang sagst du ja wir substitionieren x-a/4 zu z also sagst du:
z=x-(a/4) wobei x jetzt wäre:
x=z+(a/4)
stattdessen setzt du aber in der nachfolgenden rechnung für x z-(a/4) ein. wie kommt das ?\(\endgroup\)
 

Re: Lösungsformel für Polynome 4.Grades
von: Gockel am: So. 23. Mai 2004 17:46:20
\(\begingroup\)Hi schrei.

Nun das kommt ganz einfach daher, dass du einen fehler gefunden hast, den 1704 andere Leser bisher übersehen haben 😉
Es muss natürlich heißen: x=z-a/4 da hast du vollkommen recht.

mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Lösungsformel für Polynome 4.Grades
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 30. Oktober 2005 18:38:37
\(\begingroup\)und die gesamte Formel??? kann man das alles zusammensetzen und erhält eine einzige Formel?\(\endgroup\)
 

Re: Lösungsformel für Polynome 4.Grades
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 10. November 2005 18:28:59
\(\begingroup\)Hallo Rechenfans, Bemerkungen zum Newton-Näherungsverfahren: 1.) Es muß ein günstiger Anfangswert bekannt sein (sonst u.U. "Sprung ins Nirwana", ggf. verschiedene Werte "raten" !) 2.) Das Verfahren funktioniert auch bei transzendenten Funktionen, wie sin, log, exp usw. 3.) Bei Gleichungssystemen gibt es ein "mehrdimensionales" Newton- Verfahren, sog. Gauss-Jordan Methode. Viel Spaß beim Rechnen ! NoName\(\endgroup\)
 

Re: Lösungsformel für Polynome 4.Grades
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 30. März 2006 08:25:53
\(\begingroup\)Hallo, Rechenfans ! (Fortsetzung zum Beitrag v. 10.11.2005:) Auch Gl. 5. Grades lassen sich lösen, Konzept wie folgt: f(x)= A * X^5 + B * X^4 + C * X^3 +D * X^2 + E * X + F = 0 Jede derartige Gl. (mit Koeffizient A ungleich 0) hat (mindestens) eine reelle Lösung L1; diese (bzw. eine davon) läßt sich mit mit der Newton-Methode finden. => Teilt man f(x) durch (X-L1), erhält man eine Gleichung 4. Grades, die dann, wie beschrieben, gelöst werden kann. Viel Spaß ! Noname\(\endgroup\)
 

Re: Lösungsformel für Polynome 4.Grades
von: huepfer am: Do. 30. März 2006 09:26:58
\(\begingroup\)Hallo Noname, ich muss Deine Euphorie ein wenig bremsen, denn aus Sicht der reinen Mathematik erhält man mit dem Newton-Verfahren keine Lösungen sondern nur Näherungen für das Ergebnis. Man weiß zwar, dass das Verfahren konvergiert, wenn die Startwerte entsprechend gewählt werden, aber man wird in der Regel kein exaktes Ergebnis erhalten. Für die praktische Anwendung ist das zwar nicht so wichtig, weil man die Fehler auch berechnen kann und dann einfach mit einer Genauigkeit rechnet, bei der sich die Fehler nicht entsprechend auswirken, aber für die Theorie ist es unbefriedigend. Zudem möchte man ja eine Möglichkeit finden, die Nullstellen zu errechnen ohne weitere Kenntnisse zu haben. Und zwar die exakten, also auf beliebig viele Nachkommastellen. Und das geht bei Polynomen 5. Grades meines Wissens nicht. Da gibt es nur in bestimmten Fällen Formeln. Gruß, Felix\(\endgroup\)
 

Re: Lösungsformel für Polynome 4.Grades
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 30. März 2006 21:10:00
\(\begingroup\)Hallo, Felix ! Natürlich hast Du recht, es lassen sich nur Näherungswerte ermitteln. Habe ich jedoch eine entsprechend leistungsfähige Rechenmaschine, kann ich prinzipiell auch eine ausreichende Genauigkeit für das jeweilige, praktische Problem erzielen; vorausgesetzt, es gibt überhaupt Konvergenz. [Turbo Pascal 5.5 kann z. B. auf 19 Stellen genau rechnen (mit Extended-Variablen), somit ist schätzungsweise eine Genauigkeit von 10^(-10), wegen der Potenzberechnungen usw., selbstverständlich in starker Abhängigkeit von den vorhandenen Koeffizienten, erreichbar.] Für einen Mathematiker ist das sicherlich noch nicht befriedigend, ein Techniker wäre sicher oft froh, wenn er eine derartige Genauigkeit immer erreichen könnte. Es gibt ja auch andere eigentlich leicht aussehende Aufgaben in der Mathe., die sich nicht geschlossen lösen lassen; z. B., wenn ich mich recht an meinen Mathe-Leistungskurs von 1977 erinnere, gibt es da das Integral von f(x)=exp(x^2), das sich auch nur numerisch bestimmen lässt (?). Gruß Noname\(\endgroup\)
 

Re: Lösungsformel für Polynome 4.Grades
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 07. März 2007 20:46:40
\(\begingroup\)kann mir mal bitte jemand helfen und zwar mit der biquadratischen gleichung...ich hab peil wie funzt aber das ergebnis ist ja mal total scheisse... 2x^4-13x²+36=0 kann das mal bitte jm machen und mir das ergenis durch geben thx wenn das passiert\(\endgroup\)
 

Re: Lösungsformel für Polynome 4.Grades
von: Gockel am: Mi. 07. März 2007 21:18:30
\(\begingroup\)Hi Anonymous. Für mathematische Fragen kannst du dich im Forum anmelden, da wird dir auch viel effizienter geholfen als hier in den Kommentaren, die dafür ja auch nicht gedacht sind. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Lösungsformel für Polynome 4.Grades
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 08. März 2007 11:56:56
\(\begingroup\)Hallo, Anonimous, ( vielleicht sollten wir uns einer auch zitierfähigen, einfachen deutschen Ausdrucksweise befleissigen, was der Qualität und dem Sinngehalt der Aussagen trotzdem keinen Abbruch täte ... ) mein Pascal-Programm gibt aus ( ohne Gewähr ): Lösung Realteil Imaginärteil 1,2 1,93554135672 +/- j*0,70450006401 3,4 - 1,93554135672 +/- j*0,70450006401 Gruss Noname\(\endgroup\)
 

Re: Lösungsformel für Polynome 4.Grades
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 14. März 2011 18:45:11
\(\begingroup\)Hallo... ich weis leider nicht wie ich mit dieser formel umgehen soll? 0,25x³+2x =0 & x^4-13x²+20x-4 =0 kann mir irgendjemand helfen? 😵 ``\(\endgroup\)
 

Re: Lösungsformel für Polynome 4.Grades
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 05. September 2012 16:25:43
\(\begingroup\)Hallo Anonymous, als erstes ist es sinnvoll die Formel freundlich zu begrüßen. Falls sie irgendwo rein will kannst du ihr die Türe aufhalten. Ein höflicher Umgang ist auf jeden Fall hilfreich. 😁 Gruss, Max \(\endgroup\)
 

 
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